Circuitos Elétricos Aula 1 2021

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UNIVERSIDADE PAULISTA - UNIP
CURSO ENGENHARIA ELETRÔNICA
Disciplina: Circuitos Elétricos
Prof: Oswaldo Egydio Gonçalves Junior
Aula 1 
Circuitos Elétricos 2
Prof. OSWALDO EGYDIO GONÇALVES JUNIOR
• Engenheiro Eletrônico
• Mestre em Engenharia de Produção
• Doutor em Engenharia de Produção
• Coordenador Geral dos Cursos de Engenharia Elétrica - UNIP
Oswaldo.jr@docente.unip.com
mailto:Oswaldo.jr@gmail.com
CIRCUITOS ELÉTRICOS
3
Prof: Oswaldo Egydio Gonçalves Junior
3ª feira – Semanal
19h10 as 20h25 e 20h45 as 22h00
intervalo: 20h25 as 20h45
Circuitos Elétricos - Introdução
Nome da disciplina 4
 
 
Conceitos Básicos de Circuitos 
1. Bipolos Elétricos, Tensão e Potência 
1. Bipolos 
 
São dispositivos normalmente encontrados em eletrônica podem ter dois ou 
mais terminais de acesso aos quais aplicamos tensões e/ou correntes elétricas. 
Dá-se o nome de bipolo ao dispositivo, ou circuito, que possui dois terminais de 
acesso. A caracterização destes dispositivos é estabelecida por relações 
matemáticas existentes entre as tensões e correntes e também em função de 
outras grandezas. 
O estudo de bipolos é feito procurando-se estudar os fenômenos físicos que 
regem o dispositivo ou o circuito em estudo. O conhecimento das leis 
determinantes dos fenômenos que envolvem os dispositivos, nem sempre são 
necessárias ou possíveis, bastando o conhecimento empírico ou experimental 
das variáveis que agem sobre o bipolo. 
Um bipolo elétrico é um dispositivo com dois terminais acessíveis, através dos 
quais pode fluir uma corrente elétrica. Em qualquer instante a corrente que 
entra por um dos terminais deve ser igual a que sai pelo outro terminal. 
 
Considere um bipolo que é atravessado por uma corrente i(t). Durante o 
intervalo de tempo 𝑑 o bipolo é atravessado pela carga elétrica : 
𝑑 𝑖 𝑑 
A passagem desta carga transfere para o bipolo uma energia dW, relacionada a 
carga por : 
𝑑 𝑑 
 A grandeza v(t) é a tensão elétrica ou voltagem entre os terminais do bipolo 
dada por : 
𝑑𝑊
𝑑
 𝑒𝑚 𝑉 𝑙 
A equação acima mostra a relação de que 1 volt = 1 joule/coulomb. 
Com base no exposto pode-se afirmar: 
 
 
Conceitos Básicos de Circuitos 
1. Bipolos Elétricos, Tensão e Potência 
1. Bipolos 
 
São dispositivos normalmente encontrados em eletrônica podem ter dois ou 
mais terminais de acesso aos quais aplicamos tensões e/ou correntes elétricas. 
Dá-se o nome de bipolo ao dispositivo, ou circuito, que possui dois terminais de 
acesso. A caracterização destes dispositivos é estabelecida por relações 
matemáticas existentes entre as tensões e correntes e também em função de 
outras grandezas. 
O estudo de bipolos é feito procurando-se estudar os fenômenos físicos que 
regem o dispositivo ou o circuito em estudo. O conhecimento das leis 
determinantes dos fenômenos que envolvem os dispositivos, nem sempre são 
necessárias ou possíveis, bastando o conhecimento empírico ou experimental 
das variáveis que agem sobre o bipolo. 
Um bipolo elétrico é um dispositivo com dois terminais acessíveis, através dos 
quais pode fluir uma corrente elétrica. Em qualquer instante a corrente que 
entra por um dos terminais deve ser igual a que sai pelo outro terminal. 
 
Considere um bipolo que é atravessado por uma corrente i(t). Durante o 
intervalo de tempo 𝑑 o bipolo é atravessado pela carga elétrica : 
𝑑 𝑖 𝑑 
A passagem desta carga transfere para o bipolo uma energia dW, relacionada a 
carga por : 
𝑑 𝑑 
 A grandeza v(t) é a tensão elétrica ou voltagem entre os terminais do bipolo 
dada por : 
𝑑𝑊
𝑑
 𝑒𝑚 𝑉 𝑙 
A equação acima mostra a relação de que 1 volt = 1 joule/coulomb. 
Com base no exposto pode-se afirmar: 
 
 
Conceitos Básicos de Circuitos 
1. Bipolos Elétricos, Tensão e Potência 
1. Bipolos 
 
São dispositivos normalmente encontrados em eletrônica podem ter dois ou 
mais terminais de acesso aos quais aplicamos tensões e/ou correntes elétricas. 
Dá-se o nome de bipolo ao dispositivo, ou circuito, que possui dois terminais de 
acesso. A caracterização destes dispositivos é estabelecida por relações 
matemáticas existentes entre as tensões e correntes e também em função de 
outras grandezas. 
O estudo de bipolos é feito procurando-se estudar os fenômenos físicos que 
regem o dispositivo ou o circuito em estudo. O conhecimento das leis 
determinantes dos fenômenos que envolvem os dispositivos, nem sempre são 
necessárias ou possíveis, bastando o conhecimento empírico ou experimental 
das variáveis que agem sobre o bipolo. 
Um bipolo elétrico é um dispositivo com dois terminais acessíveis, através dos 
quais pode fluir uma corrente elétrica. Em qualquer instante a corrente que 
entra por um dos terminais deve ser igual a que sai pelo outro terminal. 
 
Considere um bipolo que é atravessado por uma corrente i(t). Durante o 
intervalo de tempo 𝑑 o bipolo é atravessado pela carga elétrica : 
𝑑 𝑖 𝑑 
A passagem desta carga transfere para o bipolo uma energia dW, relacionada a 
carga por : 
𝑑 𝑑 
 A grandeza v(t) é a tensão elétrica ou voltagem entre os terminais do bipolo 
dada por : 
𝑑𝑊
𝑑
 𝑒𝑚 𝑉 𝑙 
A equação acima mostra a relação de que 1 volt = 1 joule/coulomb. 
Com base no exposto pode-se afirmar: 
Fundamentos de Circuitos Elétricos - Introdução
Nome da disciplina 5
EA513 C E DECOM FEEC UNICAMP A a 1 
 1 
E a a a: 
� C cei f da e ai : bi , e e 
c e e 
� Ge ad e de e e de c e e 
� C e e 
� T a fe cia de e e gia 
� Re i e 
 
TEORIA DE CIRCUITOS 
 
Ci c i e ic : 
 C e de di i i e ic 
c ec ad de a f a a e i i a 
a age de ca ga e ica , a a e a i gi 
 ce bje i . 
 
 
E e de di i i e ic : Bi 
(d i e i ai ) 
 
Ca aci I d Re i Ge ad de 
e 
Ge ad de 
c e e
Ca aciCa aci I dI d Re iRe i Ge ad de 
e 
Ge ad de 
c e e 
EA513 C E DECOM FEEC UNICAMP A a 1 
 2 
C e e e ica: i e a de ca ga 
e ica i e 
 N a e iai c d e : e 
 E ga e i i ad , e ic d e , 
e e e ica : ca ga i i a 
fa e a e da c e e a b . 
 
