No Mundo dos Números

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=MOMUMDO= 
DOSMOMEROS 
lsaacAsimov 
Uma das ciências exatas mais importantes 
é a matemática. 
No Mundo dos Números apresenta-a ao 
leitor da fom1a mais simples e compreensí-
vel. 
Isaac Asimov é um mestre na explicação 
informal e, apesar de suas abordagens fre-
quentemente não-convencionais, deíXa o lei· 
tor com sólidas noções do significado e apli· 
caçJo dos números. 
Iniciando pela mais simples contagem dos 
dedos, segue pela utilização do ábaco, onde 
os nómeros ocupam um lugar físico, e chega 
ao sistema decimal. Apresenta os logaritmos 
• at~ mesmo os números imaginários e fi. 
11.allt, em diversas fronteiras da matemática 
, •n uma discussão sobre o infinito e um 
110 de um infinito de infinidades . 
J 
NOMUNDO 
DOS NÚMEROS 
COLEÇAO CIENCIA 
OS DRAGOES DO ÉDEN 
Carl Sagan 
A ESSENCIA DA VIDA 
Harold J. Morovitz 
O ROMANCE DA CI ENCIA 
Carl Sagan 
A CRIANÇA MÁGICA 
Joseph Chilton Pearce 
INTERFERON -A NOVA ESPERANÇA CONTRA O CÂNCER 
Mike Edelhart & Dr. Jean Lindenmann 
O SEXO ENTRE OS ANIMAIS 
Robert A. Wallace 
lsaacAsimov 
MOMUNDO 
DOSMOMEROS 
Tradução 
Lauro S. Blandy 
Diagramas 
Robert Belmore 
• 
F 
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rancisco 
Alves 
i, 97 
© 1959 by Isaac Asimov 
Título original: Realm of Numbers 
1 mpresso no Brasil 
Printed in Brazil 
AB57n 
CIP-Brasil. Catalogaçâ'o-na-fonte 
Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ. 
Asimov, Isaac. 
No mundo dos números/Isaac Asimov;tra-
dução de Lauro S. Blandy. - Rio de Janeiro: F. 
Alves, 1983. 
(Coleção Ciência) 
Tradução de: Realm of numbers. 
1. Teoria dos números 1. Título li. Série 
83-0347 
CDD -511.3 
CDU -511 
1983 
Todos os direitos desta tradução reservados à: 
LIVRARIA FRANCISCO ALVES EDITORAS/A 
Rua Sete de Setembro, 177 - Centro 
20050 - Rio de Janeiro - RJ. 
Sumário 
Capítulo 1 
Dígitos e - Dígitos, 5 
Capítulo 2 
Nada - e Menos do que Nada, 17 
Capítulo 3 
Evitando a Adição, 29 
Capítulo 4 
Números Quebrados, 45 
Capítulo 5 
Quebra por Dezenas, 57 
Capítulo 6 
A Forma dos Números, 71 
Capítulo 7 
À Procura de Raízes, 83 
Capítulo 8 
Os Números Muito Grandes e os Muito Pequeno: 
Capítulo 9 
Da Série Numérica para o Setor Numérico, 119 
Capítulo 10 
Infinidade, 133 
1 
CAPÍTULO 1 
Dígitos e - Dígitos 
Dando Nome aos Números 
A IDEIA DE NOMERO não está restrita à espécie humana. Vários 
animais podem ser treinados para distinguir diferentes números de 
objetos. E lógico que não achamos que eles contam consciente-
mente os objetos, porém podem fazer distinção entre os números 
pelas diferenças nos padrões criados pelos mesmos. 
A maioria de nós, por exemplo, ainda segue esse padrão quan-
do lida com cartas de baralho, mesmo tendo pouco conhecimento 
das mesmas. Assim, cada carta possui um pequeno número no can-
to superior esquerdo, embora um jogador normalmente não preci-
se disso. Os desenhos de cartas de jogar anexos não possuem núme-
ros. Isso causa atrapalhação? Ou o leitor é capaz de reconhecê-las 
assim mesmo ao vê-las, e sem contar? 
Um ponto crucial na história da matemática humana surgiu 
quando foram necessários mais padrões; quando foi preciso algo 
mais do que apenas olhar para dentro de uma caverna para ter 
certeza de que os dois filhos estavam presentes, ou uma vistoria 
no depósito de machados de pedra para certificar-se de que lá 
continuavam os quatro machados de reserva. 
5 
r 
• 
• 
•• • •• 
• •• ••• •• 
CARTAS DE BARALHO SEM NÚMEROS 
A certa altura, o homem achou necessário transmitir núme-
ros. Ele tinha que se dirigir ao seu vizinho e dizer: "Escute, meu 
amigo, você não tirou um dos meus machados de pedra, na última 
vez que esteve em minha caverna?" Então, se o vizinho dissesse: 
"Ora, por que está pensando nisso?" seria conveniente ser capaz de 
dizer "Veja, meu amigo, eu tinha quatro machados de reserva an-
tes de você vir me visitar, e fiquei só com três, quando você foi em-
bora". 
Em suma, é útil ter nomes para números diferentes. 
Sem a menor dúvida, de início foram inventados poucos no-
mes, somente o bastante para ir passando. Algumas tribos primiti-
vas até hoje não possuem nomes para qualquer número além de 
dois ou três. ( Isto não quer dizer que eles não conheçam números 
maiores, na_turalmente. Significa apenas que não possuem nomes 
isolados para os mesmos. Podem chamar o número que chamamos 
quatro, "três e mais um)". 
Em quase todos os casos, entretanto, os nomes isolados fo-
ram dados para os primeiros dez números. Esses nomes, em portu-
guês, são: um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, e dez. 
Poderíamos prosseguir inventando nomes para os números 
além de dez, sem limite, porém isso se tornaria de difícil controle. 
Como poderia alguém lembrar qual o som que significaria "qu·aren-
ta e três" e qual o de "setenta e nove" e assim por diante? Por ou-
tro lado, até o número dez, a coisa era fácil porque tínhamos um 
sistema de memorizar cômodo, até o nome dos dez números fica-
rem bem memorizados. 
6 
Ao dizer "quatro", levantamos quatro dedos; para "seis", le-
vantamos seis dedos. Assim, se quem nos ouve olha para os dedos, 
pode ver o que queremos dizer, no caso de ter esquecido o que re-
presentavam os sons de "quatro" e "seis". 
A palavra latina para significar "dedo" é "digitus" e, em por-
tuguês, os dedos sâ'o às vezes chamados "dígitos". Não é por acaso 
que os primeiros dez números são também chamados dígitos. No 
começo, os dedos e os números eram praticamente idênticos. 
Pode parecer ao leitor que nós temos nomes para significar 
números além de dez; porém, isso é apenas aparente. As alterações 
sofridas pela linguagem distorceram de tal forma o nome dos nú-
meros, que esquecemos os seus significados originais. 
A palavra "onze" nâ'o é realmente um nome isolado, porém 
é proveniente das prin,itivas palavras teutônicas, significando "um 
de resto". 
Em outras palavras, podemos imaginar o nosso homem er-
guendo todos os dez dedos e dizendo: "E um de resto". 
De maneira idêntica, "doze" significa "dois de resto" para co· 
meçar. 
Daí por diante, as coisas ficam mais claras. "Treze" é eviden-
temente uma mistura de "três e dez"; "catorze" está ainda mais 
próximo de "quatro e dez" e assim por diante, até o número vinte. 
Aí chegando, temos a corruptela de "dois dez" de modo que "vin-
te e três" significa "dois dez e três". "Trinta", "quarenta", "cin-
quenta" e os demais formam-se de modo idêntico, e isso nos leva 
até "noventa e nove" .1 
Códigos Digitais 
Mas, será que perdemos o auxílio de nossos dedos, quando 
passamos de dez? Como o leitor indicaria, para dar um exemplo, 
um número como cinquenta e quatro, com os dedos? Tenho visto 
jovens abrir as mãos rapidamente cinco vezes em seguida, mostran-
do dez dedos, ou seja cinqüenta, e depois levantar quatro dedos. 
Isso é muito bom, mas quem observa tem que estar atento, contan-
do o número de vezes em que as mãos se abrem. Em geral, ele terá 
de ser cauteloso e perguntar, no fim: "Cinqüenta e quatro?", o que 
torna inútil toda a apresentação dos dedos. 
Naturalmente nós nunca desenvolvemos técnicas digitais ade-
quadas para números além de dez, porque aprendemos outros re-
cursos melhores na escola. Em caso contrário, precisaríamos desen-
1N. T. - Fica claro que o autor tem como referente o idioma ingJDs,dalaperdadesentido 
para o leitor de língua portuguesa. 
7 
volver algo parecido com isso: podemos estabelecer que quando os 
dedos estiverem para cima, indicarão o número de dezenas. E 
quando apontarem para baixo, o número de dedos indicará o nú-
mero de unidades. 
Poderíamos assim indicar cinqüenta e quatro, erguendo cinco 
dedos para cima e quatro dedos para baixo. Dessa maneira, dois 
gestos nos dariam qualquer número até noventa e nove. 
O número além de noventa e nove é "dez dezenas" e isso se-
ria indicado por dez dedos apontando para cima, mas como seria 
feito no caso de "onze dezenas"? 
Quando atingíssemos "dez", começaríamos um novo sistema 
para contar as "dezenas" em lugar de "unidades". Agora que atin-
gimos "dezdezenas", poderíamos iniciar uma outra série e contar 
por "dez dezenas". Nossa palavra para "dez dezenas" é "cem", 
uma palavra antiga, cuja origem se perde no passado. 
Assim, após atingir uma centena, poderíamos começar de novo. 
Um além de uma centena e "uma centena e um" - o que poderia 
ser mais claro? Prosseguimos até "uma centena e vinte e três", 
"uma centena e setenta e nove", até chegar a "uma centena e no-
venta e nove", seguido naturalmente por duas centenas. Dessa for-
ma, poderíamos continuar até "novecentos e noventa e nove" e o 
número depois deste seria "dez centenas". 
A essa altura, inventaríamos novós nomes para qualquer nú-
mero que atingisse o ponto "dez". No caso de "dez centenas", a 
nova palavra é "mil", outra palavra de origem arcaica. 
Seguindo esse princípio de novos nomes para cada dez de al-
guma coisa, poderíamos continuar a usar os dedos. Por exemplo, 
poderíamos estabelecer que os dedos apontando para baixo signi-
ficariam "milhares" e os dedos apontando para cima, "centenas" .. 
DEDOS INDICANDO 7524 
8 
Portanto, se quiséssemos indicar o número sete mil quinhen-
tos e vinte e quatro com os dedos, poderíamos fazé-lo com quatro 
movimentos: sete dedos para baixo com a palma para baixo, de-
pois cinco dedos para baixo com a palma para cima, depois dois 
dedos para cima com a palma da mão para baixo, e a seguir quatro 
dedos para cima com a palma para cima. 
Nos tempos primitivos, em verdade, nunca foi necessário ir 
além do que milhares, e o nosso sistema numérico mostra isso. 
Quando se atinge dez mil, existe um novo nome para indicar isso. É 
apenas dez mil e depois disso "onze mil", "vinte e três mil" e as-
sim por diante. 
