Apostila parte 3

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67 
Exemplo: O coeficiente de difusão do Mn, MnD no ferro líquido é da ordem de 6 x 10 -8 
m2/s. Qual seria a estimativa do tempo para difundir (misturar) o manganês em um 
banho de ferro líquido, contido em uma panela de diâmetro, D, igual a 2 m e com nível 
de metal, L, a 2,5 m(atenção às unidades; utilize análise dimensional)? Quando gás 
inerte, sob vazão, Q, igual a 1 Nm3/min é injetado para agitar o conteúdo da panela 
prevê-se viscosidade turbulenta dada por: 
3/13 )/(105,5 DQgLx ρη −= , unidades no SI. 
Qual seria, nestas condições, uma estimativa do tempo de mistura (a viscosidade mo-
lecular é da ordem de 7 x 10-3 Pa.s)? 
 
Exemplo: A notícia “SUPERCOMPUTADOR NÃO PREVIU TEMPESTADE – Parecia 
ser um aparelho fenomenal, uma semana atrás, quando metereologistas norte-
americanos o anunciaram como um super-computador capaz de executar 2,5 bilhões 
de cálculos por segundo, que poderia detectar tempestades e outros perigos do tempo 
com até dez dias de antecedência. Na verdade, o computador não detectou a enorme 
tempestade de inverno que paralisou a costa leste dos Estados Unidos esta semana, 
prevendo apenas “40% de possibilidade de neve leve” na segunda feira. A tempestade 
foi a pior dos últimos quatro anos, com 1600 quilômetros de diâmetro.” foi publicada 
em o Estado de São Paulo, janeiro de 2000. Comente (15 a 30 linhas), considerando 
que fenômenos metereológicos podem ser considerados intrinsecamente turbulentos. 
 
Computadores e softwares que permitem o cálculo do campo de velocidades, do cam-
po de pressões e outras variáveis em um determinado sistema são ferramentas relati-
vamente recentes em comparação às necessidades históricas da Engenharia. Natu-
ralmente outros caminhos foram trilhados. 
Considere a título de exemplo o fluxo relativo entre um fluido e um corpo nele submer-
so. De posse da descrição geométrica do sistema e de um software de Mecânica 
Computacional poderiam ser determinadas as distribuições dos esforços cisalhante e 
compressivos sobre a superfície do corpo e daí a força de interação corpo/fluido,. Ob-
viamente a resposta é conhecida para baixos valores do número de Reynolds de mo-
do que estes cálculos seriam mais prementes em regime turbulento. Na ausência des-
tas ferramentas “modernas” poderiam ser realizadas medições diretas desta força de 
interação, Figura 63. 
 
 
 
 
 
Figura 63: Esquema experimental para determinação do fator de fricção. 
 
 
 
68 
 
Argumentos baseados em análise dimensional mostram que os resultados deste tipo 
de experimento podem ser compilados em termos de um parâmetro adimensional, 
denominado Fator (ou coeficiente) de Fricção, definido como: 
p
2AV
2
1fF ρ⋅= 
onde representam: F, a força de interação, mensurável experimentalmente; f , o fator 
de fricção; ρ , a massa específica do fluido; V, a velocidade média relativa entre o cor-
po e o fluido, isto é, 2V
2
1 ρ seria uma medida da energia cinética do fluido; Ap , a área 
projetada partícula na direção do fluxo. 
 
Argumenta-se ainda que, em geral, fatores de fricção podem ser apresentados como 
função do número de Reynolds, 
η
⋅⋅ρ
=
LVRe , tal como mostrado na Figura 64 para o 
caso do fluxo em redor de uma esfera. 
 
 
Figura 64: Fator de fricção para fluxo ao redor de uma esfera. 
 
Exemplo: Estime a velocidade terminal de flotação de uma partícula esférica de alu-
mina (3000 kg/m3; 300µm de diâmetro) em aço líquido a 16000C (7x10-3 Pa .s; 
7000kg/m3) 
Assumindo primeiramente ser válida a Lei de Stokes, 
 )(gR
9
2V partículaaço
2
T ρ−ρη
= 
e, logo, s/m028,0)30007000(8,9)10150(
1079
2V 263T =−××⋅××
=
−
−
 
Portanto 4,8
107
028,0)10300(70002
3
6
≅
×
×××
==
−
−
η
ρ RVRe , o que mostra ser não aplicá-
vel a hipótese. 
 
 
 
 
69 
Por outro lado, o mesmo balanço de forças aplicado sobre a partícula em ascensão, 
mas considerando o caso mais geral, de não observância da Lei de Stokes, rende, 
Figura 65: 
22
Partícula
3
L
3 RV
2
1f)eração(intF;gR
3
4Peso;gR
3
4Empuxo piρρpiρpi 





=== 
 
e, quando a velocidade terminal for atingida, 
( ) 0RV
2
1fgR
3
4 22
LPL
3
=





−− piρρρpi 
Na equação anterior são desconhecidos os valores do fator de fricção, f, e da veloci-
dade Terminal, VT; por outro lado a Figura 50 apresenta uma relação independente, 
ainda que indireta, entre estas duas variáveis; formalmente representam um conjunto 
de duas equações e duas incógnitas. De modo a facilitar a resolução, a equação ante-
rior pode ser reescrita, para explicitar a dependência entre f e Re, 
( ) 2PL2
3
L RefgR3
32
=− ρρ
η
ρ 
 
Deste modo, assumindo que a solução se encontra –hipótese que precisa ser posteri-
ormente comprovada -- no trecho no qual 60,0Re
5,18
=f , o ciclo se completa. 
 
