Modulo_09_RelacoesTermodinamicas

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Algumas propriedades termodinâmicas podem ser medidas diretamente, mas muitas 
outras não. Portanto, é necessário desenvolver algumas relações entre esses dois 
grupos para que as propriedades que não podem ser medidas diretamente possam ser 
avaliadas. As derivações são baseadas no fato de que as propriedades são funções 
pontuais e o estado de um sistema simples e compressível é completamente 
especificado por duas propriedades intensivas independentes.
ALGUMAS PRELIMINARES MATEMÁTICAS
As propriedades termodinâmicas são funções pontuais contínuas e possuem 
diferenciais exatas. Uma propriedade de um sistema de componente único pode ser 
escrita como função matemática geral z = z (x, y). Por exemplo, esta função pode ser a 
pressão P = P (T, v). O diferencial total de z é escrito como
𝑑𝑧 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑦
𝑑𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑥
𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝑀𝑑𝑥 + 𝑁𝑑𝑦
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Introdução
Sendo:
𝑀 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑦
𝑒 𝑁 =
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑥
𝑑𝑦
Tomando a derivada parcial de M em relação a y e de N em relação a x, obtém-se:
Como as propriedades são funções pontuais contínuas e possuem diferenciais exatas, o 
seguinte é verdadeiro:
As equações que relacionam as derivadas parciais das propriedades P, v, T e s de uma
substância compressível simples entre si são denominadas relações de Maxwell. Elas
são obtidos a partir das quatro equações de Gibbs. As duas primeiras equações de
Gibbs são aquelas resultantes da energia interna u e da entalpia h
𝑑𝑢 = 𝑇𝑑𝑠 − 𝑃𝑑𝑣
𝑑ℎ = 𝑇𝑑𝑠 + 𝑣𝑑𝑃
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Introdução
As outras duas equações de Gibbs resultam das definições da função Helmholtz
(a) e da função Gibbs (g) definida como:
Definindo as segundas derivadas parciais mistas iguais para essas quatro funções 
produz as relações de Maxwell
𝑎 = 𝑢 − 𝑇𝑠
𝑑𝑎 = 𝑑𝑢 − 𝑇𝑑𝑠 − 𝑠𝑑𝑇
𝑑𝑎 = −𝑠𝑑𝑇 − 𝑃𝑑𝑣
𝑔 = ℎ − 𝑇𝑠
𝑑𝑔 = 𝑑ℎ − 𝑇𝑑𝑠 − 𝑠𝑑𝑇
𝑑𝑔 = −𝑠𝑑𝑇 + 𝑣𝑑𝑃
𝜕𝑇
𝜕𝑣
𝑠
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑠
𝑣
𝜕𝑇
𝜕𝑃
𝑠
=
𝜕𝑣
𝜕𝑠
𝑃
𝜕𝑠
𝜕𝑣
𝑇
=
𝜕𝑃
𝜕𝑇
𝑣
𝜕𝑠
𝜕𝑃
𝑇
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑇
𝑃
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Introdução
Desenvolve-se duas relações mais importantes para derivadas parciais: a reciprocidade 
e as relações cíclicas. Considere a função z = z (x, y) expressa com x = x (y, z). O 
diferencial total de x é:
Agora combinando as expressões para dx e dz:
Rearranjando:
𝑑𝑥 =
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝑧
𝑑𝑦 +
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝑦
𝑑𝑧
𝑑𝑧 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝑧
𝑑𝑦 +
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝑦
𝑑𝑧 𝑑𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑥
𝑑𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝑧
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑥
𝑑𝑦 = 1 −
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑦
𝑑𝑧
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Introdução
Como y e z são independentes um do outro, os termos em cada colchete devem ser 
zero. Assim, obtemos a relação de reciprocidade que mostra que o inverso de uma 
derivada parcial é igual ao seu recíproco.
A segunda relação é chamada de relação cíclica:
1 −
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑦
= 0
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝑦
=
1
𝜕𝑧
𝜕𝑥 𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝑧
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑥
= 0
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝑧
= −
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑦
= −1
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Introdução
Outro modo de escrever esse resultado é:
A equação de Clayperon
A equação de Clayperon permite 
determiner a mudança de entalpia 
associada a mudança de fase (hfg) a 
partir do conhecimento dos dados de P, 
v e T.
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝑧
= −
𝜕𝑦
𝜕𝑧 𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑥 𝑦
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Equação de Clayperon
Considerando a terceira relação de Maxwell:
Durante a mudança de fase, a pressão é a pressão de saturação, que depende 
apenas da temperatura e é independente do volume específico. Isso é Psat = f(Tsat). 
