Ribeiro - Apostila Método da Rigidez Direta

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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS 
 
PROFESSOR: GABRIEL DE OLIVEIRA RIBEIRO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Método da Rigidez Direta 
 
 
 
 
 
 
 
 
BELO HORIZONTE 
2017 
1. REPRESENTAÇÃO DOS CARREGAMENTOS COMO CARGAS NODAIS 
 
O método da rigidez direta consiste na utilização de um número finito de graus de liberdade 
para a representação adequada do comportamento da estrutura contínua. A concepção da 
discretização pelo método pode ser explicada com o auxílio do exemplo da figura 1. 
 
qP
A
B
D
C
 
Figura 1 – Pórtico plano submetido a uma carga concentrada e a um carregamento 
distribuído 
 
A solicitação do pórtico contínuo da figura 1 é decomposta em dois casos de carregamento: 
caso I e caso II. 
 
 
 
q
MB
VB
MC
VC
q
MB VB MCVC
P
P
HB HC
HB HC
 
Figura 2 – Caso I: Estrutura bloqueada com cargas externas na barra 
 
Os casos I e II podem ser definidos da seguinte maneira: 
 
Caso I: Estrutura submetida à carga uniformemente distribuída e à carga concentrada na 
barra , em conjunto com as reações de engastamento perfeito do elemento de barra 
carregado, atuando nas suas extremidades. O caso I é mostrado através da figura 2. 
 
Caso II: Estrutura submetida a forças e momentos que correspondem às reações de 
engastamento perfeito do caso I, aplicados com sentidos invertidos nos nós das 
extremidades do elemento de barra carregado. 
 
A figura 3 mostra as reações de engastamento perfeito do caso I (figura 2), aplicados com 
sentidos invertidos nos nós das extremidades do elemento de barras carregado (barra ), 
ou seja, esta figura mostra o caso II. 
MB
VB
MC
VC
HB HC
 
Figura 3 – Caso II: Estrutura submetida às reações nodais em B e C com sentidos 
invertidos 
 
qP
 
Figura 4 – Caso I+II: Superposição do caso I com o caso II 
 
Neste caso, o comportamento real da estrutura é representado pela superposição do caso I e 
caso II, ou seja: Caso I+II. Este último caso (caso I+II) é mostrado através da figura 4. 
Deste modo, com a superposição dos efeitos dos casos I e II, tem-se: 
 
1. A superposição dos casos I e II resulta na estrutura dada com o carregamento 
original. 
 
2. Os deslocamentos e rotações nodais do caso II são iguais aos provocados pelo 
carregamento original, haja visto que são nulos no caso I. 
 
3. A elástica final nos elementos de barra descarregados (barra e ) corresponde 
à elástica do caso II, uma vez que esses elementos não tem deformação no caso I. 
 
4. A elástica final no elemento de barra carregado (barra ) é obtida pela soma dos 
deslocamentos do caso I, que são deslocamentos para o elemento engastado 
perfeitamente em suas extremidades, com os deslocamentos do caso II. 
 
5. Os esforços internos finais nos elementos de barra descarregados (barra e ) 
correspondem aos esforços internos obtidos pela análise do caso II, pois esses 
elementos não têm esforços internos no caso I. 
 
6. Os esforços internos finais no elemento de barra carregado (barra ) são obtidos 
pela soma dos esforços de engastamento perfeito do caso I com os esforços 
provenientes da análise do caso II. 
 
7. As reações de apoio finais são iguais às reações de apoio obtidas na análise do caso 
II, pois o caso I não têm reações de apoio. 
 
Ou seja, observa-se que o comportamento final da estrutura é praticamente igual ao 
comportamento global do caso II, a menos dos efeitos locais de engastamento do trecho 
carregado (barra ). Em essência, o caso II corresponde ao comportamento global 
discretizado da estrutura. Desta forma, o método da rigidez direta utiliza unicamente o caso 
II para a realização da análise estrutural. 
 
Para se chegar ao caso II basta considerar as cargas equivalentes nodais devido aos 
carregamentos presentes no interior das barras. As cargas equivalentes nodais são definidas 
da seguinte maneira: 
 
Cargas equivalentes nodais: São as cargas que atuam no caso II provenientes das reações 
de engastamento perfeito do elemento de barra carregado no caso I, com sentidos 
invertidos. 
 
Para demonstrar o processo de obtenção destas cargas (cargas equivalentes nodais), 
considera-se como primeiro exemplo o pórtico plano mostrado através da figura 5. Este 
pórtico é composto por 3 barras e 4 nós como indicado através desta figura. 
 
30 kN
10 kN
20 kN
24 kNm
12 kN/m
8,0 m
4,0 m 4,0 m
4,0 m1
3
2
1
3 4
2X
Y
 
Figura 5 - Pórtico plano composto por 3 barras e 4 nós 
 
O pórtico da figura 5 possui cargas nodais propriamente ditas, que são cargas aplicadas 
diretamente aos nós, e mais dois carregamentos aplicados no interior das barras 1 e 3, ou 
seja, um carregamento distribuído de aplicado ao longo da barra 1 e uma carga 
concentrada de aplicada no interior da barra 3. Os valores destes carregamentos 
estão indicados por uma elipse na figura 5. 
 
Para a aplicação do método da rigidez direta, inicialmente obtêm-se o caso I para o 
carregamento distribuído e para a carga concentrada presentes no pórtico da figura 5. Deste 
modo, o caso I para este pórtico é mostrado através da figura 6. 
 
24 kN
16 kNm
30 kNm
15 kN
14 kNm
15 kN
24 kN
30 kN
12 kN/m
X
Y
 
Figura 6 – Caso I: Estrutura bloqueada com cargas externas na barra 
 
Os carregamentos presentes no caso I foram calculados através das seguintes expressões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (1) 
 (2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (3) 
 
 
 
 
 
 
 
 (4) 
 
 
 
 
 
 
 
 (5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(6) 
 (7) 
 
 
 
 
 
 
 
 (8) 
 
 
 
 
 
 
 
 (9) 
 
Através do caso I apresentado pela figura 6 encontram-se as cargas equivalentes nodais, ou 
seja, as forças e momentos atuantes no caso I com sentidos invertidos. Deste modo, as 
cargas equivalentes nodais são apresentadas através da figura 7. 
 
15 kN
24 kN
15 kN
24 kN
14 kNm
16 kNm
1
3 4
2
30 kNm
1 2
3
X
Y
 
Figura 7 - Cargas equivalentes nodais devido ao carregamento distribuído de 
 e devido à carga concentrada de 
 
Cargas nodais propriamente ditas: São cargas externas diretamente aplicadas aos nós da 
estrutura. As cargas nodais propriamente ditas são mostradas através da figura 8. 
10 kN
20 kN
24 kNm
1
3 4
2
1 2
3
X
Y
 
Figura 8 - Cargas nodais propriamente ditas 
 
Cargas nodais combinadas: São as cargas resultantes da superposição das cargas 
equivalentes nodais com as cargas nodais propriamente ditas. As cargas nodais combinadas 
são mostradas através da figura 9. 
 
25 kN
44 kN
15 kN
24 kN
14 kNm
1
3 4
2
 6 kNm
1 2
3
X
Y
16 kNm
 
Figura 9 - Cargas nodais combinadas 
 
 
 
Exemplo 2: A figura 10 mostra uma viga composta por duas barras e 3 nós. 
 
2
24 kN/m
36 kN
12 kNm
4,0 m 2,0 m 4,0 m
11
2 3 X
Y
 
Figura 10 - Viga composta por 2 barras e 3 nós 
 
As cargas nodais propriamente ditas, ou seja, as cargas externas aplicadas diretamente aos 
nós da estrutura, são apresentadas através da figura 11. 
 
