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Física Quântica Semipresencial 2020.1
- Lista 1 - GABARITO -
1. Questões:
(a) O que é um corpo negro e quais são as características da radiação por ele emitida?
Resp: Um corpo negro é um objeto que absorve toda radiação incidente sobre ele.
As suas características são: A radiação emitida em equilíbrio térmico é determinada
somente pela temperatura; a radiação é isotrópica e um corpo negro é um emissor
ideal, ou seja, ele emite mais radiação que outros corpos na mesma temperatura.
(b) Comente os resultados experimentais que levaram Stefan a propor que a energia total
emitida por um corpo negro é proporcional à quarta potência da temperatura abso-
luta. Enuncie e explique qual foi a contribuição de Boltzmann para a assim chamada
Lei de Stefan-Boltzmann.
Resp: Stefan experimentalmente mediu a radiação emitida por corpos negros em
diferentes temperaturas. Normalmente, a partir dos dados obtidos se obtém relações
experimentais pelo método de linearização. No caso, os dados de Stefan assumem um
comportamento linear quando um gráfico de intensidade de radiação por área (R) por
temperatura a quarta potência (T4) é construído. Assim, foi proposto que R∝T4.
Boltzmann alguns anos depois obteve a mesma relação ao descrever a emissão de um
corpo negro utilizando termodinâmica clássica.
(c) Porque a lei de deslocamento de Wien recebeu este nome?
Resp: A lei de Wien diz que λmax.T = constante, ou seja, o comprimento de onda
máximo vai se deslocando conforme a temperatura aumenta, por isso é chamada de
lei de deslocamento de Wien.
(d) Explique (qualitativamente) como Rayleigh chegou a "Lei Clássica da Radiação"e o
que é a catástrofe do ultravioleta.
Resp: Considere uma cavidade esférica a temperatura T que esta emitindo como
um corpo negro. Dentro dessa cavidade existem ondas eletromagnéticas estacionárias
com nós nas superfícies metálicas. Usando um argumento geométrico podemos contar
o número de ondas no intervalo ν, ν + dν. Usando um resultado de teoria cinética
podemos calcular a energia média dessas ondas, que só depende de T. Multiplicando
o número de ondas pela energia média e dividindo pelo volume da cavidade nos dá o
resultado de Rayleigh:
ρT (ν)dν =
8πν2
c3
kTdν
(Nota: A dedução simplificada pode ser encontrada no livro “Fundamentos de Quí-
mica Quântica” de João Pedro Braga editora UFV). Este resultado contém o que é
chamado a catástrofe do ultravioleta: conforme a frequência aumenta, a densidade
de energia aumenta. Como não há limite para a frequência, a energia emitida seria
infinita, o que está em claro desacordo com os dados experimentais.
(e) Quais foram os argumentos de Planck que o levaram a introduzir o quanta?
Resp: Planck se baseou em argumentos da mecânica estatística para resolver o pro-
blema da catástrofe do ultravioleta, assumindo que a energia das ondas não deveria
ser uma variável continua, mas sim discreta. Ele assumiu também que estes quantas
de energia seriam proporcionais a frequência: δ� = hν, onde h seria uma constante de
proporcionalidade adequada (obtida por interpolação da curva dos dados experimen-
tais) e que, posteriormente, foi denominada de constante de Planck. Essa escolha,
entretanto, não possía argumentos roustos para suportá-la, pois vai contra bases da
mecânica clássica. Por esse motivo, a sociedade científica da época a considerava ar-
bitrária e uma solução condizente com a física vigente era esperada. Com a utilização
do quanta por Einstein na descrição do efeito fotoelétrico, a discretização da energia
passou a ter um maior impacto na cominidade científica.
2. Problemas:
(a) Sabendo que um gás idal de radiação com energia E, densidade de energia U , e pres-
são p = 13U , e utilizando as relações termodinâmicas
∂E
∂V = T
∂p
∂T − p e
∂E
∂V = U ,
mostre que U = σT 4, com σ uma constante. Esta é a dedução simplificada da Lei de
Stefan-Boltzmann.
Resp: Começando com as relaçõs trigonométricas:
p =
1
3
U ; (1)
∂E
∂V
= T
∂p
∂T
− p; (2)
∂E
∂V
= U. (3)
Substituindo (1) e (3) em (2), obtemos:
4p = T
∂p
∂T
(4)
Integrando obtemos p ∝ T 4 por fim, substituindo novamente em (1), obtemos a lei
de Stefan-Boltzmann:
U = σT 4
.