Portanto, a derivada parcial 𝜕𝑃 𝜕𝑇 𝑣 pode ser expressa como uma derivada total 
(dP/dT)sat, que é a inclinação da curva de saturação em um diagrama P-T em um 
estado especificado. Essa inclinação é independente do volume específico e, 
portanto, pode ser tratada como uma constante durante a integração da terceira 
relação de Maxwell entre dois estados de saturação na mesma temperatura. Para 
um processo isotérmico de mudança de fase de vapor líquido, a integração gera
𝜕𝑠
𝜕𝑣
𝑇
=
𝜕𝑃
𝜕𝑇
𝑣
 
𝑓
𝑔
𝑑𝑠 = 
𝑓
𝑔 𝜕𝑃
𝜕𝑇
𝑣
𝑑𝑣 𝑠𝑔 − 𝑠𝑓 =
𝜕𝑃
𝜕𝑇
𝑠𝑎𝑡
𝑣𝑔 − 𝑣𝑓
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Equação de Clayperon
Durante o processo de mudança de fase, a pressão também permanece constante. 
Portanto, a partir da relação de entalpia
Agora obtemos a equação de Clapeyron expressa como
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Mudança de fase
Exemplo: Usando apenas dados de P-v-T, estime a entalpia de vaporização da 
água a 45ºC.
A entalpia da vaporização é dada pela equação de Clapeyron como
Usando os dados P-v-T para água da Tabela A-4:
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Mudança de fase
𝑣𝑓𝑔 = 𝑣𝑔 − 𝑣𝑓 45º𝐶
= 15251 − 0,001010 = 15250
m3
kg
𝑑𝑃
𝑑𝑇
𝑠𝑎𝑡
≅
∆𝑃
∆𝑇
𝑠𝑎𝑡
=
𝑃𝑠𝑎𝑡,50º𝐶 − 𝑃𝑠𝑎𝑡,40º𝐶
50 − 40
=
12,35 − 7,385
10
= 0,4965
𝑘𝑃𝑎
𝐾
ℎ𝑓𝑔 = 𝑇𝑣𝑓𝑔
𝑑𝑃
𝑑𝑇
𝑠𝑎𝑡
ℎ𝑓𝑔 = 𝑇𝑣𝑓𝑔
𝑑𝑃
𝑑𝑇
𝑠𝑎𝑡
= 10 + 273,15 15250 0,4965 = 2371,1
kJ
kg
O valor real de hlv é 2394,0 kJ/kg. A aproximação da equação de Clapeyron é baixa 
em cerca de 1% devido à aproximação da inclinação da curva de saturação a 45ºC.
Para processos de mudança de fase de vapor líquido e vapor sólido a baixas 
pressões, pode-se obter uma aproximação à equação de Clapeyron tratando a fase 
vapor como um gás ideal e negligenciando o volume específico da fase líquida ou 
sólida saturada em comparação com a de a fase de vapor. A baixas pressões:
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Equação de Clapeyron-Clausius
𝑣𝑔 ≫ 𝑣𝑓 𝑣𝑓𝑔 ≅ 𝑣𝑔 𝑣𝑔 =
𝑅𝑇
𝑃
𝑑𝑃
𝑑𝑇
𝑠𝑎𝑡
=
ℎ𝑓𝑔
𝑇𝑣𝑓𝑔
=
ℎ𝑓𝑔
𝑇
𝑅𝑇
𝑃
=
𝑃ℎ𝑓𝑔
𝑅𝑇2
𝑑𝑃
𝑃
𝑠𝑎𝑡
=
ℎ𝑓𝑔
𝑅
𝑑𝑇
𝑇2
𝑠𝑎𝑡
Para pequenos intervalos de temperatura, o hfg pode ser tratado como uma constante em 
algum valor médio. A integração dessa equação entre dois estados de saturação gera
As mudanças na energia interna, entalpia e entropia de uma substância simples e 
compressível podem ser expressas em termos de pressão, volume específico, 
temperatura e aquecimentos específicos.
Considere a energia interna expressa em função de T e v.
Lembrando da definição do calor específico em volume constante
Então du se torna:
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Relações gerais para du, dh, ds, Cv e Cp
Agora vamos ver se podemos avaliar 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝑇 apenas em termos de dados P-v-T. 
Considere a entropia como uma função de T e v. Isto é:
Substituindo ds na relação T.ds por u:
Comparando esses dois resultados para du:
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Relações gerais para du, dh, ds, Cv e Cp
Usando a terceira relação de Maxwell
T v
T v
s P
v T
u P
T P
v T
    
   
    
    
    
    
Observe que a derivada 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝑇 é uma função apenas do P-v-T. Assim, o diferencial 
total para u = u (T, v) é escrito como
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Relações gerais para du, dh, ds, Cv e Cp
Para gases ideais:
Exemplo: a energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura? 
