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INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E
COMUNICAÇÕES
FFFFF
Análise Matemática III
– Ficha Geral de Exercı́cios –
LECT,LEIT,LEMT
– Departamento de Ciências Básicas –
– Maputo, 19 de Julho de 2021 –
Conteúdo Conteúdo
Conteúdo
1 Elementos de análise complexa 3
1.1 Números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Integrais no plano complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Séries de Laurent. Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Equações diferenciais de ordinárias 6
2.1 Equações diferenciais com variáveis separadas e separáveis . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Equações diferenciais homogêneas da 1a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Equações diferenciais lineares da 1a ordem. Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . 7
2.4 Equações diferenciais exactas. Factor integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 ED redut́ıveis a equações de ordens inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.6 ED lineares homogêneas de ordens superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.7 ED lineares não-homogêneas de ordens superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.8 Sistemas de equações diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Transformada de Laplace 11
4 Séries Numéricas 12
5 Séries de funções 13
6 Séries de Fourier 14
LECT,LEIT,LEMT – 2021 / 20S 2 A. Marime c©, A. Muxlhanga
1 Elementos de análise complexa
Semana 01: 19 de Julho à 23 de Julho Ficha 01
1 Elementos de análise complexa
1.1 Números complexos
1. Efectuar as operações indicadas, apresentando os resultados na forma algébrica:
(a)
(
1 + i√
3 + i
)−8
(b)
(
1 + i
√
3
1− i
)40
(c)
(
1− i
−1 + i
√
3
)−6
(d)
(3 + i)10
(−2 + i)8
2. Determinar todas ráızes de potências de expoentes racionais
(a)
(
−1 + i
1−
√
3i
) 4
2
(b)
(
−3− 2i
2− 3i
)− 6
3
(c)
(
1 + i
1− i
√
3
) 5
3
(d)
(
−2 + i
1 + 2i
)− 8
4
3. Resolva as equações seguintes
(a) z3 − 8i = 0
(b) z2 − 4− 3i = 0
(c) z2 − 6 + 8i = 0
(d) z4 + iz3 + 8iz − 8 = 0
4. Achar os conjuntos dos pontos do plano complexo que se determinam pelas condições seguintes:
(a) 0 ≤ Im z ≤ 1 (b) π
2
< arg z < π (c) |z − 1| ≤ |z − i| (d) |z| < 2 + Im z
5. Indicar as linhas definidas pelas equações seguintes, dadas na forma complexa:
(a) Re
(
1
z
)
= 1
(b) |z| = 1− Im z
(c) Re(1 + z) = |z|
(d)
∣∣∣∣1z
∣∣∣∣ ≤ 2, z 6= 0
(e)
√
2|z| = Re z + 1
(f) (1 + i)z + (1− i)z + 2 = 0
6. Utilizando as condições de Cauchy-Riemann, verificar quais das funções dadas são anaĺıticas
pelo menos num ponto e quais não são:
(a) f(z) = z2z (b) f(z) = |z|z (c) f(z) = z Im z (d) f(z) = |z|Re(z̄)
7. Mostre que cada uma das funções seguintes é harmónica e recupere uma função anaĺıtica f(z)
numa vizinhança dum ponto z0, sabendo a sua parte real u(x, y) ou a sua parte imaginária
v(x, y) e o valor f(z0) :
(a) u(x, y) = x2 − y2 + 2x, f(i) = 2i− 1
(b) u(x, y) =
x
x2 + y2
, f(π) =
1
π
(c) u(x, y) = ex(x cos(y)− y sin(y)), f(0) = 0
(d) v(x, y) = 2x2 − 2y2 + x, f(0) = 0
(e) v(x, y) = arctan
y
x
, f(1) = 0, (x ≥ 0)
