Projeto de Ondas

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1º semestre 2021 
 
 
 
 
Estudo sobre notas musicais 
FSF200 - Física 2 (Diurno e Noturno) 
Oscilações e Ondas 
 
 
 
 
O objetivo deste estudo é relacionar as notas musicais com a teoria de oscilações, ondas e ondas estacionárias, 
através da realização de experimentos para a medição de frequências sonoras e da construção e análise de 
gráficos. 
Prazo para entrega: 23 de maio de 2021 
Introdução 
O que é o som? Para muitas filosofias o som é a fonte de toda a criação. O nosso primeiro contato com o som é 
ainda durante a gestação e a partir deste momento ele se torna parte importante de nossas vidas. Fisicamente 
falando, o som é uma vibração mecânica que se propaga através de um meio transmitindo energia, podendo 
ser agradável ou não aos nossos ouvidos. A acústica é a ramo da física responsável pelo estudo do som utilizando 
os princípios de oscilações e ondas para sua compreensão. 
A música é uma combinação de sons e é um dos principais elementos de nossa cultura. Existem indícios de que 
desde a pré-história (60.000a.c.) já se produzia música, provavelmente como consequência da observação dos 
sons da natureza. Para produzir música o ser humano desenvolveu inúmeros instrumentos musicais, podendo 
ser de percussão, sopro, corda e até mesmo eletrônicos atualmente. Em particular nos instrumentos de corda 
podemos observar claramente as ondas se propagando ao transmitirem o som. O primeiro instrumento de corda 
do qual se tem conhecimento é o “Arco musical” que tem sua origem estimada entre 15 e 35 mil anos. 
Para produzir som em uma corda são vários os fatores importantes, tais como o material e espessura da corda, 
seu tamanho e a tensão a qual está submetida. Vamos tomar como exemplo um piano comum. Suas cordas são 
de aço e tem comprimento que variam entre 5cm e 2m que são tensionadas com valores entre 700N e 900N. 
Com a variação de apenas um destes fatores, a frequência do som produzido pode ser totalmente diferente. 
Essa diferenciação nos sons começou a ser registrada e deu-se início às chamadas notas musicais, termo 
utilizado para designar o menor elemento sonoro. O sistema de notas musicais modernas teve sua origem no 
século X quando o monge Guido de Arezzo criou uma escala para facilitar o aprendizado dos alunos e diminuir 
os erros de intepretação de uma obra musical que até então era passada principalmente através da tradição 
oral. O monge Guido aproveitou um hino religioso em grego dedicado a São João Batista para definir inicialmente 
as notas musicais: 'Ut queant laxis; Resonare fibris; Mira gestorum; Famuli tuorum; Solve polluti; Labii reatu; 
Sancte Ioannes' (https://www.youtube.com/watch?v=9fMppPLocmo) cuja tradução é “Para que teus servos / 
Possam, das entranhas / Flautas ressoar / Teus feitos admiráveis / Absolve o pecado / Desses lábios impuros / 
Ó São João”. No século XVII a nota Ut foi transformada na atual nota Do. A cultura anglo saxã possui um registro 
diferente das notas musicais, utilizando letras para a classificação dos sons: A(lá), B(sí), C(do), D(ré), E(mi), F(fá) 
e G(sol). 
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Teoria 
 
 
Não importa a maneira como reconhecemos as notas, fisicamente elas possuem duas grandezas fundamentais 
que que as identificam: a frequência e a intensidade. Frequência é o número de vezes que uma determinada 
onda se repete por segundo, e seu valor é dado em Hertz (Hz). A intensidade de um som está relacionada com 
a quantidade de energia que a onda transporta. 
A onda sonora, ao ser transportada pela corda faz com que cada pedaço da corda vibre, ou seja, faz uma 
oscilação que pode ser comparada com um movimento harmônico simples. Podemos relacionar a intensidade 
da vibração com o tempo decorrido através da relação: 
𝑥 = 𝑥𝑚. cos(𝑤𝑡 − 𝜑) 
Onde 𝑥𝑚 é a amplitude do movimento e 𝜑 é a chamada constante de fase que determina a posição da partícula 
no início do movimento (t = 0s). A frequência angular é indicada pela letra 𝑤 e está diretamente relacionada 
com a frequência 𝑓 ou com o período do movimento 𝑇 : 
 
