Aula 3 (02-09-2021) PTV Corpos Deformáveis - Exercícios

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Profª Lucia Helena G. Cardoso
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e
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n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Princípio dos Trabalhos Virtuais
PTV
Corpos Rígidos
෍𝝎𝒗 = 𝟎
𝝎𝒗 = F. ഥ𝜹
Deslocamento Virtual
Corpos Deformáveis
෍𝝎′𝒗 = 𝑼
𝝎′𝒗 = ഥ𝑷.d
Esforço Virtual
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L
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e
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n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
Método da Carga Unitária - MCU
d= ׬
𝑵.ഥ𝑵
𝑬𝑨
𝒅𝒙 + ׬
𝑴. ഥ𝑴
𝑬𝑰
𝒅𝒙 𝒇𝒔׬+
𝑸.ഥ𝑸
𝑮𝑨
𝒅𝒙 ׬+
𝑻.ഥ𝑻
𝑮𝑱
𝒅𝒙
• A carga unitária virtual deve corresponder ao deslocamento
procurado;
• Para um deslocamento linear, aplica-se uma força unitária na direção
e sentido do deslocamento;
• Para um deslocamento angular, aplica-se um momento unitário no
mesmo sentido da rotação.
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n
a
 G
. C
a
rd
o
so
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
Ex. 1) Calcule o deslocamento vertical do ponto C da viga a seguir,
desprezando o efeito devido ao esforço cisalhante.
Dado EI = 2.105 kN.m2
Estruturas Submetidas a Carregamentos Externos
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
Resolvendo:
- Sistema Real
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 G
. C
a
rd
o
so
- Entre I e II: Esquerda 
x 𝑀 𝑥 = 50𝑥 − 20𝑥.
𝑥
2
∀ 0 < 𝑥 < 5
𝑀𝑚𝑥 =
𝑞𝑙2
8
=
20.52
8
= 62,5 𝑘𝑁.𝑚
I II
𝑀 𝑥 = 50𝑥 − 10𝑥2
𝑀 0 =0 𝑀(5) = 0
Resolvendo:
- Sistema Virtual
Reações
MR = 0 em A:
(5.VB) – (1.1,5) = 0
VB = 0,3 kN
FR = 0
VA -1 + 0,3 = 0
VA = 0,7 kN
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
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 G
. C
a
rd
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VA VB
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
- Sistema Virtual
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a
 G
. C
a
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o
so
I II III 
DMF
- Entre I e II: Esquerda 
ഥ𝑀 𝑥 = 0,7𝑥
∀ 0 < 𝑥 < 1,5
ഥ𝑀 1,5 = 1,1 kN.m
ഥ𝑀 0 = 0
x
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
- Sistema Virtual
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 G
. C
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I II III 
DMF
- Entre II e III: Direita 
ഥ𝑀 𝑥 = 0,3𝑥
∀ 3,5 > 𝑥 > 0
ഥ𝑀 3,5 ≅ 1,1 kN.m
ഥ𝑀 0 = 0
x
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
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 G
. C
a
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so
Sistema VirtualSistema Real
I II I II III 𝑀 𝑥 = 50𝑥 − 10𝑥
2 ഥ𝑀 𝑥 = 0,3𝑥
ഥ𝑀 𝑥 = 0,7𝑥
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
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 G
. C
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so
d= ׬
𝑀. ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥
Aplicando PTV:
onde
e
Substituindo:
d=
1
2.105
0׬ .
1,5
(50𝑥 − 10𝑥2). 0,7𝑥 𝑑𝑥 + 0׬
3,5
(50𝑥 − 10𝑥2). 0,3𝑥 𝑑𝑥
d= ׬
𝑵.ഥ𝑵
𝑬𝑨
𝒅𝒙 + ׬
𝑴. ഥ𝑴
𝑬𝑰
𝒅𝒙 𝒇𝒔׬+
𝑸.ഥ𝑸
𝑮𝑨
𝒅𝒙 ׬+
𝑻.ഥ𝑻
𝑮𝑱
𝒅𝒙
𝑀 𝑥 = 50𝑥 − 10𝑥2 ∀ 0 < 𝑥 < 5
ഥ𝑀 𝑥 = 0,3𝑥ഥ𝑀 𝑥 = 0,7𝑥 ∀ 0 < 𝑥 < 1,5 ∀ 3,5 > 𝑥 > 0
Esforços normal e torsor inexistentes e deformação cisalhante desprezada,
logo:
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
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. C
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Resolvendo:
d = 0,662 mm
Estrutura Resolvida:
d= 5. 10−6. 35.
𝑥
3
3
− 7.
𝑥
4
4
0
1,5
+ 15.
𝑥
3
3
− 3.
