5. Fluidomecânica. 5.2. Fluidostática II

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Aula 02 – Fluidostática II
Introdução
Como vimos em Fluidostática I, as forças que atuam sobre um corpo submerso num fluido aumentam com a profundidade. Usando a Lei de Stevin e o conceito de pressão obtemos essa força. 
Entretanto, quando o corpo possui um formato “estranho”, é difícil obter o valor dessa força (mesmo que usemos cálculo integral). O matemático grego Arquimedes descobriu um modo extremamente simples de calcular essa força.
Princípio de Arquimedes
Vamos imaginar uma porção do fluido de forma qualquer, limitada por uma superfície S. Sobre essa porção deve atuar uma força vertical que aponta para cima, cancelando o efeito do peso. Essa força é chamada de empuxo e é representada por . 
Agora façamos uma “operação de pensamento”. Retiramos essa porção do fluido e preenchemos o espaço retirado com outro corpo. Como a superfície S não se alterou, as forças exercidas pelo restante do fluido em cada ponto de S não se alteraram; portanto o empuxo continua o mesmo. 
Assim podemos definir o princípio de Arquimedes: um corpo, total ou parcialmente submerso em um fluido em equilíbrio, sofre a ação de uma força, denominada empuxo, cuja direção é vertical, o sentido é oposto ao da gravidade e a intensidade é igual ao peso do fluido que caberia dentro do espaço ocupado pelo corpo (ou seja, é igual ao peso do fluido deslocado).
O peso do fluido deslocado será:
PF = mF . g (porém, mF = dF . VF)
PF = dF . VF . g 
 E = PF = dF . VF . g 
Questão 01
Um corpo homogêneo de volume VC = 0,16 m3 flutua em um líquido de massa específica dL = 0,80 . 103 kg/m3, de modo que o volume da parte emersa é V1 = 0,04 m3. Considere g = 10 m/s2. 
a) Calcule o peso do corpo.
Dizer que o corpo flutua significa dizer que ele está em equilíbrio. Portanto, o peso do corpo (Pc) e o empuxo têm a mesma intensidade.
E = PL = mL . g = dL . VL . g = (0,80 . 103 kg/m3) (0,12 m3) (10 m/s2)
E = PC = 9,6 . 102 N
b) Calcule a densidade do corpo.
P = m . g = dvg, sei qual o peso, o volume, a gravidade, entretanto irei resolver de outro modo.
PC = E = PL PC = PL mC . g = mL . g mC = mL 
dC . VC = dL . VL dC = . dL dC = . 0,80 . 103 
dC = 0,60 . 103 
Questão 02
Numa região em que g = 10 m/s2, uma bolinha de densidade dB = 0,50 g/cm3 é abandonada no interior de um líquido de densidade dL = 0,90 g/cm3, a uma distância de 1,6 m da superfície livre do líquido. 
Descreva o movimento da bolinha (desprezando os atritos).
Resolução
O empuxo é maior que o peso, pois a densidade da água é maior que a densidade da bola, logo a força resultante apontará para cima. 
F = E - PB
F = dLVBg - dBVBg = (dL – dB)VBg
A força resultante sobre a bolinha é 
F = m . a
(dL – dB)VBg = m . a
(dL – dB)VBg = dBVB . a
a = . g
a = . 10
a = 8 m/s2
Portanto, a bolinha subirá com movimento uniformemente acelerado até a superfície. O tempo até atingir a superfície pode ser calculado:
s = s0 + v0t + . t2
s = . t2
1,6 = . t2
t 0,6 s
Ao atingir a superfície, a bolinha oscilará e em seguida atingirá o equilíbrio. Nessa situação o empuxo será outro (e será igual ao peso da bola).
E’ = PB
dLV2g = dBVBg
dLV2 = dBVB
(0,90) (V2) = (0,5) (VB)
V2 = VB
Portanto, na situação final, a bolinha estará flutuando com de seu volume emerso e de seu volume submerso. 
Questão 03
Um corpo cilíndrico e homogêneo flutua parcialmente imerso na água e parcialmente imerso no óleo, como ilustra a figura ao lado.