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Relações gerais para du, dh, ds, Cv e Cp
A derivada parcial da energia interna para um gás ideal é dada por:
Esse resultado ajuda a mostrar que a energia interna de um gás ideal não depende do 
volume específico. Para mostrar completamente que a energia interna de um gás ideal 
é independente do volume específico, precisamos mostrar que os aquecimentos 
específicos dos gases ideais são apenas funções da temperatura.
Também podemos encontrar as seguintes relações para dh e ds sendo h função de T e 
P e s função de T e v ou T e P.
Exemplo: a energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura? 
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Relações gerais para du, dh, ds, Cv e Cp
Exemplo) Determine uma expressão para a alteração da entropia de um gás ideal 
quando os dados de temperatura e pressão são conhecidos e os aquecimentos 
específicos sãoconstantes.
Para o calor específico constante:
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Relações gerais para du, dh, ds, Cv e Cp
Para um gás ideal:
Exercício: Determine a expressão para dh quando h = h (T, v).
Para aquecimentos específicos, as seguintes relações gerais aplica-se:
Seja Cp0 o calor específico a pressão constante do gás ideal a baixa pressão. A 
integração da relação acima para Cp ao longo de um caminho isotérmico (T = constante) 
produz:
Dada a equação de estado, podemos avaliar o lado direito e determinar o calor 
específico real como Cp = Cp (T, P).
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Relações gerais para du, dh, ds, Cv e Cp
Outras relações para os calores específicos são:
Sendo  a coeficiente de expansão volumétrica e  o fator de compressibilidade 
isotérmica, definida como:
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Relações gerais para du, dh, ds, Cv e Cp
e
A diferença Cp - Cv é igual a R para gases ideais e zero para substâncias 
incompressíveis (v = constante).
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Relações gerais para du, dh, ds, Cv e Cp
Exemplo) Determine Cp – Cv para gases ideais
Para um gás ideal:
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Relações gerais para du, dh, ds, Cv e Cp
Exemplo) Mostre que Cv de um gás ideal não depende do volume específico.
Portanto, o calor específico em volume constante de um gás ideal é independente 
do volume específico.
O comportamento da temperatura de um fluido durante um processo de 
estrangulamento (h = constante) é descrito pelo coeficiente de Joule-Thomson, 
definido como
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
O Coeficiente de Joule-Thomson
O coeficiente de Joule-Thomson é uma medida da mudança de temperatura de 
uma substância com pressão durante um processo de entalpia constante, e 
também pode ser expresso como:
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
O Coeficiente de Joule-Thomson
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Entalpia, Energia Interna e Entropia para Gases Reais
As mudanças de entalpia, energia interna e entropia de gases reais podem ser 
determinadas com precisão utilizando gráficos de entalpia ou entropia generalizados 
para explicar o desvio do comportamento do gás ideal. Considerando a entalpia como 
função de T e P [h = h (T, P)]:
Para integrar essa relação para obter a expressão para a mudança de entalpia de um 
gás real, precisamos da equação de estado, da relação P-v-T e dos dados de Cp. 
Usando os gráficos de compressibilidade generalizada e o fator de compressibilidade 
para fornecer os dados da equação do estado e integrando a equação dh entre dois 
estados de T1 e P1 a T2 e P2:
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Entalpia, Energia Interna e Entropia para Gases Reais
Como a entalpia é uma propriedade e, portanto, é uma função pontual, podemos 
realizar a integração por qualquer caminho conveniente. Vamos usar o caminho 
mostrado abaixo.
h h h h h h h h2 1 2 2 2 1 1 1      
   ( ) ( ) ( )
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Entalpia, Energia Interna e Entropia para Gases Reais
O caminho é composto por um processo isotérmico em T1 de P1 a P0 (P0 é a menor 
pressão em que o gás é um gás ideal ou possa ser considerado zero), um processo 
de pressão constante em P0 de T1 a T2 e, finalmente, um processo isotérmico em T2
de P0 a P2. Usando o asterisco sobrescrito (*) para indicar o estado do gás ideal, a 
mudança de entalpia para o gás real é expressa como
Para o processo 2* a 2, com T2 = constante:
Para o processo 1 a 1*, T1 = constante. 