Os matemáticos gregos criaram um nome especial para dez 
mil. Eles o chamavam de "myrias" (de onde vem a palavra "miría-
de") mas isso era usado apenas por um pequeno grupo seleto, e 
nunca atingia a massa do povo. Atualmente temos nomes para nú-
meros tais como "milhão" e "bilhão", porém os mesmos só foram 
inventados no fim da Idade Média. 
Para quase toda a história da humanidade, então, quatro ges-
tos com os dedos teriam sido suficientes para quase tudo. 
Códigos de Pedras 
Isso não quer dizer que o meu sistema de gestos com os 
dedos chegou realmente a ser usado. Na época em que houve ne-
cessidade de lidar com números aos centos e milhares, alguém in-
ventara uma caixa de dedos artificiais, que chamamos pelo nome 
de "ábaco", de origem grega. 
O ábaco, em sua forma mais simples, consiste de uma arma-
ção de madeira através da qual passa um certo número de fios. Em 
cada fio estão enfiados dez discos (os discos dos modelos romano e 
grego eram pedras arredondadas colocadas em sulcos, em lugar de 
fios). A palavra latina para "pedra" é "calculus" e a humanidade 
tem usado tais pedras desde então para indicar os números, e por 
isso continuamos a dizer que estamos "calculando" quando esta-
mos manejando números. E os próprios discos - embora discos 
semelhantes sejam usados para outros fins - são chamados "con-
tadores". 
Cada fio com os seus dez contadores representa um par de 
mãos com dez dedos. Existe um pequeno espaço vazio em cada 
fio, de modo que se começarmos com todos os contadores à es-
9 
querda, deslocando um ou mais para a direita, isso equivalerá a er-
guer um ou mais dedos. 
1 ÁBACO 
Suponhamos que o fio de baixo, ou fileira, represente as 
"unidades", a outra de cima "as dezenas", a outra "as centenas" 
e ainda a outra os "milhares". Assim, para indicar o número sete 
mil quinhentos e vinte e quatro, basta apenas deslocar quatro 
contadores para a direita na fila de baixo, dois para a direita na fila 
acima desta, cinco para a direita na próxima fila superior e sete 
para a direita na fila acima desta. 
Isto apresenta várias vantagens sobre o código digital. Em 
primeiro lugar, não precisamos lembrar quais os dedos que devem 
ser levantados ou abaixados, e quais as palmas para cima e quais 
as para baixo. Isso alivia a memória. Em segundo lugar, no código 
digital, temos que mostrar um número após outro. Quem está 
observando precisa lembrar os sete milhares, enquanto passamos 
para os quinhentos, e assim por diante. No ábaco, todas as catego-
rias permanecem visíveis ao mesmo tempo, e podem continuar vi-
síveis indefinidamente. Isso alivia ainda mais a memória. 
10 
2 ABACO INDICANDO 7524 
Em terceiro lugar, aumentando o número de fileiras no ába-
co, podem-se colocar números mais altos até onde se desejar, sem 
maiores problemas. Por último, o ábaco torna possível reunir dois 
números e obter a quantidade representada por ambos. 
Manejando as Pedras 
A necessidade de reunir ou "sornar" números deve ter surgi-
do bem cedo na história da humanidade. Se tirássemos ou com-
prássemos o suprimento de machados de pedra de nosso vizinho, 
ou se nossas ovelhas tivessem um certo número de carneiros, dese-
jaríamos saber quantos machados possuíamos ou quantos carnei-
ros. 
A maneira mais simples seria contar. Tínhamos cinco; foram 
acrescentados mais dois; contamos todos e achamos sete. Depois 
de certo tempo, através da prática, nâ'o precisaríamos contar cinco 
e dois. Saberíamos de anternâ'o que seriam sete. 
Embora haja, naturalmente, um limite para a memória. Se for 
necessário sornar "vinte e três" e "cinqüenta e quatro",poderernos 
nâ'o saber antecipadamente qual será a resposta. E contar os núrne-
11 
ros nessa altura poderá ser monótono e até mesmo irritante. Um 
pastor da antigüidade tentando contar vinte e três carneiros aos 
quais foram acrescentados mais cinqüenta e quatro, e tendo perdi-
do a conta pela segunda vez, poderia ficar realmente furioso, e do 
qual faríamos bem em nos afastar. 
O ábaco fornece uma solução para esse problema, uma vez 
que é um dispositivo mecânico que fará a sua soma, com um mí-
nimo de esforço para a sua mente. Não seria preciso nem mesmo 
ficar perto dos carneiros, e poderíamos entrar em nossa casa. 
Se quisermos somar vinte e três e cinqüenta e quatro no ába-
co, colocamos primeiro o número vinte e três deslocando três 
contadores na fileira das "unidades" e dois na fileira das "dezenas". 
A seguir somamos o número cinqüenta e quatro, movendo mais 
quatro contadores nas "unidades", e mais cinco na fileira das "de-
zenas". Agora, se contarmos todos os contadores que deslocamos, 
acharemos sete contadores nas "unidades" e sete nas "dezenas". 
Vinte e três e cinqüenta e quatro são setenta e sete e não temos 
que contar além de dez, em qualquer fase do processo. 
Realmente, se quiséssemos, poderíamos ter somado números 
muito maiores, sem qualquer dificuldade. Por exemplo, duzentos e 
cinqüenta e três mil cento e vinte mais cento e vinte e seis mil oi-
tocentos e trinta e um daria pelo ábaco rapidamente trezentos e se-
tenta e nove mil novecentos e quarenta e três. Ainda dessa vez, 
não teríamos que contar além de dez em qualquer fase da soma. 
Porém, suponhamos que tivéssemos a oportunidade de somar 
oito e sete. De modo estranho, isso apresentaria um problema 
maior do que a soma de centenas de milhares que acabamos de 
mencionar. Dessa vez, há falta de contadores. Começamos deslo-
cando oito contadores para a direita. Desejaríamos a seguir deslo-
car mais sete contadores para a direita, porém tendo já movido 
oito, restariam apenas dois para serem deslocados. O que fazer? 
Todavia, a resposta é simples. Deslocamos aqueles dois e te-
mos agora todos os dez contadores da fileira das "unidades", no 
lado direito. Podemos trocá-los, por assim dizer, por um contador 
na fileira das "dezenas'1, uma vez que dez "unidades" são uma "de-
zena". Deslocaríamos então os seus dez contadores na fileira das 
"unidades" de volta para a esquerda, e em seu lugar deslocaríamos 
um contador para a direita, na fileira das "dezenas". 
Completaria agora o seu deslocamento na fileira das "unida-
des", iamas deslocar sete contadores, porém só fomos capazes de 
deslocar dois. Isso deixa ainda cinco contadores para serem deslo-
12 
Fase 1 Fase 2 Fase 3 
SOMA OE 8 E 7 NOABACO 
cados e então devemos deslocá-los. Leia o resultado final: um con-
tador para a direita na fileira das "dezenas'', cinco na fileira das 
"unidades"; oito mais sete são quinze. 
Este sistema de trocar dez por um, funciona em todas as filei-
ras. Se precisarmos mais do que dez dezenas, poderemos sempre 
trocar dez dezenas por uma centena; poderemos trocar dez cente-
nas por um milhar e assim por diante. 
Em todos esses casos, nunca será preciso contar mais do que 
dez contadores de cada vez. Na realidade, nunca é necessário con-
tar mais do que cinco, uma vez que se tivermos deslocado mais do 
que cinco para a direita, precisaremos contar apenas o número ain-
da na esquerda (sempre menor do que cinco) para saber quantos 
estão na direita. Se existir apenas um contador na esquerda, sabe-
remos que existem nove na direita. 
Cinco contadores ou menos podem ser contados de relance 
pelo padrão formado, sem necessidade de realmente contar. Por 
esse motivo, apesar da necessidade de trocar continuamente dez 
por um, um operador de ábaco bem treinado pode realizar somas e 
subtrações complexas (agindo ao contrário no caso de subtração) 
com uma velocidade muito maior do que a que pode ser tentada 
pela maioria de nós com papel e lápis da maneira usual. Um opera-
dor de ábaco, que seja campeão, poderá até mesmo competir com 
calculadoras elétricas de mesa. 
13 
A propósito, ao operar com um ábaco podemos demonstrar 
que não importa o número de uma soma com o qual começamos a 
somar. Quer mudemos os sete contadores primeiro, e depois oito, 
ou oito primeiro e depois sete, teremos sempre quinze. Lembra-
mos como regra geral, então, que não importa em que seqüência 
um grupo de números foi somado. 
Códigos de Letras 
O ábaco foi muito bom até certo ponto, porém ainda resta 
um problema. Como escrever os números para obter um registro 
permanente? Os antigos babilônios e egípcios tinham freqüente-
mente que escrever grandes números para calcular impostos e tri-
butos ou para relacionar suprimentos comprados para a despensa 
real. 
Poderíamos, naturalmente, escrever os números como qual-
quer outra palavra e dizer - como já disse antes - duzentos e cin-
qüenta e três mil cento e doze, ou o equivalente no idioma babilô-
nico ou egípcio. Entretanto, isso poderia ser muito monótono. Se-
ria desejável algum tipo de escrita abreviada para esse fim. 
E isso já era adotado. Os escribas, usavam vários sinais e sím-
bolos (muitas vezes apenas as letras do alfabeto) para indicar nú-
meros. Como exemplo, consideremos o sistema romano, porque 
ele ainda é usado em monumentos e edifícios públicos, em diplo-
mas e mostradores. 
Para indicar o número um, os romanos escreviam 1, que pro-
vavelmente indicava um dedo. Dois, três e quatro eram 11, Ili e IV, 
o que é bastante simples. Para cinco, o símbolo era V. Ninguém sa-
be por quê, porém a idéia mais aceita era que ele representa a pal-
ma da mão com o polegar afastado dos outros dedos. A seguir, vi-
nham VI, VII, VIII e IX. Dez era representado por X (talvez duas 
palmas, uma para cima e outra para baixo). Para cinqüenta, temos 
L, cem C, quinhentos é D, e mil M. 
Para escrever mil novecentos e cinqüenta e oito, teríamos 
que escrever MDCCCCLVI 11 (um milhar, mais cinco centenas, mais 
uma centena, mais uma centena, mais uma centena, mais uma cen-
tena, mais cinqüenta, mais cinco, mais um, mais um e mais um). 
Reparem que, no sistema romano, um determinado símbolo 
sempre tem o mesmo valor numérico, seja qual for o seu lugar no 
número. Se em vez de escrever MDCCCCLVI 11 tivéssemos escrito 
14 
CLCDIIVCMCI, o número continuaria sendo o mesmo. O único 
motivo para colocá-lo na ordem decrescente dos símbolos é para 
que se possa somar os símbolos rapidamente e.entender o seu sig-
nificado. (É como receber uma mão de bridge. A mão tem sempre 
o mesmo valor qualquer que seja o arranjo das cartas, mas coloca-
mo-las em séries, de acordo com o valor decrescente apenas por 
conveniência de leitura.) (1) 
O fato dos números romanos não terem um valor locativo, 
anula o sistema que funciona tão bem no ábaco. No ábaco, é im-
portante saber em que fileira os contadores são deslocados, uma 
vez que cada fileira tem o seu valor próprio. . 
