Cálculo Estrutural - Sistemas Isostáticos e Hiperestáticos

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FACULDADE JAGUARIÚNA 
Faculdade de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
SISTEMAS ISOSTÁTICOS E HIPERESTÁTICOS 
 
 
 
 
 
 Adriano de Aquino Paiva da Silva 
 
 
 
 
 
 
 
Jaguariúna, SP 
2012 
2 
 
FACULDADE JAGUARIÚNA 
Faculdade de Engenharia Civil 
 
 
Adriano de Aquino Paiva da Silva 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado como parte das 
atividades desenvolvidas ao longo do 
aprendizado no curso de Metodologia de 
Pesquisa Científica, da graduação em 
Engenharia Civil na Faculdade Jaguariúna. 
 
 Professora: Dra. Marilza das Neves 
 
 
 
 
 
 
Jaguariúna, SP 
2012 
 
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 Tente 
E não diga que a vitória está perdida 
Se é de batalhas que se vive a vida 
Tente outra vez 
 
(Raul Seixas) 
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Resumo 
 
 Para identificarmos os Sistemas Isostáticos e Hiperestáticos, é preciso de uma análise que 
abrange os estudados da Estática e Resistência dos Materiais. 
 Neste trabalho serão apresentados os conceitos de Estática e Resistência dos Materiais, para 
que se possa entender com clareza os Sistemas Isostáticos e Hiperestáticos, também serão 
apresentados os principais tipos de vínculos em estruturas, com exemplos de aplicações mais 
usuais. 
 
Palavras Chave: Sistemas Isostáticos e Hiperestáticos, Vínculos, Estática, Resistência dos 
Materiais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Abstract 
 
To identify the isostatic and hyperstatic systems, we need an analysis that covers the study of 
Statics and Strength of Materials. 
 In this paper we present concepts of Statics and Strength of Materials, so you can clearly 
understand the isostatic and hyperstatic systems also will present the main types of bonds in 
structures, xamples of applications with more usual. 
 
Key Words: Isostatic System, hyperstatic System, Bonds, Statics, Strength of Materials. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lista de Figuras 
 
Figura 2.1 – Bloco sobre uma mesa ........................................................................................ 9 
Figura 3.1 – Exemplo de estruturas ...................................................................................... 10 
Figura 3.2.1 – Estruturas reticuladas ................................................................................... 11 
Figura 3.2.2 – Estruturas de superfícies ............................................................................... 12 
Figura 3.3.1 – Casa fabricada em estrutura metálica ......................................................... 12 
Figura 3.3.2 – Estrutura de concreto (Ponte estaiada de São Paulo) ................................. 13 
Figura 3.3.3 – Casa de campo em madeira........................................................................... 14 
Figura 3.3.4 – Estrutura natural de pedra ........................................................................... 14 
Figura 4 – Tipos de Ligações ................................................................................................. 15 
Figura 4.1 – Ligação Flexível ................................................................................................ 16 
Figura 4.2 – Ligação Semi-Rígida ........................................................................................ 17 
Figura 4.3 – Ligação Rígida .................................................................................................. 17 
Figura 5 – Sistemas Hipostáticos .......................................................................................... 18 
Figura 6 – Sistemas Isostáticos .............................................................................................. 19 
Figura 7 – Sistemas Hiperestáticos ....................................................................................... 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
1. Introdução .......................................................................................................................... 8 
2. Estática ............................................................................................................................... 9 
3. Estruturas ........................................................................................................................ 10 
3.1 O que são Estruturas .............................................................................................. 10 
3.2 Componentes de uma estrutura ............................................................................. 10 
3.2.1. Classificação quanto aos elementos estruturais ............................................ 10 
3.3 Materiais das Estruras ............................................................................................ 12 
3.3.1. Estruturas em aço ............................................................................................ 12 
3.3.2. Estruturas de Concreto ................................................................................... 13 
3.3.3. Estruturas de Madeira .................................................................................... 13 
3.3.4. Estruturas Naturais ......................................................................................... 14 
4. Vínculos ............................................................................................................................ 15 
4.1 Ligações Flexíveis ..................................................................................................... 16 
4.2 Ligações Semi-Rígidas ............................................................................................. 16 
4.3 Ligações Rígidas ....................................................................................................... 17 
5. Estruturas Hipostáticas .................................................................................................. 18 
6. Estruturas Isostáticas ...................................................................................................... 18 
7. Estruturas Hiperestáticas ............................................................................................... 19 
8. Conclusão ......................................................................................................................... 20 
9. Referências Bibliográficas .............................................................................................. 21 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Introdução 
 