 
Figura 65: Balanço de forças sobre partícula esférica em ascensão. 
 
Exemplo: Aço é alimentado em um distribuidor de 40 toneladas de capacidade, de 0,8 
m de largura e 1,2 m de nível metálico, com vazão de 4 ton/min. O mesmo contém 
inclusões de alumina, de 100 mµ de diâmetro e massa específica de 3000 Kg/m3. Veri-
fique se estas inclusões seriam flotadas ou arrastadas ao molde. Considere 
6,0Re
5,18
=f se 1< 
η
ρ VR2
Re = <1000 ; f =0,44 se Re>1000. 
Exemplo: A vazão volumétrica de gás de topo (200 C ; 2,1 atm ) medida em um Alto-
forno de diâmetro da goela igual a 9,3 m é de 7300 m3/min. Sabe-se, também, que a 
viscosidade média do mesmo (20% CO2, 24% CO, 54% N2) é de 2,3 . 10-5 Pa.s. i - 
 
 
 
70 
porque a velocidade terminal da partícula no gás pode ser tomada como uma estimati-
va da velocidade mínima de elutriação? ; ii - considere que a Lei de Stokes não se 
aplica e escreva o balanço de forças relativo à condição de iminente elutriação; iii - 
estime o diâmetro de uma partícula de hematita (ρ = 5,25 g/cm3) a partir do qual have-
rá elutriação da mesma. 
Leitos Fixos – Equação de Ergun: 
Leitos fixos são, por definição, aqueles em que as posições relativas das partículas 
que o constituem não mudam. São bastante empregados para promover o contato – 
portanto o transporte de QM, massa e calor – entre um fluido e as partículas constitu-
intes. Neste tópico vamos ressaltar apenas aspectos fluido-dinâmicos, especificamen-
te o cálculo da queda de pressão necessária para garantir o fluxo de uma quantidade 
determinada de fluido através do leito. Existem algumas justificativas que tornam clara 
a necessidade deste tipo de avaliação. 
 
Por exemplo a potência de um soprador, necessária para assegurar o fluxo de um gás 
através do leito, pode ser estimada pela equação: 
 
entodimnRe
]s/m[Q]Pa[P
]Watts[P
3
gássopro ×
= 
Nesta expressão a pressão de sopro equivale a ( ) ( )00 PPPPPP soproltoposopro −+−+= 
 e os termos do segundo membro representam a pressão de topo, geralmente1 atm, 
queda de pressão no leito, e queda de pressão nas tubulações. Das várias implica-
ções possíveis, uma delas indica que, havendo um teto para a potência disponível ao 
soprador, a vazão de gás será tão maior quanto menor a queda de pressão no leito. 
Não existe, geralmente, uma relação linear entre vazão de gás e taxa de transporte de 
massa e/ou de calor; entretanto maior a vazão maior a taxa de transferência, o que 
indica a importância de se controlar a queda de pressão. 
 
De um balanço de forças aplicadas ao leito fixo resulta que a força resultante sobre a 
grelha que o suporta, R, é igual à soma “peso do leito + empuxo provocado pelo fluido 
+ atrito com as paredes do reator + interação fluido/leito devido ao fluxo”. Escolhendo 
orientação positiva de referencial dirigida de baixo para cima se tem: 
1- se R < 0, o leito se apóia sobre a grelha e o mesmo é denominado fixo. 
2- se R = 0, o leito encontra-se em estado de flutuação, sendo denominado leito fluidi-
zado. Neste caso o gás levita a carga, porém a pressão dinâmica do fluxo gasoso é 
insuficiente para promover o arraste das partículas para fora do reator. 
3- se R > 0, sob condições de velocidade do fluido bastante elevada,ocorre o fenôme-
no de elutriação – as partículas do leito podem ser arrastadas para fora do reator 
(transporte pneumático). 
 
A situação crítica, para a fluidização do leito, pode ser estimada desconsiderando o 
atrito leito/reator: 
( ) ( ) ( ) 011 0 =−+−+−− APPgwALgwAL Lpartícula ρρ ou 
( ) ( ) ( )
L
PP
gw Lpartícula
−
=−−
01 ρρ 
 
Nesta expressão representam: A, a área da seção reta do reator; L, a altura do leito; 
w, a fração do forno a ser ocupada pelo fluido; ρparticula, a massa específica das partícu-
las constituintes do leito; ρ, a massa específica do fluido; Po, a pressão do fluido na 
entrada do leito; PL, a pressão do fluido na saída do leito; g, a aceleração da gravida-
de. Atingir esta situação não seria recomendável nos casos em que o leito e o fluido 
precisam se movimentar em contra-corrente, como nos Altos Fornos. Se a carga não 
 
 
 
71 
desce por ter sido atingido este equilíbrio diz-se que o forno se encontra engaiolado; 
quando eventualmente o gás força passagem por um caminho de menor resistência, 
uma chaminé, a carga perde sustentação e desaba sobre as camadas de líquido no 
cadinho. Este último fenômeno é denominado arriamento de carga e traz distúrbios 
operacionais consideráveis: irregularidade da marcha; danos às ventaneiras se a es-
cória e/ou gusa as atingem. 
 
Estes dois aspectos, do fluxo de um fluido através de um leito fixo, deixam claro a im-
portância de se estimar a queda de pressão; para tal pode ser utilizada a equação de 
ERGUN, cujos termos se descrevem a seguir. 
 