2
12 kNm
1
1 2 3 X
Y
 
Figura 11 - Cargas nodais propriamente ditas 
 
Deste modo, o caso I para o carregamento distribuído de e para a carga 
concentrada de é mostrada através da figura 12. 
 
24 kN/m
48 kN 74,667 kN
32 kNm
36 kN
16 kNm
9,333 kN
X
Y
 
Figura 12 – Caso I: Estrutura bloqueada com cargas externas na barra 
 
Os carregamentos presentes no caso I foram calculados através das seguintes expressões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (11) 
 
 
 
 
 
 
 
 (12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (13) 
 
 
 
 
 (14) 
 
 
 
 
 (15) 
 
Baseando-se no caso I encontram-se as cargas equivalentes nodais, ou seja, as cargasdo 
caso I com sentidos invertidos. As cargas equivalentes nodais são mostradas através da 
figura 13. 
 
21
1 2 3
48 kN
32 kNm
9,333 kN
16 kNm
74,667 kN
X
Y
 
Figura 13 - Cargas equivalentes nodais 
 
E por fim, a figura 14 mostra as cargas nodais combinadas, ou seja, as cargas resultantes da 
superposição das cargas equivalentes nodais com as cargas nodais propriamente ditas. 
 
21
1 2 3
74,667 kN
32 kNm
9,333 kN
4 kNm
48 kN
X
Y
 
Figura 14 - Cargas nodais combinadas 
Exemplo 3: Pórtico plano com barra inclinada. 
 
Na figura 15 é apresentado um pórtico plano com a barra central inclinada. Este modelo 
estrutural possui um total de 3 barras e 4 nós. 
 
5 kN
35 kN
8,0 m
4,0 m
1
3
2
1
3
4
2
3,0 m
22 kNm
10 kN/m
0,124 rad
X
Y
 
Figura 15 - Pórtico plano com barra inclinada 
 
A figura 16 mostra o pórtico da figura 15 submetido apenas às cargas nodais propriamente 
ditas. 
 
5 kN
35 kN
1
3
2
1
3
4
2
22 kNm
0,124 rad
X
Y
 
Figura 16 - Cargas nodais propriamente ditas 
E a figura 17 mostra o caso I para o carregamento distribuído de aplicado à barra 
3. Nesta figura também é apresentado o sistema de referência local da barra 3 (eixos ). 
 
10 kN/m
54,167 kNm
54,167 kNm
40,311 kN
40,311 kN
X
Y
x
y
 
Figura 17 – Caso I para o carregamento distribuído de 
 
Os carregamentos presentes no caso I foram calculados através das seguintes expressões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (16) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (17) 
 (18) 
 
Estes carregamentos estão referenciados com relação ao sistema de referência local da barra 
3 (eixos ). 
 
A partir do caso I, mostrado através da figura 17, encontram-se as cargas equivalentes 
nodais. Estas cargas são apresentadas através da figura 18 e estão referenciadas, como no 
caso I, ao sistema de referência local da barra 3 (eixos ). 
 
40,311 kN 3
2
1
3
4
2
54,167 kNm
1
40,311 kN
0,124 rad
54,167 kNm
X
Y
x
y
 
Figura 18 - Cargas equivalentes nodais referenciadas ao sistema de referência local 
da barra 3 
 
Para a determinação das cargas nodais combinadas, todas as cargas devem estar 
referenciadas ao mesmo sistema de coordenadas. Logo, as cargas referenciadas ao sistema 
local da barra 3 (eixos ) são transformadas para o sistema de referência global (eixos 
 ). Os resultados são apresentados através da figura 19. 
 
3
2
1
3
4
2
54,167 kNm
1
0,124 rad
54,167 kNm
39,9997 kN
 5 kN
39,9997 kN
 5 kN
X
Y
x
y
 
Figura 19 - Cargas equivalentes nodais referenciadas ao sistema de referência global 
 da estrutura 
Deste modo, as cargas nodais combinadas são mostradas através da figura 20. 
 
2
1
3
4
2
32,167 kNm
1
54,167 kNm
44,9997 kN
40 kN
39,9997 kN
 5 kN
0,124 rad
X
Y
x
y
 
Figura 20 - Cargas nodais combinadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. SISTEMAS DE COORDENADAS GENERALIZADAS 
 
Durante a aplicação do método da rigidez direta realiza-se a soma de contribuições de 
coeficientes de rigidez locais das barras para compor os coeficientes de rigidez globais da 
estrutura. Entretanto, para poder efetuar a soma de coeficientes de rigidez locais de várias 
barras, é preciso que esses coeficientes estejam definidos no mesmo sistema de eixos. Para 
isso, definem-se as coordenadas generalizadas globais e locais. Para demonstrar a 
orientação destes eixos utiliza-se, inicialmente, o pórtico plano da figura 15. Deste modo, 
os sistemas de referências locais das 3 barras são apresentados através da figura 21. 
 
1
3
2
x
x
x
y
y
y
 
Figura 21 – Sistemas de referências locais nas barras 
 
Para tratar de forma genérica e arbitrária a transformação dos coeficientes de rigidez locais 
do sistema local de uma barra para o sistema global da estrutura, é conveniente definir 
sistemas de coordenadas generalizadas, que são usados para indicar as direções dos 
coeficientes de rigidez da barra ou da estrutura. Desta forma, coordenadas generalizadas 
são direções associadas aos graus de liberdade (ou deslocabilidades) de uma barra ou de 
uma estrutura. Deste modo, definem-se: 
 
Coordenadas generalizadas globais: São as direções utilizadas para definir os graus de 
liberdade globais da estrutura. Para o pórtico da figura 15 estas coordenadas são 
apresentadas através da figura 22. 
1
2
3
7
8
9
10
11
12
4
5
6X
Y
 
Figura 22 – Coordenadas generalizadas globais 
 
Coordenadas generalizadas locais (do elemento de barra): São as direções utilizadas para 
definir as deslocabilidades locais. Estas coordenadas generalizadas podem ser definidas no 
sistema local ou global, ou seja: 
 
 Coordenadas generalizadas locais no sistema global: Coordenadas generalizadas locais 
associadas às direções dos eixos globais (sistema de referência global ). Para o 
pórtico da figura 15 estas coordenadas são mostradas através da figura 23. 
 
 
 
 
 
1
2
3
4
5
6
4
5
6
1
2
3
1
2
3
4
5
6
X
Y
 
Figura 23 – Coordenadas generalizadas locais no sistema global 
 
 Coordenadas generalizadas locais nos sistemas locais: Coordenadas generalizadas 
locais associadas às direções dos eixos locais (sistema de referência local da barra). 
Para o pórtico da figura 15 estas coordenadas são mostradas através da figura 24. 
 
1'
2'
3'
4'
5'
6'
1'
2'
3'
4'
5'
6'
1'
2'
3'
4'
5'
6'
X
Y
 
Figura 24 – Coordenadas generalizadas locais nos sistemas locais 
 
Também são apresentadas as coordenadas generalizadas para a viga da figura 10. Deste 
modo, na figura 25 mostram-se os sistemas de referências locais das barras, na figura 26 
apresentam-se as coordenadas generalizadas globais, na figura 27 mostram-se as 
coordenadas generalizadas locais no sistema global e na figura 28 apresentam-se as 
coordenadas generalizadas locais nos sistemas locais, respectivamente. 
x
y y
x
1 2
Figura 25 – Sistemas de referências locais nas barras 
 
2
3
5
6
8
9
X
Y
 
Figura 26 – Coordenadas generalizadas globais 
 
2
3
2
3
5
6
5
6
a)
X
Y
 
Figura 27 – Coordenadas generalizadas locais no sistema global 
 
2'
3'
2'
3'
5'
6'
5'
6'
X
Y
 
Figura 28 – Coordenadas generalizadas locais nos sistemas locais 
 
Observa-se que, para este caso, as coordenadas generalizadas locais no sistema global 
coincidem com as coordenadas generalizadas locais nos sistemas locais. Ou seja, neste caso 
não é necessário projetar os coeficientes de rigidez locais no sistema global. 
 
