revisão 2ª parte

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ESTA002-17 
Circuitos Elétrico 1 
 
 
 
Revisão parte 2 
1 2020 Q.S. 
2 
Bipolos Elementares Passivos 
3 
Aplicação da 1ª. Lei de Kirchhoff  
equação diferencial de primeira ordem 
Respostas exponenciais 
0R Ci i 
( ) ( )
0
v t dv t
C
R dt
 
Energia inicial 
no capacitor: 
2
0
1
2
w Cv
4 
Energia 
inicialmente 
armazenada 
no indutor: 
2
0
1
2
w Li
0R Lv v 
( )
( ) 0
di t
Ri t L
dt
 
Aplicação da 2ª. 
Lei de Kirchhoff 
 equação 
diferencial de 
primeira ordem 
5 
Tensão senoidal 
[V] ) (sen)( tVtv m 
6 
O uso do sistema de números complexos permite relacionar 
sinais senoidais e se constitui numa técnica prática, fácil e precisa 
de se operar algebricamente sinais senoidais. 
 
O uso destas técnicas permite a analise de circuitos CA senoidais 
através da aplicação dos mesmos teoremas e procedimentos 
usados na analise de circuitos CC. 
Números Complexos: 
Soluções são possíveis utilizando-se números imaginários cujo 
quadrado é igual a “-1”. 
j² = -1 
Dessa forma temos também: 
j=√-1, j³=-j e j4=1 
 
Obs: Usamos o j ao invés o i para representar os números 
imaginários para não nos confundirmos com o “i” da corrente 
7 
Números Complexos 
Z
a 
b 
Re 
Im 

Z
 ZZ
jbaZ 
forma polar 
forma retangular 
plano de Argand-Gauss 
. jZ Z e 
ou 
Há duas formas de se representar um número 
complexo: 
8 
)(sen)cos(  je j 
Identidade de Euler 
Operador Parte Real, Re{ } 
Operador Parte Imaginária, Im{ } 
  cos( )jRe e   
  ( ) senjIm e    
Números Complexos 
9 
Números Complexos 
Z
a 
b 
Re 
Im 

Z
22 baZ 







a
b
arctg
conversão retangular-polar 
conversão polar-retangular 
)cos(Za 
)(sen Zb 
10 
Observação: O símbolo “ ∠” e usado para indicar o argumento de 
um número complexo na forma polar e lê-se:”com ângulo de” ou “com 
argumento de”. 
 
Os ângulos θ do argumento são sempre obtidos a partir do eixo das 
abscissas x e deve ser adotada a seguinte convenção: 
 
- ângulos positivos (+) são medidos no sentido anti-horário a 
partir do eixo horizontal x. 
- ângulos negativos (-) são medidos no sentido horário a partir do 
eixo horizontal x. 
Forma polar: 
11 
Operações matemáticas com números complexos: 
12 
Operações matemáticas com números complexos: 
13 
Operações matemáticas com números complexos: 
14 
Operações matemáticas com números complexos: 
15 
Operações matemáticas com números complexos: 
16 
Operações matemáticas com números complexos: 
17 
Operações matemáticas com números complexos: 
18 
v(t) 
i(t) 
-180o 0o 180o 360o 540o 
Vmáx 
-Vmáx 
Imáx 
-Imáx 
0 
Tensão vs. Corrente no Resistor 
][ 0  RZR
][  RZR
forma polar 
forma retangular 
j = 0° 
19 
Tensão vs. Corrente no Capacitor 
v(t) 
i(t) 
-180o 0o 180o 360o 540o 
Vmáx 
-Vmáx 
Imáx 
-Imáx 
0 
forma polar 
forma retangular 
][  CC jXZ
][ 90  CC XZ
 XC=reatância capacitiva [] 
j = 90° 1
CX
C

20 
Tensão vs. Corrente no Indutor 
v(t) 
i(t) 
-180o 0o 180o 360o 540o 
Vmáx 
-Vmáx 
Imáx 
-Imáx 
0 
forma polar 
forma retangular 
][ 90  LL XZ
][  LL jXZ
XL=reatância indutiva [] 
j = -90° 
LX L
21 
Impedância: 
22 
23 
Lista semana 4: 
(2− j 10)− (1− j 10)
(10+ j )+6− (13 , 45∠ − 42 °)
− (5∠ 53 ,1°)− (1− j 6)
 