 
: + + e 
1 e : 1, 602 10-19 c b (C) 
 
C e e e ica: ca ga e i e 
F a e e: a a de a ia da ca ga 
e 
 
 a e (A) ( C/ ) 
 
C e : 
 C e e c e ci a : i e de 
ca ga i i a 
 C e e e e ica: i e de 
e 
 
2.
BIPOLOS - ASSOCIAÇÃO
 
 
A age dife e a de potencial é a energia necessária para mover uma 
carga unitária em um percurso, medida em volts (V). 
2. Potência Elétrica e Energia de um Bipolo 
A potência instantânea fornecida ou recebida por um bipolo é dada por: 
𝑑𝑊
𝑑
, 𝑑𝑊 . 𝑑 𝑒 𝑑 . 𝑑 
Como 𝑑 . 𝑑 . . 𝑑 , temos que: . 
É importante saber se a potência está sendo absorvida ou fornecida por um 
bipolo. Essa determinação é feita pelo sinal do produto v.i e da convenção dos 
sentidos de referência do bipolo (convenção do gerador ou do receptor). É fácil 
verificar que essa determinação pode ser feita conforme mostrado na figura a 
seguir. 
 
𝐶 𝑒 çã 𝑑 𝑔𝑒 𝑎𝑑 . 0 𝑏 𝑓 𝑒𝑐𝑒 ê 𝑐 𝑎 . 0 𝑏 𝑒𝑐𝑒𝑏𝑒 ê 𝑐 𝑎 
𝐶 𝑒 çã 𝑑 𝑒𝑐𝑒 . 0 𝑏 𝑒𝑐𝑒𝑏𝑒 ê 𝑐 𝑎 . 0 𝑏 𝑓 𝑒𝑐𝑒 ê 𝑐 𝑎 
3. Redes de Bipolos 
Os bipolos podem ser associados interligando seus terminais por condutores 
perfeitos (equipotenciais). Uma associação qualquer de bipolos será designada 
por rede de bipolos. Os pontos em que se juntam os terminais de vários bipolos 
serão designados por nós da rede, e os bipolos serão os seus ramos. 
)( tv
)( ti
+
-
Nó
Ramo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A age dife e a de potencial é a energia necessária para mover uma 
carga unitária em um percurso, medida em volts (V). 
2. Potência Elétrica e Energia de um Bipolo 
A potência instantânea fornecida ou recebida por um bipolo é dada por: 
𝑑𝑊
𝑑
, 𝑑𝑊 . 𝑑 𝑒 𝑑 . 𝑑 
Como 𝑑 . 𝑑 . . 𝑑 , temos que: . 
É importante saber se a potência está sendo absorvida ou fornecidapor um 
bipolo. Essa determinação é feita pelo sinal do produto v.i e da convenção dos 
sentidos de referência do bipolo (convenção do gerador ou do receptor). É fácil 
verificar que essa determinação pode ser feita conforme mostrado na figura a 
seguir. 
 
𝐶 𝑒 çã 𝑑 𝑔𝑒 𝑎𝑑 . 0 𝑏 𝑓 𝑒𝑐𝑒 ê 𝑐 𝑎 . 0 𝑏 𝑒𝑐𝑒𝑏𝑒 ê 𝑐 𝑎 
𝐶 𝑒 çã 𝑑 𝑒𝑐𝑒 . 0 𝑏 𝑒𝑐𝑒𝑏𝑒 ê 𝑐 𝑎 . 0 𝑏 𝑓 𝑒𝑐𝑒 ê 𝑐 𝑎 
3. Redes de Bipolos 
Os bipolos podem ser associados interligando seus terminais por condutores 
perfeitos (equipotenciais). Uma associação qualquer de bipolos será designada 
por rede de bipolos. Os pontos em que se juntam os terminais de vários bipolos 
serão designados por nós da rede, e os bipolos serão os seus ramos. 
)( tv
)( ti
+
-
Nó
Ramo 
 
