SISTEMAS DIGITAIS

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SISTEMAS	DIGITAIS
UNIDADE 1 – SISTEMAS DE NUMERAÇA� O
Introdução
Olá, caro estudante! Seja bem-vindo à unidade 1 de Sistemas	Digitais. 
Aqui, abordaremos como são construı́dos os sistemas digitais, porém, para isso, vamos passar por alguns
pontos conceituais antes. Um desses pontos relaciona-se aos sistemas de numeração. Mas por que devemos
passar pelos sistemas de numeração? Bem, lembre-se de que os computadores manipulam somente números;
números para representar as instruções e números para representar as informações que serão processadas.
Temos, então, que abstrair a forma com que as informações numéricas são manipuladas. 
Avançando nossa abstração um pouco mais, para que possamos entender a manipulação, devemos saber
como os valores são representados, ou seja, o que são os sistemas de numeração. Será que existem apenas os
sistemas decimal e binário? Saiba, desde já, que não: existem vários outros sistemas de numeração, mas os
sistemas decimal e binário são, digamos, os principais.
Mas se o computador manipula apenas os sistemas binários, porque existem outros? Os sistemas de
numeração servem também para a nossa abstração e para facilitar a manipulação numérica em algumas
situações, as quais demandam representar os números de forma particular. Se o computador manipula
informações numéricas, existe alguma álgebra por trás disso? Sim, a manipulação de valores binários é regida
por uma álgebra denominada “álgebra booleana”.
Assim, para conversarmos sobre sistemas numéricos e álgebra booleana, esta unidade abordará, inicialmente,
os sistemas de numeração e a conversão entre eles. Veremos, ainda, algumas variações do sistema binário de
representação. Depois de averiguarmos os sistemas numéricos, enveredaremos pela álgebra booleana, suas
simbologias e teoremas.
Preparado para iniciar o caminho, abordando os sistemas de numeração? Então, vamos lá!
1.1 Conversão entre sistemas de numeração
Antes de iniciarmos nossa conversa sobre conversão entre sistemas de numeração, convém falarmos sobre o
que vem a ser um sistema de numeração e quais são os principais, do ponto de vista computacional. De
acordo com (TOCCI; WIDMER; MOSS, 2018), os sistemas numéricos mais comuns, sob o ponto de vista
computacional, são: decimal; hexadecimal; octal; e binário. E o que eles têm em comum? E� o que você saberá a
seguir, com a leitura deste tópico. 
1.1.1 Sistemas de numeração
Sistemas de numeração representam como um valor numérico é formalizado, ou seja, representa as regras
para a representação de um número. Assim, retomando: o que os sistemas decimal, hexadecimal, octal e
binário têm em comum é que todos eles podem ser fatorados. Por exemplo, caso tenhamos um número “Q” de
quatro dı́gitos representado por meio de uma base hipotética qualquer denominada B, esse número poderia
ser decomposto nos seguintes fatores:
Q * B + Q * B + Q * B + Q * B
Sendo Q o dı́gito mais signi�icativo e, consequentemente, Q o dı́gito menos signi�icativo. Para �icar mais
claro, vamos supor um número de quatro dı́gitos na forma decimal de representação:
3546 = 3 * 10 + 5 * 10 + 4 * 10 + 6 * 10
3
3
2
2
1
1
0
0
3 0
3 2 1 0
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Realce
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Citando o exemplo acima de decomposição de um número, acabamos de mencionar a “base	decimal”. Tenha
em mente que a base decimal é a base que estamos acostumados a manipular em nosso cotidiano. Iniciando a
nossa conversa pela base decimal, �ica mais fácil abstrair dois conceitos: os sı́mbolos admissı́veis e sua
quantidade. 
Os computadores não são e�icientes para manipular valores na base decimal em função de sua forma de
implementação, que é baseada em sistemas lógicos digitais. Em função de sua estrutura eletrônica, em que se
admite apenas dois valores possı́veis de seus sinais internos, utiliza-se a “base	binária”. 
E o que vem a ser sinais internos? Chamamos de “sinais internos”, no caso dos circuitos eletrônicos, os
valores que trafegam nos �ios e componentes eletrônicos que compõem o computador. Esses valores são
vinculados às voltagens aplicadas sobre uma determinada parte do circuito. Geralmente, podemos associar a
presença de tensão elétrica positiva como “nı́vel lógico 1”, e a ausência de tensão elétrica como “nı́vel lógico
0”. A �igura a seguir ilustra esses dois nı́veis. Observe!
Na �igura, a lâmpada representa um dı́gito de um valor binário — o chamado “bit” (Binary	digIT, ou dı́gito
binário). Em tal situação, a lâmpada estará representando o nı́vel “1” quando estiver acesa ou o nı́vel “0”
quando apagada. Assim, temos (clique para ler):
quantidade de sı́mbolos admissı́veis: 2.
sı́mbolos admissı́veis: 0, 1.
Quantidad
e	de
símbolos
admissíve
is	
A quantidade de sı́mbolos que podemos usar em cada dı́gito é derivado do próprio
nome da base. Na base decimal, por exemplo, podemos representar um dı́gito com
um dos 10 sı́mbolos (ou valores) possı́veis 
Símbolos
admissíve
is	
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 
Figura 1 - Analogia dos nı́veis lógicos “0” e “1” com a tensão inserida em uma lâmpada. Lâmpada acesa
denota que está recebendo o nı́vel “1”, ao passo que se estiver apagada, o nı́vel lógico “0”.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
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Sinais Internos - Definição 
gilso
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Podemos falar que um número binário é formado por vários bits. O conjunto de bits, chamamos de “palavra”.
Por exemplo, uma palavra de 8 bits tem o tamanho (ou largura) de 1 byte. Mas, então, podemos realizar a
decomposição sobre um valor escrito em binário? A base binária não foge à regra de decomposição em
fatores. Por exemplo, supondo o valor binário 1101 , temos:
1101 = 1 * 2 + 1 * 2 + 0 * 2 + 1 * 2
Entendemos o que é um sistema de numeração, mas como realizar a conversão entre valores representados
por bases numéricas distintas? Isso é o que veremos a seguir.
1.1.2 Conversão entre bases numéricas
Acabamos de falar sobre a decomposição de um valor na base binária. Retomando o exemplo:
1101 = 1 * 2 + 1 * 2 + 0 * 2 + 1 * 2
O que podemos abstrair dessa decomposição? Inicialmente, podemos usar os valores de 2 para de�inir o
nome dessa representação binária: BCD8421. O nome “BCD” signi�ica “decimal codi�icado em binário”
(binary-coded	decimal). O valor 8421 é obtido pelas exponenciações (2 = 8 ; 2 = 4 ; 2 = 2 ; 2 = 1). 
Voltando à decomposição acima, podemos realizar outra abstração: qual é o resultado obtido se realizarmos a
soma ”1 * 2 + 1 * 2 + 0 * 2 + 1 * 2 ”? O resultado da expressão é 13. Então, podemos falar que:
1101 = 13
Esse processo pode ser aplicado para qualquer base de numeração quando desejamos transformar o número
expresso em base decimal. Para demonstrar isso, vamos falar sobre dois outros sistemas de numeração: o
sistema hexadecimal e o sistema octal. O sistema hexadecimal é muito utilizado pelos programadores e
projetistas de sistemas computacionais por representar um número de forma mais condensada em relação ao
sistema decimal ou ao sistema binário de representação numérica.
Quantidade de sı́mbolos admissı́veis: 16.
(2)
(2)
3 2 1 0
(2)
3 2 1 0
n
3 2 1 0
VOCÊ QUER LER?
Existem outras formas de representação numérica usando sistema binário. Para se
adequar a outras aplicações ou circunstâncias, um valor numérico pode ser
representado de formas distintas por meio de outros sistemas de representação
binários. Para saber mais sobre o assunto, acesse o link:
https://wiki.sj.ifsc.edu.br/wiki/index.php/DIG222802_AULA07
(https://wiki.sj.ifsc.edu.br/wiki/index.php/DIG222802_AULA07).
3 2 1 0
(2) (10)
•
https://wiki.sj.ifsc.edu.br/wiki/index.php/DIG222802_AULA07
gilso
Comentário do texto
Podemos falar que um número binário é formado por vários bits.gilso
Comentário do texto
O conjunto de bits
gilso
Realce
gilso
Comentário do texto
“decimal codificado em binário”
(binary-coded decimal)
Gilson Melo
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
Sı́mbolos admissı́veis: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Observando os sı́mbolos admissı́veis, você notará a presença das letras “A” a “F”. Nesse caso, se �izermos uma
correspondência direta com o sistema decimal, temos a faixa de “A”, representando o valor 10, até a letra “F”,
denotando o valor “15”. A conversão de hexadecimal para decimal segue o mesmo processo de decomposição.
Vamos supor o valor: 3A8C :
 
3A8C = 3 * 16 + 10 * 16 + 8 * 16 + 12 * 16 = 12288 + 2560 + 128 + 12 = 14988
 
Por �im, vamos demonstrar que esse processo de decomposição também serve para realizar a conversão de
um valor representado na base octal para binário. O sistema octal foi muito usado pelos programadores e
projetistas de sistemas computacionais quando a capacidade dos equipamentos era extremamente menor em
relação aos recursos computacionais atualmente disponı́veis. Por esse motivo, grave bem, o sistema octal
cedeu espaço para o sistema hexadecimal. Em relação às suas caracterı́sticas básicas, temos:
quantidade de símbolos admissíveis: 8.
símbolos admissíveis: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Para proceder à conversão, vamos supor o valor 5461 :
 
5461 = 5 * 8 + 4 * 8 + 6 * 8 + 1 * 8 = 2560 + 256 + 48 + 1 = 2865
Até o momento, falamos sobre o processo de conversão da base “Q” para a base decimal. Mas como realizar o
processo contrário? Como converter um valor expresso na base decimal para a base Q? Basta realizar divisões
sucessivas do valor decimal pela base em questão. 
A �igura a seguir ilustra o processo de conversão dos valores acima calculados para as suas bases de origem.
Con�ira!
•
(16)
(16)
3 2 1 0 
(10)
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(8)
(8)
3 2 1 0 
(10)
 