𝑤 = 2. 𝜋. 𝑓 = 
2. 𝜋 
 
𝑇 
O período 𝑇 corresponde ao intervalo de tempo associado a uma única vibração completa. 
Quando fazemos vibrar a corda de um instrumento musical, uma onda é gerada e se propaga ao longo da corda. 
Esta onda ao atingir a extremidade fixa da corda é refletida. Os instrumentos musicais de corda são construídos 
para que essas ondas formem um padrão de ondas estacionárias. 
Estas ondas estacionárias são formadas a partir do fenômeno de interferência que ocorre na superposição de 
duas ondas idênticas que se propagam em sentidos opostos. Esta situação ocorre quando as ondas estão 
confinadas no espaço como ondas sonoras em um tubo fechado ou em uma corda com as extremidades fixas. 
Este fenômeno também pode ser chamado de “ressonância” onde a amplitude de oscilação de cada ponto da 
corda é máxima. De acordo com a frequência 𝑓 aplicada na corda podem ser formadas diferentes harmônicos 
que são representados pela letra 𝑛. Na figura 1 abaixo podemos observar uma corda com um único harmônico 
𝑛 = 1 (também chamado de estado fundamental) até o exemplo com 𝑛 = 6. 
 
Figura1. Exemplo de formação de harmônicos em uma corda com extremidades fixas. 
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A formação do harmônico 𝑛 depende de alguns parâmetros, tais como a densidade linear da corda (𝜇) e o 
comprimento corda (𝐿) assim como a tensão aplicada sobre a corda (𝐹) e a frequência da onda (𝑓). Para cada 
harmônico a frequência 𝑓 da onda estacionária é dada por: 
 
 
𝑓𝑛 = 
𝑛 𝐹 
√ 
2𝐿 𝜇 
 
 
 
A função que descreve uma onda estacionária é dada por: 
𝑦𝑂𝐸(𝑥, 𝑡) = 2𝑦𝑚. 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥). cos(𝑤𝑡) 
Onde 2ym é a amplitude máxima de oscilação da onda estacionária e x é a posição da corda na qual se observa 
o movimento. O parâmetro k é o chamado número de onda angular e está relacionado com o comprimento de 
onda λ através de: 
 
𝑘 = 
2. 𝜋 
 
𝜆 
 
 
 
 
Procedimento para o estudo da frequência de uma nota musical 
 
 
Este estudo sobre notas musicais será dividido em três frentes correspondendo a uma análise gráfica, uma 
resolução numérica e uma parte experimental com a utilização de simulação. 
Para a realização da parte experimental utilizaremos um aparelho celular, o aplicativo Phyphox 
(https://phyphox.org/) e um site de simulação de um piano online (https://virtualpiano.net/). 
 
Nesta simulação, o teclado mostra uma repetição das notas de Do até Si. Cada repetição é chamada de oitava. 
O teclado começa com a tecla da nota Do em sua segunda oitava (C2) seguindo até a nota Do em sua sétima 
oitava (C7). Na figura 2 podemos identificar as notas musicais de acordo com sua posição no teclado musical. 
 
Figura 2. Identificação das notas musicais em um teclado de um piano. 
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A interação com a simulação pode ser feita através do mouse clicando em uma determinada tecla do piano que 
correspondem às diferentes notas e oitavas. Observe que ao clicar em uma tecla a nota correspondente é 
apresentada no teclado. Na figura 3 abaixo podemos observar o teclado apresentado no site. 
 