Segundo (Nash, William Arthur, 1922) embora aos fundamentos da estática dos corpos 
rígidos fossem do conhecimento dos cientistas da antiga Grécia, nada relativamente 
importante até a Renascença. Então, Leonardo da Vinci (1452-1519) e, mais tarde, Galileo 
(1564-1642), interessaram pela estática dos corpos deformáveis e pelas propriedades 
mecânicas dos materiais que se utilizam na engenharia. O livro de Galileo, “Duas novas 
ciências” apresentou, pela primeira vez, uma discussão das propriedades dos materiais que se 
utilizavam nas estruturas, e também o primeiro estudo da resistência das vigas. A lei de 
Hooke, segundo a qual as tensões são proporcionais são proporcionais às deformações, 
simplificou os estudos, daí por diante, o progresso neste campo de conhecimento tomou um 
novo impulso. Jacob Bernoulli (1654-1705) e Leonard Euler (1707-1783) prosseguiram nos 
estudos de deformações das barras. A distribuição das tensões normais, nas seções 
transversais das vigas, foi apresentada em 1776, por Coulomb (1736-1806). Navier (1785-
1836) aperfeiçoou o estudo da flexão das vigas podendo, mesmo, afirmar que as bases da 
moderna Resistência dos Materiais são derivadas de Coulomb e Navier. 
Cronologicamente, o desenvolvimento da Resistência dos Materiais seguiu-se ao 
desenvolvimento das leis da estática. A estática considera os efeitos externos das forças que 
atuam em um corpo, isto é, o fato o fato das forças tenderema alterar o estado de movimento 
do corpo. A Resistência dos Materiais considera os efeitos internos, isto é, o estado das 
tensões e de deformações que se origina no corpo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Estática 
A estática é a parte da física que estuda sistemas sob ação de forças que se equilibram. De 
acordo com a segunda lei de Newton, a aceleração destes sistemas é nula. 
Com base na primeira lei de Newton, todas as partes de um sistema em equilíbrio 
também estão em equilíbrio. Este fato permite determinar as forças internas de um corpo a 
partir do valor das forças externas. 
Já a terceira lei de Newton, descreve que as forças entre dois corpos tem mesmo módulo 
e direções contrárias, com isso se permite isolar partes do sistema, e verificar as forças 
internas do sistema, tratando-as como forças entre dois corpos. 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2.1 – Bloco sobre uma mesa 
Na Figura 2.1, temos como exemplo um bloco de massa m colocado sobre uma mesa. 
Como estamos na Terra, a gravidade está atraindo este bloco, então sobre ele existe uma força 
de módulo mg apontando para baixo. Para este corpo estar em equilíbrio, precisamos que a 
soma (vetorial) de todas as forças sobre ele sejam zero. Assim, é necessário que a mesa exerça 
sobre ele outra força, igual em módulo mas de sentido contrário, ou seja, a força Fn. 
Finalmente, pela terceira Lei de Newton, o bloco exerce sobre a mesa a força Fn’, igual 
(vetorialmente) ao seu peso mg. A análise terminou aqui, mas, se fossemos analisar o 
equilíbrio da mesa, seria necessário entrar com seu peso, e com a força que o solo exerce 
sobre ela. 
 
 
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3. Estruturas 
 
3.1 O que são Estruturas 
 
Estruturas são sistemas compostos de uma ou mais peças, ligadas entre si e ao meio 
exterior de modo a formar um conjunto estável, isto é, um conjunto capaz de receber 
solicitações externas, absorvê-las internamente e transmiti-las até seus apoios, onde estas 
solicitações externas encontrarão seu sistema estático equilibrante a Figura 3.1 apresenta 
esquematicamente alguns exemplos de estruturas mais utilizadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3.1 – Exemplos de estruturas 
 
3.2 Componentes de uma estrutura 
 
Os componentes de uma estrutura são chamados de elementos, barras ou membros 
estruturais, que devem ser capazes de receber e transmitir esforços. Estes componentes podem 
ser: 
• Unidimensionais: Vigas, pilares, barras, travessas, colunas etc. 
• Bidimensionais: Folhas: as lajes e as paredes. 
• Tridimensionais: Sólidos, blocos etc. 
 
