MA03 - Fatoração e Radiciação [completo]

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Matemática Aplicada
Aula 03: Potenciação e Radiciação
Prof.ª M.ª Mariana Meirelles de Mello
Fatoração
• Fatorar um número é um processo matemático que consiste em
transformar este número em um produto de números primos
(fatores).
• Número Primo??
É um número que só possui dois divisores naturais.
Fatoração
Quadrado e Cubo Perfeito
Quadrado Perfeito
• Quando ele é igual ao quadrado
de um número natural.
• Ex.: 32 = 9
9 = 3
• 26 × 38 × 54 é um quadrado
perfeito?
Quadrado e Cubo Perfeito
Quadrado e Cubo Perfeito
Cubo Perfeito
• Quando ele é igual ao cubo de
um número natural.
• Ex.: 23 = 8
3
8 = 2
3
64 = 4
• 26 × 312 × 59 é um cubo
perfeito?
Quadrado e Cubo Perfeito
Exercício
A diferença entre o menor número natural ímpar com cinco divisores
positivos distintos e o menor número natural par, também com cinco
divisores positivos distintos, é igual a.
a) 39.
b) 27.
c) 83.
d) 65.
e) 41.
Gabarito: Letra D.
Mínimo Múltiplo Comum – M.M.C.
Guilherme é analista de sistemas e tem folga no trabalho a cada 8
dias. Sua esposa Manuella tem folga no seu trabalho a cada 12 dias.
Se os dois folgaram juntos hoje, quando folgarão juntos novamente?
Exercício
Uma companhia aérea fixou rodízio entre duas cidades para seus comissários de
bordo de determinado voo diário. A escala estabelece que o comissário A trabalhe
nesse voo a cada 8 dias; o comissário B, a cada 10 dias; e o comissário C, a cada 12
dias. Nesse caso, se os três tiverem trabalhado juntos no voo do dia de hoje, então
a próxima vez em que eles trabalharão novamente juntos nesse voo ocorrerá daqui
a.
a) 30 dias.
b) 74 dias.
c) 120 dias.
d) 240 dias.
e) 960 dias.
Gabarito: Letra C.
Mínimo Múltiplo Comum – M.M.C.
• O zero é múltiplo de qualquer número.
• Todo número é múltiplo de 1 e de si
mesmo.
• O único múltiplo de zero é o próprio zero.
Máximo Divisor Comum – M.D.C.
• Um número x é divisível por y, ou, y é divisor
de x, quando esta divisão é não nula, ou seja,
é exata, sendo x e y números naturais.
• Divisores de 6 = {1,2,3,6}
• Qual é o M.D.C. de 8 e 12?
15 é divisível por 3.
3 é divisor de 15.
𝐷8 = 1,2,4,8
𝐷12 = 1,2,3,4,6,12
mdc (8,12) = 4
Máximo Divisor Comum – M.D.C.
• Método da Fatoração Simultânea
• Qual o mdc(84,144,60)?
Máximo Divisor Comum – M.D.C.
• Algoritmo de Euclides (Método das Divisões Sucessivas)
• Qual é o mdc(20,25)?
Máximo Divisor Comum – M.D.C.
• Algoritmo de Euclides (Método das Divisões Sucessivas)
• Qual é o mdc(20,25)?
25 20
Máximo Divisor Comum – M.D.C.
• Algoritmo de Euclides (Método das Divisões Sucessivas)
• Qual é o mdc(20,25)?
1
25 20
Máximo Divisor Comum – M.D.C.
• Algoritmo de Euclides (Método das Divisões Sucessivas)
• Qual é o mdc(20,25)?
1
25 20
5
Máximo Divisor Comum – M.D.C.
• Algoritmo de Euclides (Método das Divisões Sucessivas)
• Qual é o mdc(20,25)?
1
25 20 5
5
Máximo Divisor Comum – M.D.C.
• Algoritmo de Euclides (Método das Divisões Sucessivas)
• Qual é o mdc(20,25)?
1 4
25 20 5
5
Máximo Divisor Comum – M.D.C.
• Algoritmo de Euclides (Método das Divisões Sucessivas)
• Qual é o mdc(20,25)?
1 4
25 20 5
5 0
Máximo Divisor Comum – M.D.C.
• Algoritmo de Euclides (Método das Divisões Sucessivas)
• Qual é o mdc(20,25)?
mdc(20,25) = 5
1 4
25 20 5
5 0
Máximo Divisor Comum – M.D.C.
• Algoritmo de Euclides (Método das Divisões Sucessivas)
• Qual é o mdc(117,81)?
Exercícios
Questão 01
Considere que 3 carretas façam, repetidamente, viagem de ida e volta
entre determinada editora e um centro de tratamento da ECT em 4
dias, 5 dias e 6 dias, respectivamente, e, ao completar um percurso de
ida e volta, elas retomem imediatamente esse percurso. Se, em certo
dia, as 3 carretas partirem simultaneamente da editora, então elas
voltarão a partir juntas novamente dessa editora após.