 
CARGA ELÉTRICA e CORRENTE ELÉTRICA
Carga Elétrica – é a propriedade elétrica das partículas atômicas que compõem a 
matéria, medida em coulombs.
Baseado no conceito de carga elétrica e que as mesmas podem se mover através de 
uma superfície, define-se esse movimento das cargas em um intervalo de tempo 
como corrente elétrica.
𝒊 𝒕 =
𝒅𝒒
𝒅𝒕
Se quisermos a quantidade de cargas fazemos 
𝑑𝑞 = 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 𝑞 = *
!!
!
𝑖 𝑡 𝑑𝑡
11
2. Carga e Corrente Elétricas
A carga elétrica pode ser positiva ou negativa. A menor carga elétrica
que se pode isolar é igual à carga do elétron, ou seja, 1, 602 ⇥ 10�19
coulombs.
Seja uma superf́ıcie orientada (por exemplo, a seção transversal de
um condutor, com um sentido positivo de referência). O deslocamento
de cargas através de uma superf́ıcie constitui uma corrente elétrica .
O valor da corrente elétrica será determinado contando como positivas
as cargas positivas que se deslocam no sentido de referência e as cargas
negativas que se deslocam no sentido oposto.
A corrente média im que atravessa a superf́ıcie durante o intervalo
CORRENTE ELÉTRICA - TIPOS
• Corrente Contínua – é uma corrente
que permanece constante ao longo do
tempo.
• Corrente Alternada – é uma
corrente que varia ao longo do
tempo de forma senoidal.
Nome da disciplina 8
Several different types of current are illustrated in Fig. 2.4. A current
that is constant in time is termed a direct current, or simply dc, and is shown
by Fig. 2.4a. We will find many practical examples of currents that vary si-
nusoidally with time (Fig. 2.4b); currents of this form are present in normal
household circuits. Such a current is often referred to as alternating current,
or ac. Exponential currents and damped sinusoidal currents (Fig. 2.4c and d )
will also be encountered later.
We create a graphical symbol for current by placing an arrow next to the
conductor. Thus, in Fig. 2.5a the direction of the arrow and the value 3 A in-
dicate either that a net positive charge of 3 C/s is moving to the right or that a
net negative charge of !3 C/s is moving to the left each second. In Fig. 2.5b
there are again two possibilities: either !3 A is flowing to the left or +3 A is
flowing to the right. All four statements and both figures represent currents
that are equivalent in their electrical effects, and we say that they are equal.
A nonelectrical analogy that may be easier to visualize is to think in terms of
a personal savings account: e.g., a deposit can be viewed as either a negative
cash flow out of your account or a positive flow into your account.
It is convenient to think of current as the motion of positive charge, even
though it is known that current flow in metallic conductors results from
electron motion. In ionized gases, in electrolytic solutions, and in some
semiconductor materials, however, positive charges in motion consti-
tute part or all of the current. Thus, any definition of current can agree with
the physical nature of conduction only part of the time. The definition and
symbolism we have adopted are standard.
It is essential that we realize that the current arrow does not indicate the
“actual” direction of current flow but is simply part of a convention that
allows us to talk about “the current in the wire” in an unambiguous manner.
The arrow is a fundamental part of the definition of a current! Thus, to talk
about the value of a current i1(t) without specifying the arrow is to discuss
an undefined entity. For example, Fig. 2.6a and b are meaningless represen-
tations of i1(t), whereas Fig. 2.6c is complete.
SECTION 2.2 CHARGE, CURRENT, VOLTAGE, AND POWER 13
! FIGURE 2.4 Several types of current: (a) Direct
current (dc). (b) Sinusoidal current (ac).
(c) Exponential current. (d ) Damped sinusoidal
current.
i
t
(d)
t
i
(c)
i
t
(b)
i
t
(a)
! FIGURE 2.5 Two methods of representation for
the exact same current.
–3 A
(b)
3 A
(a)i1(t)i1(t)
(a) (b)
i1(t)i1(t)
(c)
! FIGURE 2.6 (a, b) Incomplete, improper, and incorrect definitions of a current.
(c) The correct definition of i1(t).
I2
I1
! FIGURE 2.7
PRACTICE 
"
2.4 In the wire of Fig. 2.7, electrons are moving left to right to create
a current of 1 mA. Determine I1 and I2.
Ans: I1 = !1 mA; I2 = +1 mA.
Several different types of current are illustrated in Fig. 2.4. A current
that is constant in time is termed a direct current, or simply dc, and is shown
by Fig. 2.4a. We will find many practical examples of currents that vary si-
nusoidally with time (Fig. 2.4b); currents of this form are present in normal
household circuits. Such a current is often referred to as alternating current,
or ac. Exponential currents and damped sinusoidal currents (Fig. 2.4c and d )
will also be encountered later.
We create a graphical symbol for current by placing an arrow next to the
conductor. Thus, in Fig. 2.5a the direction of the arrow and the value 3 A in-
dicate either that a net positive charge of 3 C/s is moving to the right or that a
net negative charge of !3 C/s is moving to the left each second. In Fig. 2.5b
there are again two possibilities: either !3 A is flowing to the left or +3 A is
flowing to the right. All four statements and both figures represent currents
that are equivalent in their electrical effects, and we say that they are equal.
A nonelectrical analogy that may be easier to visualize is to think in terms of
a personal savings account: e.g., a deposit can be viewed as either a negative
cash flow out of your account or a positive flow into your account.
It is convenient to think of current as the motion of positive charge, even
though it is known that current flow in metallic conductors results from
electron motion. In ionized gases, in electrolytic solutions, and in some
semiconductor materials, however, positive charges in motion consti-
tute part or all of the current. Thus, any definition of current can agree with
the physical nature of conduction only part of the time. The definition and
symbolism we have adopted are standard.
It is essential that we realize that the current arrow does not indicate the
“actual” direction of current flow but is simply part of a convention that
allows us to talk about “the current in the wire” in an unambiguous manner.
The arrow is a fundamental part of the definition of a current! Thus, to talk
about the value of a current i1(t) without specifying the arrow is to discuss
an undefined entity. For example, Fig. 2.6a and b are meaningless represen-
tations of i1(t), whereas Fig. 2.6c is complete.
SECTION 2.2 CHARGE, CURRENT, VOLTAGE, AND POWER 13
! FIGURE 2.4 Several types of current: (a) Direct
current (dc). (b) Sinusoidal current (ac).
(c) Exponential current. (d ) Damped sinusoidal
current.
i
t
(d)
t
i
(c)
i
t
(b)
i
t
(a)
! FIGURE 2.5 Two methods of representation for
the exact same current.
–3 A
(b)
3 A
(a)i1(t)i1(t)
(a) (b)
i1(t)i1(t)
(c)
! FIGURE 2.6 (a, b) Incomplete, improper, and incorrect definitions of a current.
(c) The correct definition of i1(t).
I2
I1
! FIGURE 2.7
PRACTICE 
"
2.4 In the wire of Fig. 2.7, electrons are moving left to right to create
a current of 1 mA. Determine I1 and I2.
Ans: I1 = !1 mA; I2 = +1 mA.
TENSÃOConceitos Básicos de Circuitos 
1. Bipolos Elétricos, Tensão e Potência 
1. Bipolos 
 
São dispositivos normalmente encontrados em eletrônica podem ter dois ou 
mais terminais de acesso aos quais aplicamos tensões e/ou correntes elétricas. 
Dá-se o nome de bipolo ao dispositivo, ou circuito, que possui dois terminais de 
acesso. A caracterização destes dispositivos é estabelecida por relações 
matemáticas existentes entre as tensões e correntes e também em função de 
outras grandezas. 
O estudo de bipolos é feito procurando-se estudar os fenômenos físicos que 
regem o dispositivo ou o circuito em estudo. O conhecimento das leis 
determinantes dos fenômenos que envolvem os dispositivos, nem sempre são 
necessárias ou possíveis, bastando o conhecimento empírico ou experimental 
das variáveis que agem sobre o bipolo. 
Um bipolo elétrico é um dispositivo com dois terminais acessíveis, através dos 
quais pode fluir uma corrente elétrica. Em qualquer instante a corrente que 
entra por um dos terminais deve ser igual a que sai pelo outro terminal. 
 
Considere um bipolo que é atravessado por uma corrente i(t). Durante o 
intervalo de tempo 𝑑 o bipolo é atravessado pela carga elétrica : 
𝑑 𝑖 𝑑 
A passagem desta carga transfere para o bipolo uma energia dW, relacionada a 
carga por : 
𝑑 𝑑 
 A grandeza v(t) é a tensão elétrica ou voltagem entre os terminais do bipolo 
dada por : 
𝑑𝑊
𝑑
 𝑒𝑚 𝑉 𝑙 
A equação acima mostra a relação de que 1 volt = 1 joule/coulomb. 
Com base no exposto pode-se afirmar: 
 
 
Conceitos Básicos de Circuitos 
1. Bipolos Elétricos, Tensão e Potência 
1. Bipolos 
 
São dispositivos normalmente encontrados em eletrônica podem ter dois ou 
mais terminais de acesso aos quais aplicamos tensões e/ou correntes elétricas. 
Dá-se o nome de bipolo ao dispositivo, ou circuito, que possui dois terminais de 
acesso. A caracterização destes dispositivos é estabelecida por relações 
matemáticas existentes entre as tensões e correntes e também em função de 
outras grandezas. 
O estudo de bipolos é feito procurando-se estudar os fenômenos físicos que 
regem o dispositivo ou o circuito em estudo. O conhecimento das leis 
determinantes dos fenômenos que envolvem os dispositivos, nem sempre são 
necessárias ou possíveis, bastando o conhecimento empírico ou experimental 
das variáveis que agem sobre o bipolo. 
Um bipolo elétrico é um dispositivo com dois terminais acessíveis, através dos 
quais pode fluir uma corrente elétrica. Em qualquer instante a corrente que 
entra por um dos terminais deve ser igual a que sai pelo outro terminal. 
 