 
 
3. MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL NO SISTEMA GLOBAL 
 
Para considerar a influência de uma barra na matriz de rigidez global, é preciso transformar 
as propriedades mecânicas da barra, que são definidas naturalmente pelos coeficientes de 
rigidez no seu sistema de eixos locais, para o sistema de coordenadas generalizadas globais. 
Para tanto, é preciso relacionar as deslocabilidades da barra no sistema local com as 
deslocabilidades no sistema global. A figura 29 mostra representações das deslocabilidades 
nos dois sistemas. 
 
X
Y
l
y
x
d2
d1
d' = d3 3
d4
d5
d' = d6 6
d'2
d'1
d'4d'5
 
Figura 29 - Representações das deslocabilidades nos sistemas globais e locais 
 
Através da figura 29, tem-se que: 
 
 
Deslocabilidades no sistema de 
referência global 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deslocabilidades no sistema de 
referência local 
 
Com base na figura 29, podem-se obter as deslocabilidades locais em função das globais, 
ou seja: 
 
 
 
 
(19) 
 
 
 
 
 
 
Deste modo, essas relações podem ser representadas de forma condensada no seguinte 
formato: 
 
 (20) 
 
sendo o vetor das deslocabilidades da barra no sistema local e a matriz de 
transformação por rotação queé dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (21) 
 
A matriz de transformação por rotação é ortogonal, isto é, sua inversa é igual à sua 
transposta, ou seja: . Por causa disso, podem-se obter as deslocabilidades no 
sistema global em função das deslocabilidades no sistema local a partir da transposta da 
matriz : 
 
 (22) 
 
As mesmas relações são válidas para as forças generalizadas da barra, ou seja: 
 
 (23) 
 (24) 
Para determinar a matriz de rigidez da barra no sistema global, parte-se da seguinte 
equação: 
 
 (25) 
 
Sendo a matriz de rigidez da barra no sistema local . Substituindo por e 
pré-multiplicando essa equação por , resulta: 
 
 (26) 
 
Ou seja, 
 
 (27) 
 
Com base na equação 27, chega-se à seguinte equação: 
 
 (28) 
 
Sendo a matriz de rigidez no sistema global . 
 
Para a determinação da matriz de transformação por rotação considere que seja o índice 
do nó inicial, e , o índice do nó final da barra, como mostrado através da figura 30. Deste 
modo, as coordenadas do nó inicial serão , e as do nó final serão . 
 
X
Y
i
j
X
Y
i
j
X
Y
i
j
X
Y
i
j
 
Figura 30 – Quatro orientações típicas de uma barra 
 
O ângulo é medido no sentido anti-horário (figura 30) no sentido do eixo global para o 
eixo local da barra. Portanto, o comprimento da barra será dado por: 
 
 
 
 
 
 
 (29) 
 
E, a partir das coordenadas , , e e do comprimento da barra determinam-se 
expressões para e , ou seja: 
 
 
 
 
 
 (30) 
 
 
 
 
 (31) 
 
 
3.1 MATRIZES DE RIGIDEZ PARA BARRAS DE ESTRUTURAS 
RETICULADAS PLANAS 
 
3.1.1 TRELIÇA PLANA 
 
A figura 31 apresenta a definição das deslocabilidades de uma barra de treliça plana nos 
sistemas local e global. 
 
 
Figura 31 – Deslocabilidades de barra de treliça plana 
 
A matriz de rigidez no sistema local de uma barra de treliça plana é dada por: 
 
 















0000
0101
0000
0101
L
EA
'k (32) 
 
E, a matriz de transformação será dada por: 
 
 















cs00
sc00
00cs
00sc
R (33) 
 
onde , e é o ângulo de inclinação da barra. Deste modo, a matriz de 
rigidez no sistema global da barra pode ser obtida a partir do seguinte produto: 
 
 













































cs00
sc00
00cs
00sc
0000
0101
0000
0101
L
EA
cs00
sc00
00cs
00sc
k (34) 
 
Resultando em: 
 
 



















22
22
22
22
scsscs
csccsc
scsscs
csccsc
L
EA
k (35) 
 
 
3.1.2 VIGA 
 
A figura 32 apresenta a definição das deslocabilidades de uma barra de viga nos sistemas 
local e global. 
 
 
Figura 32 – Deslocabilidades de barra de viga 
 
A matriz de rigidez de uma barra de viga é dada por: 
 
 

























L
EI4
L
EI6
L
EI2
L
EI6
L
EI6
L
EI12
L
EI6
L
EI12
L
EI2
L
EI6
L
EI4
L
EI6
L
EI6
L
EI12
L
EI6
L
EI12
'k
22
2323
22
2323
 (36) 
 
Como há a coincidência do sistema de coordenadas local da barra com o sistema global, a 
matriz de transformação é uma matriz identidade, ou seja: 
 
 













1000
0100
0010
0001
R (37) 
 
Portanto, a matriz de rigidez global é igual à matriz de rigidez local. 
 
 
3.1.3 PÓRTICO PLANO 
 
A figura 33 apresenta a definição das deslocabilidades de uma barra de pórtico plano nos 
sistemas local e global. 
 
Figura 33 – Deslocabilidades de Barra de Pórtico Plano 
 
Deste modo, a matriz de rigidez no sistema local de uma barra de pórtico plano é dada por: 
 
 





































L
EI4
L
EI6
0
L
EI2
L
EI6
0
L
EI6
L
EI12
0
L
EI6
L
EI12
0
00
L
EA
00
L
EA
L
EI2
L
EI6
0
L
EI4
L
EI6
0
L
EI6
L
EI12
0
L
EI6
L
EI12
0
00
L
EA
00
L
EA
'k
22
2323
22
2323
 (38) 
 
E, a matriz de transformação será dada por: 
 
 























100000
0cs000
0sc000
000100
0000cs
0000sc
R (39) 
 
onde , e é o ângulo de inclinação da barra. Deste modo, a matriz de 
rigidez no sistema global da barra pode ser obtida a partir do seguinte produto: 
 



















































































100000
0cs000
0sc000
000100
0000cs
0000sc
L
EI4
L
EI6
0
L
EI2
L
EI6
0
L
EI6
L
EI12
0
L
EI6
L
EI12
0
00
L
EA
00
L
EA
L
EI2
L
EI6
0
L
EI4
L
EI6
0
L
EI6
L
EI12
0
L
EI6
L
EI12
0
00
L
EA
00
L
EA
100000
0cs000
0sc000
000100
0000cs
0000sc
k
22
2323
22
2323
 
 (40) 
 
Resultando em: 
 

















































































































L
EI4
c
L
EI6
s
L
EI6
L
EI2
c
L
EI6
s
L
EI6
c
L
EI6
c
L
EI12
s
L
EA
cs
L
EI12
L
EA
c
L
EI6
c
L
EI12
s
L
EA
cs
L
EI12
L
EA
s
L
EI6
cs
L
EI12
L
EA
s
L
EI12
c
L
EA
s
L
EI6
cs
L
EI12
L
EA
s
L
EI12
c
L
EA
L
EI2
c
L
EI6
s
L
EI6
L
EI4
c
L
EI6
s
L
EI6
c
L
EI6
c
L
EI12
s
L
EA
cs
L
EI12
L
EA
c
L
EI6
c
L
EI12
s
L
EA
cs
L
EI12
L
EA
s
L
EI6
cs
L
EI12
L
EA
s
L
EI12
c
L
EA
s
L
EI6
cs
L
EI12
L
EA
s
L
EI12
c
L
EA
k
2222
2
2
3
2
32
2
3
2
3
23
2
3
2
23
2
3
2
2222
2
2
3
2
32
2
3
2
3
23
2
3
2
23
2
3
2
 
 (41) 
 
 
3.1.4 GRELHA 
 
A figura 34 apresenta a definição das deslocabilidades de uma barra de grelha nos sistemas 
local e global. 
 