Considera-se um leito de altura L, constituído de partículas uniformes de diâmetro dp, 
que ocupam um reator de área de seção reta A Se o leito é atravessado por um fluxo 
de um fluido incompressível e Newtoniano, sob condições isotérmicas e em regime 
permanente então: 
 
 
( ) ( ) 2
323
22 175,11150
o
p
o
p
V
dw
wV
dw
w
L
P ρληλ −
+
−
=
∆
 
∆P representa a queda de pressão no leito, caracterizada por uma força que age sobre 
o leito F = A[m2] x (Po-PL)[Pa] a qual é devida ao campo de pressões e de tensões 
cisalhantes que se desenvolve ao redor de todas as partículas que compõem o leito. F 
representa, portanto, a força de reação ao fluxo. 
 
L representa o comprimento do leito enquanto dp simboliza o diâmetro das partículas, 
ou o diâmetro médio, no caso de distribuição não uniforme de tamanhos. Sendo i e i+1 
duas peneiras consecutivas na série padrão, di e di+1 as aberturas correspondentes da 
malhas e Xi a fração de material retido entre as mesmas então o diâmetro médio pode 
ser avaliado como 
2/1
1ii
i
p )d.d(
X
d
1
+
∑= 
 
W é denominada “fração de vazios do leito” mas na realidade representa a fração do 
reator que seria ocupado pelo fluido; naturalmente a fração complementar é ocupada 
pelo sólido. Considere que Vp, VL e VV , representem o volume ocupado pelas partícu-
las, o volume total do leito (reator) e o volume de vazios, respectivamente. Então, 
 pVL VVV += 
e a fração de vazios (ou porosidade) pode ser calculada como: 
L
V
pV
V
V
V
VV
V
w =
+
= ou ainda 
L
p
V
V
1w −= ou 
L
p
V
V
w1 =− 
 
No dia a dia distinguem-se duas definições de massa específica. A massa específica 
verdadeira se relaciona à massa específica de uma partícula; se a partícula fosse 
constituída de um único mineral a massa específica verdadeira seria aquela encontra-
da em tabelas mineralógicas. Por outro lado, a massa específica a granel representa a 
massa específica aparente de um leito de partículas; leva em consideração o volume 
ocupado pelas partículas e o volume ocupado pelos “vazios”. A primeira pode ser fa-
cilmente determinada por em um picnômetro, a segunda medindo-se a massa das 
partículas contidas em um recipiente de volume conhecido. Portanto um balanço de 
conservação da massa de partículas pode facilmente interligar as duas definições de 
massa específicas. por exemplo, desde que Mp represente a massa de partículas do 
leito, por definição tem-se que: 
 
 
 
72 
 
p
p
partícula
L
p
granel V
M
,e
V
M
=ρ=ρ 
 
Logo, 
L
p
partícula
granel
V
V
=
ρ
ρ
 e então ( )w1partículagranel −ρ=ρ , o que parece ser uma relação con-
veniente, do ponto de vista da determinação da fração de vazios do leito. 
 
Pode-se ainda demonstrar que a porosidade ou a fração de vazios de um leito consti-
tuído de partículas uniformes e que guardem distribuição espacial fixa independe do 
tamanho das mesmas. Para tanto, considere-se um leito de dimensões L1, L2 e L3 , 
ocupado por partículas de diâmetro dp distribuídas de acordo com um arranjo cúbico 
simples. O número de partículas que pode ser acomodado ao longo da aresta de 
comprimento L1 é dado por L1/ dp e, de modo análogo, ao longo das arestas restantes, 
L2/ dp e L3/ dp. Então, sendo o volume das partículas no leito igual ao produto do volu-
me de uma partícula pelo número de partículas integrantes, 
 
p
3
p
2
p
1
3
p
p d
L
d
L
d
L
2
d
3
4V 






pi= 
e como o volume aparente do leito é o produto das arestas, VL = L1 L2 L3, resulta 
6
1
V
V
1w
L
P pi
−=−= . Deste resultado, mostra-se que a fração de vazios, em um leito de 
partículas esféricas uniformes, é independente das dimensões das mesmas, sendo 
função apenas da distribuição ou arranjo espacial daquelas. Mantida a distribuição 
espacial se deve creditar a maior dificuldade de percolação em leitos constituídos de 
partículas menores ao aumento da superfície específica e não à diminuição de porosi-
dade. 
 
Contudo, quando partículas de dimensões diferentes compõem o leito, a fração de 
vazios altera-se de acordo com a proporção relativa das mesmas. Pode-se observar, 
Figura 66, que quando da inserção de partículas de menores dimensões em uma es-
trutura espacial de partículas de maiores dimensões a fração de vazios do leito de-
cresce, uma vez que as partículas menores tendem a ocupar os espaços intersticiais 
da rede formada pelas partículas maiores. No entanto, quando as partículas menores 
passam a ser majoritárias, isto é, definidoras do arcabouço ou da rede, a fração de 
vazios eleva-se gradualmente. Valores maiores de fração de vazios podem ser alcan-
çados pelo carregamento, em separado, das partículas, em concordância com as di-
versas faixas granulométricas. 
 
O fator forma de uma dada partícula, λ, é definido como a razão entre a área da super-
fície da partícula que compõe o leito e a área da superfície de uma esfera de igual 
volume. 
 
 
 
73 
 
Figura 66: Fração resultante de vazios em mistura de partículas de dois tamanhos. 
 
Partículas não esféricas apresentam, comparativamente, maior área superficial, indi-
cando maior superfície de atrito e maior dificuldade de percolação pelo fluido; portanto 
maiores quedas de pressão. A Tabela XIV mostra valores de fator forma para alguns 
tipos de partículas. 
 