Considere um bipolo que é atravessado por uma corrente i(t). Durante o 
intervalo de tempo 𝑑 o bipolo é atravessado pela carga elétrica : 
𝑑 𝑖 𝑑 
A passagem desta carga transfere para o bipolo uma energia dW, relacionada a 
carga por : 
𝑑 𝑑 
 A grandeza v(t) é a tensão elétrica ou voltagem entre os terminais do bipolo 
dada por : 
𝑑𝑊
𝑑
 𝑒𝑚 𝑉 𝑙 
A equação acima mostra a relação de que 1 volt = 1 joule/coulomb. 
Com base no exposto pode-se afirmar: 
• Tensão ou Diferença de Potencial – é a energia necessária para mover uma unidade de carga 
através de um elemento. Medida em Volts. 
• 𝑣"# =
$%
$&
• Energia – é a capacidade de realizar trabalho para a movimentação da carga de um ponto a outro 
em uma trajetória.
• Potência – é a variação da energia (liberada ou absorvida) em função do tempo. Medida em 
Watts. 
• 𝑃 = $%
$!
→ 𝑑𝑤 = 𝑣. 𝑑𝑞 → 𝑃 = '.$&
$!
• 𝑑𝑞 = 𝑖. 𝑑𝑡 → 𝑃 = '. ). $!
$!
𝑃 = 𝑣 . 𝑖
Nome da disciplina 10
TENSÃO OU DIFERENÇA DE POTENCIAL
BIPOLOS - POTÊNCIA
 
 
A age dife e a de potencial é a energia necessária para mover uma 
carga unitária em um percurso, medida em volts (V). 
2. Potência Elétrica e Energia de um Bipolo 
A potência instantânea fornecida ou recebida por um bipolo é dada por: 
𝑑𝑊
𝑑
, 𝑑𝑊 . 𝑑 𝑒 𝑑 . 𝑑 
Como 𝑑 . 𝑑 . . 𝑑 , temos que: . 
É importante saber se a potência está sendo absorvida ou fornecida por um 
bipolo. Essa determinação é feita pelo sinal do produto v.i e da convenção dos 
sentidos de referência do bipolo (convenção do gerador ou do receptor). É fácil 
verificar que essa determinação pode ser feita conforme mostrado na figura a 
seguir. 
 
𝐶 𝑒 çã 𝑑 𝑔𝑒 𝑎𝑑 . 0 𝑏 𝑓 𝑒𝑐𝑒 ê 𝑐 𝑎 . 0 𝑏 𝑒𝑐𝑒𝑏𝑒 ê 𝑐 𝑎 
𝐶 𝑒 çã 𝑑 𝑒𝑐𝑒 . 0 𝑏 𝑒𝑐𝑒𝑏𝑒 ê 𝑐 𝑎 . 0 𝑏 𝑓 𝑒𝑐𝑒 ê 𝑐 𝑎 
3. Redes de Bipolos 
Os bipolos podem ser associados interligando seus terminais por condutores 
perfeitos (equipotenciais). Uma associação qualquer de bipolos será designada 
por rede de bipolos. Os pontos em que se juntam os terminais de vários bipolos 
serão designados por nós da rede, e os bipolos serão os seus ramos. 
)( tv
)( ti
+
-
Nó
Ramo 
 
 
Exercícios – Aplicação Prática
1. Uma lâmpada de 60 Watts operando em uma linha de 120 Volts deve ser usada em uma linha de 220 Volts. Para
assegurar a lâmpada um funcionamento correto, é desejável que a dissipação de potência seja mantida 60 Watts, através
da ligação de um resistor em série com a mesma, quando esta linha é operada em 220 Volt. Determine a resistência
ôhmica e a potência necessária ao resistor.
Resposta : 200Ω e 50 Watts
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+
-)(tVe
W2
-
xV5,1
0,5 H a bVx
-
)(tV s2 F
+
-)(sVe
W2
-
xV5,1
0,5 s a bVx
-
)(sVs1/2s
+
-120 V
60 W
i
+
-
R 60 W
220 V
i
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+
-)(tVe
W2
-
xV5,1
0,5 H a bVx
-
)(tV s2 F
+
-)(sVe
W2
-
xV5,1
0,5 s a bVx
-
)(sVs1/2s
+
-120 V
60 W
i
+
-
R 60 W
220 V
i
Nome da disciplina 13
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+
-)(tVe
W2
-
xV5,1
0,5 H a bVx
-
)(tV s2 F
+
-)(sVe
W2
-
xV5,1
0,5 s a bVx
-
)(sVs1/2s
+
-120 V
60 W
i
+
-
R 60 W
220 V
i
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+
-)(tVe
W2
-
xV5,1
0,5 H a bVx
-
)(tV s2 F
+
-)(sVe
W2
-
xV5,1
0,5 s a bVx
-
)(sVs1/2s
+
-120 V
60 W
i
+
-
R 60 W
220 V
i
Exemplo Prático
Nome da disciplina 14
2. Um estudante quer trocar um rádio AM – FM transistorizado de 20 W de um carro usado funcionando com
bateria de 6 Volts para um carro novo cuja bateria é de 12 Volts. Qual o valor do resistor que deve ser
conectado em série com o rádio para limitar a corrente e qual a sua classificação de potência mínima ?
 
 
 
 
 
 
 
 
R
+
-
12 V
i
Rádio AM- FM
6V- 20 W
6V
6V- 20 W
+
-
i
Rádio AM- FM
 
 
 
 
 
 
 
 
R
+
-
12 V
i
Rádio AM- FM
6V- 20 W
6V
6V- 20 W
+
-
i
Rádio AM- FM
Nome da disciplina 15
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+
-)(tVe
W2
-
xV5,1
0,5 H a bVx
-
)(tV s2 F
+
-)(sVe
W2
-
xV5,1
0,5 s a bVx
-
)(sVs1/2s
+
-120 V
60 W
i
+
-
R 60 W
220 V
i
 
 
 
 
 
 
 
 
R
+
-
12 V
i
Rádio AM- FM
6V- 20 W
6V
6V- 20 W
+
-
i
Rádio AM- FM
Exercícios – Aplicação Prática
2. Um estudante quer trocar um rádio AM – FM transistorizado de 20 W de um carro usado funcionando com
bateria de 6 Volts para um carro novo cuja bateria é de 12 Volts. Qual o valor do resistor que deve ser
conectado em série com o rádio para limitar a corrente e qual a sua classificação de potência mínima ?
Resposta : 1,8Ω e 20 Watts
Um estudante quer trocar um rádio AM – FM transistorizado de 20 W de um carro 
usado funcionando com bateria de 6 Volts para um carro novo cuja bateria é de 12 
Volts. Qual o valor do resistor que deve ser conectado em série com o rádio para 
limitar a corrente e qual a sua classificação de potência mínima? 
 
Rádio AM – FM @ = 20	C	,			E)%(-!) = 6	G02%. 
 
@ = G. I				 → 			0	-á#!0	.02!L!%)		)	.(M1!N%(	L0--(N%( 
 
I = @G = 	
20
6 = 3,33	* 
 
 
A bateria deve ser de 12 volts no carro novo para o rádio funcionar 
 
Como o resistor está em série a corrente no circuito é a mesma . 
 
 
I = G< = 3,33	*					 → 				< =
G
I =
12 − 6
3,33 = 1,8	Ω 
 
Observe que @ = <. I$ = 1,8	. (3,33)$ ≅ 20	C		 
 
Um estudante quer trocar um rádio AM – FM transistorizadode 20 W de um carro 
usado funcionando com bateria de 6 Volts para um carro novo cuja bateria é de 12 
Volts. Qual o valor do resistor que deve ser conectado em série com o rádio para 
limitar a corrente e qual a sua classificação de potência mínima? 
 
Rádio AM – FM @ = 20	C	,			E)%(-!) = 6	G02%. 
 
@ = G. I				 → 			0	-á#!0	.02!L!%)		)	.(M1!N%(	L0--(N%( 
 
I = @G = 	
20
6 = 3,33	* 
 
 
A bateria deve ser de 12 volts no carro novo para o rádio funcionar 
 
Como o resistor está em série a corrente no circuito é a mesma . 
 