É verdade que ainda se pode somar, utilizando numerais ro-
manos. Por exemplo, se desejarmos somar mil novecentos e cin-
qüenta e oito com dois mil quatrocentos e setenta e dois, podemos 
escrever MDCCCCLVIII e MMCCCCLXXI I para os dois números, e 
depois escrever um novo número incluindo todos os símbolos: 
MMMDCCCCCCCCLLXXVll 111. 
A seguir, simplificando: cinco I são V, e dois L são C, e pode-
mos escrever: 
MMMDCCCCCCCCCXXVV. 
Porém, dois V são X, e cinco C são D, e então o número fica: 
MMMDDCCCCXXX. Entretanto, dois D são M, e assim fazemos 
uma última alteração para MMMMCCCCXXX e temos a resposta: 
quatro mil quatrocentos e trinta. 
Não há dúvida que um escriba romano bem treinado poderia 
fazer essa soma bem depressa, por estar habituado. Porém, existem 
outros tipos de manejas com números que são quebra-cabeças se 
usarmos o sistema romano, porém se tornam fáceis no ábaco. 
Aliás, a falta de um sistema apropriado para escrever números 
retardou o progresso dos matemáticos gregos, pois ambos os siste-
mas eram bons. Dizem que se o maior dos matemáticos gregos, Ar-
quimedes, tivesse conhecido o nosso sistema numérico, ele teria in-
ventado o cálculo - o qual quase chegou a inventar, mesmo assim 
- e não teríamos que esperar oitocentos anos para que Newton o 
inventasse. 
(1) Atualmente, é costume colocar um pequeno s/mbo/o antes de um maior como sinal 
de que o mesmo deve ser subtraido, de modo que IV em lugar de// li é uquatro", e CM 
em lugar de DCCCC é "novecentos". Entretanto, isso foi um aperfeiçoamento medieval 
para poupar espaço, e não foi usado pelos primitivos romanos. 
15 
• 
Foi somente no nono século depois de Cristo, que um hindu 
anônimo criou pela primeira vez o sistema moderno. Essa desco-
berta chegou até os árabes, e por eles foi transmitida aos europeus, 
de modo que chamamos os números modernos de arábicos. Ades-
coberta na fndia foi apenas a dos números-padrão do ábaco, como 
será depois explicado. Uma vez que o ábaco funciona tão bem, é 
de admirar que essa descoberta tenha sido superada há tanto tempo . 
16 
CAPÍTUL02 
Nada - e Menos do que Nada 
A Importância da Fileira Vazia 
Os hindus começaram com nove símbolos diferentes, um 
para cada número de um até nove. Estes tém-se modificado com o 
tempo, porém adquiriram a forma atual na Europa no século de-
zesseis e são agora escritos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 
Isso é uma coisa sui generis. Os gregos e os judeus, por exem-
plo, usavam nove símbolos diferentes para esses números. Em cada 
caso, os símbolos eram as primeiras nove letras de seus alfabetos. 
Os gregos e judeus prosseguiram, todavia, a usar as próximas nove 
letras de seus alfabetos para os números dez, vinte, trinta, e assim 
por diante; e as nove letras depois desses números para cem, du-
zentos, trezentos, e assim por diante. Se o alfabeto não fosse sufi-
ciente para essa finalidade (são necessárias vinte e oito letras para al-
cançar o número mil por este sistema), seriam acrescentadas letras 
arcaicas ou formas especiais de letras. 
O uso de letras para números deu margem à confusão com as 
palavras. Por exemplo, o número hebraico "quinze" fazia uso de 
duas letras que começam o nome de Deus (no idioma hebraico), e 
assim teria de ser usada uma outra combinação de letras. 
Por outro lado, as palavras comuns podiam ser convertidas 
em números pela adição do valor numérico das letras que as com-
põem. Isso foi feito principalmente para as palavras e nomes na B í-
blia (um processo chamado "gematria") e eram atribuídos às mes-
mas toda espécie de significados ocultos e místicos. 
17 
• 
O exemplo mais conhecido é o trecho do Apocalipse de São 
João, onde é dado o nú mero da "Besta" como sendo seiscentos e 
sessenta e seis. Isso sem dúvida queria dizer quealgum personagem 
da época, cujo nome seria inseguro declarar abertamente (talvez o 
imperador romano Nero) possuía um nome que, em hebraico ou 
em grego, equivalia àquele número. Entretanto, desde então, mui-
ta gente tem tentado enquadrar os nomes de seus inimigos naquele 
número. 
Os hindus excederam os gregos ao usar os mesmos nove nú-
meros para indicar dezenas, centenas, e de fato para qualquer 
fileira do ábaco. A partir desses nove números, eles formaram 
todos os números. Tudo que era preciso, era dar valores de posição 
a esses nú meros. 
Por exemplo, o número vinte e três, no ábaco, era formado 
por três contadores deslocados para a direita na fileira das "unida-
des" e dois na fileira das "dezenas". Portanto,o número poderia ser 
escrito 23, representando o numeral na direita a fileira de baixo do 
ábaco e o da esquerda, a próxima fileira acima. 
E evidente que trinta e dois então deverá ser escrito 32 e os 
valores de posição tornam-se claros uma vez que 23 e 32 não são o 
mesmo número. Um é formado por duas dezenas mais três unida-
des e o outro por três dezenas mais duas unidades. 
É pouco provável que os gregos, sendo inteligentes, não tives-
sem pensado nisso; eles pensaram em muitos outros pontos mais 
sutis. O que deve tê-los detido (e aos demais até surgir o desconhe-
cido gênio hindu) foi o dilema da fileira não tocada do ábaco. 
Suponhamos que se desejasse, em lugar de vinte e três, escre-
ver duzentos e três. No ábaco, deslocaríamos dois contadores na fi-
leira das "centenas" e três na fileira das "unidades". A fileira das 
"dezenas" permaneceria não tocada. Utilizando o sistema hindu, 
poderá parecer que teríamos ainda de escrever 23, só que dessa 
vez o 2 significaria "duas centenas", e não "duas dezenas". 
A propósito, como escreveríamos dois mil e três, ou dois mil 
e trinta, ou ainda dois mil e trezentos? Em cada um dos casos, te-
ríamos que deslocar dois contadores em uma fileira e três na outra. 
Todos pareceriam ser 23. 
Uma solução para isso poderia ser usar símbolos diferentes 
para cada fileira, mas foi isso que os gregos fizeram e que não foi 
satisfatório. Ou então teríamos de usar alguma espécie de símbolo 
em cima de cada número para indicar a fileira. Poderíamos escre-
ver vinte e três como 23 e duzentos e três como 23, indicando que 
18 
no segundo caso, o 2 estava na terceira fileira, das "centenas", em 
vez de na segunda "das dezenas". Isso tornaria difi'cil a leitura dos 
números de modo apressado, embora o sistema desse certo em tese. 
Mas a grande inovação hindu foi o invento de um símbolo es-
pecial para a fileira não tocada do ábaco. Este s(mbolo foi chama-
do "sifr" pelos árabes, querendo dizer "vazio", uma vez que o es-
paço no extremo direito de uma fileira não tocada do ábaco estava 
vazio. Esta palavra se tornou conhecida entre nós como "cifra" ou, 
em uma forma mais corrompida, como "zero". 
Nosso símbolo para zero é O, e assim escrevemos vinte e três 
· como 23, duzentos e três como 203, dois mil e três como 2003, 
duzentos e trinta como 230, dois mil e trinta como 2030, dois mil 
e trezentos como 2300, e assim por diante. Em cada caso, mos-
tramos as fileira não tocadas no ábaco, utilizando os zeros. 
Vinte e três poderia ser escrito como 0023 ou 0000000023, 
dependendo do tamanho do ábaco, mas nunca se faz isso. Admite-
-se sempre que todas as fileiras do ábaco acima da primeira men-
cionada e todos os numerais à esquerda do primeiro mencionado 
são iguais a zero. 
2003 
NUMEROS COM ZERO NO ABACO 
19 
Foi o zero que tornou nossos numerais chamados arábicos 
práticos, e revolucionou o uso dos números. (É estranho que ades-
coberta de um "nada" pudesse ter tamanha repercussão mundial; 
e ainda mais estranho que tantos matemáticos de renome nunca vi-
ram esse "nada".) 
Tal é a importância do zero que, até hoje, a palavra para o 
manejo dos números é "cifrar" e quando resolvemos um problema 
(mesmo que não inclua números), nós o "deciframos". O respeito 
que os povos sentiam pelos nú meros por não poder entender a sua 
função é-nos lembrado pelo fato de que qualquer escrita secreta, 
geralmente chamada "criptograma", pode também ser chamada de 
"cifra". 
Deslocando os Contadores no Papel 
Somando com numerais arábicos, é preciso, em primeiro lu-
gar, guardar de memória as somas obtidas pela mistura de quais-
quer dois números de O a 9. No primeiro ano, as crianças memori-
zam com dificuldade que 2 e 3 são 5; 4 e 5 são 9; 6 e 7 são 13, e 
assim por diante. Além disso, o mais importante é que O e O é O. 
Em um ábaco tais somas são efetúadas sem ter que memori-
zar tanto quanto é a soma de 1 mais 1, sendo preciso apenas o co-
nhecimento de contar até 1 O. De fato a vantagem dos algarismos 
escritos sobre o ábaco parece estar oculta a essa altura. 
Porém, suponhamos que precisemos somar números grandes, 
por exemplo, 5894 mais 2578. Precisamos apenas conhecer as 
pequenas somas. Em primeiro lugar, decompomos cada número 
em milhares, centenas, dezenas e unidades, de modo que o proble-
ma fica assim: 
mais 
dá 
5000 
2000 
7000 
e 
e 
e 
800 
500 
1300 
e 
e 
e 
90 
70 
160 
e 
e 
e 
4 
8 
12 
Agora, se o número 1300 for decomposto em 1000 e 300, 
160 for decomposto em 100 e 60, e 12 for decomposto em 1 O e 2, 
será muito fácil somar os milhares, centenas, dezenas e unidades 
para obter: 
8000 e 400 e 70 e 2 
ou 8472. 
20 
A maneira com que aprendemos realmente a somar núme-
ros faz uso desse princípio, porém o simplifica, omitindo os ze-
ros e elevando as unidades, de modo que o problema fica assim: 
5894 
2578 
8472 
De ambos os modos, o que fizemos de modo automático e 
sem a necessidade de refletir muito foi fazer trocas de dez por um. 
Levamos dez unidades para a coluna das dezenas, dez dezenas para 
a coluna das centenas e dez centenas para a coluna dos milhares. 
A subtração é o processo contrário. Se, por exemplo, estiver-
mos subtraindo 298 e 531, decomporemos os números, como se-
gue: 
menos 
500 
200 
e 
e 
30 
90 
e 
e 
1 
8 
A primeira vista, parece que haverá dificuldade para subtrair 
8 de 1 ou 90 de 30, e por isso nós tornamos a escrever o número 
de cima, emprestando 100 dos 500, somando-o aos 30 para fazer 
130; depois emprestando 1 O de 130 para adicioná-lo ao 1. Agora, 
o problema fica da seguinte forma: 
400 e 120 e 11 
menos 200 e 90 e 8 
200e 30 e 3 
e assim a resposta é 233. 
