variaveis_aleatorias2012

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Variáveis Aleatórias
GLADYS CACSIRE B.
AULA:
2
Definição [Variável aleatória]
Seja  o espaço amostra associado ao um experimento aleatório. Uma
variável aleatória, X, é uma função que tem como domínio a  e como
contradomínio um subconjunto dos números reais.
Por exemplo , retiram-se, ao acaso, um artigo de um lote de 6
unidades e definem-se as variáveis:
X: Número de falhas que tem o artigo elegido.
Y:Tempo de vida do artigo.
3
O espaço amostral associado a este experimento aleatório é:
 621 ,,, aaa 
Para o exemplo, os valores possíveis da variável X são 0,1,2,..., e os
valores possíveis da variável Y serão números reais não negativos.
Ou seja, o contradomínio das variáveis X, e Y são:
 
 0;
,3,2,1,0


tRtR
R
Y
X 
As variáveis aleatórias podem ser classificados:
•Variáveis aleatórias discretas. São aquelas variáveis com
contradomínio um conjunto finito ou infinito enumerável
•Variáveis aleatórias continuas. São aquelas variáveis cujo
contradomínio é um conjunto infinito não enumerável
4
1. Variáveis aleatórias discretas (VAD)
Função de probabilidade: 
Se X é uma variável aleatória discreta que tem como contradomínio Rx 
uma função f(x) é chamada função de probabilidade da variável 
aleatória X se tem como domínio a Rx e como contradomínio a um 
conjunto de números reais P[X=xi]= f(xi) que satisfaz as seguintes 
condições: 





Xi
Rx
i
i
Xiii
xfiii
xfii
RxxfxXPi
1)()(
;1)(0)(
,0)()()(
 
 
 
Exemplo 1: Suponha que o Departamento de Eng.Elétrica é formado
por 35 professores, sendo 21 homens e 14 mulheres. Uma comissão de
3 professores será constituída, sorteando-se, ao acaso, três membros
do departamento. Qual é probabilidade da comissão ser formada por
pelo menos duas mulheres?
Vamos definir a variável aleatória.
X: número de mulheres na comissão.
5
Espaço amostral Probabilidade X 
HHH 203,0
33
19
34
20
35
21
 0 
HHM 150,0
33
14
34
20
35
21
 1 
HMH 150,0
33
20
34
14
35
21
 1 
MHH 150,0
33
20
34
21
35
14
 1 
HMM 097,0
33
13
34
14
35
21
 2 
MHM 097,0
33
20
34
21
35
14
 2 
MMH 097,0
33
21
34
13
35
14
 2 
MMM 056,0
33
12
34
13
35
14
 3 
 
x 0 1 2 3 
P(X=x) 0,203 0,450 0,291 0,056 
 
0,347.0,0560,2913)p(x2)p(x2)p(x , Assim
6
Exemplo 2: Suponha que a demando diária de uma peça é uma variável
aleatória discreta com a seguinte função de probabilidade:
.4,3,2,1;
!
2
)(  d
d
C
dDP
d
(a) Determinar a constante C.
(b) P(D > 2).
Solução: (a) Já que, P(D=d) é uma função de probabilidade, o
qual implica que: (i) C>0; (iii) P(D=1)+P(D=2)+P(D=3)+P(D=4)=1.
Ou seja,
6
1
1
!4
2
!3
2
!2
2
1
2
,1)(
432










CCdDP
DRd
3
2
6
4
6
2
1)1(1)2()(
4,3,2,1;
!6
2
)(


DPDPb
d
d
dDP
d
7
Função de distribuição acumulada de uma VAD
Definição [Função de distribuição acumulada](FDA) 
Seja X uma variável aleatória discreta com contradomínio 
RX={x1,x2,...} e função de probabilidade f(xi)=P(X=xi), seja 
x R, a função de distribuição acumulada de X denotado por 
F(x), define-se : 
Xi
xx
i
xx
i RxondexXPxfxXPxF
ii
 

,)()()()(
 
 
Exemplo 3: Suponha que uma VAD, X, tem a seguinte função de
probabilidade.