𝑥
4
4
0
3,5
d=
1
2.105
. ׬
0
1,5
(50𝑥 − 10𝑥2). 0,7𝑥 𝑑𝑥 + ׬
0
3,5
(50𝑥 − 10𝑥2). 0,3𝑥 𝑑𝑥
d= 5. 10−6 ׬
0
1,5
(35𝑥2 − 7𝑥3) 𝑑𝑥 + ׬
0
3,5
(15𝑥2 − 3𝑥3) 𝑑𝑥
P
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n
a
 G
. C
a
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PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
Ex. 2) Calcule o deslocamento horizontal do nó D no pórtico de aço a
seguir, de ST retangular, desprezando a influência da deformação
devido ao efeito cisalhante.
Dados:
E = 205 GPa
I = 9,76.10-4 m4
A = 0,2 m2
Estruturas Submetidas a Carregamentos Externos
𝑉𝐴 𝑉𝐷
𝐻𝐴
A
B C
D
d= ׬
𝑵.ഥ𝑵
𝑬𝑨
𝒅𝒙 + ׬
𝑴. ഥ𝑴
𝑬𝑰
𝒅𝒙 𝒇𝒔׬+
𝑸.ഥ𝑸
𝑮𝑨
𝒅𝒙 ׬+
𝑻.ഥ𝑻
𝑮𝑱
𝒅𝒙
P
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n
a
 G
. C
a
rd
o
so
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
MR = 0 em A: MVA = MHA=0
(5.VD) – (50.3) = 0
VD = 30 kN
FR = 0:
Em x: 𝑯𝑨 = 50 kN
Em y: 𝑉𝐴 + 30 = 0
VA = - 30 kN
- Sistema Real: Reações
30𝑘𝑁
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
- Sistema Real: Subestruturação
P
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n
a
 G
. C
a
rd
o
so
30𝑘𝑁 150𝑘𝑁𝑚
150𝑘𝑁𝑚
30𝑘𝑁 30𝑘𝑁
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
- Sistema Real: Efeito Fletor
P
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 G
. C
a
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o
so
- Barra 1: Esquerda 
x
𝑀1 𝑥 = 50𝑥 ∀ 0 < 𝑥 < 3
x
x
1
2
3
- Barra 2: Esquerda 
𝑀2 𝑥 = 150 − 30𝑥
∀ 0 < 𝑥 < 5
- Barra 3:
𝑀3 𝑥 = 0
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
- Sistema Real: Efeito Normal
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a
 G
. C
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o
so - Barra 1: Esquerda 
𝑁1 𝑥 = 30 𝑘𝑁 ∀ 0 < 𝑥 < 3
1
2
3
- Barra 2: Esquerda 
∀ 0 < 𝑥 < 5
- Barra 3: Esquerda 
𝑁3 𝑥 = −30 𝑘𝑁
𝑁2 𝑥 = 0 𝑘𝑁
∀ 0 < 𝑥 < 3
P
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a
 G
. C
a
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o
so
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
- Reações: 
MR = 0 em A: MVA = MHA= M1 = 0
(5.VD) = 0 ∴ VD = 0
FR = 0:
Em x: 𝑯𝑨 = 1 kN
Em y: 𝑽𝑨 = 0
- Sistema Virtual:
𝑉𝐴 𝑉𝐷
𝐻𝐴
A
B C
D
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
- Sistema Virtual: Subestruturação
P
ro
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n
a
 G
. C
a
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o
so
1𝑘𝑁 3 𝑘𝑁𝑚
3 𝑘𝑁𝑚
1𝑘𝑁
1𝑘𝑁
1𝑘𝑁
3 𝑘𝑁𝑚
3 𝑘𝑁𝑚
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
- Sistema Virtual: Efeito Fletor
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
- Barra 1: Esquerda 
x
ഥ𝑀1 𝑥 = 1𝑥 ∀ 0 < 𝑥 < 3
x
x
1
2
3
- Barra 2: Esquerda 
ഥ𝑀2 𝑥 = 3 𝑘𝑁𝑚 ∀ 0 < 𝑥 < 5
- Barra 3: Esquerda
ഥ𝑀3 𝑥 = −1𝑥
∀ 0 < 𝑥 < 3
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
- Sistema Virtual: Efeito Normal
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n
a
 G
. C
a
rd
o
so
- Barra 1: Esquerda 
ഥ𝑁1 𝑥 = 0 ∀ 0 < 𝑥 < 3
- Barra 2: Esquerda 
∀ 0 < 𝑥 < 5
- Barra 3: Esquerda 
ഥ𝑁3 𝑥 = 0
ഥ𝑁2 𝑥 = 1 𝑘𝑁
∀ 0 < 𝑥 < 3
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
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a
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. C