Nosso processo comum de subtração não se parece com isso, 
porque aprendemos um processo mecânico que obscurece esse 
princípio; apesar disso, aí está o princípio. 
Um operador de ábaco que seja perito pode resolver os pro-
blemas que acabamos de mencionar, utilizando contadores em lu-
gar de numerais, e obter a resposta muito mais depressa do que o 
operador comum com numerais. Entretanto, o ábaco exige uma 
perícia manual e os numerais não. 
Além disso, no cálculo numérico, todas as nossas etapas estão 
plenamente à vista, de modo que podem ser verificadas quanto a 
erros, ao passo que no ábaco, se o dedo escorregar em algum pon-
to, nunca poderemos saber onde e por que erramos. Ainda mais, 
assim como o ábaco é mais permanente do que os gestos dos de-
dos, assim também os números no papel são mais permamentes do 
que o ábaco. 
21 
Rompendo a Barreira do Zero 
Um principiante em aritmética aprende depressa que dois nú-
meros quaisquer podem ser somados dando como resultado uma 
resppsta razoável. Aprende também depressa que isso não é verda-
de no caso de subtração. 
Se tirarmos 5 de 7, teremos 2 de resto. Se tirarmos 7 de 7, te-
remos O. Mas, pode-se tirar oito de sete? 
Os gregos resolveram que não! com um grande ponto de ex-
clamação. Subtrair 8 de 7 deixaria menos do que nada e como po-
de alguma coisa ser menos do que nada, uma vez que nada é o m í-
nimo possível? 
Este raciocínio foi seguido até o século 16. E todavia, se pa-
rarmos um pouco para refletir, é muito fácil para alguma coisa ser 
menos do que nada. 
Suponhamos, por exemplo, que tenhamos Cr$ 7,00 e um 
amigo venha noslembrar que lhe devemos Cr$ 8,00. Sendo hones-
tos, lhe damos prontamente 7 cruzeiros, explicando que é tudo o 
que temos e prometemos pagar o cruzeiro restante, assim que ti-
vermos essa importância. 
Então ficamos com menos do que sem dinheiro, uma vez que 
existe um débito de 1 cruzeiro. Em outras palavras, se tirarmos 8 
de 7 ficaremos com "um menos do que zero". Por que isso seria 
esquisito ou difícil de acreditar? 
Ou então, suponhamos que se planeja ir até a cidade vizinha 
que acontece ficar a 7 quilômetros para o sul. Começamos então a 
um ponto a 7 quilômetros ao norte da cidade. Se andarmos 1 qui-
lômetro estaremos a 6 quilômetros ao norte; andando 2 quilôme-
tros estaremos a 5 quilômetros ao norte. Isso prossegue até termos 
andado os 7 quilômetros, ponto em que estaremos a O quilômetro 
ao norte da cidade. 
Porém, suponhamos que somos muito distraídos (ou muito 
teimosos) e que andamos 8 quilômetros. Isso nos coloca a 1 qui-
lômetro do outro lado da cidade; 1 quilômetro ao sul da cidade. 
Então, como andamos 7 quilômetros, nossa distância da cidade 
baixou até zero. Se andamos mais de 7 quilômetros, ela não deve-
ria continuar a diminuir abaixo de zero? 
Poderiam argumentar: "Não. Ela começa a aumentar de no-
vo". 
Porém, a distância que aumenta é agora para o sul da cida-
22 
de, onde era o norte antes. Não faz isso uma diferença? 
Para ver se isso faz uma diferença útil, tracemos uma 
linha vertical (que seria norte-sul em um mapa comum). Co-
loquemos a seguir um ponto sobre a mesma, representando uma 
cidade (ou qualquer outra coisa), e chamemos esse ponto de zero. 
Agora, se marcarmos divisões iguais acima dessa marca (isto é, pa-
ra o norte, de acordo com as convenções do nosso mapa) podere-
mos pretender que elas são intervalos de um quilômetro e as nume-
ramos 1, 2, 3, e assim por diante. Poderemos fazer o mesmo para 
intervalos iguais abaixo do ponto (para o sul) e chamá-los de 1, 2, 
3, e assim por diante, também. Os pontos acima poderemos chamá-
los de números comuns e aqueles abaixo, chamaremos de número 
"menores do que zero". 
Precisaremos -de algum símbolo para diferençar entre estes 
dois conjuntos de números. O sistema realmente usado inclui o 
processo pelo qual os números são obtidos. Os números comuns 
são os únicos que são obtidos quando dois números comuns são 
somados. O símbolo para a adição é o sinal de "mais" (+). Os nú-
meros comuns são, portanto, escritos+ 1, +2, +3, e assim por dian-
te. + 10 
+ 9 
+ 8 
+ 7 
+ 6 
números positivos + 5 • adição 
+ 4 
+ 3 
+ 2 
+ 1 
o 
- 1 
- 2 
- 3 
- 4 
números negativos - 5 subtração 
- 6 
i
-7 
- 8 
- 9 
-10 
23 
Esses são chamados números pos,t,vos, dando impressão a pala-
vra "positivos" que eles realmente existem. São uma coisa real. 
Os números menores do que zero são obtidos pela subtração 
como, por exemplo, tirando 3 de 2, que deixa um número menor 
do que zero. A subtração é indicada pelo sinal de "menos" (-),de 
modo que os números menores do que zero são escritos: -1, -2, -3, 
e assim por diante. (2) 
Esses números menores do que zero são mais apropriadamente 
chamados números negativos, vindo a palavra "negativo" de uma 
palavra latina que quer dizer "negar". Mesmo quando os matemá-
ticos foram finalmente forçados a usar números negativos, eles, ao 
que parece, tiveram de indicar algum tipo de negação de que "real-
mente" existiam. 
Agora que temos nossa linha vertical assinalada (e reparem 
que o O não é positivo nem negativo), podemos fazer somas e sub-
trações sobre ele. Uma vez que os números positivos aumentam pa-
ra cima e a adição aumenta os números, digamos que a adição sig-
nifica elevar-se na escala. Uma vez que a subtração é o contrário da 
adição, ela deve implicar em descer a escala. 
Suponhamos, então, que queremos somar+ 2 e+ 5. Isso pode 
ser escrito assim {+2) + (+5), sendo usado o parênteses para indicar 
que o sinal + dentro deles pertence ao numeral e não é um sinal de 
adição. Entretanto, estamos tão acostumados a usar os números 
positivos como apenas números, que é habitual deixar de lado o si-
nal mais, a menos que exista algum motivo especial para chamar a 
atenção sobre a sua natureza positiva. Assim, a soma é escrita sim-
plesmente 2 + 5. 
Em nossa escala numérica, isso significa que precisamos co-
meçar no ponto + 2 e subir (porque estamos somando) 5 interva-
los. Isso nos leva ao ponto+ 7, de modo que 2 + 5 = 7. (Repare 
que se tivéssemos começado em + 5 e subido 2 intervalos, ainda te-
ríamos terminado em+ 7. Novamente chamo a atenção para o fato 
de que, como regra geral, não importa em que ordem somamos os 
números: 2 + 5 = 5 + 2.) 
Suponhamos, agora, que se deseje subtrair + 2 de + 5, uma 
condição que pode ser escrita (+5) -(+2) ou, mais simplesmente, 
(2) Nossos sinais de mais e menos remontam ao século dezesseis. O sinal de mais prova-
velmente surgiu do hábito de escrever uma soma como .udois e tr.is" com o uso do sinal 
(&), por motivo de pressa. O sinal (&) aparece em forma escrita como14,, e 2 '+-' 3 Jogo setor·· 
nau 2 + 3. A origem do sinal(-) é discutfve/. 
24 
5 -2. Dessa vez, começamos no ponto+ 5 e descemos (porque es-
tamos subtraindo) 2 intervalos. Isso nos leva ao ponto+ 3, e assim 
5 -2 = 3. 
O ponto importante, agora, é descobrir se os números negati-
vos podem ser manejados com as mesmas técnicas usadas para os 
números positivos. Se puderem, então independente de seu "signi-
ficado", eles seriam tão úteis quanto os números positivos. Isso se-
ria de um interesse maior do que teórico. Os números negativos 
são, não apenas muitíssimo úteis na ciência e na engenharia, como 
também possuem aplicações práticas nos assuntos diários. Por 
exemplo, em contabilidade, os créditos são manipulados como 
números positivos, e os débitos como negativos. 
Manejando os Negativos 
Para começar, suponhamos que se deseja subtrair 5 de 2; ou 
seja, resolver o problema, 2 - 5. Usando o mesmo sistema anteri-
or, começamos no ponto + 2 e descemos 5 intervalos. Isso nos 
leva através do ponto zero e descendo até o ponto - 3; como 
resultado, 2 - 5 = - 3. Isso parece bastante razoável, e nos mostra 
uma coisa importante: 5 - 2 não é igual a 2 - 5. Na subtração (ao 
contrário da adição), a ordem dos fatores altera o produto. 
Mas, que tal se começássemos no extremo negativo da escala? 
Suponhamos que queiramos somar - 2 e+ 5. (Daqui até o fim do 
capítulo, façamos um parênteses, para não confundirmos números 
negativos com subtração e números positivos com adição. O pro-
blema que acabamos de apresentar é escrito, portanto, (-2) + (+5). 
Para fazer isso, utilizando o sistema comum, comecemos no ponto 
- 2 e subamos 5 intervalos. Terminamos no ponto+ 3; assim, (- 2) 
+ (+5) = + 3. 
Isso faz sentido? Bem, se tivermos um débito de 2 cruzeiros e 
ganharmos 5, isso nos deixará com um saldo de 3 cruzeiros; fica-
mos com 3 cruzeiros, depois de pagar a nossa dívida. 
Podemos também nos deslocar para baixo no extremo nega-
tivo da escala. Tiremos + 5 de - 2, por exemplo; ou seja, resolva-
mos o problema de (- 2) - (+5). Comecemos no ponto - 2 e desça-
mos (uma vez que estamos subtraindo) 5 intervalos, que nos leva 
ao ponto -7; assim, (-2)- (+5) = -7. Ou, nos mesmos termos prá-
ticos anteriores, se começarmos com um débito de 2 cruzeiros e 
formos forçados a emprestar mais 5 cruzeiros, de modo que incor-
25 
remos num débito adicional de 5 cruzeiros, terminamos ficando 
com um débito de 7 cruzeiros. 
E ainda nesse caso os números negativos estão se comportan-
do de modo normal, decente e sensível como os números positivos. 
Existe ainda uma manobra que não tentamos. Até agora, esti-
vemos somando e subtraindo apenas números positivos. Que tal se 
tentássemos somar ou subtrair um número negativo? 
Em termos práticos, isso significa que iremos somar ou sub-
trair débitos. Agora, se fôssemos cancelar um débito de 5 cruzei-
ros seu, isso seria o mesmo que lhe darmos 5 cruzeiros. Por outro 
lado, se lhe dermos um débito de 5 cruzeiros (e forçá-lo a aceitar)ficará com 5 cruzeiros a menos; seria o mesmo que tirar 5 cruzei-
ros de seu bolso. 
O que isso significa em termos aritmétricos é que subtrair -5 
é o mesmo que somar + 5, e que somar -5 é o mesmo que subtrair 
+5. 