Sabe-se que a densidade do óleo é d1 = 0,9 g/cm3, d2 = 1,0 g/cm3, h1 = 8,0 cm e h2 = 2,0 cm. Calcule a densidade do corpo (dC). 
Resolução – Primeiro modo
O peso do corpo é equilibrado pelo empuxo total
P = E1 + E2
dCVg = d1V1g + d2V2g
dC A(h1 + h2) . g = d1Ah1g + d2Ah2g
dC (h1 + h2) = d1h1 + d2h2
dC = 
dC = = 0,92 g/cm3
Resolução – Segundo modo
pY = pX + d1gh1 + d2gh2
Cada uma dessas pressões está sendo aplicada sobre uma mesma sessão transversal (área) A. Ao multiplicar cada pressão pela área, obtenho a força.
pY . A = pX . A + d1gh1 . A + d2gh2 . A
FY = FX + d1gh1 . A + d2gh2 . A
FY – FX = d1gh1 . A + d2gh2 . A (1)
Porém, sei também que:
FY = FX + P
FY – FX = P
FY – FX = dC . g (h1 + h2)A (2)
De (1) e (2) temos:
dC . g (h1 + h2) A = d1gh1 . A + d2gh2 . A
dC (h1 + h2) = d1h1 + d2h2
dC = = 0,92
Navio
Um navio não afunda na água por ser oco, apesar de a densidade do aço ser maior que a da água. O fato de o navio ser oco o torna menos denso que a água.
Balões
Alguns balões flutuam por serem enchidos por gás cuja densidade é menor que a do ar. Outros flutuam através do aquecimento por chama. O aquecimento exponde o ar dentro do balão, fazendo com que tenha densidade menor.
Submarinos
Para um submarino emergir ou imergir, há um tanque no seu interior. Para submergir, esse tanque é cheio de água, aumentando sua densidade. Para emergir, essa água é expulsa. 
Flutuação do gelo
A maioria das substâncias quando passam do estado líquido para o estado sólido tem aumento de densidade. Porém com a água isso não acontece. Quando a água é esfriada de 4°C a 0°C, as ligações afastam as moléculas umas das outras, aumentando seu volume e consequentemente reduzindo sua densidade. É por essa razão que o gelo flutua na água. 
Questão 04
Um balão esférico de raio R = 10 m foi cheio com gás hélio, cuja densidade é 0,16 kg/m3. O balão vazio, os cabos e a cesta têm massa total de 200 kg. Desprezando o volume da cesta e sabendo que a densidade do ar é 1,21 kg/m3, calcule o valor máximo da massa da carga que esse balão pode sustentar.
Resolução
Volume da esfera = = = 4186,67 m3
Hélio: d = , logo 0,16 = , logo m = 669,87 kg 
peso total, incluindo do hélio 
P = mg + P'= (200 + 669,87) . 10 + P' = 8698,67N + P' (peso da carga) 
Empuxo = V . dAr . g = 4186,67 . 1,21 . 10 = 50658,71N 
Devemos ter 50658,71 = 8698,67 + P', logo P' = 41960,04 N, logo a massa máxima = 4196 Kg 
Questão 05
Um recipiente contendo água está sobre uma balança graduada em newtons que assinala 420 N. Um corpo cilíndrico de massa 12 kg e densidade 6,0 g/cm3, preso a um dinamômetro, é parcialmente mergulhado na água, de modo que fica com metade de seu volume submerso.
Sabendo que g = 10 m/s2 e que a densidade da água é 1 g/cm3, para a situação da figura, calcule:
a) a marcação do dinamômetro;
O volume do corpo será:
VC = = = 2 . 10-3
Como metade do volume está submerso, então o volume do líquido deslocado será 2 . 10-3 . .
Sendo P, o peso; E o empuxo; e FD a força de tração do dinamômetro:
P = E + FD
m . g = dL . vL . g + FD
12 . 10 = 103 . 2 . 10-3 . + FD
120 = 10 + FD
FD = 110 N
a) a marcação da balança.