Figura 2 - Processo de divisão de números representados na base decimal para as bases binária,
hexadecimal e octal, utilizando-se divisões sucessivas.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
Na �igura anterior, podemos notar que o valor resultante da conversão é construı́do coletando-se o último
quociente e todos os restos da divisão na ordem inversa de aparição.
Mencionamos que as bases octal e hexadecimal são usadas principalmente por programadores e projetistas de
sistemas computacionais, certo? Como elas são mais próximas do sistema binário, será que existe uma forma
mais fácil para realizar a conversão entre binário para hexadecimal, octal e hexadecimal ou de octal para
binário? Para respondermos essa questão, vamos analisar a quantidade de bits necessária para
representarmos um valor em hexadecimal ou octal:
Assim, cada dı́gito hexadecimal gerará uma sequência de quatro bits, e cada dı́gito octal será convertido em
três bits. A �igura a seguir exempli�ica o processo de conversão entre essas bases de representação numérica,
tomando como exemplo o valor binário de 16 bits: “1011011010101101”.
Na �igura, perceba que há relação entre os agrupamentos de quatro ou três bits para cada dı́gito hexadecimal
ou octal, respectivamente. O valor binário é representado de acordo com o padrão BCD8421. Mas o
computador manipula números binários representando valores positivos e negativos. Como ele consegue
diferenciar essas faixas de valores? Para responder essa questão, chegou a hora de mencionarmos que dentro
da representação binária um sistema conhecido como “complemento 2” merece destaque. 
Para uma melhor abstração, vamos começar a falar sobre complemento 2 exempli�icando com o tipo “char”
da linguagem “C” de programação. Esse tipo comumente é representado por uma palavra de 8 bits (1 byte).
Assim, temos 2 valores possı́veis, ou seja, 256 valores que podem ser representados em uma variável do tipo
“char”.
Mas quais são esses valores? Por que essa faixa vai de -127 a 128? Porque que se utilizássemos na criação da
variável o modi�icador de tipo “unsigned” (�icando “unsigned	 char”), a faixa iria de 0 a 255? Tudo isso
ocorre devido ao fato de que o bit mais signi�icativo (MSB – Most	Signi�icant	Bit), nos casos em que não há a
utilização do “unsigned”, representa o sinal.
Dessa forma, dos oito bits do “char”, temos um bit de sinal e sete contendo a informação propriamente dita.
Consequentemente, 2 denota que temos 128 valores possı́veis: 128 valores negativos (de -128 a -1) e 128
valores positivos (de 0 a 127). 
Hexadeci
mal	
Quantidade de sı́mbolos admissı́veis: 16
Quantidade de bits necessários para cada dı́gito: log2(16) = 4
Octal	
Quantidade de sı́mbolos admissı́veis: 8
Quantidade de bits necessários para cada dı́gito: log2(8) = 3
Figura 3 - Conversão entre a base binária e as bases hexadecimal e octal. O processo de agrupamento de 4 ou
3 bits é realizado nos dois sentidos da conversão.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
8
7
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Realce
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Realce
gilso
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O nome “BCD” significa “decimal codificado em binário”
(binary-coded decimal). O valor 8421 é obtido pelas exponenciações (2 = 8 ; 2 = 4 ; 2 = 2 ; 2 = 1).
gilso
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E como representar um valor negativo? Bem, vamos tomar como exemplo prático, para facilitar a apresentação
e os cálculos, um valor de quatro bits “1110 ”. De acordo com o que foi apresentado, temos:
Bit MSB (bit sinal): “1” → indicando que o valor é negativo. Caso o
MSB fosse 0, o número representado seria positivo.
Valor propriamente dito: “110 ”. Caso o bit sinal fosse 0
(indicando um número positivo), poderíamos aplicar o BCD8421
diretamente sobre “110 ”. Porém, como o bit sinal vale “1”, não
podemos falar que o valor representado é “-6 ”.
Nesse caso, com o bit sinal indicando um valor negativo, para se conhecer o valor, temos que aplicar dois
passos:
Passo 1: inverte-se todos os bits do valor representado: “1110 ”
→ “0001 ”.
Passo 2: soma-se ao valor obtido da inversão dos bits: “0001 ” +
“0001 ” = “0010 ” (1 + 1 = 2).
Assim, entendemos que o valor “1110 ” equivale a “-2 ”.
Para achar o correspondente negativo a partir de um valor positivo ou para achar o correspondente positivo a
partir de um valor negativo, devemos seguir os mesmos dois passos apresentados. Porém, tenha em mente
que o computador não precisa realizar tais operações. O valor em complemento 2 já é diretamente obtido em
suas operações de subtração, por exemplo.
Como mencionamos, um computador manipula palavras expressas no sistema binário de representação
numérica. Assim, como temos uma álgebra matemática para manipularmos o nosso sistema decimal, deve
haver uma álgebra adequada para a manipulação de valores binários. A seguir, conversaremos sobre a álgebra
booleana.
(2)
•
• (2)
(2)
(10)
• (2)
(2)
• (2)
(2) (2)
(2) (10)
VAMOS PRATICAR?Agora é a sua vez de converter os valores a seguir. Os números sobrescrit
parênteses representam as bases numéricas:
 
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
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Realce
1.2 Álgebra booleana: simbologia e teoremas
Conhecer a álgebra booleana não somente é importante para abstrair o funcionamento dos sistemas
computacionais, mas também para quando estivermos modelando os sistemas digitais. A princı́pio, um
sistema digital pode ser representado por meio de uma expressão booleana, além de podermos utilizar outros
elementos que serão vistos oportunamente. 
1.2.1 Variáveis e expressões booleanas
De acordo com Vahid e Laschuk (2008), uma álgebra objetiva a representação de valores por meio de letras e
sı́mbolos. Mas o que são tais letras e sı́mbolos? Para facilitar nossa abstração, vamos supor um exemplo
prático: imagine que a iluminação de um cômodo de uma casa tenha acendimento automático. Isso se dá de
acordo com a seguinte condição:
Se	(alguém_presente_no_cômodoE	já_anoiteceu)	então	luz	=	acesa
Senão	luz	=	apagada
No nosso trecho apresentado de pseudocódigo, podemos identi�icar variáveis de entrada e saı́da.
Note que todos os itens envolvidos manipulam valores binários. Então, poderemos reescrever o
pseudocódigo usando uma expressão booleana:
S	=	P “AND” L
Dessa forma, podemos identi�icar os primeiros elementos da álgebra booleana:
Expressão booleana: S	=	P “AND” L
Variáveis booleanas: S ; P ; L
Operador lógico:  AND
Variáveis
de
entrada	
As variáveis de entrada poderão, nesse caso, ser relacionadas a um sensor de
presença (P) e um sensor de luminosidade (L). Ambos os sensores entregarão, ao
sistema digital, valores binários. 
Variável
de	saída	
Essa variável é associada a uma saı́da (S) conectada a uma lâmpada, que será acesa
ou permanecerá apagada. 
•
•
gilso
Realce
gilso
Realce
Mencionamos, há pouco, o termo “operador	 lógico”. Mas o que vem a ser um operador lógico?
Conversaremos sobre isso a seguir.
1.2.2 Operadores lógicos
O que vem a ser operador lógico? Um operador lógico realiza a conexão entre duas variáveis para que seja
estabelecido um resultado. Os operadores lógicos básicos são: NOT, AND, OR, e, em sistemas digitais, são
representados pelas “portas lógicas”. Assim, podemos falar que as portas lógicas são os elementos de
abstração de mais baixo nı́vel em sistemas digitais.
VOCÊ O CONHECE?
Sistemas lógicos digitais, e a computação como um todo, são baseados na manipulação
de valores binários. Valores binários remetem à lógica booleana e seria impossıv́el falar
de álgebra booleana sem falar sobre George Boole, o idealizador da álgebra booleana.
Para saber um pouco sobre a vida dele, você poderá ler a dissertação de Sousa (2005),
disponıv́el em:
https://repositorio.ufrn.br/jspui/bitstream/123456789/14224/1/GiselleCS.pdf
(https://repositorio.ufrn.br/jspui/bitstream/123456789/14224/1/GiselleCS.pdf ).
https://repositorio.ufrn.br/jspui/bitstream/123456789/14224/1/GiselleCS.pdf
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
portas lógicas são os elementos de
abstração de mais baixo nível em sistemas digitais.
gilso
Realce
Antes de falarmos sobre as propriedades e teoremas da álgebra booleana, vamos conversar sobre as portas
lógicas. Convém mencionarmos que toda porta lógica estará associada a uma representação em diagrama
esquemático (a notação utilizada no desenho do circuito), uma simbologia na álgebra booleana (para
representar a porta nas expressões booleanas) e uma tabela-verdade (que contempla todas as combinações
possı́veis dos valores que poderão ser assumidos pelas variáveis de entrada). Assim, para antecipar,
podemos, também, representar o exemplo dado anteriormente (do acendimento automático da luz) por meio
da expressão booleana, diagrama esquemático e tabela-verdade. Tais elementos são contemplados na �igura a
seguir. Observe!
CASO
Um desenvolvedor de sistemas computacionais recebeu um projeto para automati
a irrigação de uma pequena área. Tal irrigação levava em conta apenas a umidade
solo, umidade medida em quatro pontos por intermédio de sensores. O prime
pensamento que lhe veio à mente consistiu em implementar a solução 
microcontroladores (tais como PIC ou Arduino). Logo em seguida, ele re�letiu
projeto é extremamente simples e, caso fosse utilizado algum microcontrolador, e
�icaria subaproveitado. Além disso, os componentes utilizados para atuar na abert
da água e a coleta do nıv́el de umidade seriam os mesmos caso implementasse u
solução baseada em microcontroladores, ou baseada simplesmente na eletrôn
digital. Dessa forma, ele resolveu, então, desenvolver a solução baseada na eletrôn
digital. Para tanto, desenvolveu seu sistema lógico digital a partir das express
booleanas que mapeavam o comportamento desejado para o sistema, de modo q
fossem atendidas as funcionalidades da irrigação. 
gilso
Comentário do texto
Um desenvolvedor de sistemas computacionais recebeu um projeto para automatizar a irrigação de uma pequena área. Tal irrigação levava em conta apenas a umidade do solo, umidade medida em quatro pontos por intermédio de sensores. O primeiro pensamento que lhe veio à mente consistiu em implementar a solução em microcontroladores (tais como PIC ou Arduino). Logo em seguida, ele refletiu: o projeto é extremamente simples e, caso fosse utilizado algum microcontrolador, este ficaria subaproveitado. Além disso, os componentes utilizados para atuar na abertura da água e a coleta do nível de umidade seriam os mesmos caso implementasse uma solução baseada em microcontroladores, ou baseada simplesmente na eletrônica digital. Dessa forma, ele resolveu, então, desenvolver a solução baseada na eletrônica digital. Para tanto, desenvolveu seu sistema lógico digital a partir das expressões booleanas que mapeavam o comportamento desejado para o sistema, de modo que fossem atendidas as funcionalidades da irrigação. 
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
Na �igura, perceba, temos a tabela-verdade, a expressão booleana e o diagrama esquemático do sistema lógico
digital para o acendimento automático da luz em função das variáveis “P” (presença de alguma pessoa no
recinto) e “L” (intensidade da luminosidade do dia). Para que a luz se acenda, deve haver alguma pessoa no
recinto “E” e a luminosidade externa ao recinto deve estar baixa.
Note, ainda, que a tabela-verdade (à esquerda da �igura) representa todas as combinações possı́veis das
variáveis de entrada — combinação 0 até combinação 3. O número de linhas da tabela-verdade é representado
por 2 , em que “n” é o número de variáveis de entrada envolvidas. Os valores inseridos na tabela representam
o próprio BCD8421.
Mas o que realmente representam tais sı́mbolos? Descubra a seguir.
Figura 4 - Tabela-verdade, expressão booleana e diagrama esquemático do sistema lógico digital para o
acendimento automático da luz.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
n
VOCÊ QUER VER?
Podemos dizer que a base para a implementação de sistemas lógicos digitais é a
construção da tabela-verdade. A tabela-verdade re�lete os resultados da expressão
booleana, levando-se em conta todas as combinações possıv́eis das variáveis de
entrada. Para saber um pouco mais sobre como preencher uma tabela-verdade, assista
ao vıd́eo: https://www.youtube.com/watch?v=mVJXZit3msA
(https://www.youtube.com/watch?v=mVJXZit3msA).
https://www.youtube.com/watch?v=mVJXZit3msA
gilso
Realce
 
