Matriz inversa

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@_Ste_Study 
Geometria Analítica 
Matriz inversa 
Definições 
→ Todo número real a não nulo, possui um 
inverso multiplicativo, existe um b onde ab=1 
→ Esse número único é chamado de 𝑎−1 
→ Nem todas as matrizes A não nulas 
possuem inversas AB=BA=In 
→ Para AB e BA iguais e bem definidas as 
matrizes têm que ser quadradas 
→ Mesmo entre matrizes quadradas muitas 
não possuem inversas 
𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼𝑛 
Sendo: 
 AB = Matriz original 
 BA = Matriz inversa 
 In = Matriz identidade 
 
Propriedades 
→ Se A é invertível então 𝐴−1 também é 
→ Se 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛 e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛 são 
matrizes invertíveis, então AB é invertível e 
(𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1. 𝐴−1 
→ Se 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛 é invertível (ou não 
singular) então 𝐴𝑡 é invertível 
(𝐴𝑡)−1 = (𝐴−1)𝑡 
 
 
 
Teorema 
→ Seja A e B matrizes nxn 
 Se AB=In então BA=In 
 Se BA=In então AB=In 
 
Método para inversão 
→ Resolução de sistema 
→ Transformar até o lado esquerdo virar 
uma matriz identidade 
Exemplo: 𝐴 = [
−2 1
0 3
] 
1° solução: 
[
−2 1
0 3
] . [
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
] = [
1 0
0 1
] 
[
−2𝑥 + 𝑧 −2𝑦 + 𝑤
0𝑥 + 3𝑧 0𝑦 + 3𝑤
] = [
1 0
0 1
] 
Assim: 
{
−2𝑥 + 𝑧 = 1
3𝑧 = 0
 
{
−2𝑦 + 𝑤 = 0
3𝑤 = 1
 
Resolvendo o sistema temos: w=1/3, z=0, 
y=1/6 e x=-1/2. 
𝐴−1 = [
−1
2
1
6
0
1
3
] 
@_Ste_Study 
 
2° solução: 
[
−2 1
0 3
⋮
1 0
0 1
] 
Dividindo a 1° linha por 2 e a 2° por 3 temos: 
[1
−1
2
0 1
⋮
−1
2
0
0
1
3
] 
[
1 0
0 1
⋮
−1
2
1
6
0
1
3
] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema 
→ O sistema associado AX=B tem única 
solução, se e somente se, A é invertível. 
Nesse caso: 
𝑋 = 𝐴−1. 𝐵