η simboliza a viscosidade dinâmica do fluido e Vo a velocidade em vazio. A distribui-
ção espacial de velocidades no interior da rede formada pelos poros entre as partícu-
las que compõem o leito é muito complexa para ser descrita com qualquer rigor. De 
qualquer modo o propósito da equação de Ergun é o de caracterizar os efeitos desta 
distribuição em termos de parâmetros macroscópicos; daí a introdução de um valor 
médio de velocidade, o qual seria observado se o reator estivesse vazio. Portanto Vo 
= Q/A onde Q representa a vazão volumétrica e A representa a área de seção reta do 
reator. 
 
Finalmente, ρ representa a massa específica do fluido. 
 
 
Tabela XIV: Exemplo de valores de fator de forma 
Substancia Tipo de técnica Fator de 
 forma, 
λ 
Substancia Tipo de técni-
ca 
Fator de 
 forma, 
λ 
Areia (jigada) Permeabilidade 1,68 Pó de Tungste-
nio 
Metalografia 1,12 
Areia (quase esféri-
ca) 
Permeabilidade 1,15 Esferas de Co-
bre 
Sedimentação 1,00 
Areia (angular) Permeabilidade 1,49 Areia Sedimentação 1,59 
Areia (flocos) Permeabilidade 2,54 Carvão Sedimentação 1,72 
Areia (arredondada) Metalografia 1,24 Silimanita Sedimentação1,72 
Carvão (pulverizado) Metalografia 1,54 Calcário Sedimentação 2,20 
Carvão (pulverized) Metalografia 1,37 Grafite em pó Sedimentação 7,96 
Pó de carvão (até 
3/8) 
Metalografia 1,54 Minérios moídos 
 e peneirados 
 1,75 
 
 
 
 
74 
O primeiro termo do segundo membro da equação de Ergun, o qual é função da visco-
sidade, costuma ser denominado de contribuição de natureza viscosa à queda de 
pressão. Por outro lado, o segundo termo, função do quadrado da velocidade costuma 
ser relacionado a uma contribuição turbulenta (inercial) à queda de pressão. Esquema-
ticamente: 
turbulentaacosvistotal L
P
L
P
L
P



∆
+


∆
=


∆
 ou 
( ) ( ) 2p2p1 Vd,w,,fVd,w,,fLP λρ+λη=∆ 
de modo que é fácil notar que a contribuição turbulenta adquire peso relativo crescente 
com o aumento da velocidade ou vazão de fluido. Como sugere a Figura 67, seria 
possível identificar faixas de velocidade específicas nas quais haveria predominância 
da contribuição viscosa (baixas velocidades, fluxo quase laminar, equação de Darcy) 
ou predominância da contribuição turbulenta ou inercial (altas velocidades). 
 
 
 
Figura 67: Importância relativa dos termos da equação de Ergun. 
 
A equação de Ergun, na sua forma original, se aplica a fluido incompressível e em 
regime isotérmico, de modo que a viscosidade e massa específica do mesmo são 
consideradas constantes ao longo de todo o leito. Em geral os valores de propriedade 
do fluido (viscosidade e massa específica) bem como os valores de propriedades do 
leito (porosidade, fator forma e dimensões das partículas), podem sofrer variações ao 
longo do mesmo, como exemplificado na figura 68. Neste caso pode ser recomendável 
utilizar a equação de Ergun na forma infinitesimal: 
 
( ) ( ) 2
323
22 175,11150
o
p
o
p
V
dw
wV
dw
w
dz
dP ρληλ −
+
−
=± 
 
 
 
75 
 
Figura 68: o caso geral, em que propriedades do fluido e do leito variam. 
 
Exemplo: considere o caso simplificado, de fluxo isotérmico, de fluido compressível 
(gás ideal) através de um leito de propriedades constantes. Com base na figura 68 a 
equação de Ergun se escreve 
( ) ( ) 2
323
22 175,11150
o
p
o
p
V
dw
wV
dw
w
dz
dP ρληλ −
+
−
=− 
 
Assumindo regime permanente e que a vazão mássica seja a mesma ao longo do lei-
to, o que supõe desprezar reações químicas que alterem a massa molecular média do 
gás ao longo da coluna de carga, se pode escrever 
oVAG ⋅⋅ρ= Vazão mássica, [Kg/s] ; ρ⋅= AGVo / (m/s) 
Em se tratando de gás ideal, 
RT
MP ⋅
=ρ 
onde R representa a constante dos gases ideais e M a massa molecular média do gás. 
 
Então vem PG
MA
RTVo /= e a equação que fornece a queda de pressão se torna 
( ) ( ) 2
323
22 175,11150
o
p
o
p
V
dw
wV
dw
w
dz
dP ρληλ −
+
−
=− 
( ) ( ) 2
323
22
}/{175,1/1150 PG
MA
RT
d
RT
MP
w
wPG
MA
RT
dw
w
dz
dP
pp
⋅
−
+
−
=−
ληλ
 
 
( ) ( ) PG
dMA
RT
w
wPG
MA
RT
dw
w
dz
dP
pp
/175,1/1150 22323
22 ληλ −
+
−
=− 
 
 
 
76 
( ) ( ) 2
2323
22 175,11150 G
dMA
RT
w
wG
MA
RT
dw
w
dz
dPP
pp
ληλ −
+
−
=− 
Esta equação pode ser integrada, considerando as condições de contorno: 
Z = 0 P = Po ; z=L P = PL 
 
