Métodos Numéricos para Equações Algébricas

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SOBRE MÉTODOS NUMÉRICOS NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
ALBINO PAIVA NEPOMUCENO JÚNIOR
1 REFERÊNCIA
Moreira, F. R. ., Costa, E. ., Parreira, R. ., Silva, R. G. ., & Ferreira, W. . (2010). SOBRE MÉTODOS NUMÉRICOS NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS. ENCICLOPÉDIA BIOSFERA, 6(09).
2 RESUMO
Muitos dos problemas da matemática e outras áreas relacionadas levam a condução de equações de todos os tipos como equações algébricas, diferenciais e integrais. A principal motivação dos matemáticos de todo o mundo são as resoluções dessas equações, que nem sempre é uma tarefa fácil. Sabe-se da dificuldade de resolver equações; essas equações são do tipo mais simples: as equações polinomiais. Dada a dificuldade de encontrar soluções exatas para equações algébricas, enfrenta-se outro problema: para encontrar soluções aproximadas. Assim, apresenta-se e discute-se quatro métodos para encontrar raízes aproximadas das equações. I) No método da bisseção é inteiramente baseado no Teorema do Valor Intermediário, no qual garante a existência de uma solução para f(x) = 0 no intervalo (a, b) desde que f : [a, b] → R seja contínua e satisfaz f(a)f(b) < 0. II) O Método de Iteração Linear inicia-se reescrevendo a função f(x) como, f(x) = ϕ(x) – x. Essa forma de escrever f(x) é bastante útil. No ponto x que corresponde à raiz de f(x), isto é, f(x) = 0, teremos que: f(x) = ϕ(x) – x =0 ϕ(x) = x Ou seja, no ponto x que corresponde à raiz de f(x), ao substituirmos o valor de x na função ϕ(x), teremos como resultado o próprio valor de x. Portanto, a raiz de f(x) será o ponto fixo de ϕ(x), ou seja, o valor que ao ser substituído em ϕ(x) retorna o próprio valor de x.III) O método da posição falsa é um método numérico usado para resolver equações lineares definidas em um intervalo [a, b], partindo do pressuposto de que haja uma solução em um subintervalo contido em [a, b]. E assim, diminuindo esse subintervalo em partes cada vez menores, a solução estará onde a função tem sinais opostos, segundo o Teorema do Valor Intermediário; IV) Método de Newton tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Para isso, escolhe-se uma aproximação inicial para esta. Após isso, calcula-se a equação da reta tangente (por meio da derivada) ao gráfico da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas, a fim de encontrar uma melhor aproximação para a raiz. Repetindo-se o processo, cria-se um método iterativo para encontrarmos a raiz da função. 
3 DAS CONSIDERAÇÕES GERAIS DO ARTIGO
O artigo inicia citando os quatro métodos numéricos que abordará no texto para se encontrar raízes aproximadas de equações algébricas, que são o método de Bisseção, Iteração Linear, o Método Secant e o Método Newton. O estudo de vários tipos de equações tem motivados diversos matemáticos em todo o mundo. A grande maioria dos célebres matemáticos entre os anos 1400 e 1700 deixaram grandes contribuições para o estudo das equações algébricas, apesar de ser um grande desafio resolvê-las. 
A palavra equação já era utilizada por escritores medievais, mas a grande problemática encontrada pelos matemáticos entre 1400 e 1700 foi o de encontrar as raízes das equações polinomiais como função apenas dos coeficientes do equação. A resposta às equações de grau é conhecida desde o início do século II, quando Bhaskara formalizou uma prova da fórmula para as equações quadráticas, daí a fórmula conhecida como a "Fórmula de Bhaskara". Para a equações de terceiro grau o problema era um pouco mais grave, supondo que Scipione Dal Ferro (1465-1526) soube resolver equações cúbicas por métodos algébricos e que nos seus últimos dias confiou a sua solução a um estudante, mas no entanto, foi outro matemático, chamado Girolamo Cardano (1501-1576), que publicou em 1945 a fórmula para as equações cúbicas em "Ars Magna".
Rafael Bombelli (1526-1572) em seu artigo ”Álgebra” publicado em 1572, resolveu alguns impasses após 25 anos deixados por Cardano, mostrando um conjunto formal de regras para manipular números complexos. A fórmula obtida por Tartaglia-Cardano era a seguinte:
Muitos matemáticos buscaram solucionar este problema, até que em 1799, Carl F. Gauss, demonstrou em sua tese de doutoramento o Teorema Fundamental da Álgebra (TFA), mas a questão sobre a existência de uma formula ainda não havia sido resolvida. Até que, por volta de 1830, um grande matemático chamado Evarist Galois (1811- 1832) resolveu a questão para polinômios de grau maior do que quatro. Entretanto, diante desta dificuldade de se encontrar raízes exatas passamos agora para outra fase: encontrar raízes aproximadas para equações.
Afirma-se, sem qualquer demonstração, alguns fatos do cálculo que serão importantes para a compreensão de alguns resultados futuros. 
O que a prop. 3 diz é que uma condição "suficiente" para uma equação f(x)=0 do tipo tem uma solução, onde f é uma função contínua, de sinais opostos. Esta condição não é "necessária" para criar raízes e a maioria dos métodos numéricos precisa desta hipótese para ser implementada
No processo de parada, para se aplicar qualquer método numérico, devemos ter sempre alguma ideia sobre a localização da raiz a ser determinada. Este local é obtido, em geral, fazendo uso da Prop. 3. Para obter uma raiz com uma certa precisão e, devemos, durante o processo iterativo, realizar o seguinte teste:
3.1 Método da Bisseção
3.2 - Iteração linear
Introduz-se o método de iteração linear para o cálculo de uma raiz de uma equação de tipo f(x)=0.
Assim, qualquer solução para a equação f(x)=0 é também uma solução da equação Há normalmente mais do que uma maneira de expressar a equação f(x)=0 na forma . Por exemplo, algumas formas possíveis da equação quadrática
Este processo chama-se interação linear.
3.3 Método regula falsi ou da falsa posição 
3.4 Método de newton
O método de Newton é também conhecido como método de Newton Raphson, sendo obtido através do método da Iteração linear ou pela maneira apresentada neste trabalho. A ideia de base do Método de Newton é bastante simples, consiste na linearização de uma função derivável.