Porta	“NOT”
A porta NOT realiza a inversão (ou complemento) da variável apresentada à sua entrada. Trata-se, portanto, de
uma porta unária, ou seja, é representada por uma função que envolve apenas uma variável de entrada.
 Simbologias:  
A �igura a seguir ilustra o diagrama esquemático e a tabela-verdade referente à porta NOT.
Saiba que o diagrama esquemático da porta NOT também pode ser denotado apenas com a circunferência
quando associado a alguma outra estrutura ou porta lógica.
	
Portas	“AND”	e	“OR”
A porta AND é uma porta binária, ou seja, para externar o seu valor de saı́da, são necessárias duas variáveis de
entrada. A saı́da será “1” apenas se as duas entradas também forem “1” simultaneamente.
Simbologias da porta AND:  
Na simbologia da porta AND, o sı́mbolo de “.” pode ser omitido. Assim, por exemplo, a expressão S = A . B
também poderá ser escrita na forma S = AB. Por sua vez, a porta OR é, assim como a porta AND, uma porta
binária. A saı́da será “0” apenas se as duas entradas também forem “0” simultaneamente.
Simbologias da porta OR:  
A �igura a seguir ilustra os diagramas esquemáticos e as tabelas-verdade referentes às portas AND e OR.
•
Figura 5 - Diagrama esquemático e tabela-verdade de uma porta NOT.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
•
•
gilso
Realce
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gilso
Realce
gilso
Realce
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gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
As portas AND e OR poderão ser conectadas a uma porta NOT em suas saı́das,gerando as portas universais
NAND e NOR, respectivamente. Saiba mais sobre elas a seguir!
 
Portas	“NAND”	e	“NOR”
Como mencionado anteriormente, as portas NAND e NOR são portas ditas “universais”, ou seja, podemos usar
somente portas NAND ou somente portas NOR para implementar nosso sistema lógico digital. Os valores de
saı́da das suas tabelas-verdade são, portanto, os valores complementados das saı́das das portas AND e OR,
respectivamente.
A �igura a seguir ilustra os diagramas esquemáticos e as tabelas-verdade referentes às portas NAND e NOR. 
Figura 6 - Tabelas-verdade e diagramas esquemáticos relativos às portas AND e OR.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
gilso
Realce
gilso
Realce
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Realce
gilso
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gilso
Realce
Como você pode notar nos diagramas esquemáticos da �igura anterior, o sinal da negação anexado às saı́das
das portas AND e OR consiste apenas na circunferência. Como mencionado anteriormente, caso a negação
esteja atrelada a alguma outra estrutura, para se representar a negação, basta utilizar a circunferência sem a
seta indicativa da direção do �luxo do sinal (entrada → saı́da).
	