( ) ( ) LG
dMA
RT
w
wLG
MA
RT
dw
wPP
pp
Lo 2
2323
2222 175,11150
2
ληλ −
+
−
=
−
 
 
Exemplo: Ao longo da coluna de carga de um alto forno podem ser identificadas vari-
ações de pressão e temperatura inerentes ao processo, bem com distribuições não 
uniformes das várias propriedades do leito. Como citado, em geral, as várias matérias 
primas são carregadas na forma estratificada, para minimizar a queda de pressão. A 
viscosidade e a massa específica do gás variam também porque a composição do 
mesmo muda ao longo da coluna de carga, em função das reações químicas, como 
redução, calcinação, secagem, etc. Controlar a queda de pressão no leito é essencial 
para evitar engaiolamentos seguidos de arriamentos. Num alto forno bem operado, 
com zona de reserva química bem desenvolvida, existe uma relação quase linear en-
tre quantidade de ar soprado, quantidade de gás redutor gerado, quantidade de mate-
rial aquecido e reduzido, produtividade do forno; de novo a queda de pressão se apre-
senta como limitadora do rendimento da operação. Assumindo que a equação de Er-
gun seja diretamente aplicável a este caso, cálculos a partir de valores operacionais 
típicos indicariam que contribuição turbulenta seria predominante; de fato cita-se (Bis-
was) para o cálculo da queda de pressão na cuba de um alto forno 
( ) 7,1~
p
3 Qdw
w175,1
L
P ρλ−
=
∆
 
Assumindo, portanto, predominância do termo inercial, que a porção majoritária da 
cuba (e logo da queda de pressão) seja isotérmica e com temperatura igual à tempera-
tura da zona de reserva térmica, que os valores de propriedades do leito possam ser 
substituídos por valores médios significativos, que os gases possam ser considerados 
ideais e que a vazão mássica de gás seja constante se pode escrever: 
( ) 2
o
p
3 Vdw
w175,1
dz
dP ρλ−
−= Ergun, na forma infinitesimal, [Pa/m]; 
ZRTRT
MP ⋅
=ρ Lei do gás ideal, [Kg/m3]; 
oVAG ⋅⋅ρ= Vazão mássica, [Kg/s] 
isto é 
( ) ( ) ( )
PdAM
GRT
w
w
dA
G
w
w
dA
VA
w
w
dz
dP
p
ZRT
pp
o 1175,1175,1175,1
2
2
32
2
32
222
3
λ
ρ
λ
ρ
ρλ −
=
−
=
−
−= . 
Todas a suposições citadas anteriormente são criticáveis. Entretanto permitem um 
tratamento analítico, ainda que aproximado, que fornece a queda de pressão na cuba 
do alto forno e permite definir um índice de permeabilidade do leito, 
 
( ) 2ZRT
p
23
Lo
Lo
2
L
2
o G
M
RT
dAw
w175,1
2
PP)PP(
L2
PP λ−
=
+
−=
−
 queda de pressão; 
( ) λ−= w175,1
dAw
K
p
23
p índice de permeabilidade. 
 
 
 
77 
Quanto maior a permeabilidade do leito menor a queda de pressão. A queda de pres-
são cresce com o quadrado da vazão de ar. Tal fato mostra a sensibilidade do forno, 
em termos de engaiolamento, à taxa de sopro. A mesma queda de pressão pode ser 
mantida para maiores taxas de sopro, pelo controle (aumento) da permeabilidade do 
leito, isto é valores maiores de Kp,. Estes poderiam ser alcançados com menor fator 
forma das partículas (pelotas, granulados), com maior tamanho das partículas e maior 
porosidade do leito (carregamento em separado, em faixas granulométricas estreitas). 
A queda de pressão decresce (e portanto a possibilidade de engaiolamento) quando 
aumenta a pressão média no forno; esta última conclusão fornece a fundamentação 
científica para o emprego de tecnologias capazes de sobre-pressurizar o AF, como o 
“Bell less top” (topo sem sino, Paul Wurth) e o topo com vários sinos. 
 
 
Exemplo: Alguns parâmetros operacionais de um alto forno de fabricação de gusa são 
como segue: 
Leito de fusão: massa especifica granel diâmetro massa: 
Coque 500 kg/m3 5 cm 450 Kg/ton 
Minério 2000 Kg/m3 1,5 cm 1600 Kg/ton 
Produção diária 3800 t/dia; vazão de gás na cuba 1700 Nm3/t; pressão de topo 3,5 
atm; viscosidade do gás de cuba 0,04 cP; diâmetro médio da cuba 7,9 m; altura da 
cuba 17 m; carga alternada coque/minério sendo altura da camada de coque 0,6 m; 
fração de vazios 0,4. 
Estime: 1- massa e volume de cada camada de coque; 2- massa, volume e espessura 
da camada de minério; 3- O numero de camadas de coque e minério necessárias ao 
enchimento da cuba; 4- a relação entre a massa específica do gás de cuba, de com-
posição média 25% CO, 20% CO2, e 55% N2 e a pressão, considerando temperatura 
constante e igual a 1000 C; 5- a queda de pressão na cuba assumindo que a contribu-
ição turbulenta seja dominante e que o gás seja compressível; 6- Verifique se a queda 
de pressão na cuba seria grandemente afetada pela injeção de carvão mineral pelas 
ventaneiras. Neste caso a uma taxa de injeção de 140 Kg/t o coque carregado no topo 
equivale a 330 Kg/t. Assuma que a espessura da camada de coque permanece a 
mesma. 
 