cc
xse
xse
xXPxf
.,0
3,2,15/7
1,15/1
)()(
Determinar F(x).
8




















xx
i
x
i
xx
i
x
i
xx
i
x
i
i
i
i
i
i
i
XPXPXPxXPxXPFxSe
XPXPXPxXPXPFxSe
XPXPxXPxXPxFxSe
XPXPxXPXPFxSe
XPxXPxXPxFxSe
fXPxXPXPFxSe
xXPxFxSe
1)3()2()1()()()3(3
1
15
7
15
7
15
1
)3()2()1()()3()3(3
15
8
)2()1()()()(32
15
8
15
7
15
1
)2()1()()2()2(2
15
1
)1()()()(21
15
1
)1()1()()1()1(1
0)()(1
3
2
1
9
x1
1
R de elementos são 
)()(,;[ se geral Em.).2()(,3,2[
);1()(,2,1[ se que observar, se-Pode

 

ll
lll
xexonde
xFxFentãoxxxFxFentãoxSe
FxFentãox
Observação 1:
Logo, a função de distribuição acumulada pode-se escrever assim:












3,1
32,15/8
21,15/1
1,0
)(
xse
xse
xse
xse
xF
O gráfico da FDA de X é:
10
Se F(x) é a FDA de uma VAD X com contradomínio 
Rx, satisfaz as seguintes propriedades: 
1. Para todo xR, 0 F(x)  1. 
2. F(x) é uma função monótona não decrescente. 
 
3. 
1)(0)( 

xFLimexFLim
xx 
4. Se RX = {x1, x2,......}, tal que x1<x2<..., então 
f(xi)=P(X=xi)=F(xi)-F(xi-1). 
5. Se a, b R tal que, a<b, então 
)()()()()(
)()()()()(
)()()()(
)(1)()(
)()()(
bXPaFbFbXaPv
aXPaFbFbXaPiv
aFbFbXaPiii
aXPaXPii
aFaXPi





 
 
 
Propriedades da função de distribuição acumulada
11
Exemplo 4: A variável aleatória X, tem a seguinte função de distribuição acumulada:














3
32
1
8/5
212/1
108/1
00
)(
x
x
se
se
xse
xse
xse
xF
Calcular:












cc
xse
xse
xXPxf
R
b
FFXP
xfcXPbXPa
x
.0
3,18/3
2,08/1
)()(
:por dada é X de adeprobabilid de função a quemostrar se-pode
 FDA, da 4 epropriedad Pela}.3,2,1,0{ :que se- temFDA, Da (c)
1/2.1/2-1F(1)-12)P(X-12)P(X :FDA da 5.i epropriedad Da)(
,2/12/11)1()3()31( (a)
:que FDA temos da 5.iii epropriedad Da
).()()2()();31()(
12
2. Variáveis aleatórias contínuas(VAC)
Função de probabilidade.
Uma função f(x) é chamada função densidade de probabilidade (f.d.p) da
variável aleatória contínua X se satisfaz as seguintes condições.







b
a
dxxfbXaPAPEntãobxaxA
dxxf
Rxsexf
.)()()(}.;{ :evento o Seja.3
.1)(.2
.,0)(.1
Exemplo 1:Suponha que o tempo de produção de um artigo (em minutos) é uma
variável aleatória, X que tem como função de probabilidade:







contráriocaso
xse
x
xf
,0
42,
4
5
)(
Verificar se f(x), é uma função de densidade de probabilidade e calcular a
probabilidade que o tempo de produção de um artigo escolhido ao acaso seja
menor de 3 minutos.
13
Da figura, pode-se observar que a
função f(x)0 (é não negativo) para xR.
Para que f(x) seja f.d.p. falta verificar a
condição (2), ou seja a área sob o eixo x
e a função f(x) é igual a 1.
.1)
2
5(
4
1
4
5
0
4
5
0)(
4
2
22 4
2 4
4
2








   
x
x
xdx
x
dxdx
x
dxdxxf
A probabilidade que o tempo de produção de um artigo escolhido ao acaso
seja menor de 3 minutos é a probabilidade do evento: A={X<3}, ou seja,
8
5
)
2
5(
4
1
)5(
4
1
0)()3()(
3
2
23 2 3
2
   
 
x
xdxxdxdxxfXPAP
14
Observação 2.1: Se X é uma VAC, então
RatodoparaaXPaXP
RbabXaPbXaPbXaPbXaP
RxtodoparaxXP x