Caso não houvesse o dinamômetro, a marcação na balança seria o peso da água + o peso do objeto. Entretanto parte do peso do objeto, 110 N, é sustentado pelo dinamômetro, portanto a marcação da balança será:
PA + PC – 110 = 420 + 120 – 110 = 430 N
Questão 06
Na situação representada ao lado, a barra, de peso desprezível, está em equilíbrio, em suas extremidades há fios ideais que sustentam os corpos A e B, sendo a massa de A igual a 9,0 kg e o volume do corpo B igual a 2,0 litros. 
Sendo a densidade da água igual a 1,0 g/cm3, calcule:
a) a massa do corpo B; 5kg
b) a densidade do corpo B. 2,5 g/cm3
 
Questão 07
Um caixa prismática, de massa 400 kg e dimensões x = 2,0 m, y = 1,0 m e z = 0,50 m, flutua na água, cuja densidade é 1,0 . 103 kg/m3. 
Quantas pessoas de massa 70 kg podem entrar na caixa sem que também entre água?
Resolução
Para entrar água todo o volume da caixa deve ficar submerso, logo o volume de líquido deslocado deve ser igual ao volume da caixa. Como a caixa está em equilíbrio temos:
PC = E
m . g = d VC g
m = d Vc
400 + m’ = 1,0 . 103 . 2 . 1 . 0,5
m' = 1,0 . 103 . 2 . 1 . 0,5 – 400
m' = 1000 – 400
m' = 600
Como cada pessoa tem massa de 70 kg e a massa máxima de pessoas suportada é 600 temos que
600/70 = 8,...
Logo o número máximo de pessoas é 8.
Questão 08
Quando penduramos um corpo C em um dinamômetro, este marca 60 N. Ao mergulharmos o corpo num outro líquido, o dinamômetro marca 45 N. 
Sabendo que a densidade da água é 1,0 g/cm3, calculea densidade do outro líquido. (g = 10 m/s2)
Discussão
A redução na marcação do dinamômetro é consequência do empuxo exercido pelos líquidos sobre o corpo. Como em ambos os casos o corpo está submerso, a diferença de empuxo (a diferença no peso dos líquido deslocados – m . g) é consequência da diferença de densidade, não de volume (é importante visualizar bem essa ideia).
Resolução 
Num dos casos o peso é 20 N e no outro caso o peso é 15 N.
d1 . VC . g = 20
d2 . VC . g = 15
Comparando as duas equações, temos:
 = 
15 . 1 = 20d2
15 = 20d2
d2 = 0,75 g/cm3
Questão 09
Na figura ao lado representamos um densímetro, instrumento usado para medir densidades de líquidos. 
Ele é constituído de um tubo de vidro com um pouco de uma substância mais densa que o vidro no fundo (o lastro), para dar estabilidade. Suponhamos que o volume do densímetro seja 60 cm3, sua massa seja 50 gramas e a área da seção reta do trecho cilíndrico seja A = 2,0 cm2. Supondo que a densidade do líquido seja 1,0 g/cm3, calcule o valor de x. 
Resolução
Questão 10
(PUC-RS) Duas esferas metálicas, A e B, de mesmo volume e massas diferentes, estão totalmente imersas na água. 
Analisando essa situação, é possível afirmar que a intensidade do empuxo que a água exerce nas esferas:
a) é a mesma nas duas esferas.
b) é maior na esfera A.
c) é maior na esfera B.
d) depende das massas das esferas.
e) depende da quantidade de água no recipiente.
Resolução
O empuxo depende apenas do volume do líquido deslocado. Se as esferas fossem mergulhadas individualmente, independentemente da profundidade que elas mergulhassem, o volume de líquido deslocado pelas duas esferas seria o mesmo, pois elas possuem o mesmo volume. 
Questão 11
(F. M. Pouso Alegre-MG) O peso de um sólido medido por um dinamômetro é 4,5 N. Quando mergulhamos totalmente o sólido dentro de um vaso com água (sem encostar no fundo), o dinamômetro passa a marcar 3,0 N. 
A partir desses dados podemos deduzir que a densidade desse sólido, em g/cm3, é de (densidade da água = 1,0 g/cm3). 
a) 1,5 b) 2,0 c) 3,0 d) 3,5 e) 5,0
Questão 12
Um corpo tem volume, 1000 cm3 e massa 3,0 kg. Sabendo que g = 10 m/s2 e que a densidade da água é 1,0 g/cm3, qual é o peso aparente desse corpo quando totalmente imerso na água?