3.2.1. Classificação quanto aos elementos estruturais 
 
• Estruturas reticuladas (compostas de barras): Vigas, pórticos planos e espaciais, 
treliças planas e espaciais, grelhas, etc. 
As barras são os elementos em que uma das dimensões é maior que as outras duas, as 
dimensões da seção são nitidamente menores que a extensão da sua linha central. Barras de 
forma prismática são retas e de seção constante. A Figura 3.2.1 apresenta exemplos de 
estruturas reticuladas. 
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 Figura 3.2.1 – Estruturas reticuladas 
• Estruturas de superfícies (folhas): placas (lajes) e Chapas (paredes, vigas paredes). 
As folhas são os elementos em que uma das dimensões é muito menor que as outras duas, 
a espessura é nitidamente menor que as dimensões da seção. As placas recebem cargas 
normais ao seu plano e as chapas na direção de seu plano. Na Figura 3.2.2 é possível ver 
alguns exemplos de estruturas de superfícies. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3.2.2 – Extruturas de superfícies 
 
• Estruturas de volume: Blocos de fundação, barragens de gravidade etc. 
São os elementos tridimensionais em que as dimensões são de mesma ordem de 
grandeza. 
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3.3 Materiais das Estruturas 
 
Atualmente as estruturas podem ser construídas tendo em vistas o tipo de matéria prima 
mais abundante na região, outro aspecto que influencia no tipo de material a ser utilizado, é a 
localização da estrutura, podendo ser escolhido um material resistente as condições do 
ambiente, prevenindo assim a degradação prematura da obra. 
 
3.3.1. Estruturas em aço 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3.3.1 – Casa fabricada em estrutura metálica 
Estruturas em aço estão cada vez mais sendo utilizadas devido à rapidez na execução, e 
por resultar em uma obra mais limpa e organizada. Estruturas em aço são na sua maioria mais 
leves se comparado com outros tipos de estruturas como as de concreto armado, para a 
fabricação de galpões e coberturas as estruturas em aço são muito mais vantajosas, já são 
muito utilizadas para a fabricação de pontes, passarelas de transação entre outros, 
recentemente os arquitetos estão vendo um potencial muito grande também para a fabricação 
de residências como mostra a Figura 3.3.1, aproveitando da sofisticação e beleza que as 
estruturas metálicas podem proporcionar. 
 
 
 
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3.3.2. Estruturas de Concreto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3.3.2 – Estrutura de concreto (Ponte estaiada de São Paulo) 
O Concreto é um material da construção civil que se tornou um dos mais importantes 
elementos da arquitetura do século XX. É usado nas estruturas de edifícios, pavimentos, 
paredes, fundações, barragens, reservatórios entre outros. 
O concreto por possui pouca resistência a tração, por isso recebe uma armadura metálica 
responsável por resistir aos esforços de tração, enquanto que o concreto em si resiste à 
compressão, esse conjunto recebe o nome de concreto armado, a Figura 3.3.2 ilustra a 
utilização do concreto armado na ponte estaiada Octávio Frias de Oliveira na cidade de São 
Paulo – SP. 
 
3.3.3. Estruturas de Madeira 
A madeira é um dos materiais de utilização mais antiga nas construções, foi utilizada por 
todo o mundo, nas civilizações primitivas, nas desenvolvidas, no oriente ou ocidente. Com a 
revolução industrial a Inglaterra, como grande potência impõe a arquitectura em metal e a 
utilização da madeira vem diminuindo, outro agravante é o seu valor que vem aumentando, 
 
tornando a sua utilização pouco atraente
madeira como na Figura 3.3.3 uma casa de campo totalmente em madeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3.3.3 – Casa de campo em madeira
 