Exemplo: Um reator de 15 m de altura e 6 m de diâmetro se encontra preenchido por 
pelotas de um óxido metálico, de diâmetro igual a 3 mm. Gásredu-
tor(COMPRESSÍVEL) é injetado através do leito, de porosidade igual a 0,4 , apresen-
tando vazão de 195 Kg/s. Assuma que se possa considerar : 1- como propriedades do 
gás, 4,3 x 10 -5 Pa.s e 0,5 Kg/m3 , viscosidade e massa específica na entrada do rea-
tor, respectivamente ; 2- pressão de gás na entrada do reator 1,4 x 105 Pa . Estime: a- 
a pressão na saída do reator ; b - a contribuição percentual da parcela turbulenta ; c - 
o efeito de um aumento de 10% em diâmetro da partícula sobre a porosidade e queda 
de pressão no leito. Utilize a equação de Ergun 
( ) ( ) 2
323
22 175,11150
o
p
o
p
V
dw
wV
dw
w
dz
dP ρληλ −
+
−
=± 
Exemplo: Num reator de leito fixo (4,5 m de diâmetro, 18 m de altura) pelotas do óxido 
A formam uma coluna central com diâmetro de 3,0 m, enquanto pelotas do óxido B 
preenchem o anel entre o óxido A e as paredes do reator, Figura 69. As pressões na 
saída e entrada do reator são, respectivamente, 6.9 x 104 Pa e 1.72 x105 Pa. Estime a 
fração de gás que atravessa a coluna central, assumindo comportamento ideal do gás, 
temperatura uniforme, condições prevalentemente turbulentas e 
 
 
 
78 
 
Figura 69 : leito misto, de partículas A e B. 
 
Exemplo: Um forno de cuba (figura 70, 6 m de altura e 1,5 m de diâmetro) é utilizado 
para reduzir pelotas de hematita (5 g/cm3) por um gás (35% CO, 65%N2, 950°C). A 
massa de pelotas no forno é de 34000 kg, de partículas com 2,5 cm de diâmetro. Es-
time a vazão de gás, sabendo-se que a pressão de sopro vale 3,5 atm e a de topo 1,2 
atm, sendo o gás compressível. 
Assumindo que se possa considerar: 
• sistema isotérmico, 950°C, suposição razoável se h ouver um balanço entre a 
exotermia das reações e perdas térmicas; 
• que a vazão mássica do gás através do leito se conserva constante, o que ob-
viamente é discutível por ser objetivo do reator promover reações como: 
CO + O = CO2 
 28 g/mol pelota 44 g/mol 
 
se pode encontrar uma solução analítica para o cálculo da vazão, Figura 56. 
 
Figura 70: Fluxo isotérmico de um gás através de um leito fixo. 
 
Se a parcela de contribuição turbulenta for dominante então 
 
 
 
79 
( ) 2
p
23
2
L
2
o G
M
RT
dAw
w175,1
L2
PP λ−
=
−
 
o que permite calcular G a partir de: 
( ) ( ) ( )
323
22525
w.025,0.5,1.
4
.1028
6.G.1223.31,8.w175,110013,12,110013,1x5,3
2
1
pi
×
−
=


 ××−×
−
 
desde que a fração de vazios pode ser estimada considerando-se, por definição: 
]m[6.5,1.
4
]m/kg[5000
]kg[34000
111w
32
3
pi
−=−=−=
Leito do Volume
a VerdadeirEspecífica Massa
Partículas de Massa
Leito do Volume
Partículas de Volume
 
 
Fluidização: 
Como indica a equação de Ergun, a queda de pressão através do leito aumenta com o 
aumento de vazão do fluido através do mesmo, 
 
2
00cos VkVkL
P
turbulentoavis +=
∆
 
 
de modo que, eventualmente, pode ser atingida uma vazão (velocidade) para o qual 
se atinge o equilíbrio de forças, Figura 71, 
 
eraçãompuxoeso FEP int0 ++= 
 
Figura 71: Condição de flutuação do leito 
 
Neste ponto o leito atinge o estado de fluidização, ao qual corresponde a uma veloci-
dade crítica Vmf, tal que 
V0 < Vmf → Leito fixo 
V0 ≥ Vmf → Leito fluidizado 
 
É fácil argumentar que quando a velocidade do fluido supera o valor crítico, Vmf, se 
observa expansão do leito, mas não necessariamente a expulsão do mesmo de dentro 
do recipiente. A experiência na qual se flutua uma bola de ping-pong em um funil ilus-
tra bem o caso: o aumento da vazão faz com que a bola seja deslocada para uma cota 
superior mas a mesma não é expelida do funil; ao se posicionar em cota superior o 
anel correspondente à área de seção reta de fluxo, entre a bola e as paredes do funil 
aumenta, de modo que a velocidade relativa se mantém praticamente constante, Figu-
ra 72. 
 
 
 
 
80 
Este mesmo fenômeno ocorre em um leito em estado de fluidização. O aumento da 
vazão faz com que o espaçamento médio entre as partículas aumente; em conse-
quência o próprio leito se expande, mas a queda de pressão no leito expandido per-
manece constante e igual à diferença entre peso e empuxo. Existem duas restrições a 
serem atendidas: o reator deve ser longo o suficiente para acomodar o leito em ex-
pansão; o valor da velocidade de arraste ou velocidade de elutriação não deve ser 
excedido. 
 
Considerando uma expansão a ocorrer no interior de um reator de seção reta constan-
te, um balanço de conservação de massa das partículas fornece ( ) ( )00 w1Lw1L −=− . 
Aqui Lo e wo representam, respectivamente, a altura e a fração de vazios do leito fixo 
que deu origem ao leito fluidizado, enquanto L e w representam as mesmas caracterís-
ticas de um leito genérico, fluidizado. 
 
