Aula 2 (26-08-2021) PTV Corpos Deformáveis

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Profª Lucia Helena G. Cardoso
Profª Lucia Helena G. Cardoso
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n
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 G
. C
a
rd
o
so
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
“Para uma estrutura deformável em equilíbrio, a soma
dos trabalhos virtuais externos é igual ao trabalho
virtual interno, realizado pelos esforços solicitantes
internos na deformação dos elementos da estrutura.”
෍𝝎′𝒗 = 𝑼
Trabalho virtual 
externo
Trabalho virtual 
interno 
P
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a
 G
. C
a
rd
o
so
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
Princípio dos esforços virtuais
O trabalho interno é calculado como: 
U = ׬ ഥ𝑵.𝒅𝒖 + ׬ ഥ𝑴.𝒅𝜽 ׬+ ഥ𝑸.𝒅𝒉 ׬+ ഥ𝑻. 𝒅Ф
Esforço 
Normal
virtual Esforço 
Fletor
virtual
Esforço 
Cisalhante
virtual
Esforço 
Torsor
virtual
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 G
. C
a
rd
o
so
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
U = ׬ ഥ𝑵. 𝒅𝒖 + ׬ ഥ𝑴.𝒅𝜽 ׬+ ഥ𝑸. 𝒅𝒉 ׬+ ഥ𝑻. 𝒅Ф
Deslocamento 
no eixo da barra Deslocamento 
relativo entre as 
ST na direção ⊥ 
ao eixo da barra
Rotação relativa 
entre as ST no 
plano da barra
Rotação 
relativa entre 
as ST em 
torno do eixo 
da barra
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. C
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Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
As cargas externas produzem tensões, representadas pelos esforços solicitantes
reais N, M, Q, T e deformações reais du, dθ, dh e dФ, relacionadas entre si por:
𝑑∅ =
𝑇
𝐺𝐽
𝑑𝑥
𝑑𝑢 =
𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥
𝑑𝜃 =
𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝑑ℎ = 𝑓𝑠
𝑄
𝐺𝐴
𝑑𝑥
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a
 G
. C
a
rd
o
so
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
Onde: E → Módulo de elasticidade longitudinal
G → Módulo de elasticidade transversal
A → Área da seção transversal (ST)
I → Momento de inércia da ST
J → Momento polar de inércia
fs → Fator de forma para cisalhamento
𝑑∅ =
𝑇
𝐺𝐽
𝑑𝑥𝑑𝑢 =
𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 𝑑𝜃 =
𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 𝑑ℎ = 𝑓𝑠
𝑄
𝐺𝐴
𝑑𝑥
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
fs tem como objetivo adequar a variação da tensão de cisalhamento ao 
longo da ST. Para ST usual, temos os seguintes valores:
Retangular → fs = 1,2; Circular cheia → fs = 1,11; 
Circular vazada com parede fina → fs = 2 
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. C
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Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
As grandezas presentes nos denominadores, recebem as seguintes
nomenclaturas:
EA → Módulo de rigidez à deformação axial
EI → Módulo de rigidez à flexão
GA → Módulo de rigidez ao cisalhamento
GJ → Módulo de rigidez à torção
𝑑∅ =
𝑇
𝐺𝐽
𝑑𝑥𝑑𝑢 =
𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 𝑑𝜃 =
𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 𝑑ℎ = 𝑓𝑠
𝑄
𝐺𝐴
𝑑𝑥
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
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. C
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Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
Sabendo que:
𝑑∅ =
𝑇
𝐺𝐽
𝑑𝑥
𝑑𝑢 =
𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 𝑑𝜃 =
𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝑑ℎ = 𝑓𝑠
𝑄
𝐺𝐴
𝑑𝑥
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
෍𝝎′𝒗 = 𝑼 𝝎′𝒗 = ഥ𝑷.d
U = ׬ ഥ𝑵. 𝒅𝒖 + ׬ ഥ𝑴.𝒅𝜽 ׬+ ഥ𝑸. 𝒅𝒉 ׬+ ഥ𝑻. 𝒅Ф
logo: ത𝑃.d =U d =
1
ത𝑃
. 𝑈ou mas temos que
Substituindo: d=
1
ത𝑃
׬
𝑵.ഥ𝑵
𝑬𝑨
𝒅𝒙 + ׬
𝑴. ഥ𝑴
𝑬𝑰
𝒅𝒙 𝒇𝒔׬+
𝑸.ഥ𝑸
𝑮𝑨
𝒅𝒙 ׬+
𝑻.ഥ𝑻
𝑮𝑱
𝒅𝒙
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. C
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Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
O MCU é uma particularização do PTV para esforços virtuais,
na qual se considera o esforço virtual valendo 1. É conhecido
também como Método do Trabalho Virtual, Método da Carga
Substituta e Método Maxwell Mohr.