),()(
., todopara),()()()(
,0)(
Função de distribuição acumulada de uma VAC
Definição [Função de distribuição acumulada] Seja X uma VAC com
f.d.p. f(x). A função de distribuição acumulada (FDA) da VAC X,
define-se por:
RxdttfxXPxF
x
 

 todopara ,)()()(
Exemplo 2. Considere a variável aleatória X, do exemplo 1, isto é,







contráriocaso
xse
x
xf
,0
42,
4
5
)(
Determinar F(x).
15
 
1f(t)dt)()(f(t)dtF(x)
,4
.
8
)5(9
8
5
4
5
0f(t)dtF(x)
se,- tem4,x2Se
0.F(x)logo, ,0)( que se- tem,2 Se
0
x
4
1
4
2
0
2x
-
2
2
22
2
x
-











 



dttfdttf
setemxSe
xt
dt
t
dt
xfx
x
x











4,1
42
8
)5(9
2,0
)(
2
xse
xse
x
xse
xF
Logo, a FDA da VAC, X é:
16
Observação 2.2.
A FDA de uma VAC X, permite o cálculo de probabilidades de eventos
da forma (aXb), onde a < bR. Isto é,
P(aXb)=F(b) - F(a).
Exemplo 3. Considere a FDA, do exemplo 2 e obtenha: P(X 3) e
P(3,0 X < 5).
Solução: a FDA é dada por:











4,1
42
8
)5(9
2,0
)(
2
xse
xse
x
xse
xF
8
3
8
5
1)3()5()50,3(
8
5
8
)35(9
)3()3(
2




FFXP
FXP
17
Propriedades da FDA deuma VAC
1. 0F(x)1, para todo xR.
2. F(x) é uma função monótona não decrescente.
3. F(x) é uma função contínua para todo xR.
4. „






x
xx
x
xx
dttfxFedttfxF 1)(lim)(lim0)(lim)(lim



x
dttf
dx
d
xF )()(
dx
d
f(x)
5. Do segundo teorema fundamental do cálculo tem-se:
Exemplo 4. Suponha que o tempo de vida de um processador é uma variável
aleatória X com a seguinte FDA:







0,0
0,1)(
2
x
xkexF
x
Determinar:
18
(a) o valor de k; (b) P(X2), P(2  X  4) e P(X -1). (c) f(x).
Solução: (a) Pela propriedade 3 de F(x) temos: F(0)=0, o qual implica:




 
cc
kke
.,0
0xse,e-1F(x) Logo, .101
2
x
-
0












0,0
0,
2
1
)()(
: temoscontínua,FDA da 5, epropriedad Da )(
.0)1()1(
.)1()1()2()4()42(
.)1(1)2(1)2()(
2
2112
11
x
xexF
dx
d
xf
c
FXP
eeeeFFXP
eeXPXPb
x
19
Valor Esperado e Variância de uma variável aleatória
Definição[Valor esperado de uma variável aleatória] Seja X uma
variável aleatória com função de probabilidade ou função densidade de
probabilidade,f(x). O valor esperado, ou esperança matemática ou
média da variável aleatória, denotado por E(X)=, define-se como:
,)()(
contínua, aleatória variáveluma é X Se .2
,)()(
discreta, aleatória variáveluma é X Se 1.







dxxxfXE
xxfXE
XRx
Definição[Variância] Seja X uma variável aleatória com função de
probabilidade ou função densidade de probabilidade,f(x) e valor
esperado E(X)=, a variância da variável aleatória, X, denotado por,
2)( XVar
define-se como valor esperado da variável aleatória
 2X
20
Solução: (a) pela definição do valor esperado de uma VAD temos que:
9
19
!46
2
3
!36
2
3
!26
2
2
6
2
1)()(
432






 
 XRx
xxfXE
Exemplo 5. Suponha que a demando diária de uma peça é uma
variável aleatória discreta com a seguinte função de probabilidade:
.
.,0
4,3,2,1,
!6
2
)(





cc
x
xxXP
x
Determinar: (a) a demanda esperada. (b) a variância da demanda.
,)()()(
contínua, aleatória variáveluma é X Se .2
,)()()(
discreta, aleatória variáveluma é X Se 1.
2
2







dxxfxXVar
xfxXVar
XRx


21
81
80
!46
2
)
9
19
3(
!36
2
)
9
19
3(
!26
2
)
9
19
2(
6
2
)
9
19
1(
)()()(
4
2
3
2
2
22
2