Observa-se, experimentalmente, que a fração de vazios do leito na situação de fluidi-
zação incipiente, isto é quando o valor de velocidade se iguala ao valor da velocidade 
mínima de fluidização, Vmf , não é igual à fração de vazios do leito fixo. Portanto, modo 
geral, ( ) ( ) ( )00mfmf w1Lw1Lw1L −=−=− onde omf www ≠≠ e a equação de Ergun po-
deria ser utilizada para estimar a velocidade mínima de fluidização na forma ( ) ( )
gw
wd
w
V
wd
w
V
L
P
partículamf
mfp
mf
mf
mfp
mf
mf
mf
)()1(175,11150 )3232
22
ρρ
λ
ρ
λ
η −−=
−
+
−
=




 ∆
 
 
Note-se que, tal como Vmf, wmf também não é conhecido. Apenas a título de aproxi-
mação se emprega a equação anterior, com wmf = wo. 
 
 
 
 
 
81 
 
Figura 72: Expansão de um leito fluidizado com o aumento da vazão. 
 
Entretanto, análise de dados experimentais referentes a condições diversas de fluidi-
zação permitiram a WEN e YU propor as relações seguintes, para a condição de imi-
nente fluidização: ( )
11
1
3
2
=
−
mf
mf
w
w λ
 e 143 =
mfw
λ
 
Daí a equação ( ) ( )
gw
wd
w
V
wd
w
V
L
P
partículamf
mfp
mf
mf
mfp
mf
mf
mf
)()1(175,11150 )3232
22
ρρ
λ
ρ
λ
η −−=
−
+
−
=




 ∆
 
se escreve 
( ) ( )
gw
d
w
V
d
w
V partículamf
p
mf
mf
p
mf
mf )()1(
141
75,1
111
150 )22 ρρρη −−=
−
+
−
 
Então se propõe: 
 
1. Condição de iminente fluidização, determinação de Vmf 
 ( ) 2
1
2
1
ae 1134G0408,01134R −×+= 
2. Para todo e qualquer leito fluidizado, inclusive na condição de iminente fluidiza-
ção: 
 
687,17,4 Re70,2Re18 +=⋅ aGw 
onde Re representa o adimensional de Reynolds, 
η
ρ⋅ V.d p e Ga o adimensional de Gali-
leu 
( )
2
Partícula
3
p gd
η
ρ⋅ρ−ρ⋅
. 
Exemplo: Estime Vmf correspondente a um leito de partículas esféricas de Alumina 
(ρAl2O3 = 3990 kg/m3; dp = 1 x 10-3 m). A fluidização deve ser realizada por fluxo de ar (ρ 
= 1,177 kg/m3, η = 1,85 x 10-5 Pa .s). 
Neste caso se tem 
( ) ( ) ( )
( )
5
25
33
2
a
3
p 10346,1
1085,1
81,9177,1177,1399010gdGa ×=
×
×⋅−⋅
=
η
ρρ−ρ
=
−
−
 
o que fornece ( ) 7,471134G048,01134R 2
1
2
1
ae =−+= . 
 
 
 
82 
Sendo 7,47
1085,1
V177,110Vd
Re 5
mf
3
p
=
×
⋅×
=
η
⋅ρ⋅
=
−
−
vem Vmf = 0,75 m/s. 
A fração de vazios nos vários estágios do leito fluidizado pode ser estimada 
a partir da relação 687,1a47,0 Re7,2Re18Gw +=⋅ , vide Tabela XV. 
Tabela XV: Fração de vazios de um leito fluidizado, em função da velocidade 
V(m/s) Re = dp.ρ.V / η w 
0,15 47,7 0,43 
2 127 0,60 
4 255 0,75 
6 382 0,87 
8 509 0,96 
10 639 ≅1 
 
Exemplo: Qual a velocidade para a qual o grau de expansão é igual a 3? 
 
Exemplo: Produz-se ferro esponja em leito fluidizado, através da redução de Fe2O3 
(0,5mm de diâmetro, 5000 Kg/m3, leito original com w = 0,4) a 1000 K e 1 atm, por um 
gás constituído de 50% CO, 50% H2, η= 2x10-5 Pa.s. Determine: i- ∆P na eminência de 
fluidização e num leito com 70% de expansão ; ii- Vmf ; iii- V elutriação . 
 
Exemplo: se a altura inicial do leito é de 0,7 m e a altura útil do forno igual a 2,5 m, 
qual a velocidade máxima de operação? 
 
Exemplo: Clora-se Rutilo em reator de leito fluidizado. Uma análise granulométrica do 
minério indica a presença de partículas com diâmetros nas faixas:106/150 µm (78%) e 
75/106 µm. Encontre a velocidade mínima de fluidização. Estime a fração de vazios no 
leito quando a velocidade de operação é o triplo da velocidade de iminente fluidização. 
Estime o grau de expansão do leito. Considere = 3 x 10 -5 Pa.s ; = 0,287 Kg/m3 ; sρ 
= 3,8 g/cm3 
 
Exemplo: Partículas úmidas (7000 [kg/m3]) de hematita (50 [�m] de raio) são carre-
gadas em um leito fluidizado (nitrogênio a 900 oC, 0,295 [kg/m3], 2,2 x 10-5 [Pa.s]) para 
fins de secagem. A velocidade do gás é mantida em 1,5 [m/s]. Nestas condições a 
curva de secagem é dada por ρ
 h = 5250 + (7000 – 5250) e – kt [kg/m3], onde k alcan-
ça o valor de 2,59 x 10 –3 [s-1] e t representa o tempo de permanência no reator, em 
segundos. Depois de quanto tempo partículas de hematita começarão a ser expelidas 
do forno? 
 