Portas	“XOR”	e	“XNOR”
Por �im, temos as portas EXCLUSIVE-OR (OU-EXCLUSIVO ou XOR) e a porta COINCIDE�NCIA (ou XNOR). A porta
XOR apresenta a saı́da valendo 1 se, e somente se, tivermos um único valor “1” representado pelas suas
entradas. Por outro lado, a porta XNOR retrata o inverso da porta XOR, ou seja, a saı́da será “1” caso os dois
valores de entrada sejam iguais.
A �igura a seguir ilustra os diagramas esquemáticos, as simbologias e as tabelas-verdade referentes às portas
XOR e XNOR.
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Na �igura anterior, podemos observar o diagrama esquemático da porta XNOR como sendo a porta XOR
complementada. Porém, podemos encontrar também a porta XNOR sendo representada como uma porta AND
com linha dupla junto às suas entradas.
VOCÊ SABIA?
Você sabia que a maioria dos operadores vistos aqui podem ser aplic
programação para realizar a manipulação “bit-a-bit”? Essa técnica, deno
“bitwise” permite que, por exemplo, bits sejam alterados dentro de uma v
Para saber mais, você poderá acessar a apostila escrita por Roberto Renna 
disponıv́el 
https://www.telecom.uff.br/pet/petws/downloads/apostilas/arduino/apo
_programacao_arduino.pdf
(https://www.telecom.uff.br/pet/petws/downloads/apostilas/arduino/ap
e_programacao_arduino.pdf ).
https://www.telecom.uff.br/pet/petws/downloads/apostilas/arduino/apostila_de_programacao_arduino.pdf
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Comentário do texto
Você sabia que a maioria dos operadores vistos aqui podem ser aplicados na programação para realizar a manipulação “bit-a-bit”? Essa técnica, denominada “bitwise” permite que, por exemplo, bits sejam alterados dentro de uma variável. Para saber mais, você poderá acessar a apostila escrita
As portas aqui mencionadas farão parte das expressões booleanas (representando os operadores lógicos ou
operadores booleanos). Para que possamos manipular as expressões, teremos que aplicar os teoremas da
álgebra booleana, os quais veremos a seguir.
1.2.3 Teoremas da álgebra booleana
Os teoremas da álgebra booleana nortearão a manipulação das expressões booleanas para, por exemplo,
desenhar o diagrama esquemático ou calcular o valor resultante a partir da combinação dos valores das
variáveis de entrada. Para começarmos, podemos mencionar a precedência dos operadores:
1º: parênteses
2º negação
3º operador AND
4 º operador OU, XOR, XNOR
Assim, ao nos depararmos com, por exemplo, a expressão booleana	“S	=	(~A	+	B)	 .	C”,	teremos o diagrama
esquemático e a tabela-verdade ilustrados a seguir. Con�ira!
VAMOS PRATICAR?Para uma melhor memorização do comportamento dos operadores lógic
suas respectivas simbologias frente aos diagramas esquemáticos, con
tabela-verdade e indique a simbologia dos operadores a seguir:
a) NAND 
b) XOR
c) OR
d) Coincidência
e) AND
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A �igura anterior ilustra a tabela-verdade e o diagrama esquemático relativo à expressão “S	=	(~A	+	B)	 .	C”.
Perceba que a ordem de manipulação dos operadores segue a precedência da álgebra booleana. A presença de
uma inversão ligada a uma variável faz com que, no caso, a coluna relativa a “~A” receba o complemento de
“A”. Em função dos parênteses, a primeira operação a ser realizada consiste no operando OR (marcado em azul
e denotado por “1º”). Após o preenchimento da coluna referente ao resultado do operador OR, efetua-se o
operador AND — marcado na cor vermelha e referenciado como o 2º passo a ser tomado. A coluna referente
ao resultado do operador AND (delimitada pelo retângulo vermelho) representa os resultados da expressão
booleana, tendo em vista todas as combinações possı́veis envolvendo as variáveis de entrada “A”, “B” e “C”. 
Além das precedências, temos que nos atentar para o fato de que, assim como a álgebra matemática, a álgebra
booleana também apresenta propriedades comutativa, associativa e distributiva, as quais você entenderá
melhor a seguir!
•	Propriedade	Comutativa: a ordem das variáveis não interfere no resultado produzido. Exemplos:
A	. B	=	B	. A
A	+	B	=	B	+	A
A	⊕ 	B	=	B	⊕	A
•	 Propriedade	 Associativa: caso tenhamos variáveis conectadas por meio do mesmo tipo de operador,
poderemos criar grupos (associar) para que possamos de�inir a ordem de manipulação. Exemplos:
(	A	.	B	)	.	C	=	A	.	(	B	.	C	)	=	A	.	B	.	C
(	A	+	B	)	+	C	=	A	+	(	B	+	C	)	=	A	+	B	+	C
(	A	⊕ B	)	⊕ C	=	A	⊕ (	B	⊕ C	)	=	A	⊕ B	⊕ C
Figura 7 - Tabela-verdade e diagrama esquemático relativos à expressão S = (~A + B) . C.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
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•	 Propriedade	 Distributiva: na propriedade distributiva, procedemos à distribuição não somente da
variável, mas também do operador associado à variável. Exemplos:
A	.	(	B	+	C	)	=	A	.	B	+	A	.	C
A	+	B	.	C	=	(	A	+	B	)	.	(	A	+	C	)
Além das propriedades citadas, uma quarta propriedade merece destaque na manipulação de expressões
booleanas. Trata-se do “Teorema de De Morgan”. Este teorema pode ser aplicado quando um operador “NOT”
incidir, além das variáveis, sobre o próprio operador “AND” ou “OR”. Nesse caso, temos que proceder, além da
inversão das variáveis, à alteração do próprio operador, trocando o “AND” pelo “OR” e vice-versa:
a) ~( A + B ) = ~A . ~B
b) ~( A . B ) = ~A + ~B
Nesses casos, temos, em (a), a incidência da negação sobre o operador “OR”. Nota-se que, após a aplicação do
Teorema de De Morgan, o operador OR foi alterado para AND e as variáveis foram complementadas. Em (b), a
negação abrange o operador AND, razão pela qual apareceu, após a aplicação do teorema, o operador OR. 
Além dos teoremas e das propriedades, a álgebra booleana também contempla os postulados (IDOETA;
CAPUANO, 2012): complemento; idempotência; identidade; elemento neutro; elemento de absorção. Con�ira!
Pode ser aplicado sobre um valor booleano ou envolvendo operadores. No caso de valores lógicos
e das portas AND e OR, temos:
~0 = 1
~1 = 0
A . ~A = 0
A + ~A = 1
Envolve a aplicação de um número par de negações, resultando na própria variável envolvida:
~(~ A ) = A
Ao aplicarmos um operador “AND” ou “OR” sobre apenas uma variável, temos, como resultado, a
própria variável:
A + A = A
A . A = A
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Complemento	
Idempotência	
Identidade	
Elemento	neutro	
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Se aplicarmos as propriedades e postulados citados, podemos abstrair as seguintes propriedades:
A	+	A	.	B	=	A
A	+	~A	.	B	=A	+	B
(A	+	~B)	.	B	=	A	.	B
A	.	B	+	A	.	~B	=	A
(A	+	B)	.	(A	+	~B)	=	A
A	.	(A	+	B)	=	A
A	.	(~A	+	B)	=	A	.	B
A	.B	+	~A	.	C	=	(A	+	C)	.	(~A	+	B)
Juntando o Teorema de De Morgan com a idempotência, conseguimos uma aplicabilidade prática: reescrever a
expressão de forma mais simples. Por exemplo, imagine que temos a seguinte expressão lógica:
S	=	~A	.	~B
Nessa expressão, temos operador NOT sendo aplicado a cada variável. Assim, podemos aplicar os seguintes
passos:
~A . ~B = ~(~(~A . ~B)) → nega-se a expressão duas vezes para que, de acordo com a idempotência, não
se altere seu valor.
~(~(~A . ~B)) = ~(~~A + ~~B) → aplica-se o Teorema de De Morgan na inversão mais interna.
~(~~A + ~~B)= ~(A + B) → aplica-se a idempotência nas inversões que precedem as variáveis “A” e “B”.
S = ~(A + B) → expressão reescrita usando apenas um operador NOR.
Foi mencionado, anteriormente, que operadores NAND e NOR são ditos como universais. Dessa forma,
aplicando os princı́pios vistos aqui, vamos representar os operadores básicos utilizando somente NAND e
NOR:
Operador NOT:
S = ~A → S = ~(A . A)
S = ~A → S = ~(A + A)
Operador AND:
S = A . B → ~( ~(A . B) . ~(A . B))
S = A . B → ~( ~(A + A) + ~(B + B))
Operador OR:
S = A + B → ~( ~(A . A) . ~(B . B))
O elemento neutro representa o valor lógico (0 ou 1) que, quando aplicado a um operador, não
modi�ica o valor resultante:
A + 0 = A
A . 1 = A
O elemento de absorção, ao ser aplicado sobre um operador, faz com que, independentemente do
valor da variável envolvida, o operador resulte no próprio valor aplicado:
A + 1 = 1
A . 0 = 0
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Elemento	de	absorção	
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S = A + B → ~( ~(A + B) + ~(A + B))
Para �inalizar, convém mencionar um fato interessante na álgebra booleana: o princı́pio da dualidade. Esse
princı́pio menciona que a partir de uma expressão booleana, ao efetuarmos a troca dos operadores lógicos (de
AND para OR e vice-versa), além de trocarmos os valores de “0” para “1” e vice-versa, mantemos a
equivalência entre as duas expressões booleanas.
Como exemplos, podemos citar as expressões booleanas abaixo:
A	+	0	=	A ↔ A	. 1	=	A
A	+	1	=	1 ↔	A	. 0	=	0
A	+	A	=	A	 ↔	A	. A	=	A
A	+	~A	=	1	 ↔	A	. ~A	=	0
Com a aplicação das propriedades citadas, já começamos a enveredar pelo campo da otimização,
simpli�icação ou otimização de expressões booleanas. Simpli�icar uma expressão resulta em várias melhorias
ao realizarmos a implementação fı́sica dos sistemas lógicos digitais.
VAMOS PRATICAR?Conversamos sobre como preencher uma tabela-verdade produzindo, inc
resultado da expressão booleana para cada combinação das variáveis de 
Construa a tabela-verdade das expressões a seguir:
a) S = A + ~B.C 
b) S = A.(B + C) + ~A(C + ~D)
c) S = A + ~A.B
d) S = (A ⊕ B).(A + ~B)
Síntese
Chegamos ao �im desta unidade. Nesse nosso diálogo, você teve o primeiro contato com o mundo dos
sistemas lógicos digitais. Inicialmente, abordamos os sistemas de numeração e como fazemos para realizar a
conversão dentre os sistemas mais importantes do ponto de visto computacional: decimal; hexadecimal;
octal; e binário. Como você pôde ver, essa área é baseada na manipulação de palavras cujos elementos
(dı́gitos) são representados por bits. Por ser baseado na manipulação de bits, temos que conhecer, entender e
manipular a álgebra booleana, seus operadores, propriedades e postulados. Na parte prática, os operadores
lógicos são representados pelas portas lógicas, componentes básicos da eletrônica digital.
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Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
ter um contato inicial com sistemas de numeração;
conhecer, compreender e manipular informações utilizando a
álgebra booleana;
construir tabelas-verdade para representar o comportamento de
uma expressão booleana em função de todas as combinações
possíveis de suas variáveis de entrada;
identificar e saber utilizar as propriedades, operadores e
postulados.
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Bibliografia
CANAL CEFOR. Criação	 de	 Tabela-verdade, 12 maio 2014. Disponı́vel em:
(https://www.youtube.com/watch?v=mVJXZit3msA)https://www.youtube.com/watch?v=mVJXZit3msA
(https://www.youtube.com/watch?v=mVJXZit3msA). Acesso em 16/09/2019.
IDOETA, I. V.; CAPUANO, F. G. Elementos	de	Eletrônica	Digital. 41. ed. São Paulo: E� rica, 2012. 
INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA. DIG222802	 AULA07,	 01 jun. 2016. Disponı́vel em:
(https://wiki.sj.ifsc.edu.br/wiki/index.php/DIG222802_AULA07)https://wiki.sj.ifsc.edu.br/wiki/index.php/
DIG222802_AULA07 (https://wiki.sj.ifsc.edu.br/wiki/index.php/DIG222802_AULA07). Acesso em:
16/09/2019.
RENNA, R. B. Apostila	 de	 Tópicos	 Especiais	 em	Eletrônica	 II: Introdução ao microcontrolador Arduino.
Niterói: Universidade Federal Fluminense, 2014. Disponı́vel em:
(https://www.telecom.uff.br/pet/petws/downloads/apostilas/arduino/apostila_de_programacao_arduino.pdf
)https://www.telecom.uff.br/pet/petws/downloads/apostilas/arduino/apostila_de_programacao_arduino.pdf
(https://www.telecom.uff.br/pet/petws/downloads/apostilas/arduino/apostila_de_programacao_arduino.pdf
). Acesso em: 16/09/2015.
SOUSA, G. S. Uma	reavaliação	do	pensamento	lógico	de	George	Boole	à	luz	da	história	da	Matemática.
Dissertação (Mestrado) – Departamento de Pós-graduação em Educação, Universidade Federal do Rio Grande
do Norte, Natal, 2005. Disponı́vel em
(https://repositorio.ufrn.br/jspui/bitstream/123456789/14224/1/GiselleCS.pdf)https://repositorio.ufrn.br/j
spui/bitstream/123456789/14224/1/GiselleCS.pdf
(https://repositorio.ufrn.br/jspui/bitstream/123456789/14224/1/GiselleCS.pdf). Acesso em: 16/09/2019.
TOCCI, R. J.; WIDMER, N. S.; MOSS, G. L. Sistemas	 Digitais:	 Princípios	 e	 Aplicações. 12. ed. São Paulo:
Pearson Education do Brasil, 2018.
VAHID, F.; LASCHUK, A. Sistemas	Digitais: Projeto, otimização e HDLs. Porto Alegre: Bookman, 2008. 
https://www.youtube.com/watch?v=mVJXZit3msA
https://www.youtube.com/watch?v=mVJXZit3msA
https://wiki.sj.ifsc.edu.br/wiki/index.php/DIG222802_AULA07