Isso nos dá a oportunidade de eliminar a subtração, uma vez 
que qualquer problema da forma de 5 - 2 é realmente (+5) -(+2) e 
pode ser escrito, de acordo com a regra que acabamos de apresen-
tar, como (+5) + (-2). Ambas as versões dão a mesma resposta. Em 
ambos os casos, começamos no ponto + 5 e descemos 2 intervalos. 
No caso de (+5) - (+2), isso é óbvio; a subtração significa "mover-
-se para baixo". 
No caso de (+5) + (-2), isso é menos evidente. O sinal de mais 
entre os números é adição e significa "subir". Mas, estamos so-
mando um número negativo, o que inverte as coisas, de modo que 
os dois fatos reunidos significam "subir ao contrário"; e "subir ao 
contrário" é "descer". Assim, em ambos os casos, a resposta é+ 3. 
Mas, por que alguém iria querer mudar uma subtração em adi-
ção, quando significa apenas desviar e ter de dizer "subir ao con-
trário", em lugar do simples e direto "descer"? Sim, mas a adição 
tem essa vantagem, em geral, sobre a subtração: a ordem dos nú-
meros não importa na adição; mas sim na subtração. 
A expressão (+5) - (+2) não é a mesma que (+2) - (+5),co-
mo já salientei. A resposta para a primeira é +3 e para a última, 
-3. Por outro lado, a expressão equivalente (+5) + (-2) é a mesma 
que (-2) + (+5). Em ambos os casos, a resposta é +3. Evidentemen-
te, então, passando para a adição sempre que possível, evitamos 
qualquer tipo de erro, qual seja o de colocar números em ordem 
errada, sem querer. 
26 
A situação é semelhante ao subtrairmos um número negativo. 
O problema {+5) - (-2) pode ser escrito, se quisermos, (+5) + {+2). 
No primeiro caso, começamos no ponto + 5 da escala e "descemos 
ao contrário" 2 intervalos. "Descer ao contrário" é "subir" e su-
bir 2 intervalos nos leva a+ 7. E, naturalmente, é isso exatamente o 
que acontece se resolvemos (+5) + (+2). 
Essa questão de eliminar a subtração e operar apenas com adi-
ção é geralmente encontrada pela primeira vez quando os estudan-
tes começam a estudar álgebra. Por esse motivo, a soma de nú-
meros negativos (em lugar de subtrair números positivos) é chama-
da, com freqüência, de adição algébrica. Entretanto, na realidade, 
não há motivo para tal nome. Isso é perfeitamente aritmética e a 
álgebra nada tem a ver com a mesma. 
27 
CAPÍTUL03 
Evitando a Adição 
Mais e Mais e Mais e Mais 
Suponhamos que traçamos um quadrado que tem uma po-
legada de comprimento em cada lado. Poderíamos chamá-lo de 
"polegada quadrada" e usá-lo como uma unidade de área. 
Consideremos a seguir um segundo quadrado, que tenha 2 po-
legadas em cada lado. Se dividirmos esse quadrado de 2 polegadas 
pela metade no sentido do comprimento e pela metade no sentido 
da largura, termina-se com 4 quadrados menores, cada um dos 
quais é um quadrado de 1 polegada. Um outro quadrado que tenha 
3 polegadas de comprimento e 3 polegadas de largura pode ser di-
vidido em secções de polegada quadrada dividindo-se o mesmo em 
3 partes iguais tanto no sentido do comprimento como no da lar-
gura. 
Por último, um tratamento idêntico de um retângulo com 6 
polegadas de largura e 9 polegadas de comprimento resulta em 54 
polegadas quadradas. Tudo isso é mostrado nas figuras. 
Em cada um desses casos, as partes de polegada quadrada es-
tão dispostas em fileiras (que são filas horizontais) e colunas (que 
são filas verticais). Cada coluna contém tantas polegadas quadradas 
quanto for o comprimento do quadrado ou do retângulo (empole-
gadas) e existem tantas colunas quantas forem as polegadas da lar-
gura do retângulo. 
29 
1 
[J 
d_E, ru2 
2 S 
1 2 3 
4 5 6 
7 8 9 
1 
2 
s 
No quadrado 'de 2 polegadas, existem 2 secções de polegada 
quadrada em cada uma das 2 colunas e 2 + 2 = 4. No quadrado de 
3 polegadas, existem 3 secções de polegada quadrada em cada uma 
das 3 colunas, e 3 + 3 + 3 = 9. Por último, no retângulo de 6 por 9 
polegadas, existem 9 secções de polegada quadrada em cada uma 
das 6 colunas, ou (se olharmos de lado) 6 secções de polegada qua-
drada em cada uma das 9 colunas. No primeiro caso, o número de 
polegadas quadradas é 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9, e no segundo caso, é 
6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6. Não importa a escolha que fizer-
mos, porque em ambos os casos, a soma é 54. 
Em geral, a obtenção de áreas de números inclui este tipo de so-
ma repetida. Nos quadros e retângulos, a questão é bastante simples. 
Ela se torna um tanto mais complexa nos triângulos e círculos, e 
ainda mais complicada, nas árêas de formato irregular. Todavia, es-
te tipo de coisa teve de ser feito de modo permanente até mesmo 
nas primitivas civilizações agrícolas - deixando de lado a nossa, al-
tamente tecnológica. As fazendas tinham de ser avaliadas e as áreas 
calculadas, ainda mesmo que fosse para reajustar a taxa de impos-
30 
l 2 3 4 
1 2 3 4 
1 8 9 10 
13 14 15 16 
19 20 21 22 
25 26 27 28 
31 32 33 34 
37 38 39 40 
43 44 45 46 
49 50 51 52 
AREAS 
5 
5 
11 
17 
23 
29 
35 
41 
47 
53 
6 
6 
12 
18 
24 
:lO 
36 
42 
48 
54 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
tos. Penso às vezes que os impostos foram o maior estímulo para o 
desenvolvimento da aritmética. 
Entretanto, assim como a necessidade de contagem constante 
forçou o desenvolvimento de um sistema de adição, também a ne-
cessidade de somas repetidas forçou o desenvolvimento de um no-
vo tipo de manejo numérico. 
De início, iremos adotar uma nova notação e escrever 6 x 9 
("seis vezes nove" com x como "sinal de multiplicação") quando 
quisermos significar nove 6 somados juntos ou seis 9. Como mos-
trei nesse caso particular (e como o leitor poderá verificar em ou-
tros casos), não importa a ordem dos fatores; 6 x 9 = 9 x 6. 
Podemos usar essa nova notação declarando como regra geral 
o fato de que a área de qualquer quadrado ou retângulo é igual 
ao seu comprimento vezes a sua largura, e o P.róximo passo é o de 
achar uma forma simples de manejar a multiplicação. Naturalmen-
te, a adição repetida como em 6 x 9 está sempre aberta para nós, 
porém isso poderia se tornar muito complicado. 
31 
Se estivermos interessados na área de um retângulo que tenha 
129 pés de comprimento e 54 pés de largura, teríamos que multi-
plicar 129 por 54 para obter a resposta (em pés quadrados, natu-
ralmente, e não em polegadas quadradas). Isso significaria somar 
cento e vinte nove vezes 54 ou cinqüenta e quatro vezes 129. Em 
ambos os casos, seria um trabalho cansativo. 
Ou então se, em alguma transação comercial, 254 dúzias de 
objetos fossem compradas a 72 centavos a dúzia, o pagamento to-
tal (em centavos) seria de 254 x 72. Nesse caso seria necessário so-
mar duzentos e cinqüenta e quatro vezes 72 ou setenta e duas ve-
zes 254. Esta espécie de problema surge constantemente, até mes-
mo na vida prática, e seria compensador imaginar um sistema mais 
simples que não incluísse adições repetidas. 
Um Pelo Outro 
Novamente o segredo consiste em decorar. É preciso deco-
rar a "tábua de multiplicar", que consiste em todas as combina-
ções possíveis de dois dígitos até 9 x 9, inclusive. A criança no 
grupo escolar tem que recitar 5 x 2 = 1 O e 8 x 7 = 56 até que isso 
se torne automático. Entretanto, uma vez que ela treine bem isso, 
descobrirá que é tudo de que precisa para multiplicar dois núme-
ros quaisquer, por maiores que sejam. 
Uma coisa que é especialmente importante para recordar é 
a de que a multiplicação por zero dá uma resposta que é sempre 
zero. Assim, 5 x O = O; 155 x O = O; 148273695 x O= O; e, natu-
ralmente, O x O = O. O leitor poderá examinar todos esses exem-
plos como representando a adição de 5 zeros ou 155 zeros, e as-
sim por diante. Naturalmente, não importa quantos zeros sejam so-
mados juntos; o resultado é sempre zero. 
Isso significa que tendo aprendido que 3 x 7 = 21, segue-se 
que 30 x 7 = 21 O e3 x 70 = 21 O. O zero em nenhum dos casos é 
afetado pela multiplicação. Se multiplicarmos 30 x 70, o resulta-
do é 2100, ambos os zeros continuando não afetados pelo proces-
so. 
A seguir, se quisermos multiplicar um número contendo di-
versos dígitos diferentes de zero, basta apenas decompô-lo da ma-
neira comum. Por exemplo, qual é o produto de 3965 x 7? (Ore-
sultado de uma multiplicação é chamado de "produto", do mesmo 
modo que o resultado de uma adição é chamado de "soma"). A 
32 
notação de sua posição nos permite decompor 3965 em 3000 e 
900 e 60 e 5. Isto nos dá números consistindo apenas de um único 
dígito e vários números de zeros, de modo que nos basta apenas a 
tábua de multiplicar. Cada número é multiplicado por sua vez por 
7, os produtos parciais são adicionados e o produto completo é 
obtido, como segue: 
3000 e 900 e 60 e 5 
1 
1 L! r 7 
X 
35 
420 
6300 
21000 
27755 
Não importa em que ordem realizamos as multiplicações, da 
esquerda para a direita, da direita para a esquerda, ou de outra for-
ma. Fizêmo-la da direita para a esquerda porque essa é a maneira 
geralmente ensinada no curso elementar. Além disso, aprendemos 
a deixar o número inteiro e desprezar os zeros, de modo que o pro-
blema quando resolvido tem o seguinte aspecto: 
3965 
J,__}___ 
35 
42 
63 
li__ 
27755 
Somos até mesmo ensinados a transportar alguns dos núme-
ros mentalmente de modo que possamos dispensar os produtos 
parciais, no devido tempo. Isso tudo é apenas uma questão de me-
canismo que não influi sobre o princípio da multiplicação. A van-
tagem do mecanismo é que a criança aprende a multiplicar rapida-
mente, e com um mínimo de esforço mental. A desvantagem é que 
às vezes ela fica sem saber por que faz aquilo que lhe ensinaram; 
por exemplo, por que ela elimina os produtos parciais. 