Exemplo: Considere um leito constituído de partículas de tamanho uniforme, porém 
em duas fases: SiO2 , 3000 kg/m3 e Hematita, 5200 kg/m3. Nas seções anteriores fo-
ram sugeridos métodos de cálculo dos valores de Velocidade de Elutriação (ou veloci-
dade de arraste), Velut, e de Velocidade Mínima de Fluidização, Vmf. As partículas mais 
densas são mais difíceis de fluidizar e mais difíceis de elutriar, de modo que pode ser 
esquematizada a relação mostrada na Figura 73. 
 
 
 
 
83 
 
Figura 73: Condição de fluidização e elutriação de partículas de sílica e hematita, de 
mesmo diâmetro. 
 
Podem ser consideradas várias situações em termos de velocidade operacional do 
fluido, opV : 
1 - Leito fixo, quando a velocidade operacional é inferior a ambos os valores de 
velocidade mínima de fluidização, HematitamfopSilicamfop VVeVV 〈〈 
2 - Fluidização parcial, quando a velocidade operacional excede a velocidade de 
fluidização da sílica mas é inferior à velocidade de fluidização da hematita, 
Hematita
mfop
Silica
mfop VVeVV 〈〉 . O aspecto macroscópico do leito depende da pro-
porção relativa entre os constituintes do leito, se assemelhando ao comporta-
mento que teria a porção em maior fração volumétrica. 
3 - Leito fluidizado, quando ambos os valores de velocidade de fluidização são 
excedidos, mas não se atinge capacidade de arraste, HematitamfopSilicamfop VVeVV 〉〉 
4 – A velocidade do fluido é tal que se torna possível elutriar as particulas menos 
densas enquanto as mais densas permanecem em estado de fluidização, 
Hematita
mfop
Silica
Elutop VVeVV >〉 . 
 
A experiência mostra que, em leitos fluidizados, as partículas que apresentam veloci-
dade terminal, TV , menor que a velocidade em vazio, opV , não são elutriadas imedia-
tamente. As observações permitem assemelhar o movimento das partículas do leito 
fluidizado ao das moléculas de um gás, isto é, choques múltiplos e aparente erratici-
dade, Figura 74. 
 
Então a interação (choques) entre partículas impede que a porção arrastável seja ime-
diatamente expulsa do aparelho. Se propõe escrever: 
tK Ee
E
E
⋅−
=
0
 
 
onde representam 
0E
E
, a fração RESIDUAL de partículas ELUTRIÁVEIS no leito; t, o 
tempo; KE , a constante de elutriação, objeto de determinação experimental. 
 
 
 
 
84 
 
Figura 74: Partículas de Hematita(H) e Sílica (S), em movimento aparentemente erráti-
co, em um leito fluidizado. 
 
Esta formulação seria válida para leitos constituídos de duas frações granulométricas, 
sendo a menor inferior a 0,2. Neste caso kE pode ser obtido a partir do gráfico exposto 
na Figura 61 (Kuni & Levenspiel). 
 
 
Figura 74: Curva experimental para constante de elutriação. 
 
Neste gráfico as variáveis apresentam os significados seguintes: pd , o diâmetro das 
partículas passíveis de elutriação, i.e., da classe de partículas para as quais TV < opV ; 
TV , a velocidade terminal das partículas elutriáveis pelo gás; opV , a velocidade em 
vazio do gás no reator, velocidade de operação; ρ , a massa específica do gás; η , a 
 
 
 
85 
viscosidade do gás; bm , a massa inicial do leito, i.e., a massa total; A , a área da se-
ção reta do leito; g , a aceleração da gravidade. 
 
Exemplo: Estime a velocidade de elutriação de partículas de hematita, reduzidas 
em leito fluidizado por ação de um fluxo constante de hidrogênio, que opera sob velo-
cidade de 2,0 m/s em um leito de 1 m de diâmetro. Dados complementares seriam: 
Temperatura = 900 0C; Viscosidade do gás = 2,2 x 10-5 Pa.s; Massa específica do gás 
= 2,05 x 10-2 kg/m3; Massa específica da hematita = 5,25 x 103 kg/m3; Raio da partícula 
da fração elutriável = 50 µm; Massa inicial do leito = 3000 kg. 
 
O primeiro passo consiste em verificar se as partículas de raio 50 µm seriam de fato 
elutriáveis. Assumindo que seja válida a lei de Stokes, pdF piη3gás / partícula = , um balan-
ço de forças para a condição de iminente elutriação, fornece: 
 
 
( )
η
ρρ g
2
d
9
2V p
2
p
T −





= 
 ( ) ( )
s
m30,1
102,2
81,91005,21025,5102
9
2V 5
2325
T =
×
×−××=
−
−−
 
 
Por outro lado a este valor de TV corresponde um número de Reynolds, 
 
η
ρTp Vd
Re = = ( ) 121,0
102,2
1005,230,11052
5
25
=
×
×××××
−
−−
 
o que confirma a validade da lei de Stokes (caso contrário uma formulação mais geral, 
em termos de fator de fricção deveria ser adotada ) e, adicionalmente, que as partícu-
las em questão seriam de fato elutriáveis. 
 
Ao valor da abcissa, Re, igual a 0,121, corresponde um valor de ordenada de 1,21 x 
10-3, portanto: 
( )2top
2
pB
E VV
gd
A
mk
−






η
 = 
31021,1 −× 
 
( )
( )
3
25
25
2E 1021,13,10,2102,2
105281,9
4
1
3000k −
−
−
×=
−×
××












⋅pi
 
o que resulta kE ≅ 3,48 x 10-5 s-1. Então, por exemplo, após 1800 s de operação, en-
contra-se que 94,0
0
≅= − tkt Ee
E
E