https://wiki.sj.ifsc.edu.br/wiki/index.php/DIG222802_AULA07
https://www.telecom.uff.br/pet/petws/downloads/apostilas/arduino/apostila_de_programacao_arduino.pdf
https://www.telecom.uff.br/pet/petws/downloads/apostilas/arduino/apostila_de_programacao_arduino.pdf
https://repositorio.ufrn.br/jspui/bitstream/123456789/14224/1/GiselleCS.pdf
https://repositorio.ufrn.br/jspui/bitstream/123456789/14224/1/GiselleCS.pdf
SISTEMAS	DIGITAIS
UNIDADE 2 - PORTAS LO� GICAS
Fernando Cortez Sica
Introdução
Olá, prezado estudante! Bem-vindo à segunda unidade de Sistemas	Digitais. 
Você sabe como representar um circuito lógico, propriamente dito, a partir de uma expressão booleana? Nesta
unidade, abordaremos a maneira pela qual podemos obter circuitos lógicos usando componentes reais. Uma
outra questão que pode ocorrer é: as propriedades e leis da álgebra booleana serão empregadas neste estudo?
Sim, a álgebra booleana será necessária para que possamos utilizar as portas lógicas, que constituem a
abstração mais básica dos sistemas digitais, representando os operadores lógicos. 
Saiba que a álgebra digital será útil para, por exemplo, realizarmos simpli�icações de expressões booleanas.
Mas como montar a expressão lógica (booleana) para construir um circuito que atenda a um certo objetivo?
Falaremos também sobre como extrair a expressão booleana de uma tabela-verdade, por exemplo, que
representa o comportamento do circuito a ser criado.
Para que possamos caminhar por esses pontos, iniciaremos com a implementação de circuitos lógicos a
partir de expressões booleanas conhecidas. Quando estivermos familiarizados com a forma de implementar
circuitos, migrando as expressões para um mundo mais prático, será o momento de extrairmos as expressões
a partir de tabelas-verdade. Como a extração de expressões pode implicar em expressões não otimizadas,fecharemos esta unidade falando sobre como otimizar, ou simpli�icar, as expressões usando a álgebra
booleana, e, por �im, usando os mapas de Karnaugh. Com essa etapa de simpli�icação, obteremos circuitos
reduzidos e otimizados. 
Preparado para colocar as mãos na massa, ou melhor, nos circuitos? Então, vamos lá!
2.1 Obtenção do circuito lógico a partir de expressões
booleanas
Você já deve saber como transformar as expressões em diagramas esquemáticos usando as portas lógicas
básicas (“NOT”, “AND”, “OR”, “NAND”, “NOR”, “XOR” e “XNOR”), certo? Vamos, contudo, dar uma reforçada
nesse ponto, pois é a base para a implementação fı́sica dos sistemas lógicos digitais. Acompanhe!
2.1.1 Famílias lógicas
Para a implementação fı́sica, vamos relembrar da precedência na álgebra booleana, pois teremos que segui-la
para poder proceder à interligação das portas lógicas. Dessa forma, as ligações ocorrerão na seguinte ordem
(TOCCI; WIDMER; MOSS, 2018), clique para ler:
1º: parênteses;
2º negação (operador NOT);
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3º operador AND;
4 º operador OU, XOR, XNOR.
Em segundo lugar, é interessante conhecermos quais os componentes que utilizaremos para a montagem de
nossos circuitos. Em linhas práticas e gerais, existem dois grandes grupos de circuitos integrados
(componentes eletrônicos que encapsulam vários transistores e, no nosso caso, implementam os operadores
lógicos): os componentes baseados na tecnologia TTL (“Transitor-transitor	 Logic”, ou Lógica de transitor-
transitor) e os baseados em CMOS (“Complementary	Metal-Oxide	Semiconductors” – Semicondutor de metal-
óxido complementar).
Além dessas duas famı́lias, podemos citar:
ECL (emitter-coupled logic);
BiCMOS (bipolar complementary metal-oxide semicondutor);
GaAs (arseneto de gálio).
Cada tecnologia tem as suas caracterı́sticas básicas, como a velocidade de trabalho, a potência dissipada e a
voltagem requerida para seu funcionamento.
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VOCÊ SABIA?
Você sabia que existem simuladores de circuitos lógicos que podem ser b
em computadores e celulares, e que também podem ser manipulados onl
dos simuladores que merecem destaque é o Tinkercad, que poderá ser a
em: tinkercad.com. Com ele, você poderá montar soluções baseadas em s
lógicos e na utilização do Arduino.
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(“Transitor-transitor Logic”, ou Lógica de transitortransitor)
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(“Complementary Metal-Oxide Semiconductors” – Semicondutor de metalóxido
complementar).
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Você sabia que existem simuladores de circuitos lógicos que podem ser baixados em computadores e celulares, e que também podem ser manipulados online? Um dos simuladores que merecem destaque é o Tinkercad, que poderá ser acessado em: tinkercad.com. Com ele, você poderá montar soluções baseadas em sistemas lógicos e na utilização do Arduino.
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emitter-coupled logic
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(bipolar complementary metal-oxide semicondutor)
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(arseneto de gálio).
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Em função de praticidade, utilizaremos a linha TTL, que apresenta os seguintes parâmetros básicos:
Fan-out (número de portas lógicas que poderemos conectar à
saída de outra porta): geralmente 10;
Tensão de alimentação: 5V;
Faixas de tensões para a representação dos níveis lógicos:
Nível lógico “0”: de 0V a 0.8V.
Nível lógico “1”: de 2.4V a 5V.
Outro motivo para se adotar o TTL consiste na sugestão da utilização do Tinkercad para que possamos testar
os circuitos implementados. O ambiente em questão contempla um simulador online de circuitos, facilitando
seu manuseio em diversas situações e locais. Antes de iniciarmos nossa montagem, é interessante mencionar
sobre as “pinagens” dos circuitos integrados que poderão ser utilizados. A �igura a seguir ilustra dois circuitos
integrados da linha TTL: o 7404 (implementa portas “NOT”) e o 7408 (que contempla portas “AND”).
VOCÊ QUER LER?
Em função das caracterıśticas distintas entre TTL e CMOS, os circuitos lógicos não
devem misturar essas duas tecnologias, ou seja, utiliza-se apenas TTL ou apenas CMOS.
Porém, caso haja realmente a necessidade de “interfacear” circuitos CMOS ↔ TTL, você
pode saber como proceder por meio da leitura do artigo do IFSC (2018). Disponıv́el
em: https://wiki.ifsc.edu.br/mediawiki/index.php/AULA_16_-
_Eletr%C3%B4nica_Digital_1_-_Gradua%C3%A7%C3%A3o
(https://wiki.ifsc.edu.br/mediawiki/index.php/AULA_16_-
_Eletr%C3%B4nica_Digital_1_-_Gradua%C3%A7%C3%A3o).
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https://wiki.ifsc.edu.br/mediawiki/index.php/AULA_16_-_Eletr%C3%B4nica_Digital_1_-_Gradua%C3%A7%C3%A3o
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(“Transitor-transitor Logic”, ou Lógica de transitortransitor)
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(“Transitor-transitor Logic”, ou Lógica de transitortransitor)
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Na �igura, podemos observar que os circuitos integrados 7404 e 7408 possuem 14 pinos, sendo que o pino 7
deve ser ligado ao terra (GND – Ground) e o pino 14 ao terminal positivo da alimentação (VCC). Os pinos são
numerados no sentido anti-horário e iniciam sua contagem no lado esquerdo de uma marca (chanfro –
componente visto por cima). Observa-se, ainda, que o 7404 possui, encapsuladas, seis portas inversoras, e o
7408, quatro portas “AND”.
Mas, como implementar, de fato, as expressões booleanas utilizando-se portas lógicas? Conversaremos sobre
isso a seguir.
2.1.2 Implementação de sistemas lógicos digitais a partir de expressões
booleanas
Para iniciar nossa trajetória implementando circuitos a partir de expressões booleanas, vamos supor que
desejamos construir um circuito cuja expressão booleana hipotética consiste em:
S	=	A	.	B	+	C	.	(~A	+	B)
Usando a sequência de precedência, teremos os passos listados a seguir. Con�ira!
1º Passo: aplicar a negação na variável “A”, para depois poder usar
a saída da porta “NOT” na parcela “~A + B”.
2º Passo: desenvolver, paralelamente, as parcelas “A . B” e “(~A +
B)”. 
3º Passo: utilizar uma porta “AND” para integrar a variável “C” e a
saída de “(~A + B)”.
4º Passo: utilizar uma porta “OR”, recebendo as saídas da porta
“AND” do terceiro passo com a saída da porta “AND” da parcela “A
. B”.
Figura 1 - Diagrama das pinagens dos circuitos integrados TTL modelos 7404 (com seis portas NOT) e 7408
(com quatro portas AND).
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
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Comentário do texto
(“Transitor-transitor Logic”, ou Lógica de transitor transitor)
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Nota
Pino 7 Ligado no Terra (GND – Ground)
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Nota
Pino 7 Ligado no Terra (GND – Ground)
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Nota
Pino 14 Ligado na Alimentação ( VCC )
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Nota
Pino 14 Ligado na Alimentação ( VCC )
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Nota
Possui, encapsuladas, seis portas inversoras
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Possui, encapsuladas, 4 portas AND
Por meio da aplicação da sequência exposta acima, temos o diagrama esquemático presente na �igura a seguir.
A �igura contém as ligações realizadas no simulador “tinkercad.com”, em que foram utilizados os circuitos
integrados tais quais são encontrados no mercado.
Na �igura anterior, temos o diagrama esquemático e as ligações fı́sicas relativas à expressão S	=	A	.	B	+	C	.	(~A
+	B). No diagrama esquemático, os números associados às portas lógicas representam os números dos pinos
associados aos circuitos integrados (7404 = portas NOT; 7432 = portas OR; 7408 = portas AND). As colunas
(linhas verticais) do protoboard (placa para ligações) são barramentos, ou seja, constituem os mesmos
pontos para ligações. Os �ios em laranja são as entradas e o �io verde, a saı́da “S”. Os demais �ios são
responsáveis pelas ligações entre as portas. Por exemplo, o �io azul, ligado no pino 2 do 7404, representa a
saı́da de uma portaNOT. A outra extremidade do �io azul está conectada ao pino 1 do 7432, ou seja, em uma
entrada de uma das portas OR encapsuladas nesse circuito integrado.
Figura 2 - Diagrama esquemático e ligações fı́sicas (feitas no simulador tinkercad.com) relativos à
expressão booleana S = A . B + C . (~A + B).
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
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Já que mencionamos a implementação em simuladores, mencionamos aqui uma dica de como produzir os
valores das variáveis por meio de um botão. O circuito a seguir ilustra uma das formas que poderá ser usada
no circuito. No caso, seriam necessários três circuitos idênticos, cada um produzindo uma das variáveis.
CASO
Um projetista e implementador de sistemas lógicos digitais foi incumbido de reali
um certo projeto. Porém, ele deseja fazer um teste do circuito produzido a �im
veri�icar se o circuito funciona como de�inido em relação às questões de tempo e
propagação de sinais. Ele também deseja testar algumas versões distintas do proj
envolvendo tecnologias distintas de circuitos integrados e também envolvendo u
versão desenvolvida em HDL (Hardware	 Description	 Language – Linguagem 
Descrição de Hardware). 
Como existem várias alternativas, e para não perder tempo e dinheiro construin
vários circuitos lógicos antes de tomar a decisão, ele resolveu simular todas
possibilidades. Com o resultado da simulação, pôde veri�icar o verdade
comportamento das versões implementadas. Como lição desse caso, sugerimos q
independentemente da complexidade e tamanho do circuito a ser produzido
conveniente realizar simulações prévias do circuito sob desenvolvimento.
Figura 3 - Forma de inserir um botão para gerar os nı́veis lógicos “1” ou “0” relativos a uma variável a ser
manipulada pelo circuito digital.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
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Comentário do texto
Um projetista e implementador de sistemas lógicos digitais foi incumbido de realizar um certo projeto. Porém, ele deseja fazer um teste do circuito produzido a fim de verificar se o circuito funciona como definido em relação às questões de tempo e de propagação de sinais. Ele também deseja testar algumas versões distintas do projeto, envolvendo tecnologias distintas de circuitos integrados e também envolvendo uma versão desenvolvida em HDL (Hardware Description Language – Linguagem de Descrição de Hardware). 