 
Figura 3. Teclado online apresentado pelo site VirtualPiano. 
No aplicativo Phypox vamos utilizar uma ferramenta de acústica, a “Autocorrelação do Som”. Nesta ferramenta 
podemos medir a frequência e obtermos o gráfico característico em função do tempo de um tom único. A figura 
abaixo mostra o aplicativo e suas funções (fig.4a). Utilizaremos a função Autocorrelação que fornece os valores 
de período e frequência medidos. A utilização da ferramenta se inicia com a seta Play e pode ser capturada com 
a função Pause (fig. 4b). Neste momento é fornecida o tom/nota associada assim como o período e a frequência 
do som. Ao acessarmos os três pontos podemos exportar os dados facilmente no formato Excel (fig. 4c e 4d). O 
gráfico produzido no aplicativo tem em sua escala horizontal a variação do tempo em milissegundos (ms) e a 
escalavertical apresenta a correlação em unidades arbitrárias (a.u.). Correlação é o grau de relação entre as 
grandezas. 
(a) (b) (c) (d) 
 
 
Figura 4. Imagens obtidas do aplicativo Phyphox mostrando a utilização da ferramenta “Au tocorrelação do 
Som”. 
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IMPORTANTE 
Para a realização das análises a seguir cada grupo deve seguir as informações fornecidas pelo professor através 
do moodle. 
 
 
1ª Parte – Análise Gráfica 
O objetivo desta parte é fazer a modelagem de um fenômeno relacionando seus parâmetros com as notas 
musicais. 
1. Apresente o gráfico a ser analisado. 
 
2. Apresente a equação que modele a oscilação de um ponto de uma corda apresentada no gráfico acima. 
Justifique os valores apresentados para as diferentes grandezas. 
 
𝑦𝑂𝐸(𝑥, 𝑡) = 1,5. 𝑠𝑒𝑛 ( 
2𝜋 
0,0023. 𝑣 
. 𝑥) . cos(2731,8. 𝑡) 
𝑤 = = 
2𝜋 2𝜋 
𝑇 0,0023 
= 2731,81 =̃ 2731,8 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
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3. A qual nota musical corresponde este gráfico? Para responder essa pergunta você pode utilizar o aplicativo 
Phyphox em diferentes notas musicais ou procurar uma tabela de frequências para as notas musicais. 
 
 
2ª Parte – Análise Experimental 
 
 
Nesta parte do trabalho, será estudada uma única nota musical em três diferentes oitavas através do 
aplicativo Phyphox e do site Musicca. 
 
 
1. Qual a nota musical será estudada pelo grupo? A nota musical correspondente está no arquivo fornecido ao 
grupo. 
 
 
2. Apresente o gráfico obtido através do aplicativo Phyphox para a “terceira” oitava disponível da nota estudada 
na simulação. 
 
A nota que será estudada pelo grupo é a nota Mi/E. 
Este gráfico corresponde a nota Mi/E. 
𝑘 = = = = 
2𝜋 2𝜋 2𝜋 2𝜋 
𝜆 𝑣 
𝑓 
𝑣. 𝑇 0,0023. 𝑣 
3 
2𝑦𝑚 = 3 → 𝑦𝑚 = 2 
= 1,5 
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Gráfico da "segunda" oitava da nota 
0,0000004 
Mi/E3 em função do tempo (ms) 
0,0000003 
 
0,0000002 
 
0,0000001 
 
0 
 
-1E-07 
 
-2E-07 
Tempo (ms) 
 