3.3.4. Estruturas Naturais
 
Na natureza também econtramos exemplos de estruturas, como exemplo a Figura 3.3.4, 
que apresenta a estrutura de um arco em pedra, semelhante a uma ponte
que se faz atualmente tem inspiração nas maravilhosas obras da natureza.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3.3.4 – Estrutura natural de pedra
tornando a sua utilização pouco atraente. Felizmente ainda podemos ver lindas estruturas de 
madeira como na Figura 3.3.3 uma casa de campo totalmente em madeira. 
Casa de campo em madeira 
Estruturas Naturais 
natureza também econtramos exemplos de estruturas, como exemplo a Figura 3.3.4, 
que apresenta a estrutura de um arco em pedra, semelhante a uma ponte
que se faz atualmente tem inspiração nas maravilhosas obras da natureza.
Estrutura natural de pedra 
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. Felizmente ainda podemos ver lindas estruturas de 
madeira como na Figura 3.3.3 uma casa de campo totalmente em madeira. 
natureza também econtramos exemplos de estruturas, como exemplo a Figura 3.3.4, 
que apresenta a estrutura de um arco em pedra, semelhante a uma ponte. Muita das estruturas 
que se faz atualmente tem inspiração nas maravilhosas obras da natureza. 
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4. Vínculos 
 
Estruturas podem ser planas ou espaciais, estruturas espaciais possuem seis graus de 
liberdade: três translações e três rotações segundo três eixos ortogonais. 
A fim de evitar a tendência de movimento da estrutura, estes graus de liberdade precisam 
ser restringidos. Estas restrições são dadas pelos vínculos ou ligações, que são dispositivos 
mecânicos que por meio de esforços reativos,impedem certos deslocamentos da estrutura. 
Estes esforços reativos, juntamente com as ações (cargas aplicadas à estrutura) formam 
um sistema em equilíbrio estático. Estas ligações dividem-se nos seguintes tipos: 
• Ligações Flexíveis 
• Ligações Semi-Rígidas 
• Ligações Rígidas 
A Figura 4. ilustra as ligações descritas a cima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4 – Tipos de Ligações 
 
 
 
 
 
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4.1 Ligações Flexíveis 
 
Nestas ligações a restrição à rotação relativa entre os elementos estruturais deve ser tão 
pequena quanto se consiga obter na prática. 
No caso de vigas, sujeitas à flexão simples, por exemplo, a ligação flexível transmite 
apenas a força cortante. 
A ligação é considerada flexível se a rotação relativa entre as partes, após o 
carregamento, atingir 80 por cento ou mais daquela teoricamente esperada caso a conexão 
fosse totalmente livre de girar, a Figura 4.1 apresenta o detalhamento de uma ligação flexível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.1 – Ligação Flexível 
 
 
 
4.2 Ligações Semi-Rígidas 
 
Nesse caso a restrição à rotação está entre 20 e 90 por cento daquela teoricamente 
necessária para evitar qualquer rotação. 
Então o momento transmitido através da conexão não é nem zero (ou próximo de zero) 
como no caso de ligações flexíveis e nem o momento máximo (ou próximo dele) como no 
caso de conexões rígidas. A Figura 4.2 é um exemplo desta ligação. 
 
 
 
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 Figura 4.2 – Ligação Semi-Rígida 
 
 
4.3 Ligações Rígidas 
 
A ligação é tal que o ângulo entre os elementos estruturais que se interceptam permanece 
essencialmente o mesmo após o carregamento da estrutura, com uma restrição à rotação da 
ordem de 90 por cento ou mais daquela teórica necessária à ocorrência de nenhuma rotação, 
para isso são utilizados elementos com espessura elevadas para garantir que não se deforme 
como mostra a Figura 4.3. 
É mais onerosa em comparação às flexíveis, pois transmite, além do esforço cortante, 
momento fletor. No entanto, pode tornar-se interessante do ponto de vista de economia global 
da estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.3 – Ligação Rígida 
 
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5. Sistemas Hipostáticos 
 
As estruturas hipostáticas não são estáveis, não possuem equilíbrio estático, tendo por 
isso algum movimento (grau de liberdade) não restringido. 
De um modo geral, estas estruturas possuem um numero de reações de apoio inferior ao 
numero e equações de equilíbrio estático. No entanto, é igualmente possível realizar uma 
estrutura hipostática com um numero de reações iguais ou ate superior ao numero de equações 
de equilíbrio estático desde que essas reações estejam dispostas de forma ineficaz. 
A Figura 5. apresenta exemplo de estrutura hipostática com um numero de reações de 
apoio inferior ao numero de equações de equilíbrio estático. 
 