 
Figura 34 – Deslocabilidades de Barra de Grelha 
 
Deste modo, a matriz de rigidez no sistema local de uma barra de grelha é dada por: 
 
 





































3232
22
3232
22
L
EI12
L
EI6
0
L
EI12
L
EI6
0
L
EI6
L
EI4
0
L
EI6
L
EI2
0
00
L
GJ
00
L
GJ
L
EI12
L
EI6
0
L
EI12
L
EI6
0
L
EI6
L
EI2
0
L
EI6
L
EI4
0
00
L
GJ
00
L
GJ
'k (42) 
 
E a matriz de transformação será dada por: 
 
 























100000
0cs000
0sc000
000100
0000cs
0000sc
R (43) 
onde , e é o ângulo de inclinação da barra. Deste modo, a matriz de 
rigidez no sistema global da barra pode ser obtida a partir do seguinte produto: 
 



















































































100000
0cs000
0sc000
000100
0000cs
0000sc
L
EI12
L
EI6
0
L
EI12
L
EI6
0
L
EI6
L
EI4
0
L
EI6
L
EI2
0
00
L
GJ
00
L
GJ
L
EI12
L
EI6
0
L
EI12
L
EI6
0
L
EI6
L
EI2
0
L
EI6
L
EI4
0
00
L
GJ
00
L
GJ
100000
0cs000
0sc000
000100
0000cs
0000sc
k
3232
22
3232
22
 
 (44) 
 
Resultando em: 
 































































































322322
2
22
2
22
2
22
2
22
322322
2
22
2
22
2
22
2
22
L
EI12
c
L
EI6
sL
EI6
L
EI12
c
L
EI6
s
L
EI6
c
L
EI6
c
L
EI4
s
L
GJ
cs
L
EI4
L
GJ
c
L
EI6
c
L
EI2
s
L
GJ
cs
L
EI2
L
GJ
s
L
EI6
cs
L
EI4
L
GJ
s
L
EI4
c
L
GJ
s
L
EI6
cs
L
EI2
L
GJ
s
L
EI2
c
L
GJ
L
EI12
c
L
EI6
s
L
EI6
L
EI12
c
L
EI6
s
L
EI6
c
L
EI6
c
L
EI2
s
L
GJ
cs
L
EI2
L
GJ
c
L
EI6
c
L
EI4
s
L
GJ
cs
L
EI4
L
GJ
s
L
EI6
cs
L
EI2
L
GJ
s
L
EI2
c
L
GJ
s
L
EI6
cs
L
EI4
L
GJ
s
L
EI4
c
L
GJ
k
 
 (45) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL 
 
O procedimento característico do método da rigidez direta é o da montagem da matriz de 
rigidez por barra. Tal algoritmo monta a matriz (matriz de rigidez global da estrutura) 
de forma direta, somando as contribuições das matrizes de rigidez das barras, uma de cada 
vez. 
 
Montagem da matriz de rigidez global de um pórtico plano 
 
Inicialmente, obtém-se a matriz de rigidez global do pórtico plano da figura 15. As 
coordenadas generalizadas para este pórtico são apresentadas através da figura 35. 
 
1
2
3
4
5
6
4
5
6
1
2
3
1
2
3
4
5
6
1
2
3
7
8
9
10
11
12
4
5
6
1
1
2
2
3
3
a)
b)
7
8
9
10
11
12
 
Figura 35 – a) Coordenadas generalizadas locais no sistema global b) Coordenadas 
generalizadas globais em cada barra 
Para cada barra do modelo é criado um vetor de índices que associa cada coordenada 
generalizada local com a coordenada global correspondente. Este vetor é chamado vetor de 
espalhamento e é definido da seguinte maneira: 
 
Vetor de espalhamento : Vetor, com a dimensão do número de coordenadas 
generalizadas locais de um elemento de barra, em que cada termo armazena o número da 
coordenada generalizada global associado à coordenada generalizada . 
 
Ou seja, de posse do vetor de espalhamento de cada barra monta-se a matriz e rigidez 
global da estrutura. 
 
Na figura 36 é mostrado o preenchimento da matriz de rigidez global da estrutura a partir 
dos elementos da matriz de rigidez local da barra 1 no sistema global. Os termos não nulos 
presentes nesta matriz são indicados por um asterisco e os termos nulos não são 
apresentados. 
 
1 2 3 7 8 9
1
2
3
7
8
9
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
7 8 9 10 11 12
7
8
9
10
11
12
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
Vetor de espalhamento
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
 
Figura 36 – Preenchimento da matriz de rigidez global da estrutura (à direita) a 
partir dos elementos da matriz de rigidez local da barra 1 no sistema global (à 
esquerda) 
 
Efetuando-se procedimento análogo ao mostrado na figura 36 para as barras 2 (figura 37) e 
3 (figura 38) chega-se à matriz de rigidez global da estrutura que é mostrada no lado direito 
da figura 38. 
 
7 8 9 10 11 12
7
8
9
10
11
12
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
Vetor de espalhamento
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
4 5 6
4
5
6
10
11
12
10 11 12
 
Figura 37 – Preenchimento da matriz de rigidez global da estrutura (à direita) a 
partir dos termos componentes da matriz de rigidez local da barra 2 no sistema global 
(à esquerda) 
 
7 8 9
7
8
9
10
11
12
Vetor de espalhamento
10 11 12
7 8 9 10 11 12
7
8
9
10
11
12
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
Vetor de espalhamento
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* *
*
* *
 
Figura 38 – Preenchimento da matriz de rigidez global da estrutura (à direita) a 
partir dos termos componentes da matriz de rigidez local da barra 3 no sistema global 
(à esquerda) 
 
Montagem da matriz de rigidez global de uma viga 
 
Demonstra-se agora a obtenção da matriz de rigidez global da viga mostrada através da 
figura 10. As coordenadas generalizadas desta viga são apresentadas através da figura 39. 
 
2
3
5
6
5
6
2
3
2
3
5
6
5
6
8
9
a)
b)
1 2
1 2
 
Figura 39 – a) Coordenadas generalizadas locais no sistema global b) Coordenadas 
generalizadas globais em cada barra 
 
Deste modo, as figura 40 e 41 mostram a montagem da matriz de rigidez global da viga a 
partir das matrizes de rigidez locais no sistema global das barras 1 e 2, respectivamente. 
 
2 3 5 6
2
3
5
6
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Vetor de espalhamento
*
*
*
* *
*
2 3 5 6
2
3
5
6
8 9
8
9
*
*
*
*
*
*
*
*
*
**
*
*
* *
*
Figura 40 – Preenchimento da matriz de rigidez global da estrutura (à direita) a 
partir dos elementos da matriz de rigidez local da barra 1 no sistema global (à 
esquerda) 
5 6
5
6
Vetor de espalhamento
2 3 5 6
2
3
5
6
8 9
8
9
*
*
*
* *
**
*
*
* *
*
8 9
8
9
*
**
*
 
Figura 41 – Preenchimento da matriz de rigidez global da estrutura (à direita) a 
partir dos elementos da matriz de rigidez local da barra 2 no sistema global (à 
esquerda) 
 
Ao término do preenchimento dos termos da matriz de rigidez local no sistema global da 
última barra encontra-se a matriz de rigidez global da estrutura que é mostrada no lado 
direito da figura 41. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. SOLUÇÃO DE UM PÓRTICO PLANO (EXEMPLO RESOLVIDO) 
 
O pórtico plano mostrado através da figura 42 será resolvido pelo método da rigidez direta. 
 