Resolução
O peso do corpo é 30 N. 
O empuxo é 1 . 103 kg/m3 . 1000 . 10-6 m3 . 10 m/s2 = 10 N.
Logo o peso aparente é 30 N – 10 N = 20 N
Questão 13
Considere a figura onde um recipiente A, contendo água até a altura de uma abertura lateral, encontra-se sobre o prato de uma balança que indica 200 g.
Um corpo, de massa igual a 60 g e 80 cm3 de volume, é abandonado cuidadosamente na superfície da água. Considere a densidade da água igual a 1 g/cm3. Após o sistema entrar novamente em equilíbrio, o volume da água que passa para o recipiente B e a leitura da balança serão, respectivamente:
a) 80 cm3; 280 g.
b) 80 cm3; 260 g.
c) 80 cm3; 200 g.
d) 60 cm3; 260 g.
e) 60 cm3; 200 g.
Questão 14
(Cesgranrio-RJ) Um corpo homogêneo flutua na superfície da água com somente 20% de seu volume total emerso, isto é, fora da água. Qual a densidade desse corpo? Dado: a densidade da água é 1,0 g/cm3.
Resolução:
Questão 15
(Vunesp-SP) A massa específica de uma certa madeira é 0,80 g/cm3. Jogando-se um pedaço dessa madeira na água de massa específica 1,0 g/cm3, a porção da madeira que emergirá da água, após o equilíbrio, será: 
a) 25% b) 80% c) 20% d) 75% e) 42%
Resolução
Centro de empuxo
Centro de empuxo é o ponto do corpo em que posso considerar que o empuxo está sendo aplicado. O centro de empuxo coincidirá com o centro de gravidade quando o corpo for homogêneo e estiver totalmente submerso no fluido. Nessa situação haverá equilíbrio.
Quando o corpo não está totalmente submerso, só haverá equilíbrio se o centro de gravidade e o centro de empuxo estiverem na mesma reta vertical. Caso não estejam na mesma vertical, o torque resultante fará o corpo se mover até que ele alcance a posição de equilíbrio. 
Questão 16
Uma barra cilíndrica e homogênea flutua com metade de seu comprimento submerso na água, como indica a figura, tendo sua extremidade X presa a um fio que, por sua vez está preso a um suporte S. 
Sabendo que a densidade da água é 1,0 g/cm3, calcule a densidade da barra.
Resolução
O empuxo atua no centro da parte submersa da barra (centro de empuxo) e o peso atua no centro de gravidade. Como a barra está em equilíbrio, o torque do empuxo será igual ao torque do peso. 
E . 3y = P . 2y
E = 2P/3
Porém o empuxo também é dado pelo produto dVg:
d . V . g = 
d . . g = 
dBarra = 
dBarra = 0,75 g/cm3
Questão 17
Considere novamente a situação da questão anterior. Supondo que o comprimento da barra seja 2,0 m, a área de sua seção reta seja 4,0 cm2 e g = 10 m/s2, calcule a tração no fio.
Resolução
Note que pelos dados fornecidos no enunciado encontro facilmente o volume da barra e a massa. Quando encontro a massa da barra também encontro o peso. O peso estará concentrado no centro da barra (centro de gravidade). 
Para resolver a questão basta considerar que o pólo (ponto de rotação) é o centro de empuxo, localizado no ponto C abaixo. Perceba que o empuxo na barra produz torque que tende a girar a barra no sentido horário, enquanto que a tração aplica um torque que tende a girar a barra no sentido anti-horário.
E . 0,5 = T . 1,5
O empuxo será dVg = 0,75 . 0,08 . 10 = 0,6. Então:
0,6 . 10 . 0,5 = T . 1,5
T = 3/1,5
T = 2 N
Uma situação especial
Vamos supor que um bloco de vidro seja mergulhado no mercúrio. Por ter densidade menor, o vidro flutua. Entretanto, se o vidro inicialmente estivesse no fundo do recipiente, e em seguida passássemos a preencher o recipiente com o fluido, o vidro poderia não flutuar, pois, por não haver mercúrio embaixo dele, não haveria empuxo.