33 
Quando ambos os números em um problema de multiplicação 
são maiores do que 1 O, existe mais uma pequena complicação 
complementar. Ambos os números podem ser decompostos e de-
pois cada um dos números parciais é multiplicado pelos números 
parciais abaixo e os produtos parciais são novamente somados. As-
sim, 35 x 28 se decompõe como segue (sendo a presença das linhas 
cruzadas indicando a maneira de multiplicar que pode ter dado ori-
gem ao sinal de multiplicar x): 
X 
30~5 
l ~ I 
20 e 8 
40 
100 
240 
600 
980 
Números ainda maiores são tratados do mesmo modo. O sis-
tema de multiplicar cada um acima pelos números abaixo torna-se 
complicado e mesmo quando usamos o método mecânico aprendi-
do na escola, é possível nos perdermos, como se pode ver se tentar-
mos seguir a multiplicação abaixo: 
3965 
X 2197 
27755 
35685 
3965 
7930 
8711105 
Temos ainda que admitir que isso representa uma coisa me· 
lhor do que somar 3965 + 3965 + 3965 ... 2197 vezes. 
Multiplicação ao Contrário 
Assim como a adição tem o seu oposto na subtração, também 
a multiplicação tem-no em um tipo de manejo de números chama-
do "divisão". Enquanto a multiplicação é uma espécie de adição 
34 
< 
repetida, a divisão é uma espécie de subtração repetida. 
Por exemplo, suponhamos que se deseje dividir 15 por 3, um 
processo que pode ser simbolizado por 15 + 3, sendo o + o sinal 
de "divisão" (de origem incerta). Uma maneira de fazer isso seria 
subtrair o ni/ 3 muitas vezes. Assim 15 - 3 = 12; 12 - 3 = 9; 
9 - 3 = 6; 6 -3 = 3; e 3 - 3 = O. Ou de forma resumida, 15 - 3 - 3 
- 3 - 3 - 3 = O. Vemos que houve cinco subtrações; p·ortanto, 
15 + 3 = 5. 
Entretanto, isso nunca é feito assim. Ao contrário, é .utilizado 
um conhecimento adiantado dos resultados da multiplicação. Afi-
nal de contas, se 15 for dividido por 3 para dar algum número, esse 
número multiplicado por 3 deve dar novamente 15. Caminhamos 
em dois sentidos e devemos terminar em nosso ponto de origem. 
( Isso é semelhante ao que se passa na adição e subtração, que são 
também processos inversos. Se 7 - 4 = 3, então 3 + 4 = 7.) 
Como resultado, quando deparamos com um problema como 
o de 15 + 3, aprendemos a refletir: qual o número que multi-
plicado por 3 dará 15? Da tabuada de multiplicar (que aprendemos 
a decorar), sabemos que o número é 5 e essa é a sua resposta. De 
fato, em geral sabemos tão bem a tabuada, que dizemos de modo 
automático "cinco", sem dar ao assunto uma maior atenção. 
Uma vez que 5 x 3 = 3 x 5, dando ambos 15, segue-se que 
15 + 5 = 3 e 15 + 3 = 5. O mesmo itemdamultiplicaçãoservepara 
ambos os problemas na divisão (3). 
O fato de que a divisão é feita ao inverso, entretanto, a torna 
mais difícil do que as outras operações aritméticas, fato esse que 
os jovens estudantes sabem muito bem. 
Por exemplo, suponhamos_ que fosse necessário dividir 7715 
por 5. Contando o número de vezes que teríamos de subtrair 5 de 
7715 para chegar a O seria tedioso, e a·tabuada não nos diz qual o 
número que deve ser multiplicado por 5 para dar 7715. 
Porém, este é um exemplo onde a multiplicação por O torna-
-se novamente útil. Sabemos que 1 x 5 = 5, portanto 1000 x 5 = 
= 5000. Esse é o ponto mais próximo que podemos chegar a 7715, 
(3) Repare que na divisão, como na subtraç6o, a ordem dos números é importante. 
Embora 5 x 3 seja igual a 3 x 5, 15 7 5 de modo algum d igual a 5 7 15. * O número 
à esquerda do sinal de divisão d o dividendo (do latim #o que(! dividido") enquanto o 
número à direita é o divisor ("aquele que divide#). O resultado da divisão é o quociente 
(do latim "'quantas vezes"). 
*Exemplo: 15 + 3 =5, 15 é o dividendo, 3 é o divisor. O n9 5, que d o resultado da di· 
visão, d o quociente. 
35 
utilizando apenas simples dígitos e zeros, porém ainda faltam 2715. 
E assim dividimos esse número por 5. A tabuada nos diz que 5 x 5 
é igual a 25, portanto 500 x 5 = 2500, e sobram apenas 215. Veja-
mos esse número. Uma vez que 4 x 5 = 20, então 40 x 5 = 200. Is-
so deixa apenas 15 e dividir esse número por 5 é fácil. Sabemos 
que a resposta é 3. 
Ao todo, 5 foi multiplicado primeiro por 1000, depois por 
500, a seguir por 40 e por último por 3. Somando tudo isso acha-
remos que 5 foi multiplicado por 1543, em suma. Uma vez que 
1543 x 5 = 7715, então 7715 -ê 5 = 1543, sendo esta a nossa res-
posta ou quociente. 
Novamente os jovens aprendem a fazer a divisão de forma ro-
tineira, e o problema ficaria assim de acordo com o processo usado 
nas escolas: 
7715 
5 
27 
25 
21 
20 
15 
15 
o 
L!L_ 
1543 
A divisão por números além de 10 é mais complexa, embora 
o princípio permaneça inalterado. Devido à tabuada de multiplica-
ção não ir além de 10, temos que imaginar, as vezes, as respostas e 
"tentar" ver como elas são obtidas. Esta é a verdadeira dificuldade 
com esse bicho papão da "divisão grande". ( Na realidade, entretan-
to, os estudantes devem-se considerar felizes. Antes que fossem 
adotados os números arábicos, a divisão extensa era uma matemá-
tica muito avançada que só alguns matemáticos podiam dominar.) 
O Padrão de Sinais 
Até agora neste capítulo não mencionei números negativos. 
Uma vez que eles se adaptam tão bem na adição e subtração, seria 
agradável ver como eles se enquadram na multiplicação e divisão, 
também. 
36 
Por exemplo, suponhamos que se deseje multiplicar (+3) e 
( - 4). Como seria feito isso? 
Pois bem, consideremos três pessoas, cada uma com uma d ívi-
da de 4 cruzeiros. Para achar a dívida total, precisamos somar 
$4 + $4 + $4 e encontramos que, em conjunto, nossos três ami-
gos têm uma dívida de 12 cruzeiros. 
Agora somar trªs vezes os trªs 4 é exatamente o que resolve· 
mos chamar 3 x 4. Uma vez que o 4 neste caso que consideramos 
é uma dívida de 4 cruzeiros, na realidade ele representa - 4, e as-
sim o nosso problema se reduz a (+3) x (- 4). Uma vez que resolve-
mos que a resposta é uma dívida de 12 cruzeiros, parece que 
(+3) X (- 4) = (-12). 
O mesmo resultado teria sido obtido se nós considerássemos 
quatro pessoas, cada uma possuindo uma dívida de 3 cruzeiros. 
Em outras palavras, (+4) x (- 3) = (- 12). E uma vez que não impor-
ta em que ordem os números são multiplicados,(- 4) x (+3) = 
= (- 12) e (- 3) X (+4) = (-12), 
Podemos generalizar. Quando dois números, um negativo e 
outro positivo, são multiplicados, a resposta é sempre negativa. 
Numericamente, a resposta é a mesma, embora ambos os números 
sejam positivos. Assim, o produto de (+4) e (+3) é (+12). Apre· 
sença de um negativo não afeta o valor numérico do produto, mas 
apenas o seu sinal. 
Agora, e no caso de ambos os números serem.negativos? Infe-
lizmente, é difícil pensar em um caso prático cômodo que inclua 
dois números negativos. As dívidas de 3 ou 4 cruzeiros cada são fá-
ceis de imaginar, mas como entender que -4 ou -3 homens possam 
tê-las? 
Pelo contrário, vamos tratar isso de outra forma. Na multipli-
cação, até agora, a mudança de um sinal de dois números que estão 
sendo multiplicados tem servido para mudar o sinal da resposta. A 
mudança dos sinais de ambos os números deveria mudar o sinal da 
resposta duas vezes: de positivo para negativo e depois de negativo 
de novo para positivo. (Afinal de contas, se dermos duas meias-vol-
tas, acabaremos ficando virados para a mesma direção outra vez.) 
Como resultado, é lógico (embora um pouco estranho) decla-
rar que (-3) x (-4) = (+12). 
O padrão de sinais na multiplicação é, então, o seguinte: 
positivo x positivo positivo 
37 
negativo x 
positivo "X 
negativo x 
positivo = 
negativo 
negativo = 
negativo 
negativo 
positivo 
Em suma, a multiplicação de sinais iguais resulta em sinal positivo; 
a multiplicação de sinais diferentes resulta em negativo. 
Mais ainda, essas mesmas regras valem para o oposto da multi-
plicação, ou seja, a divisão. Assim, (+ 12) .;. (+4) = (+3); (+ 12) .;. 
.;. (-4)=(-3);(-12).;. (+4)=(-3);e(-12).;. (-4)=(+3). 
Pode-se verificar isso, passando as divisões novamente para 
multiplicação. Se multiplicarmos, em cada uma das divisões acima, 
o quociente pelo número menor na esquerda (o divisor), obtere-
mos o número maior (o dividendo), completo com o sinal adequa-
do. Se invertemos a segunda divisão, por exemplo, obtemos 
(-3) X (-4) = (+12). 
Dividir ou i\lão Dividir 
Quando a divisão é definida como uma subtração repetida até 
atingir zero, acontece que a divisão é, às vezes, impossível. Por 
exemplo, quanto dá 7 + 2? 
Por meio da subtração repetida, podemos dizer que 7 - 2 - 2 
- 2 = 1, mas temos que parar nesse ponto. Se subtrairmos mais um 
2, ou seja, o 4'?, iremos abaixo do zero. Mesmo que reconheçamos 
a existência de números negativos (que os antigos não reconhe-
ciam), não podemos permitir que a subtração vá além de zero. A 
subtração seguinte atingiria -1, uma outra chegaria a -3, depois -5, 
e assim por diante, sem fim. Onde iríamos parar? O sistema todo 
ruiria. 
Suponhamos que encaremos isso de outra forma. Para resol-
ver 7.;. 2, devemos pensar na tabuada de multiplicar, e perguntar a 
nós mesmos: Qual é o número que multiplicado por 2 dá 7? Como 
se pode verificar, tal número não existe na tabuada, se levarmos 
em conta apenas o tipo de número que estivemos considerando até 
agora. Para ser exato, 3 x 2 = 6 e 4 x 2 = 8; porém não existe um 
número que possa ser multiplicado por 2 para dar 7. 
Segue-se que enquanto definirmos a divisão desta maneira, al-
gumas divisões serão possíveis e outras impossíveis. Os povos anti-
gos, principalmente os gregos, ficavam fascinados por isso, e procu-
ravam encontrar padrões nos mesmos. 
38 
Por exemplo, quais os números que podem ser divididos por 
2? Verifica-se que um número sim outro não, podem ser divididos 
por 2. O número 1 não pode, e 2 pode, 3 não pode, 4 pode, 5 não 
pode, e assim por diante. 
Os números foram, de início, diferençados entre aqueles que 
podiam ser divididos por 2, e os que não podiam. Os antigos ma-
temáticos gregos tinham prazer em procurar um significado m ísti-
co nisso. Alguns consideravam os números divisíveis por 2 como 
femininos e de azar, enquanto os outros eram masculinos e de sor-
te (os matemáticos gregos eram todos do sexo masculino e favo-
ráveis ao seu sexo). 