4 tf/m
10 tfm
10 tf
2,5 m 1,25 m 1,25 m
1,9 m
10 tf
A
C
B
1
2
 
Figura 42 – Pórtico plano a ser resolvido pelo método da rigidez direta 
 
As propriedades do material e das seções das barras são dadas por: 
 
 
 
 
 
Além disto, as coordenadas generalizadas globais deste pórtico são apresentadas através da 
figura 43, ou seja: 
1
1
2
2
3
2 5
8
7
4
1
3 6
9 
Figura 43 – Coordenadas generalizadas globais 
 
Já as coordenadas locais nos sistemas locais são apresentadas através das figuras 44 e 45 
para as barras 1 e 2, respectivamente. 
 
2' 5'
4'
1'
3' 6'
x
1 = 0°
L1 = 2,5 m
 
Figura 44 – Coordenadas locais no sistema local da barra 1 
 
 
 
x
2'1'
3'
5'
4'6'
2 = 322,8°
L2 = 3,14 m
2
 
Figura 45 – Coordenadas locais no sistema local da barra 2 
 
E por fim, as coordenadas locais no sistema global são mostradas através da figura 46. 
 
2 5
4
1
3 6
2
1
3
5
4
6 
Figura 46 – Coordenadas locais no sistema global 
 
Matriz de rigidez da barra 1: 
 
A matriz de rigidez da barra 1 no sistema global será dada por 
 
 
 
 (46) 
 
A matriz de rigidez da barra de um pórtico plano no sistema de referência local é dada 
por: 
 
 
 





































L
EI4
L
EI6
0
L
EI2
L
EI6
0
L
EI6
L
EI12
0
L
EI6
L
EI12
0
00
L
EA
00
L
EA
L
EI2
L
EI6
0
L
EI4
L
EI6
0
L
EI6
L
EI12
0
L
EI6
L
EI12
0
00
L
EA
00
L
EA
'k
22
2323
22
2323
 (47) 
 
Já as matrizes e , presentes na equação 46, são dadas pelas equações 48 e 49, 
respectivamente. 
 
 
 























100000
0cs000
0sc000
000100
0000cs
0000sc
R (48) 
 
 























100000
0cs000
0sc000
000100
0000cs
0000sc
R
T
 (49) 
 
Os termos que compõem a matriz 
 são dados por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a barra 1, tem-se que: 
 
 
 
 
 
Substituindo os valores para e nas equações 48 e 49, encontram-se as 
matrizes e dadas por: 
 
 
 





















100000
010000
001000
000100
000010
000001
R (50) 
 
 





















100000
010000
001000
000100
000010
000001
R
T
 (51) 
 
E substituindo os termos componentes da matriz 
 na equação 47, encontra-se a seguinte 
matriz de rigidez da barra 1 no sistema local: 
 
 
 


























800.4880.20400.2880.20
880.2304.20880.2304.20
00000.2000000.20
400.2880.20800.4880.20
880.2304.20880.2304.20
00000.2000000.20
k '
1
 (52) 
 
Utilizando-se a equação 46, juntamente com as equações 50, 51 e 52, encontra-se a matriz 
de rigidez da barra 1 no sistema global, ou seja: 
 
 1 2 3 4 5 6 
 
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 
 
 
6
5
4
3
2
1
800.4880.20400.2880.20
880.2304.20880.2304.20
00000.2000000.20
400.2880.20800.4880.20
880.2304.20880.2304.20
00000.2000000.20
k
1
































 (53) 
 
Tomando como referência a equação 53, podem-se fazer as seguintes observações: 
 
 Os números 1, 2 e 3, indicados na matriz , estão relacionados aos graus de liberdade 
nas direções 1, 2 e 3 do nó 1 da barra 1. 
 Os números 4, 5 e 6, indicados na matriz , estão relacionados aos graus de liberdade 
nas direções 4, 5 e 6 do nó 2 da barra 1. 
 O vetor de espalhamento da barra 1 em sua forma transposta é dado por . 
 
Matriz de rigidez da barra 2: 
 
Os termos que compõem a matriz 
 são dados por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a barra 2, tem-se que: 
 
 
 
 
 
Substituindo os valores para e nas equações 48 e 49, encontram-se as 
matrizes e , ou seja: 
 
 
 























100000
0796,0605,0000
0605,0796,0000
000100
0000796,0605,0
0000605,0796,0
R (54) 
 
 























100000
0796,0605,0000
0605,0796,0000
000100
0000796,0605,0
0000605,0796,0
R
T
 (55) 
 
Substituindo os termos componentes da matriz 
 na equação 47, encontra-se: 
 
 
 



























6,821.36,825.108,910.16,825.10
6,825.18,162.106,825.18,162.10
006,923.15006,923.15
8,910.16,825.106,821.36,825.10
6,825.18,162.106,825.18,162.10
006,923.15006,923.15
k '
2
 (56) 
 
Utilizando-se a equação 46, juntamente com as equações 54, 55 e 56, encontra-se a matriz 
de rigidez da barra 2 no sistema global, ou seja: 
 
 4 5 6 7 8 9 
 
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 
 
 
9
8
7
6
5
4
822.3453.1104.1552453.1104.1
453.1565.6108.7453.1565.6108.7
104.1108.7515.10104.1108.7515.10
552453.1104.1822.3453.1104.1
453.1565.6108.7453.1565.6108.7
104.1108.7515.10104.1108.7515.10
k
2
































 (57) 
 
Tomando como referência a equação 57, podem-se fazer as seguintes observações: 
 
 Os números 4, 5 e 6, indicados na matriz , estão relacionados aos graus de liberdade 
nas direções 4, 5 e 6 do nó 2 da barra 2. 
 Os números 7, 8 e 9, indicados na matriz , estão relacionados aos graus de liberdade 
nas direções 7, 8 e 9 do nó 3 da barra 2. 
 O vetor de espalhamento da barra 2 em sua forma transposta é dado por . 
 
Aplicação do método da rigidez direta: 
 
Tomando como base o método da rigidez direta e o pórtico da figura 42, observa-se que: 
 
• O método da rigidez direta consiste em somar as parcelas de rigidez das duas barras 
para formar a matriz de rigidez global do pórtico plano. 
• As barras 1 e 2 são formadas por 2 nós cada uma, sendo que cada nó possui 3 graus de 
liberdade, totalizando 6 graus de liberdade para cada barra. 
• As barras 1 e 2 possuem 6 graus de liberdade cada, deste modo as matrizes de rigidez 
das barras 1 e 2 terão dimensão (barra de pórtico plano). 
• O modelo completo, composto pelas duas barras, possui 3 nós. 
• Cada nó possui 3 graus de liberdade, totalizando 9 graus de liberdade para o modelo 
completo, portanto a matriz de rigidez do modelo completo terá dimensão . 
• A matriz de rigidez do modelo completo é formada pela soma das matrizes de rigidez 
das barras 1 e 2, devidamente endereçadas. 
 