Como existem várias alternativas, e para não perder tempo e dinheiro construindo vários circuitos lógicos antes de tomar a decisão, ele resolveu simular todas as possibilidades. Com o resultado da simulação, pôde verificar o verdadeiro comportamento das versões implementadas. Como lição desse caso, sugerimos que, independentemente da complexidade e tamanho do circuito a ser produzido, é conveniente realizar simulações prévias do circuito sob desenvolvimento.
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Realce
Perceba que quando o botão for pressionado, a tensão de +5V é externada do circuito, fazendo com que a
variável represente o nı́vel lógico “1”. Por outro lado, quando o botão não estiver pressionado, o circuito
produzirá o nı́vel lógico “0”, em que o referencial de terra é externado por intermédio do resistor de 300 ohms.
Tal resistor é denominado como “pull-down” (em uma tradução literal, “puxar para baixo”) devido à sua
derivação do referencial terra (GND - Ground).
Até aqui, �izemos a implementação de uma expressão booleana que já se encontrava formada. Mas como obter
uma expressão booleana? E� o que você saberá a seguir. Continue acompanhando!
VAMOS PRATICAR?Para essas sugestões, crie uma conta no Tinkercad e implemente as se
expressões booleanas:
a) S = (~(A + B) . (C + D)) . B
b) S = (A + ~(B.C)) + (B . ~(A.C))
2.2 Obtenção da expressão booleana pela interpretação do
circuito lógico
Você já deve saber que uma tabela-verdade representa o comportamento de um sistema lógico diante de todas
as combinações possı́veis das variáveis de entrada envolvidas, certo? Mas como efetivamente extrair uma
expressão booleana a partir da tabela-verdade para, depois, implementar �isicamente o circuito? Veremos esse
ponto a seguir, porém, antes, conversaremos sobre formas padrões das expressões booleanas.
2.2.1 Formas padrões de expressões booleanas
Antes de conversarmos sobre o processo de obtenção da expressão, vamos colocar o conceito de formas
padrões: soma	de	produtos e produto	de	somas (IDOETA; CAPUANO, 2012).
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Soma	de	produtos	
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
Quando temos todas as variáveis presentes em todas as parcelas (mesmo que elas apareçam de forma
complementadas), dizemos que a expressão está em sua forma canônica. Expressões derivadas diretamente
de tabelas-verdade (antes de qualquer manipulação algébrica) sempre estarão em sua forma canônica.
Exemplos e contraexemplos de formas canônicas:
Exemplos de expressões canônicas:
S = A.B.C + ~A.B.C + ~A.B.~C
S = (A+B+C) . (~A+~B+C) . (A+~B+C)
Contraexemplos de expressões canônicas:
S = A.B.C + ~A.B.C + ~A.~C
S = (A+B+C) . (~A+C) . (A+~B+C)
Mas como obter a expressão a partir da tabela-verdade? Dialogaremos, agora, sobre essa questão.
2.2.2 Extração da expressão booleana a partir da tabela-verdade
Conversamos sobre tabelas-verdade e sobre formas padrões de representação das expressões booleanas. Mas
como juntar esses dois assuntos para que possamos extrair expressões a partir de tabelas-verdade? 
Cada linha da tabela-verdade gera um “mintermo” ou um “maxtermo”, conforme ilustra a tabela a seguir, em
que temos uma tabela-verdade de duas variáveis.
A expressão booleana representada na forma de soma de produtos é constituı́da pela interconexão,
via porta OR, de parcelas. Cada parcela, denominada “mintermo”, é formada por variáveis
interconectadas por portas AND. Como exemplo, temos: S = A.B.C + ~A.B.C + A.~B.C. 
A expressão booleana representada na forma de produto de somas é constituı́da pela interconexão,
via porta AND, de parcelas. Cada parcela, denominada “maxtermo”, é formada por variáveis
interconectadas por portas OR. Como exemplo, temos: S = (A+B+C) . (~A+B+C) . (A+~B+C). 
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Tabela 1 - Mintermos e maxtermos associados a cada linha de uma tabela-verdade envolvendo duas
variáveis.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
Produto	de	somas	
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
Podemos notar, na tabela-verdade, que para construirmos um mintermo, temos que complementar as
variáveis que estiverem associadas ao valor lógico “0” — deixando sem inverter as variáveis que estiverem
sinalizadas como “1”. Por outro lado, para construirmos um maxtermo, temos que complementar as variáveis
que estiverem associadas ao valor lógico “1”, deixando sem inverter as variáveis que estiverem sinalizadas
como “0”.
Para exempli�icarmos o processo de obtenção de uma expressão booleana a partir de uma tabela-verdade,
imagine que há a necessidade de criar um circuito que produzirá o resultado de uma votação envolvendo três
pessoas votantes “A”, “B” e “C”. O primeiro passo será a criação da tabela-verdade. Em tal tabela-verdade,
vamos fazer algumas considerações:
Para cada votante, o valor “0” denota um voto contrário, e,
portanto, “1” representa o voto a favor.
Para o resultado, o resultado valendo “1” significa que o assunto
votado foi aprovado, já o valor “0” indica a rejeição do ponto
apreciado na votação.
A partir dessas considerações, vamos construir a tabela-verdade. Aproveitando a oportunidade para facilitar
nossa conversa, já associaremos o mintermo e o maxtermo a cada linha da tabela-verdade. A �igura a seguir
mostra a tabela-verdade resultante.
Na tabela-verdade, perceba, temos a saı́da “V” sinalizada em “1” quando dois ou mais votantes votarem a favor
(nı́vel lógico “1”). Para extrairmos a expressão booleana, escolhemos aslinhas que tiverem resultado em “V”
sinalizado em “1” para obter a expressão na forma de soma de produtos, ou escolhemos as linhas cujo valor
“V” seja “0” para extrairmos a expressão na forma de produto de somas.
A cada linha escolhida, faremos com que o mintermo ou o maxtermo integre a expressão resultante. Assim,
teremos:
•
•
Tabela 2 - Mintermos e maxtermos associados a um circuito para a exibição do resultado de votação
envolvendo três pessoas votantes (“A”, “B” e “C”).
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
Soma	de	produtos
gilso
Realce
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Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
gilso
Realce
Como mencionado anteriormente, toda expressão obtida da tabela-verdade é uma expressão escrita em sua
forma canônica. Assim, é passı́vel de simpli�icação. Veremos, a seguir, como poderemos simpli�icá-la. 
Linhas escolhidas: 3, 5, 6 e 7. Expressão resultante: V = ~A.B.C + A.~B.C + A.B.~C + A.B.C
Produto	de	somas	
Linhas escolhidas: 0, 1, 2 e 4. Expressão resultante: V = (A+B+C).(A+B+~C).(A+~B+C).(~A+B+C)
gilso
Realce
VAMOS PRATICAR?Suponha uma tabela-verdade de 8 linhas (envolvendo as variáveis “A”, “B
cuja coluna de saıd́a é: 01101101 (o bit “0” mais à esquerda corresponde
“A=0”, “B=0” e “C=0” e, consequentemente, o valor “1” mais à direita, corre
à linha “A=1”, “B=1” e “C=1”). Extraia a expressão a partir da tabela-verd
forma de soma de produtos e, depois, na forma de produto de somas.
2.3 Simplificação de circuitos lógicos 
O processo de simpli�icação de circuitos lógicos visa diminuir o número de portas lógicas ou tentar, pelo
menos, diminuir o tempo de transição do sinal entre os componentes que fazem parte do circuito. Uma
redução do número de portas ou da extensão do caminho que o sinal deverá trafegar gera várias
consequências, como:
diminuição no custo dos circuitos;
diminuição do espaço utilizado pelo circuito;
diminuição do consumo e da potência dissipada;
possibilidade de utilizar frequências mais altas de operação.
Veremos, a seguir, como poderemos proceder à simpli�icação, utilizando as propriedades da lógica booleana e
aplicando o mapa de Karnaugh.
•
•
•
•
gilso
Realce
2.3.1 Simplificação pela aplicação de propriedades e teoremas da álgebra de
Boole 
Como efetuar a simpli�icação do circuito? Aplicando os teoremas e propriedades da lógica booleana. Em
algumas ocasiões, vale também o bom senso para aplicar as propriedades, como:
tentar colocar os termos complementados juntos. Dessa forma,
conseguimos obter: “~A+A=1” ou “~A.A=0”.
tentar fazer com que apareça alguma variável isolada de modo a
colocá-la em evidência e anular as demais parcelas nas quais tal
variável se faz presente.
Vamos iniciar a exempli�icação da simpli�icação, tomando por base o nosso circuito da votação entre três
votantes. Para tanto, vamos partir da expressão obtida pelo uso dos mintermos, ou seja, a expressão na forma
de soma de produtos.
V	=	~A.B.C	+	A.~B.C	+	A.B.~C	+	A.B.C
Inicialmente, podemos observar que alguns membros são comuns a algumas parcelas. Assim, poderemos
colocar em evidência:
(I) V	=	~A.B.C	+	A.~B.C	+	A.B.~C	+	A.B.C
(II)	V	=	~A.B.C	+	A.~B.C	+	A.B.~C	+	A.B.C 
(III)V	=	~A.B.C	+	A.~B.C	+	A.B.~C	+	A.B.C 
Notamos que existem três possibilidades de colocação em evidência. Em (I), podemos colocar em evidência
“B.C”; em (II), podemos colocar “A.C”; e, em (III), podemos evidenciar “A.B”. Será que podemos fazer uso das
três possibilidades? A resposta é sim! Lembrando da propriedade da identidade: “A+A=A”, podemos fazer o
caminho contrário, ou seja, “A=A+A”. Assim, poderemos replicar a parcela que é referenciada três vezes na
evidência (“A.B.C”): 
V	=	~A.B.C	+	A.~B.C	+	A.B.~C	+	A.B.C	+	A.B.C	+	A.B.C
Agora, poderemos colocar em evidência “B.C”, “A.C” e “A.C”:
V	=	~A.B.C	+	A.~B.C	+	A.B.~C	+	A.B.C	+	A.B.C	+	A.B.C
V	=	B.C(~A	+	A)+	A.C(~B	+	B)+	A.B(C	+	~C)
Observando o conteúdo dos parênteses, notamos que as variáveis aparecem de forma complementada,
portanto, poderemos aplicar o postulado do complemento “~x+x=1”: 
V	=	B.C.1	+	A.C.1	+	A.B.1
Por �im, aplicamos o postulado do elemento neutro “x.1=x”:
V	=	B.C	+	A.C	+	A.B
Nesse ponto, temos a expressão �inal simpli�icada para o circuito de votação envolvendo três votantes: 
V	=	B.C	+	A.C	+	A.B
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Realce
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Realce
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Realce
gilso
Realce
Propriedade da identidade 
Ao aplicarmos um operador “AND” ou “OR” sobre apenas uma variável, temos, como resultado, a
própria variável:
A + A = A
A . A = A
gilso
Realce
gilso
Comentário do texto
O elemento neutro representa o valor lógico (0 ou 1) que, quando aplicado a um operador, não
modifica o valor resultante:
A + 0 = A
A . 1 = A
Para melhor apresentarmos o processo de simpli�icação, vamos partir para outro exemplo de expressão
booleana passı́vel de ser otimizada:
S	=	~X	.	(X	+	Y)	+	~Z	+	Z.Y
Inicialmente, a �im de colocarmos juntos termos complementados, podemos aplicar a distribuição do termo
“~X” sobre “(X+Y)” e, também, aplicar a distributiva “~Z	+	Z.Y”:
S	=	~X	.	(X	+	Y)	+	~Z	+	Z.Y
S	=	~X	.	X	+	~X.Y	+	(~Z	+	Z).(~Z	+	Y)
Aplica-se o postulado do complemento em “~X	.	X” e em “(~Z	+	Z)”:
S	=	~X	.	X	+	~X.Y	+	(~Z	+	Z).(~Z	+	Y)
S	=	0	+	~X.Y	+	(1).(~Z	+	Y)
Podemos retirar os elementos neutros (“0” no operador OR e “1” no operador AND):
S	=	0	+	~X.Y	+	(1).(~Z	+	Y)
S	=	~X.Y	+	(~Z	+	Y)
S	=	~X.Y	+	~Z	+	Y
Agora, podemos colocar o “Y” em evidência:
S	=	~X.Y	+	~Z	+	Y
S	=	Y(~X	+	1)	+	~Z
Por �im, aplicamos o postulado da absorção sobre o operador OR no termo “~X	+	1”:
S	=	Y(~X	+	1)	+	~Z
S	=	Y	+	~Z
Para realizar a simpli�icação de uma expressão booleana, podemos ainda utilizar outra técnica de
simpli�icação: o “mapa de Karnaugh” — assunto que debateremos no próximo item!
2.3.2 Simplificação pela aplicação de Mapa de Karnaugh 
VOCÊ QUER VER?
Para efetuar simpli�icações de expressões lógicas, existem diversas ferramentas
automáticas disponıv́eis, tanto gratuitas quanto pagas. A videoaula disponibilizada por
Maganha (2017) aborda algumas alternativas para facilitar a vida dos
projetistas/desenvolvedores de circuitos baseados em lógica digital. Con�ira em:
https://www.youtube.com/watch?v=H9qKIHYHV8k.
(https://www.youtube.com/watch?v=H9qKIHYHV8k.) 
https://www.youtube.com/watch?v=H9qKIHYHV8k.
gilso
Comentário do texto
• Propriedade Distributiva: na propriedade distributiva, procedemos à distribuição não somente da
variável, mas também do operador associado à variável. Exemplos:
A . ( B + C ) = A . B + A . C
A + B . C = ( A + B ) . ( A + C )
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Comentário do texto
• Propriedade Distributiva: na propriedade distributiva, procedemos à distribuição não somente da
variável, mas também do operador associado à variável. Exemplos:
A . ( B + C ) = A . B + A . C
A + B . C = ( A + B ) . ( A + C )
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Comentário do texto
Complemento