d=
1
ത𝑃
׬
𝑵.ഥ𝑵
𝑬𝑨
𝒅𝒙 + ׬
𝑴. ഥ𝑴
𝑬𝑰
𝒅𝒙 𝒇𝒔׬+
𝑸.ഥ𝑸
𝑮𝑨
𝒅𝒙 ׬+
𝑻.ഥ𝑻
𝑮𝑱
𝒅𝒙
Método da Carga Unitária - MCU
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. C
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Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
• A carga unitária virtual deve corresponder ao deslocamento
procurado;
• Para um deslocamento linear, aplica-se uma força unitária na direção
e sentido do deslocamento;
• Para um deslocamento angular, aplica-se um momento unitário no
mesmo sentido da rotação.
Método da Carga Unitária - MCU
Se d=
1
ത𝑃
׬
𝑵.ഥ𝑵
𝑬𝑨
𝒅𝒙 + ׬
𝑴. ഥ𝑴
𝑬𝑰
𝒅𝒙 𝒇𝒔׬+
𝑸.ഥ𝑸
𝑮𝑨
𝒅𝒙 ׬+
𝑻.ഥ𝑻
𝑮𝑱
𝒅𝒙 e ത𝑃 = 1, temos:
d= ׬
𝑵.ഥ𝑵
𝑬𝑨
𝒅𝒙 + ׬
𝑴. ഥ𝑴
𝑬𝑰
𝒅𝒙 𝒇𝒔׬+
𝑸.ഥ𝑸
𝑮𝑨
𝒅𝒙 ׬+
𝑻.ഥ𝑻
𝑮𝑱
𝒅𝒙
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. C
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PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
Ex. 1) Calcule o deslocamento vertical do ponto B da estrutura,
desprezando-se o efeito das deformações devidas ao esforço cortante.
Dado EI = 2.105 kN.m2
Estruturas Submetidas a Carregamentos Externos
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
Resolvendo:
- Sistema Real
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o
so
- Entre I e II: Direita 
x
𝑀 𝑥 = −50𝑥 − 25𝑥.
𝑥
2
∀ 3 > 𝑥 > 0
𝑀 0 = −50.0 − 12,5. 02 = 0I II
𝑀 𝑥 = −50𝑥 − 12,5𝑥2
𝑀 3 = −50.3 − 12,5. 32
𝑀(3) = −262,5 𝑘𝑁.𝑚
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
- Sistema Virtual
Aplica-se à estrutura uma força virtual unitária vertical para baixo,
correspondente ao deslocamento procurado em B.
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I II 
DMF
- Entre I e II: Direita 
ഥ𝑀 𝑥 = −1𝑥
∀ 3 > 𝑥 > 0
ഥ𝑀 0 = 0
ഥ𝑀 3 = −3 𝑘𝑁.𝑚
x
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
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. C
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so
Sistema VirtualSistema Real
I II I II 
𝑀 𝑥 = −50𝑥 − 12,5𝑥2 ഥ𝑀 𝑥 = −𝑥
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
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. C
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so
d= ׬
𝑀. ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥
Aplicando PTV:
onde e
d=
1
𝐸𝐼
0׬
3
𝑀. ഥ𝑀𝑑𝑥 Substituindo:
d=
1
2.105
0׬ .