A matriz de rigidez do modelo completo terá a seguinte estrutura: 
 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 
 
 
9
8
7
6
5
4
3
2
1
kkkkkkkkk
kkkkkkkkk
kkkkkkkkk
kkkkkkkkk
kkkkkkkkk
kkkkkkkkk
kkkkkkkkk
kkkkkkkkk
kkkkkkkkk
K
9998979695949392191
898887868584838281
797877767574737271
696867666564636261
595857565554535251
494847464544434241
393837363534333231
292827262524232221
191817161514131211





































 (58) 
 
O elemento pertencente à matriz de rigidez do modelo completo, será composto pela 
soma dos elementos que estiverem na linha e coluna das matrizes de rigidez das barras 1 
e 2. Deste modo, preenche-se inicialmente a matriz do modelo completo com os termos da 
matriz de rigidez da barra 1. Neste caso, o elemento da matriz de rigidez do modelo 
completo receberá o elemento que estiver na linha e coluna da matriz de rigidez da barra 
1, conforme o vetor de espalhamento, ou seja: 
 
 
Figura 47 – Distribuição dos elementos de em 
 
Substituindo-se os valores da matriz de rigidez da barra 1 na matriz de rigidez do modelo 
completo, encontra-se: 
 
 
 



































9998979695949392191
898887868584838281
797877767574737271
696867
595857
494847
393837
292827
191817
kkkkkkkkk
kkkkkkkkk
kkkkkkkkk
kkk800.4880.20400.2880.20
kkk880.2304.20880.2304.20
kkk00000.2000000.20
kkk400.2880.20800.4880.20
kkk880.2304.20880.2304.20
kkk00000.2000000.20
K (59) 
 
Completa-se agora a matriz de rigidez do modelo completo adicionando-se os termos da 
matriz de rigidez da barra 2. Neste caso, o elemento da matriz de rigidez do modelo 
completo receberá o elemento que estiver na linha e coluna da matriz de rigidez da barra 
2, conforme respectivo vetor de espalhamento, ou seja: 
 
 
Figura 48 – Distribuição dos elementos de em 
 
Substituindo-se os valores da matriz de rigidez da barra 2 na matriz de rigidez do modelo 
completo, encontra-se: 
 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 
 
 
9
8
7
6
5
4
3
2
1
822.3453.1104.1552453.1104.1000
453.1565.6108.7453.1565.6108.7000
104.1108.7516.10104.1108.7515.10000
552453.1104.1622.8427.1104.1400.2880.20
453.1565.6108.7427.1869.8108.7880.2304.20
104.1108.7515.10104.1108.7515.3000000.20
000400.2880.20800.4880.20
000880.2304.20880.2304.20
00000000.2000000.20
K














































 (60) 
 
Renumeração das coordenadas generalizadas globais 
 
Muitas vezes, para minimizar o uso de memória do computador ou para evitar cálculos 
desnecessários, implementa-se apenas a parte da matriz de rigidez global da estrutura 
necessária para a obtenção dos deslocamentos incógnitos. Adota-se então, para facilitar a 
consideração das condições de contorno através do particionamento do sistema de 
equações, uma renumeração das coordenadas generalizadas globais, de tal maneira que as 
coordenadas correspondentes aos graus de liberdade restringidos por apoio sejam 
numeradas por último, enquanto os graus de liberdade livres são numerados primeiro. Ou 
seja, adota-se a seguinte numeração: 
 
1
1
2
2
3
5 2
8
7
1
4
6 3
9 
Figura 49 – Renumeração das coordenadas generalizadas globais 
 
Com essa renumeração, os vetores de espalhamento das matrizes de rigidez das barras 1 e 
2, serão: 
 
 4 5 6 1 2 3 
 
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 
 
 
3
2
1
6
5
4
800.4880.20400.2880.20
880.2304.20880.2304.20
00000.2000000.20
400.2880.20800.4880.20
880.2304.20880.2304.20
00000.2000000.20
k1
































 (61) 
 1 2 3 7 8 9 
 
↓ ↓↓ ↓ ↓ ↓ 
 
 
9
8
7
3
2
1
822.3453.1104.1552453.1104.1
453.1565.6108.7453.1565.6108.7
104.1108.7515.10104.1108.7515.10
552453.1104.1822.3453.1104.1
453.1565.6108.7453.1565.6108.7
104.1108.7515.10104.1108.7515.10
k2
































 (62) 
 
Deste modo, com base nas equações 61 e 62, encontra-se a matriz dada por: 
 
 1 2 3 
 
↓ ↓ ↓ 
 
 
3
2
1
822.3800.4453.1880.2104.1
453.1880.2565.6304.2108.7
104.1108.7515.10000.20
K
ll
















 (63) 
 
Ou seja, 
 
 1 2 3 
 
↓ ↓ ↓ 
 
 
3
2
1
622.8427.1104.1
427.1869.8108.7
104.1108.7515.30
K
ll
















 (64) 
 
Cargas nodais equivalentes 
 
As cargas nodais equivalentes devido às cargas no interior das barras são obtidas através 
das reações de engastamento das barras isoladas. Estas reações são mostradas através das 
figuras 50 e 51, ou seja: 
 
4 tf/m
2,083 tfm
5 tf
2,083 tfm
5 tf
 
Figura 50 – Reações nos nós da barra 1 
 
10 tf
5 tf
5 tf
3,124 tfm
3,124 tfm
 
Figura 51 – Reações nos nós da barra 2 
 
Cargas nodais combinadas 
 
As cargas nodais combinadas na estrutura são mostradas através da figura 52, ou seja: 
 
5 tf
5 tf 10 tf
5 tf5 tf
2,083 tfm
3,124 tfm
3,124 tfm10 tfm
2,083 tfm
 
Figura 52 – Cargas nodais combinadas na estrutura 
 
Vetor das forças nodais 
 
O vetor das forças nodais generalizadas é formado com base na numeração correspondente 
aos graus de liberdade do modelo: 
 
F5 F2
F8
F7
F1
F4
F6 F3
F9 
Figura 53 – Forças nodais generalizadas 
 
Após a introdução das condições de contorno, tem-se o vetor de forças nodais dado por: 
 
 
 















































04,11
20
0
10
10
0
12,308,2
55
0
F
F
F
F
3
2
1
l
 (65) 
 
Determinação dos deslocamentos incógnitos 
 
A determinação do vetor de deslocamentos dos graus de liberdade globais livres, vetor 
 , se dá através da equação: 
 
          
flfllll
DKFDK  (66) 
 
Notar que o vetor de deslocamentos dos graus de liberdade globais fixos, o vetor , 
possui todos os termos nulos, pois os deslocamentos impostos pelas restrições de apoio são 
nulos. Assim a relação acima se torna: 
 
      
llll
FDK  (67) 
 
Substituindo-se os valores para a matriz e para o vetor na equação 67, 
determinam-se os deslocamentos referentes aos graus de liberdade livres, ou seja: 
 
 
     






















 

04,11
20
0
10
192,11932,0001904,0
1932,0418,13232,0
001904,03232,04029,0
FKD 4
l
1
lll
 (68) 
 
 

















rad107,1
m1005,3
m1064,0
D
3
3
3
l
 (69) 
 
Determinação das reações de apoio 
 
Utilizando-se o sistema de coordenadas locais, tem-se que as reações de apoio no ponto A 
serão dadas por: 
 
 
 
 (70) 
 
 
 
 
 (71) 
 
 
 (72) 
 
Onde é o vetor das reações de engastamento de uma barra isolada no sistema de 
referência global e é o vetor das forças generalizadas de barra, no sistema global, 
provenientes das deformações sofridas pela barra. 
 