 
 XRx
xfxXVar 
Definição[Desvio padrão] é definido como raiz quadrada positiva da
variância, isto é,
)()( XVarXDP 
Propriedades do valor esperado e variância de uma v.a.
Seja X e Y duas variáveis aleatórias e a e b duas constantes reais.
  )()(.4
)()(.3
)()(.2
.)(.1
YbEXaEbYaXE
bXaEbaXE
XaEaXE
aaE




22
)()()()Var(X
então, tes,independen sn variávei são ,,.8
).()(abY)Var(aX
então ,indepentes aleatórias variáveissão.7
)()(.6
0)(.5
2121
1
22
2
nn
n
XVarXVarXVarXX
XXSe
YVarbXVar
YeXSe
XVaraaXVar
aVar






Teorema: Se X é uma variável aleatória com média, , então
22 )()(  XEXVar
Exemplo: Suponha que as vendas
diárias de um empresa que
comercializa equipamentos
eletrônicos (em dezenas de
milhares de dólares) é uma
variável aleatória com função de
densidade; 












..,0
64,
6
6
42,
3
2
)(
cc
xse
x
xse
x
xf
23
Escolhe-se ao acaso um dia de venda, determine:
(a) A probabilidade que as vendas da empresa seja maior de 22.000
dólares mais não maior de 45.000 dólares.
(b) A média e o desvio padrão das vendas diárias.
(c) Se o lucro diário é definida pela função Y=0,2X-0,5, calcule a
média e variância do lucro diário.
Solução: Seja X: Vendas diárias de uma empresa (em dezenas de
milhares de dólares).
(a) Seja o evento A={2,2<X<4,5}, então P(A)=?
805833,0
2
6
6
1
2
23
1
6
6
3
2
)()5,42,2()(
5,4
4
2
4
2,2
2
5,4
2,2
5,4
4
4
2,2





















  
x
xx
x
dx
x
dx
x
dxxfXPAP
24
888889,14
9
134
6
6
3
2
)()(
777778,3
9
34
6
6
3
2
)()(
6
4
2
4
2
222
6
4
4
2





 





 






 





 







dx
x
xdx
x
xdxxfxXE
dx
x
xdx
x
xdxxxfXE
(b) Da definição de esperança matemática temos:
Logo, a média e o desvio padrão de X são respectivamente:
.742,785681/50)(
)(81/50
9
34
9
134
)()(
.78,777.37)(
2
2
222
dólaresXVar
dólaresdemilharesdedezenas
XEXVar
dólaresXE













(c) Seja, Y=0,2X-0,5. Das propriedades de valor esperado e variância temos:
E(Y)=E(0,2X-0,5)=0,2E(X)-0,5=(0,5)(34/9)-0,5=0,25556
024691,0)81/50(2,0)(2,0)5,02,0()( 22  XVarXVarYVar
25
Principais modelos probabilísticos discretos
1. Modelo Bernoulli
Na prática muitos experimentos que admitem apenas dois resultados
Exemplo:
1. Uma peça é classificada como boa ou defeituosa;
2. O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou
negativa.
3. Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;
4. No lançamento de um dado ocorre ou não face 6;
5. No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa.
Situações com alternativos dicotômicas, podem ser representadas
genericamente por resposta do tipo sucesso-fracasso.
Esses experimentos recebem o nome de Ensaio de Bernoulli e originam uma v.a.
com distribuição de Bernoulli.
26
1.2 Variável Aleatória De Bernoulli
É uma variável aleatória X que apenas assume apenas dois valores 1 se
ocorrer sucesso (S) e 0 se ocorrer fracasso (F), e, sendo p a
probabilidade de sucesso, 0 < p <1. Isto é, se X(S)=1 e X(F)=0. Logo a
distribuição de probabilidade é dado por:
x
P(X=x)
0 1
1-p p
Notação: X~Bernoulli (p), indica que a v.a. X tem distribuição de Bernoulli.
Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que:
E(X)=p
Var(X)=p(1-p).
Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli dão origem ao
modelo Binomial.