1- Calcule os valores das somas e subtrações abaixo: 
b) 
c) 
a) 
a) 
b) 
c) 
24 
Lista semana 4: 
25 
Lista semana 4: 
26 
Lista semana 4: 
27 
Lista semana 4: 
28 
Lista semana 4: 
29 
Lista semana 4: 
30 
Lista semana 4: 
31 
Lista semana 4: 
32 
Lista semana 4: 
33 
Lista semana 4: 
34 
Lista semana 4: 
35 
Lista semana 4: 
36 
Lista semana 4: 
37 
 
0
4 ( 10 ) 6 ( 2 10 ) 4 ( 4 10 ) 6 ( 6 10 )
n
t n t n t n t n   


          
Lista semana 4: 
38 
Lista semana 5: 
 
Já divulgada 
39 http://www.feiradeciencias.com.br/sala15/15_07.asp 
Valor eficaz – sinal senoidal AC + DC 
2 2
ef DC ACefV V V   max / 2efV E V 
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=valor+eficaz+de+sinal+senoidal&source=images&cd=&cad=rja&docid=N_MDSYEGudQNaM&tbnid=CWg8DguBBmk5jM:&ved=0CAUQjRw&url=http%3A%2F%2Fwww.feiradeciencias.com.br%2Fsala15%2F15_07.asp&ei=DJgYUZPEHoO-8ATKwYHADg&bvm=bv.42080656,d.eWU&psig=AFQjCNFRLfonk7Hjv95tgh0LbLyWcLs02A&ust=1360652615805317
40 
41 
42 
Verifica-se que a potência instantânea é composta por duas 
parcelas: uma constante VI cos ϕ que representa a potência 
fornecida à carga e outra variável senoidalmente com 
freqüência dupla da tensão aplicada, que representa a 
energia que ora é fornecida pelo gerador à carga e ora é 
devolvida da carga ao gerador. Esta última parcela recebe a 
designação de potência flutuante. 
43 
V, I = valores eficazes de tensão e corrente senoidais 
44 
V, I = valores eficazes de tensão e corrente senoidais 
45 
V, I = valores eficazes de tensão e corrente senoidais 
46 
47 
O valor médio da potência num ciclo é dado por: 
 
e recebe o nome de “potência ativa” ou mais simplesmente 
“potência”. Ao co-seno do ângulo de rotação de fase, cos ϕ , dá-se 
o nome de “fator de potência”. 
Observa-se que para fator de potência unitário ( ϕ = 0 ), a potência 
ativa será expressa pelo produto dos valores eficazes da tensão e 
corrente. Para fator de potência nulo ( ϕ = ± π 2 ) a potência ativa 
será nula. 
Definem-se ainda as grandezas potência aparente, potência 
reativa e potência complexa. 
48 
A potência aparente, S, é dada pelo produto dos valores eficazes da tensão e da 
corrente, isto é: 
S = V. I sendo medida em Volt × Ampère (VA). 
A potência reativa, Q, é dada pelo produto dos valores eficazes da tensão e corrente pelo seno do 
ângulo de rotação de fase entre ambas, isto é: 
Q = V.I.sen ϕ 
sendo medida em Volt Ampère reativo (VAr). No caso das máquinas indutivas tais como 
motores, transformadores, essa parcela é utilizada para manter os campos 
eletromagnéticos necessários para o funcionamento destes equipamentos. 
Convencionou-se adotar como positiva a potência reativa fornecida a uma carga na 
qual a corrente está atrasada em relação à tensão. Decorre que uma carga na qual a 
corrente está adiantada em relação à tensão (ϕ negativo) a potência reativa será 
negativa. 
49 
Das expressões anteriores, resulta: 
 
Onde S é dado como potência aparente. Esta é justamente a 
potência fornecida pela concessionária de energia elétrica. A 
potência aparente é a soma fasorial das potências ativas e 
reativas, ou seja, é a potencia total absorvida pela instalação. 
Potência complexa é dada pelo produto: 
, em que Î* é o complexo conjugado da corrente. 
 