Na vida diária, a questão da divisibilidade por 2 impressiona 
as pessoas comuns toda vez que se torna necessário dividir um nú-
mero fixo de objetos entre duas pessoas. A divisão em partes iguais 
é muitas vezes a melhor maneira de evitar uma discussão. 
A maneira mais simples de dividir na época em que o conheci-
mento da divisão entre as pessoas leigas era escasso, seria o de fazer 
duas pilhas colocando um objeto em cada pilha, de modo alterna-
do. Se imaginarmos que esses objetos podiam ser empilhados de 
forma precisa, tal como discos, então, se o número original fosse 
divisível por 2, terminaríamos com o mesmo número de discos em 
cada pilha. As duas pilhas, colocadas uma ao lado da outra, fica-
riam iguais; daí 16 (ou qualquer número divisível por 2) ser um 
número par. 
Se, entretanto, começássemos com 17 discos, as duas pilhas 
nunca se igualariam. Na hora em que 16 discos fossem distribuí-
dos, teríamos duas pilhas iguais, faltando um em uma delas. Qual-
-
\ 8 
, 
v 
18 
--
8 t 
PAREIMPAR 
-- --· - ~ 
-
\•~.;.ª---. - V 
9 / 
17 
39 
quer que fosse a pilha por nós escolhida para colocar este último 
disco, ela ficaria mais alta do que a outra; daí, 17 (ou qualquer nú-
mero não divisível por 2) seria um número ímpar. 
A divisibilidade ou não por outros números também forma 
padrões. Entretanto, o padrão mais simples e mais facilmente per-
ceptível é o da alternância par e ímpar. 
Os Gregos se Divertiam 
Uma outra descoberta antiga sobre a divisão foi o fato de que 
alguns números podiam ser divididos por mais de um número pe-
queno. Por exemplo, 60 pode ser dividido por 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 
15, 20, e 30. Cada um desses números é capaz de dividir 60 de mo-
do exato, sendo chamado um "fator" de 60. Segue-se que 60 pos-
sui dez fatores diferentes. 
De fato, existem dois outros fatores que não mencionei. Um 
é o próprio 60. Afinal de contas, 60 + 60 = 1. Realmente, qual-
quer número dividido por si mesmo é igual a 1, de modo que qual-
quer número é um de seus próprios fatores. O fator restante é 1, 
uma vez que 60 .;. 1 = 60. Ainda, qualquer número pode ser dividi-
do por 1, permanecendo inalterado, de modo que 1 é uma espécie 
de fator universal. 
Devido a qualquer número poder ser dividido por si mesmo e 
por 1, os gregos (que gostavam de brincar com os fatores) geral-
mente não levavam em conta esses dois números como fatores. 
Afinal de contas, não existe um padrão interessante em algo que 
atinge todos os números sem distinção. (A propósito, para cada fa-
tor que um número possua, existe um outro que é o negativo do 
primeiro. Por exemplo, 60 pode ser divivido por -2, -3, -4, e as-
sim por diante. Entretanto, os gregos não reconheciam os números 
negativos, e eles realmente não introduziram nada de novo, e por 
isso nós geralmente também nã"o os consideramos como fatores.) 
Assim, então, embora 60 tenha dez fatores, os números pró-
ximos a ele nã"o têm tanta sorte. O número 58 tem apenas dois fa-
tores, 2 e 29; ao passo que 62 tem também apenas dois fatores, 2 e 
31. 
Entretanto, por menos fatores que um número possa ter, des-
de que eles existam, esse número é chamado um "número compos-
to", porque ele pode ser encarado como composto de números 
menores, multiplicados juntos. O número 58 pode ser encarado co-
mo sendo 2 x 29, e o número 62 como 2 x 31. 
40 
O número 60 é mais complexo porque possui diversos fato-
res. Por exemplo, ele poderia ser expresso como 2 x 30, porém 30 
é em si mesmo um nú mero composto que pode ser expresso como 
2 x 15, e 15 é um número composto, sendo 3 x 5. A decomposi-
ção final, então, exprime 60 como 2 x 2 x 3 x 5. 
Nos dois parágrafos acima, não foi feita nenhuma tentativa 
para decompor 2, 3, 5, ou pelo mesmo motivo, 29 e 31, em fato-
res. O motivo para isso é que eles não têm nenhum (além de si 
mesmos e 1, naturalmente). Em outras palavras, nenhum número, 
além deles mesmos e 1, existe que os divida de forma exata. 
Os números sem fatores, tais como 2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19, 
e assim por diante, são chamados "números primos" ou apenas 
"primos", de uma palavra latina que significa "primeiro". Para as 
pessoas que vêem valores místicos nos números, poderia parecer 
que os números primos teriam que existir em primeiro lugar, en-
quanto os números compostos poderiam ser construídos posterior-
mente, a partir dos primos. Uma vez que 2, 3, e 5 existem, em ou-
tras palavras, 60 poderia ser formado pela multiplicação de 
2 X 2 X 3 X 5. 
Poderia parecer que à medida que subíssemos cada vez mais 
na escala dos números, desapareceria a possibilidade de primos, 
uma vez que haveria cada vez números menores para escolher co-
mo possíveis fatores. Entretanto, isso não é verdade. O matemáti-
co grego Euclides provou há 2200 anos que não existe tal número 
primo maior de todos. Por mais alto que seja um número primo, 
ele mostrou que poderíamos imaginar um outro número ainda 
maior que fosse também primo. 
Os gregos faziam passatempos com os fatores. Por exemplo, 
somavam os fatores dos números (inclusive 1 dessa vez, porém ex-
cluindo o próprio número) para ver o que acontecia. Às vezes os 
fatores de um número somavam menos do que o próprio número. 
Por exemplo, os fatores de 1 O ( 1, 2 e 5) somam só 8. O número 
10, portanto, eles chamavam um "número deficiente". Os fatores 
de 12 ( 1, 2, 3, 4, e 6) por outro lado, somavam 16, mais do que o 
próprio número, portanto 12 era chamado um "número abundan-
te". 
Os fatores de 6 ( 1, 2, e 3), entretanto, somavam 6, e os fato-
res de 28 (1, 2, 4, 7, e 14) somavam 28. Esses números eram cha-
mados "perfeitos" pelos gregos. 
Mais ainda, os fatores de 220 (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22,44, 
55, e 110) somavam 284, enquanto os fatores de 284 (1, 2, 4, 71 e 
41 
142) somavam 220. Eram chamados de "números amistosos". 
Essa divisão de números em primos, perfeitos, amistosos, e 
assim por diante, nunca teve grande importância .prática, porém ela 
fascinou os matemáticos durante milhares de anos, e ainda conti-
nua a fascinar. 
Contando e Medindo 
Até agora, falamos de números que obtemos por contagem: 
1, 2, 3, e assim por diante. Esses números e as operações que os in-
cluem (conforme até agora debatidas) são às vezes tudo o que pre-
cisamos. 
Por exemplo, os meninos em uma sala de aula podem serre-
presentados por um número. Existem 4 meninos ou 5 meninos, ou 
outro número qualquer deles. Entretanto, será sempre um número 
definido. Não se pode, por exemplo, dizer, após um exame cuida-
doso: "Bem, existe mais de quatro meninos, porém menos de cin-
co meninos." 
Não existe nenhum número entre 4 e 5, se estivermos contan-
do objetos. Terá de ser 4 meninos ou 5 meninos, e não existe ne-
nhum intermediário. Além disso, se começarmos com 4 meninos e 
chegarem mais 2, o resultado será 6 meninos. Nem um pouco além 
de 6, mas exatamente 6. 
Entretanto, suponhamos que se fizesse uma outra pergunta 
desse tipo: "Quantas horas esses meninos estudaram?" 
Nesse caso, poderíamos dizer facilmente: "Estudaram mais 
de uma hora, porém menos de duas horas". 
Nesse caso, tal resposta teria sentido. Existe tal coisa como 
um período de tempo que é maior do que uma hora, e menor do 
que 2 horas. O tempo é algo que medimos, e não que contamos. 
Contar e medir devem ser manejados de modo diferente. Ao 
contar, estamos tratando com objetos isolados e "separados". Os 
números que debatemos são isolados, e separados de modo que 
combinam com os objetos. São tudo o que precisamos. 
O ato de medir algo que não consiste de objetos isolados, en-
tretanto, é uma coisa totalmente diferente. Aí estamos tratando 
com algo que é "contínuo". Devemos lidar com um período con-
tínuo de tempo por exemplo; ou uma extensão contínua de uma 
linha. 
42 
Os números comuns, que são separados, não podem combinar 
com algo que seja contínuo, sem o perigo de incorrer em dificul, 
dade, como no caso do problema acima, relativo ao número de 
horas que os meninos estiveram estudando. 
Para evitar tais problemas, os números devem-se tornar con-
tínuos. O espaço entre os números comuns precisa ser preenchi-
do com números "intermediários". Quando isso é feito, os núme-
ros, 1, 2, 3, e assim por diante, tornam-se simplesmente uma pe-
quena parte de um sistema contínuo, que pode então ser combina-
do com o tempo, comprimento ou qualquer outro fenômeno que 
possa ser medido. · 
Veremos, no começo do capítulo seguinte, como esses núme-
ros intermediários surgiram, e como serão manejados. 
43 
CAPÍTUL04 
Números Quebrados 
Dividindo as Unidades 
De forma prática, a humanidade não podia suportar o reco-
nhecimento de quaisquer limitações na divisão. Suponhamos que 
fosse necessário dividir duas maçãs entre quatro crianças. Não é 
preciso dizer que 2 não pode ser dividido por 4 porque não existe 
número na tábua de multiplicação que, quando multiplicado por 
4, dê 2. O que a mão prática faz é dividir cada maçã em dois peda-
ços iguais, e depois dar a cada uma das quatro crianças que espe-
ram, um pedaço de maçã (ou talvez suco de maçã). 
Seguindo esse sistema, a humanidade dividiu as unidades co-
muns de medição em partes menores, e deu nomes também às par-
tes menores. Por exemplo, em nosso próprio sistema de medidas, 
um quarto de líquido pode ser dividido em duas partes iguais cha-
madas quartilhos (pints). Se tivermos doi3 quartos e quatro ho-
mens para servir, cada um recebe um quartilho. 
Podemos dividir unidades em um número maior de subunida-
des, também. Um alqueire pode ser dividido em quatro celamins, 
e um celamim em 8 quartos. Uma libra "avoirdupois" pode ser divi-
dida em 16 onças "avoirdupois", enquanto que um quarto pode ser 
dividido em 32 onças líquidas. Todos esses números são o resulta-
do de dividir algo em dois pedaços, e depois cada pedaço em mais 
dois, e depois cada pedaço menor em mais dois, e assim por diante. 
Por exemplo, poder(amos dividir um quarto entre dois ho-
mens, dando a cada um 16 onças líquidas (o que é igual a um quar-
tilho, a propósito), ou poderíamos dar a quatro homens 8 onças I f. 
quidas para cada um (meio quartilho), ou a oito homens 4 onças 
líquidas para cada (um gill), ou dezesseis homens 2 onças líqui-
das para cada (meio gill), ou a 32 homens 1 onça I íquida para cada 
um. 