 


cc
xpp
xXPxf
xx
.;0
1,0;)1(
)()(
1
27
2. Modelo Binomial
Exemplo 1: Suponha que uma moeda é lançada 3 vezes e probabilidade de
cara seja p em cada lançamento. Determinar a distribuição de probabilidade
da variável X, número de caras nos 3 lançamentos.
Denotemos, S: sucesso, ocorrer cara (c) e F:fracasso, ocorrer coroa(k).
O espaço amostral para o experimento de lançar um moeda 3 vezes é:
={FFF.FFS, FSF,SFF,FSS, SFS, SSF,SSS}
Seja, Xi é uma variável aleatória Bernoulli (i=1,2,3). Então a variável
X=X1+X2+X3, representa o número de caras nos 3 lançamentos. Pode-se
mostrar que Xi ~Bernoulli(p).
 Probabilidade X1 X2 X3 X=X1+X2+X3 
FFF (1-p)
3 
0 0 0 0 
FFS (1-p)
2
p 0 0 1 1 
FSF (1-p)
2
p 0 1 0 1 
SFF (1-p)
2
p 1 0 0 1 
FSS (1-p)p
2 
0 1 1 2 
SFS (1-p)p
2
 1 0 1 2 
SSF (1-p)p
2
 1 1 0 2 
SSS P
3 
1 1 1 3 
 
28
3
2
2
3
})({)3(
)1(3}),,({)2(
)1(3}),,({)1(
)1(})({)0(
pSSSPXP
ppSSFSFSFSSPXP
ppSFFFSFFFSPXP
pFFFPXP




Daí temos que:
A distribuição de probabilidade da v.a. X é dada por:
3223 )1(3)1(3)1()()(
3210
ppppppxXPxf
x

O comportamento de X , pode ser representado pela seguinte função:
)!3(!
!33
.,0
3,2,1,0,)1(
3
)(
3
xxx
onde
cc
xpp
xxf
xx




















29
Definição[Distribuição Binomial]
Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a
mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que conta o número
total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli é denominada de variável
aleatória Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dado
por:
Binomial. ecoeficient o representa,
)!(!
!
.,0
,,1,0,)1(
)(
xnx
n
x
n
onde
cc
nxpp
x
n
xf
xnx



















 
Notação, X~B(n,p), para indicar que v.a. X tem distribuição Binomial com
parâmetros n e p.
Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que:
E(X)=np
Var(X)=np(1-p).
30
A professora da disciplina de Estatística e probabilidade elaborou um
prova de múltipla escolha, consistente em 10 questõescada uma com 5
alternativas cada questão. Suponha que nenhum dos estudantes que vão a
fazer a prova não vão as aulas e não estudaram para a prova (o que é
muito freqüente). O professor estabeleceu que para aprovar deve contestar
corretamente ao menos 6 questões. Se 100 se apresentaram, quantos
alunos aprovaram a disciplina?.
Solução:Seja a v.a. X: número de questões respondidas corretamente nas 10
questões. Então o evento de interesse é:
S: “questão respondida corretamente”
F:”questão respondida incorretamente”
P(S)=1/5 e P(F)=4/5. Logo, X~B(10,p).

























cc
x
xxf
xx
.,0
10,,1,0,
5
4
5
110
)(
10

A probabilidade de aprovar a prova um aluno é:






















10
6
10
0197,0
5
4
5
110
)6(
x
xx
x
XP
Portanto, dos 100 alunos que fizeram a prova aprovariam:100(0,0197)2, alunos
Exemplo 2.
31
3. Modelo Poisson
Na prática muitos experimentos consistem em observar a ocorrência de
eventos discretos em um intervalo contínuo (unidade de medida)
Exemplo:
1. Número de machas (falhas) por metro quadrado no esmaltado de uma
geladeira.
2. Número de chamadas que chegam a uma central telefônica de uma empresa
num intervalo de tempo (digamos de 8,0 a 12,0).
3. Número de bactérias em um centímetro cúbico de água.
4. Número de autos que chegam ao Campus entre 7,0 a.m. a 10,0 a.m.
Definição[Distribuição de Poisson] Uma variável discreta X tem distribuição
de Poisson com parâmetro  se sua função de probabilidade é dada por:






..;0
,2,1,0
!)(
cc
x
x
e
xf
x


32
Onde: X: número de eventos discretos em t unidades de medida,
: media de eventos discretos em uma unidade de medida,
t: unidade de medida
=  t: media de eventos discretos em t unidades de medida
Exemplo 1. Suponha que a central telefônica de uma empresa de grande porte
recebe em média 3 chamadas cada 4 minutos. Qual é a probabilidade que a
central recepcione 2 ou menos chamadas em um intervalo de 2 minutos?
Notação: X~P(), para indicar que a v.a. X tem distribuição de Poisson com
parâmetro . Pode-se mostrar que se X~P()
E(X)= , Var(X)=
Se X: número de chamadas que recebe a central telefônica da empresa
em 2 minutos, então, X ~P(). Aqui t=2 e =3/4=0,75, então =(0,75)(2)=1,5.
Ou seja X~P(1,5)
.808847,0]
2
5,1
5,11[)2()1()0()2(
....3,2,1,0,
!
5,1
)(
2
5,1
5,1




eXPXPXPXP
x
x
e
xf
x
33
4. Modelo Normal
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal com média
 e variância , se sua função de densidade é dada por:
2
Rxexf
x






 

,
2
1
)(
2



).,(~: 2NXNotação
34
Distribuições normais
com médias diferentes e
variâncias iguais.
Distribuições normais
com médias iguais e
variâncias diferentes
35
Propriedades da distribuição normal
2)(,)()(   XVarXEa
(b) A distribuição é simétrica ao redor de sua média.
(c) A área total sob curva é igual a um portanto, cada metade da curva
tem 0,5 da área total.
(d)
9973,0)33(
9546,0)22(
6896,0)(






XP
XP
XP
36
dt
t
xF
x















 

2
2
1
exp
2
1
)( 


A função de distribuição acumulada de uma v.a
).,(~ 2NX
37
Distribuição normal padrão ou reduzida
Se Z é uma variável aleatória normal com média zero e variância um,
então Z é chamado de uma v.a. normal padrão ou reduzida e sua f.d.p
é dada por:
Rzezf
z


,
2
1
)( 2
2

A função de distribuição acumulada de uma v.a Z~N(0,1) d
dttxzPz
z
)5,0exp(
2
1
)()( 2 
 