 
I = G< = 3,33	*					 → 				< =
G
I =
12 − 6
3,33 = 1,8	Ω 
 
Observe que @ = <. I$ = 1,8	. (3,33)$ ≅ 20	C		 
 
Um estudante quer trocar um rádio AM – FM transistorizado de 20 W de um carro 
usado funcionando com bateria de 6 Volts para um carro novo cuja bateria é de 12 
Volts. Qual o valor do resistor que deve ser conectado em série com o rádio para 
limitar a corrente e qual a sua classificação de potência mínima? 
 
Rádio AM – FM @ = 20	C	,			E)%(-!) = 6	G02%. 
 
@ = G. I				 → 			0	-á#!0	.02!L!%)		)	.(M1!N%(	L0--(N%( 
 
I = @G = 	
20
6 = 3,33	* 
 
 
A bateria deve ser de 12 volts no carro novo para o rádio funcionar 
 
Como o resistor está em série a corrente no circuito é a mesma . 
 
 
I = G< = 3,33	*					 → 				< =
G
I =
12 − 6
3,33 = 1,8	Ω 
 
Observe que @ = <. I$ = 1,8	. (3,33)$ ≅ 20	C		 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R
+
-
12 V
i
Rádio AM- FM
6V- 20 W
6V
6V- 20 W
+
-
i
Rádio AM- FM
 
 
 
 
 
 
 
 
R
+
-
12 V
i
Rádio AM- FM
6V- 20 W
6V
6V- 20 W
+
-
i
Rádio AM- FM
Exercícios de Fixação
3. Uma lâmpada de lanterna de 3 volts, corrente de 300mA, será usada como luz em um
rádio conectado em 120 Volts. Qual o valor do resistor que deve ser conectado em série
com a lâmpada de lanterna para limitar a corrente?
Resposta : 390 Ω
Uma vez que apenas 3 Volts podem ser aplicados à lâmpada da lanterna , a tensão no resistor será: 
𝑉!á#$% − 𝑉&'()*+(' = 120 − 3 = 117 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠
Portanto toda a tensão de 117 Volts estará no resistor
𝑅 =
𝑉
𝐼 =
117
300. 10,- = 390Ω
Como o resistor está em série a corrente é a mesma, desta forma:
EA513 C E DECOM FEEC NICAMP A 1 
 9 
Re i 
 
 E e e e c e a e e a (a e a ) 
e c a a a e de c e e e ca. 
 Re c a: c d e e da 
c e e d a e a . 
 E a e de a a e c a de 
a e a : 
 
 Le de O 
 
 = Re c a e ca d a e a , ed da 
e [ ] V/A. 
 U e a a e a e e a, a 
ab e c a, d a d -a a a de 
ca . 
 G 1 : c d c a, ed da e e e (S) 
 
-
2
2
-
2
2
 
 
 
EA513 C E DECOM FEEC NICAMP A 1 
 10 
Re i i ea : O a da e c a 
de e de d a da c e e e da e . 
 
aa
 
 
E e de e i e - i ea e : 
 D d e c d 
0,2 0,4 0,60,2 0,4 0,6
 
 
]1[e0 -I 
 
� I0 = c e e de a a e e a ( A) 
� = e de a ( 25 V) 
EA513 C E DECOM FEEC NICAMP A 1 
 9 
Re i 
 
 E e e e c e a e e a (a e a ) 
e c a a a e de c e e e ca. 
 Re c a: c d e e da 
c e e d a e a . 
 E a e de a a e c a de 
a e a : 
 
 Le de O 
 
 = Re c a e ca d a e a , ed da 
e [ ] V/A. 
 U e a a e a e e a, a 
ab e c a, d a d -a a a de 
ca . 
 G 1 : c d c a, ed da e e e (S) 
 
-
2
2
-
2
2
 
 
 
EA513 C E DECOM FEEC NICAMP A 1 
 10 
Re i i ea : O a da e c a 
de e de d a da c e e e da e . 
 