(f) v(x, y) = y − 2 sin(2x) sinh(2y), f(0) = −2
LECT,LEIT,LEMT – 2021 / 20S 3 A. Marime c©, A. Muxlhanga
1 Elementos de análise complexa 1.2 Integrais no plano complexo
Semana 02: 26 de Julho à 30 de Julho Ficha 02
1.2 Integrais no plano complexo
1. Calcule os integrais dados, seguindo os contornos indicados
(a)
∫
Γ
Re(z)dz, (b)
∫
Γ
Im(z)dz, (c)
∫
Γ
|z|dz,
onde Γ é poligonal que une os pontos O(0, 0), A(1, 1), B(2, 1) e orientada no sentido de O para
B.
2. Calcular
∫ −2+i
0
z2dz, seguindo
(a) a recta que une os extremos;
(b) os segmentos de z = 0 a z = −2 e de z = −2 a z = −2 + i.
3. Calcule
∫
C
|z| ·zdz, onde C é um contorno fechado limitado pela circunferência superior |z| = 1
e pelo segmento −1 ≤ x ≤ 1, y = 0, no sentido anti-horário.
4.
∮
C
dz
z2(z + π2)2
, C é a região limitada pelas circunferências |z| = 1, |z| = 2 e percorre no sentido
positivo.
5. Calcule os integrais seguintes, considerando para funções subintegrais multivalentes os ramos
uńıvocos indicados:
(a)
∫ i
−i
dz√
z
,
√
1 = −1 (b)
∫ −1+i
−1−i
ln(1 + z)dz√
1 + z
,
√
−1 = −i
6. Calcule os integrais dados, utilizando a Fórmula Integral de Cauchy
(a)
∮
Γ+
sin(z)
(z2 + 1)
dz
i. Γ : |z + i| = 1 ii. Γ : |z − i| = 1
(b)
∮
Γ+
cos(z)
z(z2 + 1)
dz
i. Γ : |z| = 1
2
ii. Γ : |z − i| = 3
2
iii. Γ : |z| = 2
(c)
∮
Γ+
zdz
(z − 1)(z − 2)2
, onde Γ: |z| = 3
(d)
∮
Γ+
ezdz
z3(z + 1)
, onde Γ: |z − 2| = 3
LECT,LEIT,LEMT – 2021 / 20S 4 A. Marime c©, A. Muxlhanga
1 Elementos de análise complexa 1.3 Séries de Laurent. Residuos
Semanas 03 & 04: 02 de Agosto à 13 de Agosto Ficha 03
1.3 Séries de Laurent. Residuos
1. Desenvolve as funções dadas em séries de Laurent nos domı́nios indicados
(a) f(z) =
2z + i
z2 + iz + 2
i. |z| < 1 ii. 0 < |z − i| < 3
(b) f(z) =
2z − 7
z2 − 7z + 12
i. |z − 1| > 3 ii. 0 < |z − 3| < 1
2. Classifique as singularidades das seguintes funções e calcule os reśıduos nos seus pontos singu-
lares.
(a) f(z) =
ez
z3
(b) f(z) =
sin z
z3
(c) f(z) =
sin z
z2(z − i)2
(d) w(z) =
cos z
z − π
2
(e) w(z) = e
z
z−2
(f) w(z) =
1− cos 2z
z3(1 + eiz)
3. Resolver os integrais da Ficha 02 Exerćıcio 6 usando o teorema dos reśıduos (caso posśıvel).
LECT,LEIT,LEMT – 2021 / 20S 5 A. Marime c©, A. Muxlhanga
2 Equações diferenciais de ordinárias
Semana 05: 16 de Agosto à 20 de Agosto Ficha 04
2 Equações diferenciais de ordinárias
2.1 Equações diferenciais com variáveis separadas e separáveis
1. Classifique o tipo e ache as soluções das equações diferenciais dadas
(a) xydx+ (x+ 1)dy = 0
(b) (xy2 + x)dx+ (y − x2y)dy = 0
(c) (1 + x2)xyy′ = (1 + y2)
(d) 2x2yy′ + y2 = 2
(e) y′ = (x+ y)2
(f)
{
(1 + x2)y′ = (1 + y2)
y(0) = 1
(g)
{
xy′ + y = y2
y(1) = 1
2
(h)
{
(x+ 2y)y′ = 1
y(π/2) = e
2.2 Equações diferenciais homogêneas da 1a ordem
1. Ache as soluções das seguintes equações diferenciais
(a) y′ =
y
x
+ e
y
x
(b) xy′ − y = x tg
(y
x
)
(c) xy′ = y +
√
xy
(d)
{
y2 + x2y′ = xyy′
y(1) = 1
(e)
{
(y2 + 2xy − x2)y′ = (y2 − 2xy − x2)
y(1) = −1
(f)
{
xy′ = y cos
(
ln y
x
)
y(1) = 1
(g) (2x− y + 4)dy + (x− 2y + 5)dx = 0
(h) (x+ 4y)y′ = 2x+ 3y − 5
LECT,LEIT,LEMT – 2021 / 20S 6 A. Marime c©, A. Muxlhanga
2 Equações diferenciais de ordinárias 2.3 Equações diferenciais lineares da 1a ordem. Equação de Bernoulli