38
Uso da Tabela Normal
dttxzPz
z
)5,0exp(
2
1
)()( 2 
 
39
 
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 
0,0 0,500000 0,503989 0,507978 0,511966 0,515953 0,519939 0,523922 0,527903 
0,1 0,539828 0,543795 0,547758 0,551717 0,555670 0,559618 0,563559 0,567495 
0,2 0,579260 0,583166 0,587064 0,590954 0,594835 0,598706 0,602568 0,606420 
0,3 0,617911 0,621719 0,625516 0,629300 0,633072 0,636831 0,640576 0,644309 
0,4 0,655422 0,659097 0,662757 0,666402 0,670031 0,673645 0,677242 0,680822 
0,5 0,691462 0,694974 0,698468 0,701944 0,705401 0,708840 0,712260 0,715661 
0,6 0,725747 0,729069 0,732371 0,735653 0,738914 0,742154 0,745373 0,748571 
0,7 0,758036 0,761148 0,764238 0,767305 0,770350 0,773373 0,776373 0,779350 
0,8 0,788145 0,791030 0,793892 0,796731 0,799546 0,802337 0,805106 0,807850 
0,9 0,815940 0,818589 0,821214 0,823814 0,826391 0,828944 0,831472 0,833977 
1,0 0,841345 0,843752 0,846136 0,848495 0,850830 0,853141 0,855428 0,857690 
1,1 0,864334 0,866500 0,868643 0,870762 0,872857 0,874928 0,876976 0,878999 
1,2 0,884930 0,886860 0,888767 0,890651 0,892512 0,894350 0,896165 0,897958 
1,3 0,903199 0,904902 0,906582 0,908241 0,909877 0,911492 0,913085 0,914656 
1,4 0,919243 0,920730 0,922196 0,923641 0,925066 0,926471 0,927855 0,929219 
1,5 0,933193 0,934478 0,935744 0,936992 0,938220 0,939429 0,940620 0,941792 
1,6 0,945201 0,946301 0,947384 0,948449 0,949497 0,950529 0,951543 0,952540 
1,7 0,955435 0,956367 0,957284 0,958185 0,959071 0,959941 0,960796 0,961636 
1,8 0,964070 0,964852 0,965621 0,966375 0,967116 0,967843 0,968557 0,969258 
1,9 0,971284 0,971933 0,972571 0,973197 0,973810 0,974412 0,975002 0,975581 
2,0 0,977250 0,977784 0,978308 0,978822 0,979325 0,979818 0,980301 0,980774 
2,1 0,982136 0,982571 0,982997 0,983414 0,983823 0,984222 0,984614 0,984997 
2,2 0,986097 0,986447 0,986791 0,987126 0,987455 0,987776 0,988089 0,988396 
2,3 0,989276 0,989556 0,989830 0,990097 0,990358 0,990613 0,990863 0,991106 
2,4 0,991802 0,992024 0,992240 0,992451 0,992656 0,992857 0,993053 0,993244 
2,5 0,993790 0,993963 0,994132 0,994297 0,994457 0,994614 0,994766 0,994915 
2,6 0,995339 0,995473 0,995603 0,995731 0,995855 0,995975 0,996093 0,996207 
2,7 0,996533 0,996636 0,996736 0,996833 0,996928 0,997020 0,997110 0,997197 
2,8 0,997445 0,997523 0,997599 0,997673 0,997744 0,997814 0,997882 0,997948 
2,9 0,998134 0,998193 0,998250 0,998305 0,998359 0,998411 0,998462 0,998511 
3,0 0,998650 0,998694 0,998736 0,998777 0,998817 0,998856 0,998893 0,998930 
3,1 0,999032 0,999064 0,999096 0,999126 0,999155 0,999184 0,999211 0,999238 
3,2 0,999313 0,999336 0,999359 0,999381 0,999402 0,999423 0,999443 0,999462 
3,3 0,999517 0,999533 0,999550 0,999566 0,999581 0,999596 0,999610 0,999624 
3,4 0,999663 0,999675 0,999687 0,999698 0,999709 0,999720 0,999730 0,999740 
3,5 0,999767 0,999776 0,999784 0,999792 0,999800 0,999807 0,999815 0,999821 
3,6 0,999841 0,999847 0,999853 0,999858 0,999864 0,999869 0,999874 0,999879 
3,7 0,999892 0,999896 0,999900 0,999904 0,999908 0,999912 0,999915 0,999918 
3,8 0,999928 0,999930 0,999933 0,999936 0,999938 0,999941 0,999943 0,999946 
3,9 0,999952 0,999954 0,999956 0,999958 0,999959 0,999961 0,999963 0,999964 
 
40
Exemplo: Seja Z~N(0,1), determinar:
(a) P(Z<1,80)
(b) P(0,80<Z<1.40)
(c) P(Z<-0,57)
(d) O valor de k tal que: P(Z<k)=0,05.
Solução: da tabela normal padrão tem-se:
0,13110,78814-0,91924(0,80)-(1,40)1,40)ZP(0,80(b)
0,964070)80,1()80,1()(

ZPa
0,204339.715661,01)57,0(1)57,0()(  ZPZPc
64,105,0)()(  kkZPd
Observação:
1)(2)()(
0),(1)()(


kZPkZkPii
kkZPkZPi
41
Teorema (Transformação linear de uma variável normal)
Se X é uma v.a. normal com média  e variância 
2, então a variável aleatória Y=a+bX tem 
distribuição normal com média y e variância 
222  b
Y

. 
 
Uma conseqüência do teorema anterior é a variável
)1,0(~ N
X
Z 




 
 

Exemplo: Se X~N(90,100). Determinar:
(a) P(80< X < 100)
(b) P(|X-90|<30)
(c) O valor de a tal que: P(90-2a <X< 90+2a)=0,99
42
.47725,0)97725,01(5,0
))2(1()0()2()0(
)02()
10
100100
10
9080
()10080()(









ZPZPZPZP
ZP
X
PXPa 

0,99731-0.99865021)3(2)33(
)
10
30
10
90
10
30
()309030()30|90(|)(




ZPZP
X
PXPXPb
85,1257,2
5
995,0)
5
(99,01)
5
(2
102
10
90
10
2
)2902()290290()(











a
a
a
ZP
a
ZP
aXa
PaXaPaXaPc
43
Exemplo: O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade
tem distribuição normal com média 120 minutos e desvio padrão
15 minutos.
(a) Sorteando-se um aluno ao acaso, qual é probabilidade dele
terminar o exame antes de 100 minutos?
X: tempo gasto no exame vestibular.
0,0917690,9082411)33,1(1
)33,1(1
)33,1(
15
120100
)100(
).15,120(~ 2