a
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so
Sistema VirtualEsforço Fletor: Sistema Real
1
2
3
ഥ𝑀1 𝑥 = 1𝑥
∀ 0 < 𝑥 < 3
ഥ𝑀2 𝑥 = 3 𝑘𝑁𝑚 ∀ 0 < 𝑥 < 5
ഥ𝑀3 𝑥 = −1𝑥
∀ 0 < 𝑥 < 3
1
2
3
𝑀1 𝑥 = 50𝑥 ∀ 0 < 𝑥 < 3
𝑀2 𝑥 = 150 − 30𝑥 ∀ 0 < 𝑥 < 5
𝑀3 𝑥 = 0 ∀ 0 < 𝑥 < 3
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
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. C
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Sistema VirtualEsforço Normal: Sistema Real
1
2
3
∀ 0 < 𝑥 < 3
∀ 0 < 𝑥 < 5
∀ 0 < 𝑥 < 3
1
2
3
∀ 0 < 𝑥 < 3
∀ 0 < 𝑥 < 5
∀ 0 < 𝑥 < 3
ഥ𝑁1 𝑥 = 0
ഥ𝑁3 𝑥 = 0
ഥ𝑁2 𝑥 = 1 𝑘𝑁
𝑁1 𝑥 = 30 𝑘𝑁
𝑁3 𝑥 = −30 𝑘𝑁
𝑁2 𝑥 = 0 𝑘𝑁
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
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e
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n
a
 G
. C
a
rd
o
so
d= ׬
𝑁. ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + ׬
𝑀. ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥
Aplicando PTV:
Contribuição Normal:
d= ׬
𝑵.ഥ𝑵
𝑬𝑨
𝒅𝒙 + ׬
𝑴. ഥ𝑴
𝑬𝑰
𝒅𝒙 𝒇𝒔׬+
𝑸.ഥ𝑸
𝑮𝑨
𝒅𝒙 ׬+
𝑻.ഥ𝑻
𝑮𝑱
𝒅𝒙
Esforço torsor inexistente e deformação cisalhante desprezada, logo:
න
𝑀. ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
න
0
3
𝑀1 ഥ𝑀1𝑑𝑥 + න
0
5
𝑀2 ഥ𝑀2𝑑𝑥 +න
0
3
𝑀3 ഥ𝑀3𝑑𝑥
Contribuição Fletora:
න
𝑁. ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐴
න
0
3
𝑁1 ഥ𝑁1𝑑𝑥 + න
0
5
𝑁2 ഥ𝑁2𝑑𝑥 + න
0
3
𝑁3 ഥ𝑁3𝑑𝑥
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
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so
- Cálculo da Contribuição Normal
න
𝑁. ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐴
න
0
3
𝑁1 ഥ𝑁1𝑑𝑥 + න
0
5
𝑁2 ഥ𝑁2𝑑𝑥 + න
0
3
𝑁3 ഥ𝑁3𝑑𝑥
onde:
ഥ𝑁1 𝑥 = 0
𝑁1 𝑥 = 30 𝑘𝑁
∀ 0 < 𝑥 < 5∀ 0 < 𝑥 < 3
ഥ𝑁3 𝑥 = 0
ഥ𝑁2 𝑥 = 1 𝑘𝑁
𝑁3 𝑥 = −30 𝑘𝑁𝑁2 𝑥 = 0 𝑘𝑁
∀ 0 < 𝑥 < 3
logo: න
𝑁. ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 = 0
Barra 1 Barra 2 Barra 3
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
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- Cálculo da Contribuição Fletora
onde:
∀ 0 < 𝑥 < 5∀ 0 < 𝑥 < 3 ∀ 0 < 𝑥 < 3
Barra 1 Barra 2 Barra 3
න
𝑀. ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
න
0
3
𝑀1 ഥ𝑀1𝑑𝑥 + න
0
5
𝑀2 ഥ𝑀2𝑑𝑥 +න
0
3
𝑀3 ഥ𝑀3𝑑𝑥
ഥ𝑀1 𝑥 = 1𝑥 ഥ𝑀2 𝑥 = 3 𝑘𝑁𝑚 ഥ𝑀3 𝑥 = −1𝑥
𝑀1 𝑥 = 50𝑥 𝑀2 𝑥 = 150 − 30𝑥 𝑀3 𝑥 = 0
Substituindo:
𝑑 =
1
(205.106).(9,76.10−4)
0׬ .
3
(50𝑥). 𝑥 𝑑𝑥 + 0׬
5
(150 − 30𝑥). 3 𝑑𝑥
Dados do enunciado: E = 205 GPa e I =9,76.10-4 m4
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
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 H
e
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n
a
 G
. C
a
rd
o
so
- Resolvendo
𝑑 =
1
(205.106).(9,76.10−4)
0׬ .
3
(50𝑥). 𝑥 𝑑𝑥 + 0׬
5
(150 − 30𝑥). 3 𝑑𝑥
𝑑 = 5. 0׬ .10−6
3
50𝑥2 𝑑𝑥 + 0׬
5
(450 − 90𝑥) 𝑑𝑥
𝑑 = 5. 10−6. 50.
𝑥
3
3
0
3
+ 450𝑥 − 90.
𝑥
2
2
0
5
𝑑 = 5. 10−6(450 + 2250 − 1125)
𝑑 = 7,88 mm
PTV Aplicado à Corpos Deformáveis
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n
a
 G
. C
a
rd
o
so
- Estrutura Calculada
Dados:
E = 205 GPa
I = 9,76.10-4 m4
A = 0,2 m2
ʋ= 0,30 (aço)
b = 0,826 m
h = 0,242 m
Profª Lucia Helena G. Cardoso
P
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ci
a
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
FIM