Pode ser aplicado sobre um valor booleano ou envolvendo operadores. No caso de valores lógicos
e das portas AND e OR, temos:
~0 = 1
~1 = 0
A . ~A = 0
A + ~A = 1
gilso
Comentário do texto
O elemento neutro representa o valor lógico (0 ou 1) que, quando aplicado a um operador, não
modifica o valor resultante:
A + 0 = A
A . 1 = A
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Comentário do texto
Elemento de absorção

O elemento de absorção, ao ser aplicado sobre um operador, faz com que, independentemente do
valor da variável envolvida, o operador resulte no próprio valor aplicado:
A + 1 = 1
A . 0 = 0
Como mencionamos há pouco, podemos utilizar o mapa de Karnaugh para simpli�icar expressões escritas
como soma de produtos. Mas o que vem a ser o mapa de Karnaugh? De acordo com Vahid e Laschuk (2011),
os mapas de Karnaugh constituem uma ferramenta visual, na forma de uma matriz, para a simpli�icação de
expressões que possuem poucas variáveis. Para expressões que manipulam cinco ou mais variáveis, torna-se
inviável a utilização dessa ferramenta. Os mapas de Karnaugh permitem um entendimento básico de outros
métodos existentes para a simpli�icaçãode expressões booleanas.
O mapa de Karnaugh faz um mapeamento direto da tabela-verdade. Cada célula da matriz representada pelo
mapa corresponde a uma linha da tabela-verdade. A �igura a seguir ilustra os mapas para 2, 3 e 4 variáveis.
VOCÊ SABIA?
Tenha em mente que o problema de otimização pode ser resolvido por 
técnicas e ferramentas além dos mapas de Karnaugh. Uma alternati
simpli�icar expressões com um número maior de variáveis consiste na u
do método de Quine-McCluskey. Porém, a simpli�icação pode ir além, i
empregando técnicas baseadas em inteligência arti�icial. No traba
monogra�ia de Oliveira (2015), você encontrará uma solução basea
evolução arti�icial. Disponıv́el 
http://bdm.unb.br/bitstream/10483/11045/1/2015_VitorCoimbraDeOli
df
(http://bdm.unb.br/bitstream/10483/11045/1/2015_VitorCoimbraDeO
df ).
http://bdm.unb.br/bitstream/10483/11045/1/2015_VitorCoimbraDeOliveira.pdf
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Comentário do texto
A expressão booleana representada na forma de soma de produtos é constituída pela interconexão,
via porta OR, de parcelas. Cada parcela, denominada “mintermo”, é formada por variáveis
interconectadas por portas AND. Como exemplo, temos: S = A.B.C + ~A.B.C + A.~B.C.
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Comentário do texto
Tenha em mente que o problema de otimização pode ser resolvido por diversas técnicas e ferramentas além dos mapas de Karnaugh. Uma alternativa para simplificar expressões com um número maior de variáveis consiste na utilização do método de Quine-McCluskey. Porém, a simplificação pode ir além, inclusive empregando técnicas baseadas em inteligência artificial. No trabalho de monografia de Oliveira (2015), você encontrará uma solução baseada em evolução artificial. Disponível em: http://bdm.unb.br/bitstream/10483/11045/1/2015_VitorCoimbraDeOliveira.pdf.
Para realizar simpli�icações utilizando o mapa de Karnaugh, precisamos conhecer a ideia de “vizinhança” e de
“grupo”. Para isso, tomemos um mapa para quatro variáveis, conforme ilustrado a seguir.
Na �igura anterior, perceba que a linha “~C.~D” é vizinha da linha “C.~D” e a coluna “~A.~B” é vizinha da
coluna “A.~B”. Isso porque o mapa de Karnaugh não é plano, ou seja, é como se criássemos uma esfera
conectando as extremidades. Assim, cada célula terá, no caso do mapa para quatro variáveis, sempre quatro
Figura 4 - Mapas de Karnaugh para 2, 3 e 4 variáveis. A sequência das variáveis é �ixa, podendo apenas as
células serem rotacionadas sem alterar o sentido de células vizinhas.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
Figura 5 - Exemplos de vizinhos em um mapa para quatro variáveis. As vizinhanças são exibidas pelas
colorações das setas. Por exemplo, a célula “~A.B.~C.D” tem como vizinhos: “~A.~B.~C.D”, “A.B.~C.D”,
“~A.B.~C.~D” e “~A.B.C.D”.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
vizinhos. A ideia de conectar as colunas da extremidade também se aplica aos mapas para 2 e 3 variáveis.
Outro conceito relacionado aos mapas de Karnaugh é relacionado à formação de grupos. Veremos que serão
transpostos os valores “1” presentes na coluna de saı́da da tabela-verdade. Os agrupamentos a serem
realizados terão o objetivo de envolver as células que contiverem o valor “1”. Considerando, ainda, um mapa
para quatro variáveis, veremos a ideia de grupos na �igura a seguir.
VOCÊ O CONHECE?
Muito se fala dos Mapas de Karnaugh para realizar o processo de simpli�icação de
expressões booleanas. Para saber um pouco mais sobre seu idealizador, Maurice
Karnaugh, leia o artigo de Martins (2009), disponıv́el em:
https://mauromartins.wordpress.com/2009/05/31/maurice-karnaugh-e-os-mapas-
de-karnaugh/ (https://mauromartins.wordpress.com/2009/05/31/maurice-
karnaugh-e-os-mapas-de-karnaugh/). 
https://mauromartins.wordpress.com/2009/05/31/maurice-karnaugh-e-os-mapas-de-karnaugh/
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Realce
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Na �igura, temos exemplos de alguns agrupamentos em um mapa de Karnaugh para quatro variáveis. Algumas
observações poderão ser feitas em relação à construção dos grupos:
cada grupo pode ter 2 elementos “1”, ou seja, cada grupo poderá ser formado por um elemento “1” sozinho,
por 2, 4, 8 ou 16 integrantes;
um grupo não pode ter “arestas”, por exemplo, ou a forma da letra
“L” e nem a forma da letra “T”;
cada elemento “1” pode pertencer a mais de um grupo, desde
que ele agrupe algum outro “1” que não foi ainda englobado por
outro grupo;
cria-se o menor número de agrupamentos e cada grupo deve ter o
maior número possível de elementos “1”. Cada grupo representará
uma parcela na expressão simplificada resultante, e em cada
parcela serão eliminadas k variáveis. Sendo k=log (N), em que N
representa a quantidade de elementos “1” dentro do grupo.
A partir das observações feitas, vamos, agora, apresentar a sequência de passos que devem ser feitos para o
processo de simpli�icação de uma expressão booleana. Con�ira!
Figura 6 - Exemplos de agrupamentos em um mapa de Karnaugh para quatro variáveis. Nota-se que um
elemento “1” pode pertencer a mais de um grupo.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
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Passo 1: transcrever os valores “1” da coluna de saída da tabela-
verdade. Cada valor “1” deverá ser colocado na célula
correspondente à coordenada de sua linha.
Passo 2: formar grupos com os elementos vizinhos, observando-
se as regras descritas anteriormente.
Passo 3: em cada grupo, eliminar as variáveis que apareçam de
forma complementada, ou seja, preservar aquelas que apareçam
de forma idêntica em todas as células envolvidas. Por exemplo,
caso tivermos uma dupla nas coordenadas “~A.B.~C.D” e
“A.B.~C.D”, deve-se eliminar 1 variável (k=log (2)=1). No caso, a
variável “A” aparece negada em uma célula e não negada na outra.
Assim, o resultado da simplificação dessa dupla é “B.~C.D”. Outro
exemplo, caso tivéssemos uma quádrupla formada pelas células
“~A.B.~C.D”, “A.B.~C.D”,“~A.B.C.D” e “A.B.C.D”, encontramos “A”
e “C” como variáveis que aparecem complementadas, eliminando-
as. A partir dessa eliminação de “A” e “C”, restarão somente as
variáveis “B.D” na composição final da parcela. Nesse segundo
caso, como formamos uma quádrupla, foram eliminadas duas
variáveis (log (4)=2). 
Vamos, agora, voltar ao exemplo da votação envolvendo quatro votantes. A seguir, na �igura, temos a tabela-
verdade, o mapa de Karnaugh e o diagrama esquemático do circuito relacionado ao projeto. 
 