aa
 
 
E e de e i e - i ea e : 
 D d e c d 
0,2 0,4 0,60,2 0,4 0,6
 
 
]1[e0 -I 
 
� I0 = c e e de a a e e a ( A) 
� = e de a ( 25 V) 
BIPOLOS - RESISTOR
When this equation is plotted on i-versus-v axes, the graph is a straight
line passing through the origin (Fig. 2.23). Equation [4] is a linear equation,
and we will consider it as the definition of a linear resistor. Resistance is
normally considered to be a positive quantity, although negative resistances
may be simulated with special circuitry.
Again, it must be emphasized that the linear resistor is an idealized
circuit element; it is only a mathematical model of a real, physical device.
“Resistors” may be easily purchased or manufactured, but it is soon found
that the voltage-current ratios of these physical devices are reasonably con-
stant only within certain ranges of current, voltage, or power, and depend
also on temperature and other environmental factors. We usually refer to a
linear resistor as simply a resistor; any resistor that is nonlinear will always
be described as such. Nonlinear resistors should not necessarily be consid-
ered undesirable elements. Although it is true that their presence compli-
cates an analysis, the performance of the device may depend on or be greatly
improved by the nonlinearity. For example, fuses for overcurrent protection
and Zener diodes for voltage regulation are very nonlinear in nature, a fact
that is exploited when using them in circuit design.
Power Absorption
Figure 2.24 shows several different resistor packages, as well as the most
common circuit symbol used for a resistor. In accordance with the voltage,
current, and power conventions already adopted, the product of v and i
gives the power absorbed by the resistor. That is, v and i are selected to
satisfy the passive sign convention. The absorbed power appears physically
SECTION 2.4 OHM’S LAW 23
! FIGURE 2.23 Current-voltage relationship for an
example 2 ! linear resistor. Note the slope of the line
is 0.5 A/V, or 500 m!!1.
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
V (volts)
I (amperes)
! FIGURE 2.24 (a) Several common resistor packages. (b) A 560 ! power resistor rated at up to
50 W. (c) A 5% tolerance 10-teraohm (10,000,000,000,000 !) resistor manufactured by Ohmcraft.
(d ) Circuit symbol for the resistor, applicable to all of the devices in (a) through (c).
(a)
(c) (d)
i
R
v+ –
(b)
ASSOCIAÇÃO DE BIPOLOS
SECTION 3.7 RESISTORS IN SERIES AND PARALLEL 55
The circuit of Fig. 3.24c violates KCL: it is unclear what current
actually flows through the resistor R. 
PRACTICE 
!
3.11 Determine whether the circuit of Fig. 3.25 violates either of
Kirchhoff’s laws.
Ans: No. If the resistor were removed, however, the resulting circuit would.
R5 A 3 A
" FIGURE 3.25
3.7 • RESISTORS IN SERIES AND PARALLEL
It is often possible to replace relatively complicated resistor combinations
with a single equivalent resistor. This is useful when we are not specifically
interested in the current, voltage, or power associated with any of the indi-
vidual resistors in the combinations. All the current, voltage, and power rela-
tionships in the remainder of the circuit will be unchanged.
Consider the series combination of N resistors shown in Fig. 3.26a. We
want to simplify the circuit with replacing the N resistors with a single resistor
Req so that the remainder of the circuit, in this case only the voltage source,
does not realize that any change has been made. The current, voltage, and
power of the source must be the same before and after the replacement.
First, apply KVL: 
vs = v1 + v2 + · · · + vN
and then Ohm’s law:
vs = R1i + R2i + · · · + RN i = (R1 + R2 + · · · + RN )i
Now compare this result with the simple equation applying to the equiv-
alent circuit shown in Fig. 3.26b:
vs = Reqi
v1+ – v2+ – vN+ –
(a)
R1 R2 RN
vs ++––
i
(b)
Reqvs
+
–
i
" FIGURE 3.26 (a) Series combination of N resistors. (b) Electrically equivalent circuit.
Helpful Tip: Inspection of the KVL equation for any
series circuit will show that the order in which elements
are placed in such a circuit makes no difference.
SECTION 3.7 RESISTORS IN SERIES AND PARALLEL 55
The circuit of Fig. 3.24c violates KCL: it is unclear what current
actually flows through the resistor R. 
PRACTICE 
!
3.11 Determine whether the circuit of Fig. 3.25 violates either of
Kirchhoff’s laws.
Ans: No. If the resistor were removed, however, the resulting circuit would.
R5 A 3 A
" FIGURE 3.25
3.7 • RESISTORS IN SERIES AND PARALLEL
It is often possible to replace relatively complicated resistor combinations
with a single equivalent resistor. This is useful whenwe are not specifically
interested in the current, voltage, or power associated with any of the indi-
vidual resistors in the combinations. All the current, voltage, and power rela-
tionships in the remainder of the circuit will be unchanged.
Consider the series combination of N resistors shown in Fig. 3.26a. We
want to simplify the circuit with replacing the N resistors with a single resistor
Req so that the remainder of the circuit, in this case only the voltage source,
does not realize that any change has been made. The current, voltage, and
power of the source must be the same before and after the replacement.
First, apply KVL: 
vs = v1 + v2 + · · · + vN
and then Ohm’s law:
vs = R1i + R2i + · · · + RN i = (R1 + R2 + · · · + RN )i
Now compare this result with the simple equation applying to the equiv-
alent circuit shown in Fig. 3.26b:
vs = Reqi
v1+ – v2+ – vN+ –
(a)
R1 R2 RN
vs ++––
i
(b)
Reqvs
+
–
i
" FIGURE 3.26 (a) Series combination of N resistors. (b) Electrically equivalent circuit.
Helpful Tip: Inspection of the KVL equation for any
series circuit will show that the order in which elements
are placed in such a circuit makes no difference.
SECTION 3.7 RESISTORS IN SERIES AND PARALLEL 55
The circuit of Fig. 3.24c violates KCL: it is unclear what current
actually flows through the resistor R. 
PRACTICE 
!
3.11 Determine whether the circuit of Fig. 3.25 violates either of
Kirchhoff’s laws.
Ans: No. If the resistor were removed, however, the resulting circuit would.
R5 A 3 A
" FIGURE 3.25
3.7 • RESISTORS IN SERIES AND PARALLEL
It is often possible to replace relatively complicated resistor combinations
with a single equivalent resistor. This is useful when we are not specifically
interested in the current, voltage, or power associated with any of the indi-
vidual resistors in the combinations. All the current, voltage, and power rela-
tionships in the remainder of the circuit will be unchanged.
Consider the series combination of N resistors shown in Fig. 3.26a. We
want to simplify the circuit with replacing the N resistors with a single resistor
Req so that the remainder of the circuit, in this case only the voltage source,
does not realize that any change has been made. The current, voltage, and
power of the source must be the same before and after the replacement.
First, apply KVL: 
vs = v1 + v2 + · · · + vN
and then Ohm’s law:
vs = R1i + R2i + · · · + RN i = (R1 + R2 + · · · + RN )i
Now compare this result with the simple equation applying to the equiv-
alent circuit shown in Fig. 3.26b:
vs = Reqi
v1+ – v2+ – vN+ –
(a)
R1 R2 RN
vs ++––
i
(b)
Reqvs
+
–
i
" FIGURE 3.26 (a) Series combination of N resistors. (b) Electrically equivalent circuit.
Helpful Tip: Inspection of the KVL equation for any
series circuit will show that the order in which elements
are placed in such a circuit makes no difference.
SECTION 3.7 RESISTORS IN SERIES AND PARALLEL 55
The circuit of Fig. 3.24c violates KCL: it is unclear what current
actually flows through the resistor R. 
PRACTICE 
!
3.11 Determine whether the circuit of Fig. 3.25 violates either of
Kirchhoff’s laws.
Ans: No. If the resistor were removed, however, the resulting circuit would.
R5 A 3 A
" FIGURE 3.25
3.7 • RESISTORS IN SERIES AND PARALLEL
It is often possible to replace relatively complicated resistor combinations
with a single equivalent resistor. This is useful when we are not specifically
interested in the current, voltage, or power associated with any of the indi-
vidual resistors in the combinations. All the current, voltage, and power rela-
tionships in the remainder of the circuit will be unchanged.
Consider the series combination of N resistors shown in Fig. 3.26a. We
want to simplify the circuit with replacing the N resistors with a single resistor
Req so that the remainder of the circuit, in this case only the voltage source,
does not realize that any change has been made. The current, voltage, and
power of the source must be the same before and after the replacement.
First, apply KVL: 
vs = v1 + v2 + · · · + vN
and then Ohm’s law:
vs = R1i + R2i + · · · + RN i = (R1 + R2 + · · · + RN )i
Now compare this result with the simple equation applying to the equiv-
alent circuit shown in Fig. 3.26b:
vs = Reqi
v1+ – v2+ – vN+ –
(a)
R1 R2 RN
vs ++––
i
(b)
Reqvs
+
–
i
" FIGURE 3.26 (a) Series combination of N resistors. (b) Electrically equivalent circuit.
Helpful Tip: Inspection of the KVL equation for any
series circuit will show that the order in which elements
are placed in such a circuit makes no difference.
 
 
Na Engenharia Elétrica estamos interessados na transmissão ou transferência de 
energia de um ponto para outro. 
Para que isto ocorra é necessário uma interconexão de dispositivos elétricos. Esta 
interconexão é chamada de circuito elétrico, e cada componente do circuito é chamado 
de elemento. 
Definimos Circuito Elétrico como sendo a interconexão de elementos elétricos. 
 
CARGA ELÉTRICA e CORRENTE ELÉTRICA 
 
A carga Elétrica, seu conceito, é o principal elemento utilizado para explicar todos os 
fenômenos elétricos. 
 
Estes conceitos já foram estudados anteriormente na física (eletrostática),lembrando 
que cargas elétricas podem ser positivas ou negativas 
 
CORRENTE ELÉTRICA 
 
Corrente Elétrica é definida como a taxa de variação da carga em relação ao tempo e 
expressa como: 
 
! = #$#% 																														'(#!#)	('	*'+é-(. =
/0120'3.
4012( 	 
 
 
A corrente Elétrica através de um condutor pode ser medida por meio de um aparelho 
chamado amperímetro, ligado em série no circuito, que é representado como segue: 
 
 
 
A carga transportada pela corrente elétrica, é obtida bastando integrar a função 
 
#5(%) = !(%)#%																										5 = 8 !(%)#%
!
!!
 