3
(−50𝑥 − 12,5𝑥2). −𝑥 𝑑𝑥
d= ׬
𝑵.ഥ𝑵
𝑬𝑨
𝒅𝒙 + ׬
𝑴. ഥ𝑴
𝑬𝑰
𝒅𝒙 𝒇𝒔׬+
𝑸.ഥ𝑸
𝑮𝑨
𝒅𝒙 ׬+
𝑻.ഥ𝑻
𝑮𝑱
𝒅𝒙
Esforços normal e torsor inexistentes; esforço cisalhante desprezado, logo:
𝑀 𝑥 = −50𝑥 − 12,5𝑥2 ഥ𝑀 𝑥 = −𝑥
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
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Resolvendo:
d= 5. 10−6. 50.
𝑥
3
3
+ 12,5.
𝑥
4
4
0
3
d = 3,52 mm
Estrutura Resolvida:
d=
1
2.105
0׬ .
3
(−50𝑥 − 12,5𝑥2). −𝑥 𝑑𝑥
d= 5. 0׬ .10−6
3
(50𝑥2 + 12,5𝑥3) 𝑑𝑥
d= 5. 10−6. 50.
3
3
3
+ 12,5.
3
4
4
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 G
. C
a
rd
o
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PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
Ex. 2) Para a mesma estrutura do exemplo 1, calcule o deslocamento
angular do ponto B, desprezando-se o efeito das deformações devidas
ao esforço cortante. Dado EI = 2.105 kN.m2
Estruturas Submetidas a Carregamentos Externos
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
Resolvendo:
- Sistema Real
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- Entre I e II: Direita 
x
∀ 3 > 𝑥 > 0
I II
𝑀 𝑥 = −50𝑥 − 12,5𝑥2
Como a estrutura e o
carregamento são os
mesmos do exemplo
1, o sistema real
permanece igual
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
- Sistema Virtual
Como o deslocamento procurado é uma rotação em B, a carga virtual
aplicada deve corresponder a um momento unitário neste ponto.
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I II 
DMF
- Entre I e II: Direita 
ഥ𝑀 𝑥 = −1
∀ 3 > 𝑥 > 0
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
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Sistema VirtualSistema Real
I II
𝑀 𝑥 = −50𝑥 − 12,5𝑥2 ഥ𝑀 𝑥 = −1
I II 
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
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θ= ׬
𝑀. ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥
Aplicando PTV:
onde e
θ=
1
𝐸𝐼
0׬
3
𝑀. ഥ𝑀𝑑𝑥 Substituindo:
θ=
1
2.105
0׬ .
3
(−50𝑥 − 12,5𝑥2). −1 𝑑𝑥
d= ׬
𝑵.ഥ𝑵
𝑬𝑨
𝒅𝒙 + ׬
𝑴. ഥ𝑴
𝑬𝑰
𝒅𝒙 𝒇𝒔׬+
𝑸.ഥ𝑸
𝑮𝑨
𝒅𝒙 ׬+
𝑻.ഥ𝑻
𝑮𝑱
𝒅𝒙
Esforços normal e torsor inexistentes; esforço cisalhante desprezado, logo:
𝑀 𝑥 = −50𝑥 − 12,5𝑥2 ഥ𝑀 𝑥 = −1
PTV Aplicado à CorposDeformáveis
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Resolvendo:
θ = 5. 10−6. 50.
𝑥
2
2
+ 12,5.
𝑥
3
3
0
3
θ = 1,69.10-3 rad
Estrutura Resolvida:
θ=
1
2.105
0׬ .
3
(−50𝑥 − 12,5𝑥2). −1 𝑑𝑥
θ = 5. 0׬ .10−6
3
(50𝑥 + 12,5𝑥2) 𝑑𝑥
θ = 5. 10−6. 50.
3
2
2
+ 12,5.
3
3
3
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Princípio dos Trabalhos Virtuais
PTV
Corpos Rígidos
෍𝝎𝒗 = 𝟎
𝝎𝒗 = F. ഥ𝜹
Deslocamento Virtual
Corpos Deformáveis
෍𝝎′𝒗 = 𝑼
𝝎′𝒗 = ഥ𝑷.d
Esforço Virtual
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FIM