 

ZP
ZPZPXP
NX
44
(b) Qual deve ser o tempo de prova de modo que permita o 95% dos
vestibulandos terminem no prazo estipulado?
95,0
15
120
)(
95,0)(





 


x
ZPxXP
xXP
z=? , tal que (z)=0,95
Da tabela z= 1,64
(c) Qual o intervalo central de tempo, tal que 80% dos estudantes
gastam para completar o exame?
2,128564,1120 x
45
80.0
15
120
15
120
80,0)( 2121 




 



x
Z
x
PxXxP
z=? , tal que (z)=0,90
Da tabela z= 1,28
.min2,13928,11512028,1
15
120
.min8,10028,11512028,1
15
120
11
1
11
1




xx
x
xx
x
46
Teorema( Combinação Linear de variáveis aleatórias normais)
Sejam 
nXX ,,1 
, n variáveis aleatórias independentes onde Xi ~N(i, i
2), para 
i=1,...,n. Sejam 
naa ,,1 
 constantes reais. Seja a variável aleatória Y uma 
combinação linear das variáveis aleatórias normais. Isto é 
 
nnXaXaY  11
Então a variável aleatória Y tem distribuição normal com média
i
n
i
innY aaa  


1
11 
e variância
2
1
22
11 i
n
i
innY aaa  

 
47
Exemplo: Uma companhia embala em cada caixa 5 pires e 5 xícaras. Os
pesos dos pires distribuem-se normalmente com média de 190 g e
desvio padrão 100 g. Os pesos das xícaras também são normais com
média 170 g e desvio padrão 12,25 g. O peso da embalagem é
praticamente constante e igual a 100 g.
(a) Qual é a probabilidade da caixa pesar menos de 2000 g?
completa. caixa da peso :C
embalagem; da peso:E
 xícara;ésima-i do peso :X
pires; ésimo-i do peso:
i
iP
Solução. Sejam,



n
i
i
n
i
i
xícarasdaspeso
n
piresdospeso
n EXPEXXXPPPC
11
2121   

  

48
Tem-se interesse: P(C < 2000)=? Do problema temos:
niNXNP ii ,,1)25,12,170(~),10,190(~
22 
Do teorema anterior C distribui-se normalmente com média
g
EXEPE
n
i
i
n
i
iC
190010017051905
)()(
11

 


222
11
2
1250025,125105
)()()(
g
EVarXVarPVar
n
i
i
n
i
iC

 


e variância
0,997673)83,2(
1250
19002000
)2000(






 

ZP
ZPCP
49
(b) Qual é a probabilidade de uma xícara pesar mais que um pires
numa escolha ao acaso?
Seja X: peso de uma xícara; P: peso de um pires. P(X > P)=P(X – P >0)=?
.25025,1210
;20190170
);(~
22222
2



PXY
PXY
YY
onde
NPXYSeja



Logo,
0,103835.
0,8961651)26,1(1
250
)20(0
1
)0(1)0(







 


ZP
ZP
YPYP
50
Corolário (Propriedade reprodutiva da distribuição normal)
Sejam 
nXX ,,1 
, n variáveis aleatórias independentes onde Xi ~N(, 
2), para 
i=1,...,n. Então a variável aleatória 
 



n
i
in XXXY
1
1 
tem distribuição normal com média n e variância
),(~ é, isto , 22  nnNYn
).1,0(~
/
1 N
n
X
n
nX
Y
n
i
i










Exemplo: o peso de uma caixa de peças é uma variável aleatória normal
com média de 65 kg e desvio padrão de 4 kg. Um carregamento de 120
caixas de peças é feito. Qual é a probabilidade que a carga pesar
entre 7.893 kg e 7.910 kg?
51
120,,1),16,65(~caixa ésima-i da peso :  iNXX ii
)1920,7800(~
)16120,65120(~carga da peso :
120
1
NY
NXYY
i
i  

010966,0482997,0493963,0
)12,2()51,2()51,212,2(
1920
78007910
1920
78007893
)79107893(







 



ZP
ZPYP