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Entalpia, Energia Interna e Entropia para Gases Reais
Para o processo 1* a 2*, P0 é constante (Cp0 é o calor específico no estado ideal do 
gás):
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Entalpia, Energia Interna e Entropia para Gases Reais
A diferença de entalpia (h* - h) é chamada de desvio da entalpia e representa a 
variação da entalpia de um gás com pressão a uma temperatura fixa. Quando não 
temos os dados reais de P-v-T para o gás, podemos usar o fator de 
compressibilidade para relacionar P, v e T por 𝑃𝑣 = 𝑍𝑅𝑇. Sendo 𝑍 uma função de T e 
P, obtida através da temperatura reduzida Tr 𝑇𝑟 = 𝑇 𝑇𝑐𝑟 , e da pressão reduzida Pr
𝑃𝑟 = 𝑃 𝑃𝑐𝑟 .
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Entalpia, Energia Interna e Entropia para Gases Reais
Notando que:
 ln
u
cr R
cr R
R
R
M
T T T
P P P
dP
d P
P




escrevemos o desvio de entalpia em termos do 
fator de partida de entalpia Zh, como:
   
   
2 1
2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
u cr h h
ideal
cr h hideal
h h h h R T Z Z
h h h h RT Z Z
    
    
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Entalpia, Energia Interna e Entropia para Gases Reais
Zh é dado como uma função de Pr e Tr na Figura A-29, chamada de tabela de partidas 
de entalpia. Na Figura A-29 h * foi substituído por hideal. A mudança de entalpia entre 
os dois estados 1 e 2 é
Exemplo: O gás propano flui constantemente através de um tubo. O estado de 
entrada é 407 K e 5,21 MPa, e o estado de saída é 370 K e 4,26 MPa. Determine a 
perda de calor do propano para os arredores por unidade de massa de propano.
Conservação de massa: 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚
Conservação de Energia: 𝐸𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝐸𝑠𝑎𝑖
 𝑚1ℎ1 = 𝑄𝑠𝑎𝑖 + 𝑚2ℎ2
 𝑄𝑠𝑎𝑖 = 𝑚 ℎ1 − ℎ2
Agora, aproximamos a diferença de entalpia usando a análise de gás real acima e 
determinamos a transferência de calor por unidade de massa como:
𝑞𝑠𝑎𝑖 =
 𝑄𝑠𝑎𝑖
 𝑚
= ℎ1 − ℎ2
𝑞𝑠𝑎𝑖 = − ℎ2 − ℎ1 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 − 𝑅𝑇𝑐𝑟 𝑍ℎ2 − 𝑍ℎ1
𝑞𝑠𝑎𝑖 = 𝐶𝑝0 𝑇1 − 𝑇2 + 𝑅𝑇𝑐𝑟 𝑍ℎ2 − 𝑍ℎ1
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Entalpia, Energia Interna e Entropia para Gases Reais
Usando as Tabelas A-1 e A-2 para obter propriedades do propano. Na Tabela A-1, Tcr
= 370 K, Pcr = 4,26 MPa. Na Tabela A-2, Cp0 = 1,6794 kJ/kg.K.
𝑇𝑟,1 =
𝑇1
𝑇𝑐𝑟
=
407
370
= 1,1 𝑃𝑟,1 =
𝑃1
𝑃𝑐𝑟
=
5,21
4,26
= 1,2
𝑇𝑟,2 =
𝑇2
𝑇𝑐𝑟
=
370
370
= 1,0 𝑃𝑟,2 =
𝑃2
𝑃𝑐𝑟
=
4,26
4,26
= 1,0
Da Figura A-29: 𝑍ℎ1 = 1,45 𝑒 𝑍ℎ1 = 2,5
𝑞𝑠𝑎𝑖 = 𝐶𝑝0 𝑇1 − 𝑇2 + 𝑅𝑇𝑐𝑟 𝑍ℎ2 − 𝑍ℎ1
𝑞𝑠𝑎𝑖 = 1,6794 407 − 370 + 0,1885 370 2,5 − 1,45
𝑞𝑠𝑎𝑖 = 62,14 + 73,23 = 135,37
𝑘𝐽
𝑘𝑔
Se assumirmos o propano como gás ideal: 𝑞𝑠𝑎𝑖 = 𝐶𝑝0 𝑇1 − 𝑇2 = 62,14
𝑘𝐽
𝑘𝑔
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Entalpia, Energia Interna e Entropia para Gases Reais
O erro em assumir propano como gás ideal é:
A mudança na energia interna do gás real é dado por (u = h – Pv):
A mudança da entropia para um gás real 
a temperatura constante é determinada 
da seguinte forma. Assumindo que a 
entropia é expressa em termos de T e P 
como s = s (T, P). Então:
%𝐸𝑟𝑟𝑜 =
𝑞𝑠𝑎𝑖,𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝑞𝑠𝑎𝑖,𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙
𝑞𝑠𝑎𝑖,𝑟𝑒𝑎𝑙
100% =
135,37 − 62,14
135,37
100%
%𝐸𝑟𝑟𝑜 = 54,1%
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Entalpia, Energia Interna e Entropia para Gases Reais
Agora, vamos considerar um processo de temperatura constante e determinar a 
mudança de entropia em temperatura constante, desde a pressão zero, onde o gás 
é considerado ideal, até uma determinada pressão em que o gás é considerado real.