Obs: Conjugado do complexo z=a+ib é z*=a-ib 
 
^ ^
. *V I
50 
Triângulo de Potências 
51 
Correção do fator de potência para carga indutiva: 
52 
Correção do fator de potência para carga capacitiva: 
53 
Lista semana 6: 
54 
Lista semana 6: 
55 
Lista semana 6: 
56 
Lista semana 6: 
57 
Lista semana 6: 
58 
Lista semana 6: 
59 
Lista semana 6: 
60 
Lista semana 6: 
61 
Lista semana 6: 
62 
Lista semana 6: 
63 
Lista semana 6: 
64 
Lista semana 6: 
65 
Lista semana 6: 
66 
Lista semana 6: 
67 
Aplicação da 1ª. Lei de Kirchhoff  
equação diferencial de primeira ordem 
Respostas exponenciais 
0R Ci i 
( ) ( )
0
v t dv t
C
R dt
 
Energia inicial 
no capacitor: 
2
0
1
2
w Cv
68 
Resolução do Circuito RC Livre 
 /0)(
teVtv CRonde 
1. Determinar a tensão inicial no 
capacitor v(0) = V0 
2. Determinar a constante de tempo do 
circuito  = Req.Ceq 
 (o circuito poderá ser composto por 
vários resistores e vários capacitores 
quepoderão ser associados num 
único Req e num único Ceq) 
3. Calcular as outras respostas de 
interesse a partir de v(t) 
69 
Energia 
inicialmente 
armazenada 
no indutor: 
2
0
1
2
w Li
0R Lv v 
( )
( ) 0
di t
Ri t L
dt
 
Aplicação da 2ª. 
Lei de Kirchhoff 
 equação 
diferencial de 
primeira ordem 
( )
( ) 0
L di t
i t
R dt
 
70 
Resolução do Circuito RL Livre 
1. Determinar a corrente inicial no indutor 
i(0) = I0 
2. Determinar a constante de tempo do 
circuito  = Leq/Req 
 (o circuito poderá ser composto por 
vários resistores e vários indutores 
que poderão ser associados num 
único Req e num único Leq) 
3. Calcular as outras respostas de 
interesse a partir de i(t) 
/
0)(
teIti 
R
L
onde 
71 
Respostas completas de redes de primeira ordem 
 Constante de Tempo : 
 – Inativar geradores independentes 
 – Determinar resistência “vista” pelo elemento armazenador de energia 
 – Calcular constante de tempo : Leq/Req ou ReqCeq 
 Resposta Transitória 
 – Comportamento Livre, Modo Natural : A e – t /  
 Resposta Permanente 
 – Depende da função de excitação 
 Transitória + Permanente 
 – Impor condição inicial  Determinar A (constante de integração) 
 – Condições iniciais e permanentes para excitação contínua 
 
 
 
t t
C curto
L aberto
0
RST
t
C aberto
L curto
 
RST
72 
Resposta natural/ livre de um circuito RLC 
Resposta natural: RLC paralelo Resposta natural: RLC série 
denominada equação característica da 
equação diferencial porque as raízes 
dessa equação quadrática determinam o 
caráter matemático de v(t) 
denominada equação característica da 
equação diferencial porque as raízes 
dessa equação quadrática determinam o 
caráter matemático de i(t) 
73 
Resposta natural/ livre de um circuito RLC 
Frequência de Neper (a): Medida do quão rápido a resposta transiente do circuito 
irá cair a zero depois que um estímulo for removido. 
 
Ressonância é o fenômeno em que um sistema vibratório ou força externa conduz 
outro sistema a oscilar com maior amplitude em frequências específicas, 
conhecidas como frequências ressonantes ou frequências naturais do sistema 
0 = frequência angular de ressonância. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Amplitude
https://pt.wikipedia.org/wiki/Frequ%C3%AAncia_de_resson%C3%A2ncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Frequ%C3%AAncia_de_resson%C3%A2ncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Frequ%C3%AAncia_de_resson%C3%A2ncia
74 
 : ambas as raízes serão reais e distintas, diz-se que, nesse caso, a 
resposta de tensão e superamortecida. 
 : ambas, s1 e s2, serão complexas e, alem disso, serão conjugadas uma 
da outra. Nessa situação, diz-se que a resposta de tensão é subamortecida. 
 : s1 e s2 serão reais e iguais e diz-se que a resposta de tensão e 
criticamente amortecida. 
Resposta natural/ livre de um circuito RLC 
75 
Resposta natural/ livre de um circuito RLC 
76 
Resposta forçada de um circuito RLC 
Temos uma equação diferencial de segunda ordem com uma função forçante = 
resposta forçada mais uma função resposta cuja forma é idêntica a da resposta 
natural. 
If e Vf representam o valor final da função resposta. O valor final pode ser igual 
a zero. 
77 
Resposta forçada de um circuito RLC