 
 
9"# =
:$
! 
14
no condutor. A figura a seguir ilustra um ampeŕımetro ideal, cuja
inserção não perturba a operação do circuito. O ampeŕımetro deve ser
intercalado no condutor de modo que a flecha do sentido de referência
positiva do condutor o atravesse do terminal “+” para o terminal “-”.
A carga elétrica transportada pela corrente entre o instante inicial
t0 e o instante atual t é dada por
q(t) =
Z t
t0
i(⌧) d⌧ + q(t0). (4)
3. Bipolos Elétricos, Tensão e Potência
Um bipolo elétrico é um dispositivo com dois terminais acesśıveis,
através dos quais pode fluir uma corrente elétrica. Em qualquer in-
stante a corrente que entra por um dos terminais deve ser igual à que
Resistores Série – Resistência Equivalente 
 
 
4. Bipolos Elementares Passivos 
 
4.1 Associação de Resistores 
Em circuitos é comum a necessidade de se combinar resistores em série e em 
paralelo, o que ocorre com grande frequência em circuitos. O processo para essa 
combinação de resistores é mais fácil de se entender quando fazemos a 
combinação dos mesmos dois a dois. 
4.2 Resistores em Série – Circuito Divisor de Tensão 
 
Vamos considerar o circuito mostrado a seguir onde os resistores estão 
conectados em série. Podemos observar também que a corrente que flui no 
circuito é mesma em ambos os resistores. 
Desta forma alguns conceitos básicos podem ser definidos, tal como: 
Em m circuito série a corrente que flui no circuito é a mesma em todos os 
elementos, porém a tensão total se divide em cada um dos elementos do 
circ ito 
Esta afirmação define o conceito de um circuito divisor de tensão que pode ser 
visto e calculado como mostrado a seguir: 
 
i
1v
1R
+
-
V
2R
+ - + -2v
 
 
A resistência total do circuito é dada por 𝑅 𝑅 𝑅 
Aplicando -se a lei de Ohm em cada resistor do circuito teremos o cálculo das 
tensões 
𝑅 . 𝑒 𝑅 . equações (1) e (2) 
 
A soma das tensões no circuito será → 0 
 
Onde 𝑎 𝑑𝑎 𝑅 𝑅 
 
Pode-se ainda escrever a corrente i que será: 
𝑅 𝑅
 
Substituindo a corrente i calculada nas equações 1 e 2 teremos as tensões 
 𝑒 
 
 . 𝑅
𝑅 𝑅
 𝑒 
 . 𝑅
𝑅𝑅
 
 
Estas tensões, e caracterizam o circuito divisor de tensão. 
 
Em circuitos é comum a necessidade de se combinar resistores em série e 
em paralelo, o que ocorre com grande frequência em circuitos.
ASSOCIAÇÃO DE BIPOLOS
Resistores Paralelos – Resistência Equivalente 
SECTION 3.7 RESISTORS IN SERIES AND PARALLEL 57
Similar simplifications can be applied to parallel circuits. A circuit
containing N resistors in parallel, as in Fig. 3.29a, leads to the KCL
equation 
is = i1 + i2 + · · · + iN
or 
is =
v
R1
+ v
R2
+ · · · + v
RN
= v
Req
Thus, 
[9]
1
Req
= 1
R1
+ 1
R2
+ · · · + 1
RN
next step is to then combine the three voltage sources into an equivalent
90 V source, and the four resistors into an equivalent 30 ! resistance,
as in Fig. 3.27c. Thus, instead of writing
!80 + 10i ! 30 + 7i + 5i + 20 + 8i = 0
we have simply
!90 + 30i = 0
and so we find that
i = 3 A
In order to calculate the power delivered to the circuit by the 80 V
source appearing in the given circuit, it is necessary to return to
Fig. 3.27a with the knowledge that the current is 3 A. The desired
power is then 80 V " 3 A # 240 W.
It is interesting to note that no element of the original circuit remains
in the equivalent circuit.
PRACTICE 
!
3.12 Determine i in the circuit of Fig. 3.28.
Ans: !333 mA.
+
– +
–
+–
i
5 V 5 V
15 !5 V
5 !
25 !
" FIGURE 3.28
R2R1is RNv
+
–
i2i1 iN
(a)
...
...
is Reqv
+
–
(b)
" FIGURE 3.29 (a) A circuit with N resistors in
parallel. (b) Equivalent circuit.
!" = !# + !$ +⋯+ !% 
 
!" =
;
<#
+ ;<$
+⋯+ ;<%
 
 
 
!" = ; =
1
<#
+ 1<$
+⋯+ 1<%
? 
 
!"
; = =
1
<#
+ 1<$
+⋯+ 1<%
? 
 
!"
; =
1
<&'
 
 
1
<&'
= 1<#
+ 1<$
+⋯+ 1<%
 
 
 
 
 
 
!" = !# + !$ +⋯+ !% 
 
!" =
;
<#
+ ;<$
+⋯+ ;<%
 
 
 
!" = ; =
1
<#
+ 1<$
+⋯+ 1<%
? 
 
!"
; = =
1
<#
+ 1<$
+⋯+ 1<%
? 
 
!"
; =
1
<&'
 
 
1
<&'
= 1<#
+ 1<$
+⋯+ 1<%
 
 
 
 
 