A substituição direta do fator de compressibilidade nessa equação não seria útil, uma 
vez que a entropia de um estado de gás ideal de pressão zero é infinita em valor. 
Contornamos isso encontrando a mudança da entropia em um processo isotérmico de 
pressão zero para a mesma pressão P, assumindo que o gás se comporte como um gás 
ideal em todos os momentos.
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Entalpia, Energia Interna e Entropia para Gases Reais
O chamado desvio da entropia (s – s*) é dado por:
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Entalpia, Energia Interna e Entropia para Gases Reais
Usando v = ZRT/P, o último resultado pode ser escrito como
Substituindo T = TcrTr e P = PcrPr e reorganizando como fizemos no termo de desvio de 
entalpia, expressamos o desvio da entropia na forma não dimensional como:
Zs é chamado fator de desvio da entropia e é encontrado na Tabela A-30, chamado 
gráfico de desvio da entropia. Na Tabela A-30, s* é substituído por sideal. A mudança da 
entropia durante um processo 1-2 é dada como:
Nota: O conceito para encontrar a mudança de entropiausando os gráficos de desvio 
da entropia é diferente daquele usado para encontrar a mudança de entalpia. A 
mudança de entropia entre dois estados é a mudança de gás ideal entre os dois 
estados, mais dois fatores de correção, um em cada estado: a entropia na saida, para 
explicar o comportamento não ideal do gás em cada estado.
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Entalpia, Energia Interna e Entropia para Gases Reais
s s s  2 1 0
ou usando os resultados reais do gás para alteração da entropia:
Exemplo) O gás dióxido de carbono é comprimido reversível e adiabaticamente
de 0,1 MPa e 220 K a 4,0 MPa. Encontre a temperatura final para o processo.
Como o processo é reversível e adiabático, o processo também é isentrópico; Portanto,
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Entalpia, Energia Interna e Entropia para Gases Reais
Exemplo) O gás dióxido de carbono é comprimido reversível e adiabaticamente
de 0,1 MPa e 220 K a 4,0 MPa. Encontre a temperatura final para o processo.
Usando as Tabelas A-1 e A-20 para obter propriedades do dióxido de carbono. 
Da Tabela A-1, Tcr = 304,2 K, Pcr = 7,39 MPa.
A Figura A-15a fornece (estado 1 é um estado de gás ideal)
𝑇𝑟,1 =
𝑇1
𝑇𝑐𝑟
=
220
304,2
= 0,724 𝑃𝑟,1 =
𝑃1
𝑃𝑐𝑟
=
0,1
7,39
= 0,0135
𝑇𝑟,2 =
𝑇2
𝑇𝑐𝑟
=
𝑇2
304,2
=? 𝑃𝑟,2 =
𝑃2
𝑃𝑐𝑟
=
4,00
7,39
= 0,541
𝑍𝑠1 = 0 𝑍𝑠2 =?
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Entalpia, Energia Interna e Entropia para Gases Reais
A Tabela A-20 fornece:
Assumindo o comportamento do gás ideal com aquecimentos específicos 
constantes para um processo isentrópico:
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Entalpia, Energia Interna e Entropia para Gases Reais
Admitindo que T2 = 500 K. A Figura A-15a fornece (estado 1 é um estado de gás ideal):
A Tabela A-20 fornece:
𝑇𝑟,2 =
𝑇2
𝑇𝑐𝑟
=
500
304,2
= 1,644 𝑍𝑠2 = 0,12
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Entalpia, Energia Interna e Entropia para Gases Reais
Admitindo que T2 = 490 K. A Figura A-15a fornece (estado 1 é um estado de gás ideal):
𝑇𝑟,2 =
𝑇2
𝑇𝑐𝑟
=
490
304,2
= 1,611 𝑍𝑠2 = 0,11
A Tabela A-20 fornece:
Portanto, 490 <T2 < 500 K. Para s = 0, 
pela interpolação T2  498 K.
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS:
Entalpia, Energia Interna e Entropia para Gases Reais