Semana 06: 23 de Agosto à 27 de Agosto Ficha 05
2.3 Equações diferenciais lineares da 1a ordem. Equação de Bernoulli
1. Classifique o tipo e ache as soluções das seguintes equações diferencias
(a) y′ + 2xy = xe−x
2
(b) xy′ − 4y = x2√y
(c) (1 + y2)dx =
(√
1 + y2 sin(y)− xy
)
dy = 0
(d) x(y′ − y) = (1 + x2)ex
(e) y(y − 1)dx+ (x3 − xy)dy = 0
(f) y′ − y tg(x) = sec(x); y(0) = 0
(g) x2y′ = y(x+ y); y(e) = −e
(h) y2 = (xyy′ + 1) ln(x); y(e) = 2
2.4 Equações diferenciais exactas. Factor integrante
1. Resolva as seguintes equações diferenciais
(a) (2x+ 3x2y)dx+ (x3 − 3y2)dy
(b) 2xydx+ (x2 − y2)dy = 0
(c) (x3 − 3xy2 + 2)dx = (3x2y − y2)dy
(d) ydx+ x[y3 + ln(x)]dy = 0
(e) 2xydx+ (y2 − 3x2)dy = 0
(f) 2[x+ 2 sin(y)]dx− (x2 + 1) cotg(y)dy = 0
LECT,LEIT,LEMT – 2021 / 20S 7 A. Marime c©, A. Muxlhanga
2 Equações diferenciais de ordinárias 2.5 ED redut́ıveis a equações de ordens inferiores
Semana 07: 30 de Agosto à 03 de Setembro Ficha 06
2.5 ED redut́ıveis a equações de ordens inferiores
1. Verifique se y1 é solução da equação e, utilizando o método de redução de ordem, determine a
solução geral da equação:
(a) y′′ − y = 0; y1 = ex
(b) x2y′′ − 3xy′ + 4y = 0; y1 = x2
(c) y′′ − 4xy′ + (4x2 − 2)y = 0; y1 = ex
2
(d) x3y′′′ − 3x2y′′ + (6− x2)xy′ − (6− x2)y = 0; y1 = x
(e) (x2 − x)y′′ + (x+ 1)y′ − y = 0; y1 = 1 + x
2. Integreas seguintes equações diferenciais
(a) y′′(1 + ex) + y′ = 0
(b) xy′′ = y′ + x2
(c) y′′ − 2y′ cotg(x) = sin3(x)
(d) [1 + ln(x)]y′′ +
y′
x
= 2 + ln(x); y(1) = y′(1) = 1
(e) (x+ 1)y′′ − (x+ 2)y′ + x+ 2 = 0; y(0) = y′(0) = 2
2.6 ED lineares homogêneas de ordens superiores
1. Resolva as seguintes equações diferenciais
(a) y′′ − 5y′ + 6y = 0
(b) y′′ − 4y′ + 5y = 0
(c) y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0
(d) yiv + 2y′′′ + y′′ = 0
(e) y′′′ − 8y = 0
(f) y′′′ − y′′ − y′ + y = 0
(g) yiv + 8y′′′ + 16y′ = 0
(h) y′′′ − 2y′′ + 4y′ − 8y = 0
LECT,LEIT,LEMT – 2021 / 20S 8 A. Marime c©, A. Muxlhanga
2 Equações diferenciais de ordinárias 2.7 ED lineares não-homogêneas de ordens superiores
Semana 08: 06 de Setembro à 10 de Setembro Ficha 07
2.7 ED lineares não-homogêneas de ordens superiores
1. Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método de Lagrange
(a) y′′ − 2y′ + y = e
x
x
(b) y′′ + y = cotg(x)
(c) y′′ − y′ = e
x
1 + ex
(d) y′′ + y =
1
sin(x)
(e) y′′ − 6y′ + 9y = e
3x
1 + x2
; y(0) = 1, y′(0) = 3
2. Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método de coeficientes indeterminados
(a) y′′ − 2y′ − 3y = e4x
(b) y′′ − y = xex
(c) y′′ − y′ = 2(1− x); y(0) = y′(0) = 1
(d) y′′ + 2y′ + 2y = xe−x; y(0) = y′(0) = 0
(e) y′′ + 4y = sin(x); y(0) = y′(0) = 1
3. Resolva as seguintes equações de Euler
(a) x2y′′ − xy′ + y = 8x3
(b) x2y′′ − 2xy′ + 2y = 2x3 − x
(c) x3y′′ − 2xy = 6 ln(x)
(d) x2y′′ = 2y
(e) (1 + x2)y′′ − 3(1 + x)y′ + 4y = (1 + x)3; y(0) = y′(0) = 1
LECT,LEIT,LEMT – 2021 / 20S 9 A. Marime c©, A. Muxlhanga
2 Equações diferenciais de ordinárias 2.8 Sistemas de equações diferenciais
Semana 09: 13 de Setembro à 17 de Setembro Ficha 08
2.8 Sistemas de equações diferenciais
Resolva os seguintes de equações diferenciais
1.