 
 
 
 Figura 5 – Sistemas Hipostáticos 
 
6. Sistemas Isostáticos 
 
As estruturas isostáticas têm o numero de rações estritamente necessário para impedir 
qualquer movimento. As reações estão eficazmente dispostas de forma a restringir os 
possíveis movimentos da estrutura. 
Podem ser definidos dois tipos de estruturas isostáticas: 
• Estruturas em que o numero de reações é igual ao numero de equações de equilíbrio da 
estática. 
• Estruturas em que o numero de reações é superior ao numero de equações de 
equilíbrio da estática tornadas isostáticas mediante a libertação criteriosa de ligações entre os 
possíveis corpos de estrutura global. 
A Figura 6. apresenta exemplo de estrutura isostática com um numero de reações de 
apoio igual ao numero de equações de equilíbrio estático. 
 
 
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 Figura 6 – Sistemas Isostáticos 
 
7. Sistemas Hiperestáticos 
 
Estruturas hiperestáticas têm um numero de reações superiores ao estritamente 
necessário para impedir qualquer movimento. Verifica-se, então, a possibilidade de, ao 
serem criteriosamente retiradas determinas reações, estas estruturas continuarem a não 
apresentar movimento sendo, portanto estáveis. O grau de hiperestaticidade é igual ao 
numero de ligações que podem ser suprimida de forma que a estrutura se torne isostática. 
Dai se deduz que uma estrutura isostática terá um grau de hiperestaticidade igual à zero. 
Estas estruturas não podem ser calculadas apenas com recursos das equações de equilíbrio 
estático, é preciso de equações adicionais que levem em conta as condições de 
deslocamento. 
 A Figura 7. apresenta exemplos de estruturas hiperestáticas com reações suprimidas, 
de modo a caracterizar o grau de hiperestaticidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 7 – Sistemas Hiperestático 
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8. Conclusão 
 
 
É possível observar que estruturas Hipostáticas, Isostáticas e Hiperestáticas se diferem 
pelo tipo de vínculos que possuem, ou seja, pelo numero de graus de liberdade da estrutura. 
As estruturas Isostáticas são estruturas mais utilizadas, devido aos cálculos das ligações 
serem relativamente mais simples, por permitir rotação os elementos das ligações não 
necessitam de espessuras elevadas, sendo que é preciso resistir apenas forças cortantes. 
Estruturas Hiperestáticas necessitam de cálculos mais refinados no dimensionamento das 
ligações, como a rotação neste caso não é desejada, os elementos necessitam de espessuras 
elevadas para que não se deformem. 
Uma estrutura pode possuir elementos Isostáticos e Hiperestáticos combinados, para 
aproveitar ao máximo o desempenho dos componentes. Usando o exemplo de um pórtico, se 
as vigas forem ligadas as colunas com ligações flexíveis elas não transmitira momento fletor 
para as colunas assim as colunas irão receber apenas forças normais de compressão, no 
entanto a ligação da coluna com a fundação deverá ser rígida para que a estrutura alcance o 
equilíbrio, já a viga será mais solicitada. 
A utilização de cada tipo de estrutura dependerá do tipo de solicitação, cabendo ao 
projetista responsável analisar e definir qual a melhor opção para garantir uma estrutura 
eficiente e econômica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9. Referências Bibliográficas 
 
NASH W. A. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 1971. 
TIMOSHENKO, S. P., GERE, J. E. Mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro: 
Livros Técnicos e Científicos, 1989. v. 1. 
VIEIRA, R. F. Estudo da influência dos contraventamentos na instabilidade de estruturas 
metálicas aporticadas. Campinas, SP: [s.n.], 1998. 
BEER, F. P., JOHNSTON Jr., R. Mecânica vetorial para engenheiros - estática. 
 São Paulo, Makron Books, 2004. 5ed. 
SOUZA, A. S. C. Dimensionamento de elementos estruturais em aço segundo a NBR 
8800:2008. São Carlos, 2011. 
PAMPLONA, C. F. M., Barbosa, P., Resistência dos Materiais X, www.uff.br/teleresmat.