Resolução – Questão 01
Questão 02
Em um presídio há 400 detentos, sendo 240 no setor X e 160 no setor
Y. Para realizar atividades na oficina de artes, o total de detentos foi
dividido em grupos com o mesmo número de integrantes, sendo esse
número o maior possível, sem deixar nenhum detento de fora e sem
misturar os detentos dos dois setores. Dessa forma, foram formados
Resolução – Questão 02
Questão 03
Um paciente recebe 3 medicamentos, todos os dias. O primeiro, de 4
em 4 horas, o segundo, de 8 em 8 horas, e o terceiro, a cada 10 horas.
Ele recebeu os medicamentos juntos às 7 horas do dia 27 de julho de
2020. Receberá os 3 medicamentos juntos, novamente, no mês de
julho de 2020, dia.
Resolução – Questão 03
Questão 04
Entre os números 5.028, 1.331, 3.375, 2.744 e 4.096, assinale a
alternativa que apresenta aquele que não foi obtido a partir da mesma
relação matemática que os demais.
Resolução – Questão 04
Potência
• 𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 ×⋯× 𝑎 (n fatores)
• Exemplos:
• 82 =
•
5
2
2
=
• −
2
3
3
= Se o expoente é PAR -> o resultado é 
POSITIVO.
Se o expoente é ÍMPAR e a BASE é 
um número NEGATIVO -> o 
resultado é NEGATIVO.
Potência
• Propriedades:
• 𝑎1 = 𝑎
• 𝑎0 = 1, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 ≠ 0
• 00 é uma indeterminação 
matemática
• 𝑎−𝑛 =
1
𝑎
• Exemplos:
Potência
• Propriedades Operatórias
• 𝑥𝑎 × 𝑥𝑏 = 𝑥𝑎+𝑏
•
𝑥𝑎
𝑥𝑏
= 𝑥𝑎−𝑏, 𝑥 ≠ 0.
• 𝑥𝑚 𝑛 = 𝑥𝑚𝑛
Exercício 
Simplificando 
220+219
218
, encontramos:
a) 2.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 221.
Gabarito: Letra C.
Exercício 
Simplificando a expressão
3𝑛−1+3𝑛−2+3𝑛−3
3𝑛+2+3𝑛+1+3𝑛
, onde n pertence ao
conjuntos dos números inteiros, obtém-se o seguinte resultado.
a) 1/3.
b) 1/27.
c) 3.
d) 27.
e) 1/9.
Exercício 
Simplificando a expressão
3𝑛−1+3𝑛−2+3𝑛−3
3𝑛+2+3𝑛+1+3𝑛
, onde n pertence ao
conjuntos dos números inteiros, obtém-se o seguinte resultado.
a) 1/3.
b) 1/27.
c) 3.
d) 27.
e) 1/9.
Gabarito: Letra B.
Radiciação
• Se 𝑎 é um número não-negativo
(𝑎 ≥ 0) e 𝑛 é um número natural
maior que 1, então a raiz
enésima de 𝑎 é um número 𝑏
não-negativo (𝑏 ≥ 0) tal que 𝑏𝑛 =
𝑎.
• 𝑛 𝑎 = 𝑏
• n é o índice
• a é o radicando
• b é a raiz
• Exemplos:
• 9 = 3
•
5
32 = 2
•
6
0 = 0
Radiciação
• Propriedades dos Radicais
• Considere 𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ 0, 𝑛 ∈ ℕ, 𝑒 𝑛 > 1,𝑚 ∈ ℤ.
• 𝑛 𝑎 ×
𝑛
𝑏 =
𝑛
𝑎 × 𝑏
•
𝑛 𝑎
𝑛
𝑏
=
𝑛 𝑎
𝑏
, sendo 𝑏 ≠ 0.
• 𝑛 𝑎 𝑚 =
𝑛
𝑎𝑚 = 𝑎
𝑚
𝑛
•
𝑚 𝑛 𝑎 = 𝑚𝑛 𝑎
Radiciação
• Exemplos
• Qual o valor de 3 × 12 − 2 27 + 3 75 ?
Radiciação
• Simplificação
• 28
• 300
• 3
1
2
• 5
2
3
Radiciação 
• Quanto é 87?
• Método de Newton-Raphson
𝑎 ≈
𝑎 + 𝑥2
2𝑥
onde, 𝑥2 é o quadrado perfeito mais próximo de a.
Radiciação
• Quanto é a 87?
Radiciação
• Quanto é a 67? • Quanto é a 129,4?
Referências
• NEVES, G., Raciocínio Lógico e Matemática. Estratégia Concursos,
2020.
• BARRETO, J. M. et al. Fundamentos da Matemática Aplicada à
Informática. Florianópolis, 1998.