 
ASSOCIAÇÃO DE BIPOLOS
Resistores Paralelos – Resistência Equivalente 
O processo para essa combinação de resistores é mais fácil de se entender 
quando fazemos a combinação dos resistores dois a dois
CHAPTER 3 VOLTAGE AND CURRENT LAWS58
which can be written as 
R!1eq = R!11 + R
!1
2 + · · · + R
!1
N
or, in terms of conductances, as 
Geq = G1 + G2 + · · · + G N
The simplified (equivalent) circuit is shown in Fig. 3.29b.
A parallel combination is routinely indicated by the following shorthand
notation: 
Req = R1"R2"R3
The special case of only two parallel resistors is encountered fairly of-
ten, and is given by 
Req = R1"R2
= 11
R1
+ 1
R2
Or, more simply, 
[10]
The last form is worth memorizing, although it is a common error to
attempt to generalize Eq. [10] to more than two resistors, e.g., 
Req =
R1 R2 R3
R1 + R2 + R3
A quick look at the units of this equation will immediately show that the
expression cannot possibly be correct.
Req =
R1 R2
R1 + R2
PRACTICE 
!
3.13 Determine v in the circuit of Fig. 3.30 by first combining the three
current sources, and then the two 10 ! resistors.
Ans: 50 V.
10 !10 ! v
+
–
5 A 6 A1 A
" FIGURE 3.30
CHAPTER 3 VOLTAGE AND CURRENT LAWS58
which can be written as 
R!1eq = R!11 + R
!1
2 + · · · + R
!1
N
or, in terms of conductances, as 
Geq = G1 + G2 + · · · + G N
The simplified (equivalent) circuit is shown in Fig. 3.29b.
A parallel combination is routinely indicated by the following shorthand
notation: 
Req = R1"R2"R3
The special case of only two parallel resistors is encountered fairly of-
ten, and is given by 
Req = R1"R2
= 11
R1
+ 1
R2
Or, more simply, 
[10]
The last form is worth memorizing, although it is a common error to
attempt to generalize Eq. [10] to more than two resistors, e.g., 
Req =
R1 R2 R3
R1 + R2 + R3
A quick look at the units of this equation will immediately show that the
expression cannot possibly be correct.
Req =
R1 R2
R1 + R2
PRACTICE 
!
3.13 Determine v in the circuit of Fig. 3.30 by first combining the three
current sources, and then the two 10 ! resistors.
Ans: 50 V.
10 !10 ! v
+
–
5 A 6 A1 A
" FIGURE 3.30
CHAPTER 3 VOLTAGE AND CURRENT LAWS58
which can be written as 
R!1eq = R!11 + R
!1
2 + · · · + R
!1
N
or, in terms of conductances, as 
Geq = G1 + G2 + · · · + G N
The simplified (equivalent) circuit is shown in Fig. 3.29b.
A parallel combination is routinely indicated by the following shorthand
notation: 
Req = R1"R2"R3
The special case of only two parallel resistors is encountered fairly of-
ten, and is given by 
Req = R1"R2
= 11
R1
+ 1
R2
Or, more simply, 
[10]
The last form is worth memorizing, although it is a common error to
attempt to generalize Eq. [10] to more than two resistors, e.g., 
Req =
R1 R2 R3
R1 + R2 + R3
A quick look at the units of this equation will immediately show that the
expression cannot possibly be correct.
Req =
R1 R2
R1 + R2
PRACTICE 
!
3.13 Determine v in the circuit of Fig. 3.30 by first combining the three
current sources, and then the two 10 ! resistors.
Ans: 50 V.
10 !10 ! v
+
–
5 A 6 A1 A
" FIGURE 3.30
SECTION 3.8 VOLTAGE AND CURRENT DIVISION 63
Thus, we proceed by simply applying voltage division to the circuit
in Fig. 3.35b:
vx = (12 sin t)
2
4 + 2 = 4 sin t volts
PRACTICE 
!
3.15 Use voltage division to determine vx in the circuit of Fig. 3.36.
Ans: 2 V.
The dual2 of voltage division is current division. We are now given a
total current supplied to several parallel resistors, as shown in the circuit of
Fig. 3.37.
The current flowing through R2 is 
i2 =
v
R2
= i(R1!R2)
R2
= i
R2
R1 R2
R1 + R2
or 
[12]
and, similarly, 
[13]
Nature has not smiled on us here, for these last two equations have a
factor which differs subtly from the factor used with voltage division, and
some effort is going to be needed to avoid errors. Many students look on the
expression for voltage division as “obvious” and that for current division as
being “different.” It helps to realize that the larger of two parallel resistors
always carries the smaller current.
For a parallel combination of N resistors, the current through resistor Rk is
[14]ik = i
1
Rk
1
R1
+ 1
R2
+ · · · + 1
RN
i1 = i
R2
R1 + R2
i2 = i
R1
R1 + R2
+
–10 V
2 ! 3 !
10 ! 10 !
vx+ –
" FIGURE 3.36
i
v
+
–
R2R1
i1 i2
" FIGURE 3.37 An illustration of current division. 
(2) The principle of duality is encountered often in engineering. We will consider the topic briefly in
Chap. 7 when we compare inductors and capacitors.
CHAPTER 3 VOLTAGE AND CURRENT LAWS58
which can be written as 
R!1eq = R!11 + R
!1
2 + · · · + R
!1
N
or, in terms of conductances, as 
Geq = G1 + G2 + · · · + G N
The simplified (equivalent) circuit is shown in Fig. 3.29b.
A parallel combination is routinely indicated by the following shorthand
notation: 
Req = R1"R2"R3
The special case of only two parallel resistors is encountered fairly of-
ten, and is given by 
Req = R1"R2
= 11
R1
+ 1
R2
Or, more simply, 
[10]
The last form is worth memorizing, although it is a common error to
attempt to generalize Eq. [10] to more than two resistors, e.g., 
Req =
R1 R2 R3
R1 + R2 + R3
A quick look at the units of this equation will immediately show that the
expression cannot possibly be correct.
Req =
R1 R2
R1 + R2
PRACTICE 
!
3.13 Determine v in the circuit of Fig. 3.30 by first combining the three
current sources, and then the two 10 ! resistors.
Ans: 50 V.
10 !10 ! v
+
–
5 A 6 A1 A
" FIGURE 3.30
ATENÇÃO
Associação de Resistores
Nome da disciplina 22
Calcule a resistência equivalente RAB do circuito abaixo 
Determine a resistência equivalente do circuito a seguir 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
W60
W20
W10
W15
W8
W
30
W18
W12
W60
W10
W15 W
30
W18
W20
W60
W20
W10
W15
W18
W12
W60
W20
W10
W15 W30
 
 
 
 
 
 
 
 
 
W60
W20
W10
W15
W8
W
30
W18
W12
W60
W10
W15 W
30
W18
W20
W60
W20
W10
W15
W18
W12
W60
W20
W10
W15 W30
 
 
 
 
 
 
 
 
 
W60
W20
W10
W15
W8
W
30
W18
W12
W60
W10
W15 W
30
W18
W20
W60
W20
W10
W15W18
W12
W60
W20
W10
W15 W30
Somando a resistência 8 ohms com 12 ohms
Resolvendo a resistência 20 ohms 
em paralelo com 30 ohms
12 Ω + 8 Ω = 20 Ω
34 5 64
34764
= 844
94
= 12Ω
Somando a resistência 18 ohms com 
12 ohms em série
12 Ω + 18 Ω = 30 Ω
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
W60
W20
W10
W15
W8
W
30
W18
W12
W60
W10
W15 W
30
W18
W20
W60
W20
W10
W15
W18
W12
W60
W20
W10
W15 W30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
W60
W20
W10
W10
W8a
b
W18
W16
W10
W
12
W4 W20 W
15
W6
W14
W8a
b
W18
W16
W10
W12 W4 W20 W20W15
Resolvendo a resistência 15 ohms 
em paralelo com 30 ohms
:9 5 64
:9764
= ;94
;9
= 10Ω
Somando a resistência 20 ohms com 
10 ohms com 10 ohms em série
20 Ω + 10 Ω + 10Ω = 40 Ω
Resolvendo a resistência 40 ohms 
em paralelo com 60 ohms
𝑅<= =
;4 5 84
;4784 = 
3;44
:44 = 24Ω
 
 
 
 
:60
:20
:10
:10
 
 
 
:60 :40
 
 
 
:8
a
b
:18
:16
:10
:
12
:4 :20 :
15
:6
:14
 
 
 
 
 
 
Determine para o circuito abaixo a resistência equivalente Rab 
 
 
 
 
 
 
Determine para o circuito abaixo a resistência equivalente Rab 
 
 
 
 
W10
W5,2
a
b
W26
W3
W6
W4,3
W
20
W25,11
W75
W
60
W5
W5
W60
W20
W10
W15
W8
W
30
W18
W48
W6
W15
W10
W60
W20
W10
W15
W8
W
30
W18
W48
W6
W15
W10
a
b
Exercício Proposto
AGRADECEMOS A ATENÇÃO.
BONS ESTUDOS!
26
Exercício Proposto
 
 
 
 
Determine para o circuito abaixo a resistência equivalente Rab 
 
 
 
 
 
 
Determine para o circuito abaixo a resistência equivalente Rab 
 
 
 
 
W10
W5,2
a
b
W26
W3
W6
W4,3
W
20
W25,11
W75
W
60
W5
W5
W60
W20
W10
W15
W8
W
30
W18
W48
W6
W15
W10
W60
W20
W10
W15
W8
W
30
W18
W48
W6
W15
W10
a
b