(b) Um pêndulo simples de massa 0,1 kg, está suspenso por um fio de 0,1 m de com-
primento. Considerando o limite de pequenas oscilações, determine a frequência do
pêndulo, sua energia total e compare-a com ∆E = hν.
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Resp:No limite de pequenas oscilações temos que a força resultante no pêndulo é
F = −mg sin θ ∼ −mgθ = −mgx/l (5)
Aplicando a segunda lei de Newton:
d2x
dt2
= −gx
l
(6)
Assumindo condições iniciais x(0) = x0 e dxdt (0) = 0, obtemos:
x(t) = x0 cos
(√g
l
t
)
(7)
O periodo é simplesmente dado por
√
g
l T = 2π, com isso obtemos a f =
1
2π
√
g
l ≈
1.58s−1.
Para determinar a energia basta somar a energia cinética com a potencial, por exem-
plo, em x = 0, em que só temos energia cinética, asim obtemos:
E =
1
2
mx20
g
l
= 2π2mx20f
2 (8)
Para determinar a energia é preciso conhecer x0. Comparando com a energia quântica
do oscilador harmônico E = hν, notamos que a energia clássica depende da frequen-
cia ao quadrado enquanto a energia quântica depende somente da frequência.
(c) Mostre que a lei de Stefan-Boltzmann está contida na lei de deslocamento de Wien.
NOTA: O enunciado está incorreto deve-se utilizar a lei de Wien ou a lei de Planck.
No segundo caso, o procedimento é o mesmo, mas a integral é um pouco mais difícil.
Resp: A lei de Wien é uma das aproximações da lei de Planck. No limite de altas
frequência temos a lei de Wien e para baixas frequências temos Rayleigh-Jeans. A
expressão da lei de Wien é:
ρT (λ)−
2hc2
λ5
e−hc/λkT
Vamos mostrar que basta conhecer a lei de Wien para obter a lei de Stefan-Boltzmann.
Para isso, integrando em todos os comprimentos de onda:
RT =
∫ ∞
0
ρT (λ)dλ =
∫ ∞
0
2hc2
λ5
e−hc/λkTdλ
Agora definindo a variável auxiliar x = hc/λkT , temos:
RT = 2hc
2
[
kT
hc
]4 ∫ ∞
0
x3e−xdx
A integral é um número que não depende de T, assim podemos juntar todas as
constantes em σ e obter RT = σT 4.
Nota 1: A última integral pode ser feita por partes e se obtém 6. Assim, σ = 12k
4
h3c2
.
Nota 2: Integrando a equação de Planck a constante obtida é 2π
4k4
15h3c2
. Cerca de 1.08
vezes maior que a anterior, o que corresponde a região que a lei de Wien subestima
os valores experimentais (em baixas frequências).
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(d) A temperatura da superfície do sol é de cerca de 5800 K. Se fizessemos a suposição de
que o sol é um corpo negro radiador, qual seria o comprimento de onda do pico de seu
espectro? Verifique em que região do espectro visível se encotra este comprimento de
onda. (Dica: use a lei de deslocamento de Wien.)
NOTA: O enunciado deveria perguntar “[...]em que região do espectro eletromagné-
tico[...]”.
Resp: A temperatura do Sol é T = 5800K. Usando a lei de Wien obtemos que o
comprimento de onda do máximo da distribuição é λm = 4.98 × 10−7m = 498nm,
que está na região visível do espectro eletromagnético (400nm− 700nm).
(e) A medida do comprimento de onda para a qual a radiação R(λ) é máxima indica que
a temperatura da superfície da estrela é 3000 K. Se a potência irradiada pela estrela
é 100 vezes maior que a potência irradiada pelo Sol, qual é o tamanho da estrela?
Dado: temperatura da superfície do Sol = 5800 K? Dica: para um corpo negro R = PA ,
onde R é a potência irradiada por unidade, P a potência total irradiada e A a área
do corpo e suponha que as estrelas são corpos negros.
Resp: Sabendo que R = P/A, com RT = σT 4, e que r∗ = 100rsol, obtemos:
R∗
Rsol
=
P∗Asol
PsolA∗
= 100
Asol
A∗
então:
T 4∗
T 4sol
= 100
Asol
A∗
→ A∗ = 1397Asol
Portanto, considerando que a área superficial de uma esfera é A = 4πr2, então:
r∗ = 37, 4rsol.
Nota para correção da atividade: Uma vez que “tamanho da estrela” é um termo
genérico considerem como correto, desde que todos os cálculos estejam corretos, qual-
quer valor de raio, diâmetro, volume ou área superficial da estrela, seja ele em função
do Sol ou o valor absoluto.
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