dy
dx
= z − y
dz
dx
= −y − 3z
2.

dx
dt
= y + 2et
dy
dt
= x+ t2
3.

dx
dt
= y − 5 cos(t)
dy
dt
= 2x+ y
4.

dy
dx
= −2y − z + sin(x)
dz
dx
= 4y + 3z + sin(t)
5.

dx
dt
= 4x+ y − 36t
dy
dt
= −2x+ y − 2et
x(0) = 0
y(0) = 1
6.

dx
dt
= −x+ y + z
dy
dt
= x− y + z
dz
dt
= x+ y + z
x(0) = 1
y(0) = 0
z(0) = 0
LECT,LEIT,LEMT – 2021 / 20S 10 A. Marime c©, A. Muxlhanga
3 Transformada de Laplace
Semana 10: 20 de Setembro à 24 de Setembro Ficha 09
3 Transformada de Laplace
1. Encontre a transformada de Laplace da função dada
(a) sinh(bt)
(b) eat cosh(bt)
(c) t sin(bt)
(d)
1
2
e−t/2 cos
(√
3
2
t
)
− 5
2
√
3
e−t/2 sin
(√
3
2
t
)
(e)
e−t cos(2t)− e2t
13
+
29
26
e−t sin(2t)
2. Determinar a original sabendo que a imagem é
(a) F (p) =
p+ 3
p(p− 1)(p+ 2)
(b) F (p) =
p+ 3
p2 − 3p+ 2
(c) F (p) =
p− 3
p2 + 4p+ 4
(d) F (p) =
p− 2
2p2 + 2p+ 2
3. Aplicando a transformada de Laplace resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias.
(a) y′ + 3y = e2t, y(0) = 1
(b)