Assim a determinação do vetor se dá através da relação 
 
      dkf  (73) 
 
Assim, para a barra 1, tem-se que: 
 
 
 













































































61,0
12,2
97,12
70,4
12,2
97,12
10702,1
10049,3
106485,0
0
0
0
800.4880.20
880.2304.20
00000.20
400.2880.20
880.2304.20
00000.20
f
3
3
31
 (74) 
 
Com base na equação 74, encontra-se: 
 
 
 (75) 
 
 (76) 
 
 (77) 
 
4 tf/m
2,083 tfm
5 tf
2,083 tfm
5 tf
A B
1
 
Figura 54 – Reações de engastamento da barra 1 no sistema de referência global 
 
Com base na figura 54 tem-se ainda que: 
 
 
 (78) 
 
 (79) 
 
 (80) 
 
Deste modo, as reações de apoio no ponto serão dadas por: 
 
 
 
 
 (81) 
 
 
 
 
 (82) 
 
 
 (83) 
 
Utilizando-se o sistema de coordenadas locais, as reações de apoio no ponto serão dadas 
por: 
 
 
 
 
 (84) 
 
 
 
 
 (85) 
 
 
 (86) 
 
Desta maneira, resolvendo-se a equação 73 para a barra 2, encontra-se: 
 
 
 















































































40,8
88,17
97,12
65,11
88,17
97,12
0
0
0
10702,1
10049,3
106485,0
552453.1104.1
453.1565.6108.7
104.1108.7515.10
822.3453.1104.1
453.1565.6108.7
104.1108.7515.10
f
3
3
3
2
 (87) 
 
Com base na equação 87, tem-se que: 
 
 
 (88) 
 
 (89) 
 
 (90) 
 
10 tf
5 tf
5 tf
3,124 tfm
3,124 tfm
2
 
Figura 55 – Reações de engastamento da barra 2 no sistema de referência global 
 
Com base na figura 55 tem-se ainda que: 
 
 
 (91) 
 
 (92) 
 
 (93) 
 
Deste modo, as reações de apoio no ponto serão dadas por: 
 
 
 
 
 (94) 
 
 
 
 
 (95) 
 
 
 (96) 
 
Esforços nas extremidades das barras 
 
Os esforços internos nas extremidades de uma barra devidos aos deslocamentos são obtidos 
em dois passos: 
 
 No primeiro, calcula-se o vetor das forças generalizadas de barra no sistema global: 
 
 (97) 
 
 No segundo passo, transforma-se esse vetor para o sistema local: 
 
 (98) 
 
A esses esforços são somados os esforços de engastamento perfeito nas barras carregadas. 
 
Para a barra 1: 
 
 
       























61,0
12,2
97,12
70,4
12,2
97,12
ffIR
1
'
1
 (99) 
 
Logo, tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E para a barra 2: 
 
 
     















































40,8
88,17
97,12
65,11
88,17
97,12
100000
0796,0605,0000
0605,0796,0000
000100
0000796,0605,0
0000605,0796,0
fRf
2
'
2
 (100) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. SOLUÇÃO DE UMA TRELIÇA PLANA (EXEMPLO RESOLVIDO) 
 
A treliça plana da figura 56 também será resolvida pelo método da rigidez direta. 
 
A
B
C
D
30°
30°
3,0 m
6,0 m
1
3
2
3,0 m
240 kN
 
Figura 56 – Treliça plana a ser resolvida pelo método da rigidez direta 
 
O módulo de elasticidade e a área da seção das barras são dados por: 
 
 
 
 
Deste modo, na figura 57 apresentam-se as coordenadas generalizadas globais desta treliça, 
ou seja: 
 
2
1
6
5
4
3
8
7
1
2
3
4
1
3
2
 
Figura 57 – Coordenadas generalizadas globais 
 
Já as coordenadas locais nos sistemas locais são apresentadas através das figuras 58, 59 e 
60 para as barras 1, 2 e 3, respectivamente. 
 
4'
3' x
2'
1'
y
1 = 0°
L1 = 6 m 
Figura 58 – Coordenadas locais no sistema local da barra 1 
 
 
2
4'
3'
2'
1'
2 = 60°
L2 = 3,464 m
x
y
 
Figura 59 – Coordenadas locais no sistema local da barra 2 
 
1'
2'
3'
4'
3
3 = 26,565°L3 = 6,708 m
x
y
 
Figura 60 – Coordenadas locais no sistema local da barra 3 
 
E por fim, as coordenadas locais no sistema global são mostradas através da figura 61. 
 
4
3
2
1
2
1
2
1
4
3
4
3
 
Figura 61 – Coordenadas locais no sistema global 
 
Matriz de rigidez da barra 1: 
 
A matriz de rigidez da barra de uma treliça plana no sistema global é dada por 
 
 (101) 
 
Além disto, a matriz de rigidez da barra de uma treliça plana no sistema de referência 
local é dada por: 
 
 
 















0000
0101
0000
0101
L
EA
'k (102) 
 
Já as matrizes e , presentes na equação 101, são dadas pelas equações 103 e 104, 
respectivamente. 
 
 
 















cs00
sc00
00cs
00sc
R (103) 
 
 















cs00
sc00
00cs
00sc
R
T
 (104) 
O termo 
 
 
 pertencente à matriz 
 é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a barra 1, tem-se que: 
 
 
 
 
 
Substituindo os valores para e nas equações 103 e 104, encontram-se as 
matrizes e dadas por: 
 
 
 













1000
0100
0010
0001
R (105) 
 
 













1000
0100
0010
0001
R
T
 (106) 
 
E substituindo os termos componentes da matriz 
 na equação 102, encontra-se a 
seguinte matriz de rigidez da barra 1 no sistema local: 
 
 
 















0000
0106,66670106,6667
0000
0106,66670106,6667
k
77
77
'
1
 (107) 
 
Utilizando-se a equação 101, juntamente com as equações 105, 106 e 107, encontra-se a 
matriz de rigidez da barra 1 no sistema global, ou seja: 
 3 4 1 2 
 
↓ ↓ ↓ ↓ 
 
 
2
1
4
3
0000
0106,66670106,6667
0000
0106,66670106,6667
k
77
77
1


















 (108) 
 
Matriz de rigidez da barra 2: 
 
O termo 
 
 
 pertencente à matriz 
 é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a barra 2, tem-se que: 
 
 
 
 
 
Substituindo os valores para e nas equações 103 e 104, encontram-se as 
matrizes e , ou seja: 
 
 
 















0,5000,86600
0,8660,50000
000,5000,866
000,8660,500
R (109) 
 
 















0,5000,86600
0,8660,50000
000,5000,866
000,8660,500
R
T
 (110) 
 
Substituindo os termos componentes da matriz 
 na equação 102, encontra-se: 
 
 















0000
0101,15470101,1547
0000
0101,15470101,1547
k
88
88
'
2
 (111) 
 
Utilizando-se a equação 101, juntamente com as equações 109, 110 e 111, encontra-se a 
matriz de rigidez da barra 2 no sistema global, ou seja: 
 
 1 2 5 6 
 
↓ ↓ ↓ ↓ 
 
 
6
5
2
1
108,6602105,000108,6602105,000
105,000102,8868105,000102,8868
108,6602105,000108,6602105,000
105,000102,8868105,000102,8868
k
7777
7777
7777
7777
2




















 (112) 
 
Matriz de rigidez da barra 3: 
 
O termo 
 
 
 pertencente à matriz 
 é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a barra 3, tem-se que: 
 
 
 
 
 
Substituindo os valores para e nas equações 103 e 104, encontram-se as 
matrizes e , ou seja: 
 
 
 















0,89440,447200
0,44720,894400
000,89440,4472
000,44720,8944
R (113) 
 
 















0,89440,447200
0,44720,894400
000,89440,4472
000,44720,8944
R
T
 (114) 
 
Substituindo os termos componentes da matriz 
 na equação 102, encontra-se: 
 
