Matriz Mudança de Base

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Matr� Mudanç� d� Bas�
Seja um espaço vetorial real com bases ordenadas e . A matriz do𝑉 𝐵 𝐶 [𝐼]
𝐶
𝐵
operador identidade em relação às bases e é chamada matriz de𝐼: 𝑉 → 𝑉 𝐵 𝐶
mudança da base para a base e satisfaz a relação𝐵 𝐶 [𝑣]
𝐶
= [𝐼]
𝐶
𝐵 · [𝑣]
𝐵
, ∀ 𝑣 ∈ 𝑉
.
Resultados importantes:
Seja um espaço vetorial real com bases ordenadas e𝑉 𝐵 = {𝑣
1
,..., 𝑣
𝑛
}
. Temos .𝐶 = {𝑤
1
,..., 𝑤
𝑛
} [𝐼]
𝐵
𝐶 = ([𝐼]
𝐶
𝐵)
−1
Relação entre as matrizes e : Sejam e espaços vetoriais reais de[𝑇]
𝐶
𝐵 [𝑇]
𝐶'
𝐵' 𝑉 𝑊
dimensões e , respectivamente, e uma transformação linear. Se ,𝑛 𝑚 𝑇: 𝑉 → 𝑊 𝐵
são bases ordenadas de e , são bases ordenadas de , então𝐵' 𝑉 𝐶 𝐶' 𝑊
.[𝑇]
𝐶'
𝐵' = [𝐼]
𝐶'
𝐶 · [𝑇]
𝐶
𝐵 · [𝐼]
𝐵
𝐵'
Quando e e são bases de , temos𝑊 = 𝑉 𝐵 𝐶 𝑉
, ou seja, .[𝑇]
𝐶
𝐶 = [𝐼]
𝐶
𝐵 · [𝑇]
𝐵
𝐵 · [𝐼]
𝐵
𝐶 = ([𝐼]
𝐵
𝐶)
−1
· [𝑇]
𝐵
𝐵 · [𝐼]
𝐵
𝐶 [𝑇]
𝐶
= ([𝐼]
𝐵
𝐶)
−1
· [𝑇]
𝐵
· [𝐼]
𝐵
𝐶