y′′ + 5y′ + 6y = 2e−t, t ≥ 0
y(0) = 1
y′(0) = 0
(c) y′ + 3y = sin t, y(π) = 1
(d)

y′′ + 6y′ + 9y = sin t, t ≥ 0
y(0) = 0
y′(0) = 0
4. Aplicando a transformada de Laplace resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais
ordinárias.
(a)

x′ − 2x− y′ − y = 6e3t
2x′ − 3x+ y′ − 3y = 6e3t
x(0) = 3
y(0) = 0
(b)

4x′ + 6x+ y = 2 sin 2t
x′′ + x− y′ = 3e−2t
x(0) = 2
x′(0) = −2
(c)

x′′ + y′ + 3x = 15e−t
y′′ − 4x′ + 3y = 15 sin 2t
x(0) = 35
x′(0) = −48
y(0) = 27
y′(0) = −55
(d)

x′′ − x+ 5y′ = t
y′′ − 4y − 2x′ = −2
x(0) = 0
x′(0) = 0
y(0) = 1
y′(0) = 0
LECT,LEIT,LEMT – 2021 / 20S 11 A. Marime c©, A. Muxlhanga
4 Séries Numéricas
Semana 11: 27 de Setembro à 01 de Outubro Ficha 10
4 Séries Numéricas
1. Determine a sucessão das somas parciais e, caso seja posśıvel, a soma de cada uma das seguintes
séries:
(a)
∞∑
n=1
ln
(
n
n+ 1
)
(b)
∞∑
n=1
(
1
n
− 1
n+ 1
)
2. Considere
∞∑
n=1
un uma série geométrica de razão
1
1 + a2
com a ∈ R/{0}. Sabendo que a soma
da série é 1, calcule o termo geral da série.
3. Usando as propriedades das séries, determine caso seja posśıvel, a natureza das séries
(a)
∞∑
n=1
[
1
3n
+
(
3
2
)n]
(b)
∞∑
n=1
[
1√
n
+
1
n(n+ 4)
]
(c)
∞∑
n=1
2
n2 + 5n+ 4
(d)
∞∑
n=1
2
n(n+ 1)(n+ 2)
(e)
∞∑
n=1
(2n)!
(n!)3
(f)
∞∑
n=1
πnn!
nn
(g)
∞∑
n=1
n2 sin
π
2n
(h)
∞∑
n=1
[
2n(n!)n
n2n
+
(
2
3
)n]
4. Determine os valores inteiros positivos k que tornam a série
∞∑
n=1
(n!)2
(kn)!
convergente.
5. Considere a série numérica
∞∑
n=1
3−nk.
(a) Mostre que a série é convergente para todo o valor da constante k.
(b) Determine o valor da constante k de modo que a série tenha soma 1.
6. Investigue a convergência condicional e absoluta das séries
(a)
∞∑
n=1
(−1)n−1
3n+ 2
(b)
∞∑
n=1
(−1)n−1√
n+ 2
(c)
∞∑
n=1
(−1)n
n
√
n
(d)
∞∑
n=1
(−1)n
(
n+ 1
2n
)n
LECT,LEIT,LEMT – 2021 / 20S 12 A. Marime c©, A. Muxlhanga
5 Séries de funções
Semana 12: 04 de Outubro à 08 de Outubro Ficha 11
5 Séries de funções
1. Para que valores de x as seguintes séries con-
vergem?
(a)
∞∑
n=1
xn
2n
(b)
∞∑
n=1
(−1)n+1x
n
n2
(c)
∞∑
n=1
3n
2
xn
2
(d)
∞∑
n=1
(−1)n+1 (x+ 1)
n
n
(e)
∞∑
n=1
n!(2x− 1)n
(f)
∞∑
n=1
2n(x− 1)2n
1 + 3n
2. Achar a soma e indicar os respectivos interva-
los de convergência das séries:
(a)
∞∑
n=1
xn
n
(b)
∞∑
n=1
n
xn
(c)
∞∑
n=1
(−1)n−1x
n
n
(d)
∞∑
n=0
(n+ 1)xn
(e)
∞∑
n=1
(−1)n−1 x
2n−1
2n− 1
(f)
∞∑
n=1
n(n+ 1)xn−1
3. Desenvolver:
(a) e−x em potências de x.
(b) x3−2x2 +5x−7 em potências de (x−1).
(c) cosx em potências de
(
x− π
4
)
.
