Funções Lógicas e Portas Lógicas

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Tema 1. FUNÇÕES LÓGICAS E PORTAS LÓGICAS
1.2 FUNÇÕES XOR E XNOR 
1.3 CONVERSÃO ENTRE EXPRESSÕES BOOLEANAS E CIRCUITOS LÓGICOS
SituaçãoProblema: 
Quando um computador realiza operações matemáticas, ele está utilizando
milhares de portas lógicas na unidade lógica e aritmética. Mas, como essas
portas lógicas são organizadas para realizar operações lógicas e matemáticas?
Para chegarmos a esta resposta nesta disciplina, primeiro é preciso entender
que, nos sistemas digitais, essas são operações lógicas booleanas. As
operações e expressões booleanas são básicas para realizarmos funções
matemáticas em sistemas digitais com a álgebra booleana. Então temos a
pergunta: como as expressões e operações booleanas se relacionam com os
circuitos lógicos simples que vimos na primeira aula?
Função XOR
• Função OU exclusivo - A saída vai para 
“1” se somente uma das entradas é “1”
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
S= 1
A 
B
S = A + B
A 
B
S
Função XOR
S = A + B = AB + AB
A B AB AB S
0 0 0 0 0
0 1 0 1 1
1 0 1 0 1
1 1 0 0 0
Função XNOR
• Para a porta XNOR, teremos o resultado 1 somente 
quando as 2 entradas forem iguais (exatamente o 
inverso da XOR)! 
A B S
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
S= 1
A 
B
S = A + B
A 
B
S
Função XOR
S = A + B = AB + AB
A B AB AB S
0 0 0 1 1
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
1 1 1 0 1
Histórico e Propriedades
• Formalizada por George Boole em 1854
• Usada por Shannon em 1938 para provar propriedades de 
circuitos de chaveamento
Conjunto de 
elementos
{0, 1}
Operadores 
lógicos
E (.),
OU (+) e
complemento (¯)
Axiomas e 
propriedades
idempotência, 
comutatividade, 
associatividade, 
distributividade
Variáveis 
Booleanas
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A, B, C, ...
Operações Básicas
Operação OU (“adição lógica” - OR)
Regra:
Resultado é 1 se ao menos uma das variáveis de entrada valer 1
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A B A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A B C A+B+C
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
Operações Básicas
Operação E (“multiplicação lógica” - AND)
Regra:
Resultado é 0 se ao menos uma das variáveis de entrada valer 0
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A B AB
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
A B C ABC
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
Operações Básicas
Complementação (ou negação ou inversão - NOT)
é um operador unário (i.e., só é aplicável a uma variável por vez)
A A
0 1
1 0
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Expressões Booleanas
Variáveis, operadores e constantes podem ser 
combinadas para formar Expressões Booleanas.
Exemplos:
A.B + A.C 
A+B.C
A.B + B.C
A.C.D + B.A
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Expressões Booleanas (cont.)
Podem ser usados parênteses em expressões booleanas. Tanto para alterar a precedência natural 
quanto para deixar uma expressão mais legível.
Exemplos:
(A+B).C (A+B) . (B+C)
O operador de multiplicação lógica (.) pode ser omitido: AB + AC A+BC
Expressões e Funções Booleanas
A ordem de precedência natural dos operadores 
é a seguinte:
1. Parênteses
2. Complementação (negação)
3. Multiplicação Lógica
4. Soma Lógica
Funções Booleanas são criadas se atribuindo uma 
expressão booleana a um identificador de função 
F, G, H, ...:
F = A.B + A.C
G = (A+B) . (B+C)
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Avaliação de Expressões Booleanas
1. Criar colunas para as variáveis de entrada e listar 
todas as combinações possíveis, utilizando a fórmula:
Número de combinações = 2n
(onde n é o número de variáveis de entrada)
2. Criar uma coluna para cada variável de entrada 
que apareça complementada na equação e anotar 
os valores resultantes
3. Avaliar a equação seguindo a ordem de precedência, 
a partir do nível de parênteses mais interno
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Propriedades da Álgebra Booleana
Seja A uma variável Booleana.
Então:
Se A ≠ 0  A = 1 
Se A ≠ 1  A = 0
(espaço de uma variável Booleana)
Propriedade das Variáveis Booleanas
Propriedades da Álgebra Booleana
Propriedades da adição lógica
(1)
(2)
(3)
(4)
A+ 0 =A 
A+1 = 1
A + A =A
A+ A = 1
(5)
(6)
(7)
(8)
A 0 = 0
A1 = A
A A =A
A A = 0
Propriedades da multiplicação lógica
Propriedade da 
complementação
(9) A =A
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Propriedades da Álgebra Booleana
Propriedade comutativa
(10)
(11)
A+B = B+ A
A B =B A
Propriedade associativa
(12)
(13)
A+(B+ C) =(A+ B)+ C = (A+ C)+ B
A (BC) = (A B) C= (AC) B
Propriedade distributiva
(14)
(15)
A+ BC = (A+ B).(A+C)
A  (B + C) = A B + A C
Exercícios
1. Transforme as expressões booleanas abaixo em 
circuitos lógicos. 
a)(a + b + c)(b + c)(a + c) 
b)wy + wxy + wxyz + wxz
c)(x + xyz + yzx + wx + wx + xy)
Exercícios
2. Ache a expressão na forma simbólica que define 
a função booleana dada pela tabela verdade 
abaixo.