Gráfico da "segunda" oitava da nota 
Mi/E3 em função do tempo (ms) 
0,0000035 
0,000003 
0,0000025 
0,000002 
0,0000015 
0,000001 
0,0000005 
0 
-5E-07 
-0,000001 
-1,5E-06 
Tempo (ms) 
𝑇 =̃ 8,5. 10 𝑠 = 1. 10 𝑠 → 𝑓 = → 𝑓 = −3 −2 
1 
3 3 𝑇 3 
1 
8,5. 10−3 
= 117,6 𝐻𝑧 
𝑇 =̃ 3,5. 10 𝑠 → 𝑓 = → 𝑓 = −3 
1 
2 2 𝑇 2 
1 
3,5. 10−3 
= 285,7 𝐻𝑧 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 5 10 15 20 25 
 
 
 
 
 
3. Apresente os valores para o período e frequência apresentados na simulação para “terceira” oitava. 
 
4. Apresente o gráfico obtido através do aplicativo Phyphox para a “segunda” oitava disponível da nota 
estudada na simulação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 5 10 15 20 25 
 
 
 
 
 
 
5. Apresente os valores para o período e frequência apresentados na simulação para “segunda” oitava. 
C
o
rr
el
aç
ao
 (
a.
u
) 
C
o
rr
el
aç
ao
 (
a.
u
) 
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Gráfico da "primeira" oitava da nota Mi/E2 em 
função do tempo (ms) 
0,000003 
0,0000025 
0,000002 
0,0000015 
0,000001 
0,0000005 
0 
-5E-07 
-0,000001 
-1,5E-06 
-0,000002 
Tempo (ms) 
𝑇 =̃ 7,5. 10 𝑠 → 𝑓 = → 𝑓 = −3 
1 
1 1 𝑇 1 
1 
7,5. 10−3 
= 133 𝐻𝑧 
 
 
 
6. Apresente o gráfico obtido através do aplicativo Phyphox para a “primeira” oitava disponível da nota 
estudada na simulação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 5 10 15 20 25 
 
 
 
 
 
 
 
7. Apresente os valores para o período e frequência apresentados na simulação para “primeira” oitava. 
 
 
8. Os resultados apresentados pelo aplicativo para o período e frequência são coerentes com os gráficos 
apresentados pelo aplicativo? Justifique 
 
 
 
9. Caso tivéssemos acesso a próxima oitava da nota musical, qual deveria ser o período e a frequência medidos? 
Justifique sua resposta. 
Apenas as medidas do período e frequência da “segunda” oitava que ficaram um pouco fora do padrão 
apresentado nas “primeira” e “terceira” oitavas (𝑇2 =̃ 3,5. 10−3𝑠; 𝑓2 = 285,7 𝐻𝑧 ), mesmo sendo medida 
mais de 5 vezes, essa foi a medida mais razoável que conseguimos chegar. 
C
o
rr
el
aç
ão
 (
a.
u
) 
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𝜆 = 1,2𝑚; 𝐹 = 750𝑁 (𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎); 𝜇 = 0,4 (𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎); 𝑇 = 8. 10−3𝑠 (𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎) 
𝑘𝑔 
𝑚 
𝑓 = √ → = 
𝑛 𝐹 1 𝑛 750 
0,5𝜆 𝜇 𝑇 0,5.1,2 0,4 8. 10−3 0,6 
√ → 
1 
= . 43,3 → 𝑛 = 1,73 
𝑛 
Portanto, segundo nossa estimativa, a nossa nota Mi, na “segunda” oitava (E3), 𝑛 = 1,73 
 
 
 
 
3ª Parte – Análise numérica 
Suponha uma corda de piano feita de aço com comprimento de 1,2m e que toque a sua nota na “segunda” 
oitava estudada na 2ª parte. Estime quantos números harmônicos podem ser observados teoricamente. 
Indique claramente as hipóteses utilizadas sem seus cálculos. 
 
Seguindo a padronização encontrada entre as “primeira” e “terceira” oitavas, o período da “quarta” oitava 
1 
de Mi/E5 seria: 𝑇 =̃ 9. 10−3𝑠 e, portanto, a frequência da “quarta” oitava seria: 𝑓 = 4 1 9.10−3 
= 111,1 𝐻𝑧