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Perceba que a célula com a coordenada “A.B.C” pertence a três agrupamentos; exatamente o que acontece
quando simpli�icamos a expressão por meio da álgebra booleana, replicando a parcela para que aparecesse
três vezes. Nos sistemas lógicos digitais, além dos nı́veis “0” e “1”, também podemos usar a identi�icação de
valores “X” e “Z”. Mas o que são eles?
 Para um melhor esclarecimento, vamos apresentar um caso no qual é utilizado o valor lógico “X”. Imagine um
sistema que manipula duas variáveis (“A” e “B”) e que, por questões de implementações externas, nunca
receberá essas duas variáveis valendo “1” simultaneamente. Desse modo, o projetista do circuito não precisa
se preocupar com a situação com “A=1” e “B=1” simultaneamente. A �igura a seguir ilustra a tabela-verdade, o
mapa de Karnaugh e o diagrama esquemático desse circuito hipotético.
Figura 7 - Processo de simpli�icação do circuito de votação retratando a tabela-verdade, o mapa de Karnaugh,
além da expressão e o diagrama esquemático do circuito resultante.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
Valor
lógico	“X”	
Esse valor, também chamado de “tanto faz”, serve para identi�icar casos nos quais
uma certa informação é irrelevante para o resultado da expressão lógica e,
consequentemente, para o circuito. 
Valor
lógico	“Z”:
o	“Z”	
Indica oestado de “alta impedância”, ou seja, um desacoplamento de parte do circuito
com o restante. Esse estado é utilizado, por exemplo, em sistemas de memória em
que encontramos os “buffers 3-state”. Os três estados são representados por:
“operação de leitura”, “operação de escrita” e “não utilizado/desacoplado”. Esse
último estado é exatamente o estado “Z”.
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Perceba que o valor “X” foi utilizado para auxiliar na simpli�icação da célula “~A.B”. Porém, caso a célula
vizinha já tivesse sido englobada por algum outro agrupamento, ou caso o elemento “X” estivesse isolado,
farı́amos com que o “X” valesse “0”. Assim, podemos ressaltar que o elemento “X” somente valerá “1” caso ele
seja útil na simpli�icação de algum elemento “1” que faça vizinhança.
Para possibilitar uma melhor abstração de quando é viável a utilização do “X” no processo de agrupamentos,
vamos analisar a �igura a seguir, que contempla uma tabela-verdade de um circuito hipotético que manipula
três variáveis:
Figura 8 - Tabela-verdade, mapa de Karnaugh e diagrama esquemático de um circuito hipotético em que as
variáveis de entrada nunca assumirão o valor “1” simultaneamente.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
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gilso
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Na �igura, o “X” localizado na coordenada “A.B.C” foi utilizado como elemento “1”, pois ele possibilita uma
maior otimização dos itens presentes nas coordenadas “~A.B.~C”, “A.B.~C” e “~A.B.C”, estabelecendo-se,
assim, uma quádrupla. Por outro lado, caso tivéssemos feito o “X” presente na coordenada “~A.~B.~C”,
farı́amos com que aparecesse uma parcela a mais na expressão resultante otimizada. Essa parcela seria
redundante, pois a célula contendo o “1” da coordenada “~A.B.~C” já pertenceria a um agrupamento.
Como mencionado, o mapa de Karnaugh é ideal para manipular um número pequeno de variáveis, pois a partir
da quinta variável, um novo plano deve ser aberto, de modo que teremos que identi�icar grupos de elementos
“1” vizinhos nos planos que estão sendo manipulados. Para �inalizar, é conveniente passar a dica de que
podemos realizar agrupamentos dos elementos “0” em vez de agrupamentos de “1”. Porém, nesse caso,
deveremos inverter a expressão resultante. Esse macete é útil quando se tem uma grande quantidade de
elementos “1” e poucos elementos “0” bem posicionados. 
Por exemplo, imagine que em um mapa de quatro variáveis (16 células) temos apenas dois elementos “0”,
formando uma dupla. Podemos obter a expressão booleana dessa dupla, e, depois, complementar a expressão
resultante. 
Figura 9 - Dois momentos da utilização do valor booleano “X” (“tanto faz”) no processo de simpli�icação,
utilizando mapa de Karnaugh.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
gilso
Comentário do texto
serve para identificar casos nos quais
uma certa informação é irrelevante para o resultado da expressão lógica e,
consequentemente, para o circuito.
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Realce
VAMOS PRATICAR?a) Extraia a expressão na forma de soma de produtos e na forma de pro
somas a partir de uma tabela-verdade de 8 linhas (envolvendo as variá
“B” e “C”) cuja coluna de saıd́a é: 11101010 (o bit “1” mais à e
corresponde à linha “A=0”, “B=0” e “C=0”, e, consequentemente, o valor “0
direita, corresponde à linha “A=1”, “B=1” e “C=1”). Extraia a expressão a p
tabela-verdade na forma de soma de produtos e, depois, na forma de pro
somas. Após extrair as duas expressões, aplique as propriedades da 
booleana para provar que as duas expressões são equivalentes.
b) Utilizando o mapa de Karnaugh, simpli�ique a expressão booleana cuja
verdade é expressa pela seguinte coluna de saıd́a: 10X011010010XX0
“1” mais à esquerda corresponde à linha “A=0”, “B=0”, “C=0” e “D
consequentemente, o valor “X” mais à direita corresponde à linha “A=1
“C=1” e “D=1”).
Síntese
Chegamos ao �im desta unidade. Nessa nossa conversa, pudemos colocar um pouco de prática em nossos
circuitos, pois vimos como passar os sistemas lógicos digitais das expressões para os circuitos propriamente
ditos. Pudemos, ainda, extrair as próprias expressões booleanas a partir das tabelas-verdade para, depois,
aplicarmos técnicas de simpli�icação de modo a otimizar os circuitos obtidos. Com os pontos abordados,
você está apto a desenvolver os seus primeiros circuitos digitais, podendo comprovar suas funcionalidades
por meio de simuladores, ou realizando a sua implementação fı́sica.
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
ter um contato inicial com os componentes físicos que
implementam os componentes básicos da eletrônica digital;
colocar em prática as teorias vistas até o momento em Sistemas
Digitais;
saber identificar e manusear os componentes da eletrônica
digital;
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gilso
Comentário do texto
a) Extraia a expressão na forma de soma de produtos e na forma de produto de somas a partir de uma tabela-verdade de 8 linhas (envolvendo as variáveis “A”, “B” e “C”) cuja coluna de saída é: 11101010 (o bit “1” mais à esquerda corresponde à linha “A=0”, “B=0” e “C=0”, e, consequentemente, o valor “0” mais à direita, corresponde à linha “A=1”, “B=1” e “C=1”). Extraia a expressão a partir da tabela-verdade na forma de soma de produtos e, depois, na forma de produto de somas. Após extrair as duas expressões, aplique as propriedades da álgebra booleana para provar que as duas expressões são equivalentes.

b) Utilizando o mapa de Karnaugh, simplifique a expressão booleana cuja tabela-verdade é expressa pela seguinte coluna de saída: 10X011010010XX0X (o bit “1” mais à esquerda corresponde à linha “A=0”, “B=0”, “C=0” e “D=0”, e, consequentemente, o valor “X” mais à direita corresponde à linha “A=1”, “B=1”, “C=1” e “D=1”).
projetar e modelar circuitos por meio de suas tabelas-verdade e
expressões booleanas;
aplicar as teorias acerca da lógica booleana para simplificar
expressões lógicas.
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Bibliografia
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(Graduação em Bacharelado em Ciência da Computação) – Instituto de Ciências Exatas, Universidade de
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