45 
Isso parece muito bem, mas o que faríamos se tivéssemos três 
homens esperando em fila? Um quarto de 32 onças não pode ser 
dividido entre três homens, com cada homem recebendo um nú-
mero igual de onças, uma vez que 3 não é um fator de 32. Todavia, 
3 homens têm muito mais probabilidade de querer dividir um 
quarto do que 16 ou 32 homens. 
Portanto, é útil escolher alguma subunidade que inclua o ma-
ior número de fatores possível entre os números mais baixos. To-
memos o número 12 por exemplo. Temos 12 polegadas em um pé, 
12 onças troy em uma libra troy e 12 alguma coisa em uma dúzia, 
nesse caso. 
Observemos como é útil a dúzia. Se tivermos uma dúzia de 
maçãs, podemos dividi-las igualmente em 2 grupos de 6 cada, 3 
grupos de 4 cada, 4 grupos de 3 cada, 6 grupos de 2 cada, ou 12 
grupos de 1 cada. O importante é que não apenas 2 e 4 são fatores 
de 12, porém 3 também é. 
Então, do mesmo modo, um fabricante vendendo por dúzia, 
pode vender em grupos menores, sem muita dificuldade para ajus-
tar os preços, porque existem tantas maneiras em que ele pode di-
vidir a dúzia de modo uniforme. Existe também uma dúzia de dú- 1 
zias, ou uma "groza", representando 12 x 12 ou 144 itens. Os fa-
tores de 144 são 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, e 72. 
A conveniência de tal fatoração ª grande na aritmética práti-
ca, e existe gente que desejaria que nós tivéssemos usado 12, como 
a base de nosso sistema numérico em lugar de 10. O número 10 
possui apenas 2 fatores, 2 e 5, e não pode ser dividido exatamente 
tanto por 3 como por 4. O único motivo para 10 ter sido preferido 
em lugar de 12, foi talvez o fato de termos 5 dedos em cada mão. 
Agora, se tivéssemos 6 ... 
Entretanto, existe uma outra vantagem de 1 O sobre 12. O nú-
mero5 é um fator de 10, mas não de 12. Os antigos babilônios 
tentaram misturar as boas características de 10 e 12 procurando 
um número para o qual não apenas 2, 3 e 4, mas também 5 fosse 
um fator. O menor de tais números é 60. 
A astronomia favoreceu os babilônios nesse particular. O ano 
tem 365 dias (e algumas horas). Este é o tempo que o Sol leva para 
dar a sua volta (aparente) nos céus, contra um fundo de estrelas fi. 
xas. Se esse circuito todo fosse dividido em "jornadas dia" do Sol, 
haveria 365 partes de um círculo. 
Assim, os babilônios tinham o número de dias de um ano um 
tanto errado ou, o que é mais provável, de propósito arrendonda-
46 
' l 
f 
:; 
' l. : 
t 
t 
dos para 360. Assim, em seu sistema, era fácil manejar 360, que é 
60 x 6. Assim eles dividiam a esfera celeste, e todos os outros cír-
culos, também, em 360 partes iguais que atualmente chamamos 
"graus". Além disso, eles dividiam cada grau em 60 partes iguais 
que chamamos "minutos", e cada minuto em 60 partes iguais que 
chamamos "segundos". 
Ainda conservamos o sistema babilônico. Além disso, uma 
vez que o tempo é medido pelo movimento dos corpos celestes no 
céu, a nossa hora é dividida em ·50 minutos que, por sua vez, são 
divididos em 60 segundos. 
Vestígios do sistema de base 12 também se apresentam em 
nossa maneira de medir as horas. Os períodos diurno e. noturno 
são divididos em 12 horas cada. De início, antes da invenção dos 
relógios, essas horas variavam com a extensão variável do dia e da 
noite, de acordo com as estações do ano. 
No inverno, as horas do dia deveriam ser curtas e as horas da 
noite longas, ao passo que no verão, isso seria o contrário. Atual-
mente, nossas horas são de igual duração em todas as épocas, de 
modo que no verão o dia tem mais do que 12 horas e a noite me-
nos, ao passo que no inverno é o contrário. 
Apesar disso, nossos relógios ainda apresentam 12 números, 
e temos que distinguir entre 1 hora antes do meio-dia e 1 hora de-
pois do meio-dia. 
ijõHORA= 1 MIN. 
}HORA-12 MIN. 
ÍHORA-30 MIN. 
1 
15HORA-4 MIN. 
~HORA=20 MIN. 
A HORA DE 60 MINUTOS 
47 
(As forças armadas contam depois de meio-dia, e falam de 13 ho-
ras, 14 horas, e assim por diante, porém ao que parece esse hábito 
não se acha difundido entre os civis). 
Partes de Unidade 
O que pode ser feito para as unidades comuns de medida pelo 
homem leigo, pode ser feito para os números puros, pelos matemá-
ticos. Por que não dividir o número 1 em duas partes iguais, ou 
três, ou quatro, ou qualquer número? A fim de fazer isso de modo 
útil, é preciso, em primeiro lugar dar um nome para essas "partes 
da unidade"; em segundo lugar, criar algum sistema para manejar 
essas partes nas operaçoes a"rltníei:1cas coma ns. 
Afinal de contas, se as partes dos números podem ser maneja-
das como números comuns, elas podem ser consideradas números 
comuns para todos os fins, práticos ou teóricos. 
Os seus nomes são fáceis, e provêm da linguagem comum. 
Duas partes iguais de alguma coisa são "metades" (de uma antiga 
palavra alemã, significando "cortar"). As partes resultantes da divi-
são em números maiores de pedaços são chamados segundo a for-
ma "ordinal" daqueles números. Isto é, três partes da unidade são 
"terços", quatro partes são 11quartos", depois, "quintos", "sexM 
tos", e assim por diante, até onde se queira chegar. (Uma anomalia 
é a da palavra "quarto" que às vezes é chamada "quartos" de uma 
palavra latina que quer dizer "quatro".) 
Uma metade é o que resulta quando uma unidade é dividida 
em dois pedaços. Em outras palavras, é 1 + 2. Isso não dá origem a 
nenhum número comum, e não adianta procurar algum. Basta indi-
car a operação da forma mais direta possível, e isso é feito escre-
vendo ½ ou 1/2. Isso pode ser lido como "um dividido por dois" 
ou, o que é mais freqüente, "um sobre dois" ou, ainda melhor, 
apenas "metade". 
D d Ih 
, 1 . , 1 . 
e mo o seme ante, um terço e 3 , um quinto e5 , e assim 
por diante. Não há tentativa de efetuar a divisão; ela é apenas indi-
48 
1 
,; 
' 
cada. Dizer que 1 + 3 = }, é o mesmo que dizer que "um dividi-
do por três é igual a um dividido por trés". 
Isso pode parecer desencorajador. Podemos perguntar: Mas, o 
que é um dividido por três? A resposta é: Oual é a diferença? se 1 
pode ser manejado como se fosse a resposta, por que continuar? 
Essas partes da unidade são chamadas "frações", de uma pa-
lavra latina que significa "quebrado", uma vez que são obtidas pela 
quebra de 1 em pedaços. 
Números comuns são chamados "números completos" ao 
contrário .. ou "inteiros" .. de uma o~lavra latina mie siaoifica "to-
tal". Portanto, as frações podem ser consideradas como partes de 
números completos, ou de coisas completas em geral. 
E agora vejamos o manejo das frações. Comecemos pergun-
tando se as frações podem ser somadas e subtraídas, e em caso afir-
mativo, como? Suponhamos que queremos somar 1 e}. Se mu-
daimos isso para palavras, parece simples. Eis aqui um terço e ali 
outro um terço. Somando-os, teremos logicamente dois terços. 
(Assim como uma maçã mais outra maçã são duas maçãs.) 
A pergunta seguinte é: Como representamos dois terços com 
símbolos? Uma vez que um terço é }, parece lógico supor que 
dois terços seja ~ . Podemos provar isso. O símbolo}, significa 
"um dividido por três", portanto ~ deveria ser "dois dividido por 
três". 
Mas, como faremos para dividir dois por três? Se tivéssemos 
duas pequenas tortas e três crianças, poderíamos fazer isso dividin-
do cada torta em três partes iguais, que nos dá um total de 6 partes 
iguais de torta, cada uma igual a um terço da torta. Essas 6 partes 
podem ser divididas entre 3 crianças, dando a cada criança 2 peda-
ços, e cada criança acaba ficando com dois terços da torta. Como 
,l resultado, dois terços podem ser considerados.como o quociente de 
l 
49 
2 "'"3 e podem ser representados por }· 
Utilizando o mesmo tipo de raciocínio, pode-se mostrar que 
qualquer divisão pode ser representada por uma fração. Quarenta e 
três tortas divididas igualmente entre setenta e três pessoas darão 
como resultado que cada pessoa terá ~~ de uma torta. 
Porém, voltemos a nossa adição e subtração. Assim como ra-
cionamos no caso de { + · 1 , também rac.iocinaremos para 
1113 321 
5+5+5=5 e para5-5=5· 
Podemos estabelecer uma regra geral. Ao somar ou subtrair 
frações com "denominadores" iguais (o nome dado ao número da 
fração abaixo do traço, ou na direita do traço inclinado /, que é às 
vezes utilizado) basta apenas somar ou subtrair o "numerador" 
(nome dado ao número de cima da fração, ou o que está à esquer-
da do traço inclinado). 
O mesmo também é verdadeiro para a multiplicação e a divi-
são de frações por inteiros; apenas o numerador da fração é afeta-
do. O produto de j e 6 é ~ , enquanto o quociente de ~~ dividi-
"aJ"pi;,O.fa~ 223· '•EFjJll,rOOJOJ 'UlR.JTJtj.JTJI 1Itin/i!:ada.npc ô_sãoJL 
50 
l 
1 • 
maçãs, e 18 maçãs divididas por 9 são 2 maçãs. 
Pode acontecer que, ao somar ou ao multiplicar uma fração, 
o numerador possa se tornar maior ou tão grande quanto o deno-
. 1 1 1 3 minador. Por exemplo, 3 + 3 + 3 dá como resposta 3 , como 
1 x 3. Qual é o significado de ~ ? Evidentemente, se dividirmos 
uma unidade em três partes iguais, e depois tomarmos a soma de 
todos os três terços, teremos de novo a unidade. Em outras pala-
vras, I é igual a 1; e isso se adapta ã maneira pela qual definimos 
3 
uma fração, uma vez que 3 -õ- 3 é, de fato. L 
D d 2 4 27 109476 _ d . . o mesmo mo o, 2 , 4 , 27 , ou 109476 sao to as 1gua1s 
a 1. 
Mas, e se 1 for multiplicado por 4, de modo que a resposta 
seja.!? Qual é o significado de.!? Pois bem,.! podem ser encara-
4 3 3 
dos como sendo~ + _1__. A quantidade I nós i'á sabemos que é 1 
3 3 3 ' 
então ~ deve ser igual a 1 + j , e isso é escrito 1 1 ou 1 1 /3, que 
lê-se "um e um terço". 
Na escola, geralmente aprendemos a reduzir uma fração o 
mais possível em inteiros, de modo que adquirimos o hábito de re-
d . 4 1 1 27