(d)
1
1 + x2
em torno de x = 0
(e) arctg(x) em potências de x.
(f)
1
x2
em torno de x = 0.
4. Usando as séries, a menos de 0.0001 calcule:
(a) cos(10o)
(b) sin(18o)
(c) arctg
(
1
5
)
LECT,LEIT,LEMT – 2021 / 20S 13 A. Marime c©, A. Muxlhanga
6 Séries de Fourier
Semanas 13 & 14: 11 de Outubro à 22 de Outubro Ficha 12
6 Séries de Fourier
1. Diga se é verdade ou falso e justifique a sua resposta.
(a) A série de Fourier da função f(x) =
{
− sinx, se −π < x < 0
sinx, se 0 < x < π
, f(x + 2π) = f(x)
contém somente termos de seno.
(b) A série de Fourier da função f(x) =
{
−x, se −2 < x < 0
x, se 0 ≤ x < 2 não contém termos de seno.
2. Encontre as séries de Fourier para as funções seguintes.
(a) f(x) =
{
−1, se −π < x < 0
1, se 0 < x < π
(b) f(x) = sin(2x), −π
2
≤ x < π
2
(c) f(x) = cos(2x), −π
2
≤ x ≤ π
2
3. Considere a função f : [0, π]→ R dada por f(x) = x(π − x).
(a) Determine a série de senos de f.
(b) Use a série para mostrar que
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)3
=
π3
32
.
4. Desenvolver a função f(x) =
π
4
, no intervalo (0, π), em série de senos de arcos múltiplos.
Empregar o desenvolvimento obtido para a soma das séries numéricas seguintes:
(a) 1− 1
3
+
1
5
− 1
7
+
1
9
− · · · (b) 1− 1
5
+
1
7
− 1
11
+
1
13
− · · ·
5. Desenvolver em séries imcompletas de Fourier, no intervalo (0, π), as funções seguintes:
(a) f(x) = x. Achar, através do desenvolvimento obtido, a soma da série
1 +
1
32
+
1
52
+
1
72
+ · · ·
(b) f(x) = x2. Achar, através do desenvolvimento obtido, a soma da série numérica
1 +
1
22
+
1
32
+
1
42
+ · · ·
(c) f(x) = x2. Achar, através do desenvolvimento obtido, a soma da série numérica
1− 1
22
+
1
32
− 1
42
+ · · ·
i. em séries de senos de arcos múltiplos;
ii. em séries de cossenos de arcos múltiplos.
LECT,LEIT,LEMT – 2021 / 20S 14 A. Marime c©, A. Muxlhanga
	Elementos de análise complexa
	Números complexos
	Integrais no plano complexo
	Séries de Laurent. Residuos
	Equações diferenciais de ordinárias
	Equações diferenciais com variáveis separadas e separáveis
	Equações diferenciais homogêneas da 1ª ordem
	Equações diferenciais lineares da 1a ordem. Equação de Bernoulli
	Equações diferenciais exactas. Factor integrante
	ED redutíveis a equações de ordens inferiores
	ED lineares homogêneas de ordens superiores
	ED lineares não-homogêneas de ordens superiores
	Sistemas de equações diferenciais
	Transformadade Laplace
	Séries Numéricas
	Séries de funções
	Séries de Fourier