 
 















0000
0105,96300105,9630
0000
0105,96300105,9630
k
77
77
'
3
 (115) 
 
Utilizando-se a equação 101, juntamente com as equações 113, 114 e 115, encontra-se a 
matriz de rigidez da barra 3 no sistema global, ou seja: 
 
 7 8 1 2 
 
↓ ↓ ↓ ↓ 
 
 
2
1
8
7
101,1926102,3852101,1926102,3852
102,3852104,7704102,3852104,7704
101,1926102,3852101,1926102,3852
102,3852104,7704102,3852104,7704
k
7777
7777
7777
7777
3




















 (116) 
 
Determinação da matriz 
 
Deste modo, com base nas equações 108, 112 e 116, encontra-se a matriz dada por: 
 
 
 
 1 2 
 
↓ ↓ 
 
 
2
1
101,1926)(8,6602102,3852)(5,000
102,3852)(5,000104,7704)2,8868(6,6667
K
77
77
ll










 (117) 
 
Ou seja, 
 
 1 2 
 
↓ ↓ 
 
 
2
1
109,8528107,3852
107,38521014,3239
K
77
77
ll










 (118) 
 
Cargas nodais combinadas 
 
As cargas nodais combinadas são resultado da combinação das cargas nodais propriamente 
ditas com as cargas equivalentes nodais. No caso deste exemplo, existe apenas uma carga 
nodal propriamente dita localizada no nó central e, além disto, não há a presença de cargas 
no interior das barras. Assim sendo, as cargas nodais combinadas são apresentadas através 
da figura 62. 
 
240 kN
 
Figura 62 – Cargas nodais combinadas 
Vetor das forças nodais 
 
O vetor das forças nodais generalizadas é formado com base na numeração correspondente 
aos graus de liberdade do modelo, ou seja: 
 
F2
F1
F6
F5
F4
F3
F8
F7
 
Figura 63 – Forças nodais generalizadas 
 
Decompondo-se a carga concentrada nas direções globais, encontra-se o vetor de forças 
nodais relacionado aos graus de liberdades livres, ou seja: 
 
 
 

























N102,0785
N101,2000
)30cos(000.240
)30(sen000.240
F
F
F
5
5
2
1
l 

 (119) 
 
Determinação dos deslocamentos incógnitos 
 
A determinação do vetor de deslocamentos dos graus de liberdade globais livres, vetor 
 , se dá através da equação: 
 
          
flfllll
DKFDK  (120) 
Notar que o vetor de deslocamentos dos graus de liberdade globais fixos, o vetor , 
possui todos os termos nulos, pois os deslocamentos impostos pelas restrições de apoio são 
nulos. Assim a relação acima se torna: 
 
      
llll
FDK  (121) 
 
Substituindo-se os valores para a matriz e para o vetor na equação 121, 
determinam-se os deslocamentos referentes aos graus de liberdade livres, ou seja: 
 
 
     
















5
5
l
1
lll
102,0785
101,2000
0,16540,08529-
0,08529-0,1138
FKD (122) 
 
 









m104,4618-
m103,1382
D
3-
-3
l
 (123) 
 
Determinação das reações de apoio 
 
Utilizando-se o sistema de coordenadas locais, tem-se que as reações de apoio no ponto 
serão dadas por: 
 
 
 
 
 (124) 
 
 
 
 
 (125) 
 
Onde é o vetor das reações de engastamento de uma barra isolada no sistema de 
referência global e é o vetor das forças generalizadas de barra, no sistema global, 
provenientes das deformações sofridas pela barra. Neste caso, o vetor terá todas as 
componentes nulas, pois treliças não admitem carregamento no interior de suas barras. 
Assim a determinação do vetor se dá através da relação 
 
      dkf  (126) 
 
Assim, para a barra , tem-se que: 
 
 
 















































0
209.210
0
209.210-
104,4618-
103,1382
0
0
0000
0106,66670106,6667
0000
0106,66670106,6667
f
3-
3-77
77
1
 (127) 
 
Com base na equação 127, encontra-se: 
 
 
 (128) 
 
 (129) 
 
Deste modo, as reações de apoio no ponto serão dadas por: 
 
 
 
 (130) 
 
 
 
 (131) 
 
Utilizando-seo sistema de coordenadas locais, as reações de apoio no ponto serão dadas 
por: 
 
 
 
 
 (132) 
 
 
 
 
 (133) 
 
Desta maneira, resolvendo-se a equação 126 para a barra 2, encontra-se: 
 
 

















































229.490
132.500
229.490-
132.500-
0
0
104,4618-
103,1382
108,6602105,000108,6602105,000
105,000102,8868105,000102,8868
108,6602105,000108,6602105,000
105,000102,8868105,000102,8868
f
3-
3-
7777
7777
7777
7777
2
 (134) 
 
Com base na equação 134, tem-se que: 
 
 
 (135) 
 
 (136) 
 
Deste modo, as reações de apoio no ponto serão dadas por: 
 
 
 (137) 
 
 
 (138) 
 
Utilizando-se o sistema de coordenadas locais, as reações de apoio no ponto serão dadas 
por: 
 
 
 
 
 (139) 
 
 
 
 
 (140) 
 
Desta maneira, resolvendo-se a equação 126 para a barra 3, encontra-se: 
 
 
 

















































21.641
43.282
21.641-
43.282-
104,4618-
103,1382
0
0
101,1926102,3852101,1926102,3852
102,3852104,7704102,3852104,7704
101,1926102,3852101,1926102,3852
102,3852104,7704102,3852104,7704
f
3-
3-
7777
7777
7777
7777
3
 (141) 
 
Com base na equação 141, tem-se que: 
 
 
 (142) 
 
 (143) 
 
Deste modo, as reações de apoio no ponto serão dadas por: 
 
 
 (144) 
 
 
 (145) 
 
Esforços nas extremidades das barras 
 
Os esforços internos nas extremidades de uma barra devidos aos deslocamentos são obtidos 
em dois passos: 
 
 No primeiro, calcula-se o vetor das forças generalizadas de barra no sistema global: 
 
 (146) 
 
 No segundo passo, transforma-se esse vetor para o sistema local: 
 
 (147) 
 
A esses esforços são somados os esforços de engastamento perfeito nas barras carregadas 
que, para o caso da treliça, possuem valores nulos e não são contabilizados. 
 
Para a barra 1: 
 
 
       















0
209.210
0
209.210-
ffIR
1
'
1
 (148) 
 
Logo, tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
E para a barra 2: 
 
 
     













































0
264.990
0
264.990-
229.490
132.500
229.490-
132.500-
0,5000,86600
0,8660,50000
000,5000,866
000,8660,500
fRf
2
'
2
 (149) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E por fim, para a barra 3: 
 
 
     













































0
48.389
0
48.389-
21.641
43.282
21.641-
43.282-
0,89440,447200
0,44720,894400
000,89440,4472
000,44720,8944
fRf
3
'
3
 (150) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. SOLUÇÃO DE UMA VIGA (EXEMPLO RESOLVIDO) 
 
A viga da figura 64 será resolvida pelo método da rigidez direta. 
 
2
24 kN/m
36 kN
12 kNm
4,0 m 2,0 m 4,0 m
1A
B C
 
Figura 64 – Viga a ser resolvida pelo método da rigidez direta 
 
O módulo de elasticidade e as dimensões da seção transversal das barras são: 
 
 
 
 
 
Com base nas dimensões da seção transversal da viga, calcula-se o momento de inércia de 
área dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, o produto será dado por: 
 
 
 
Deste modo, na figura 65 apresentam-se as coordenadas generalizadas globais desta viga, 
ou seja: 
 
21
45 3
6 1 2
1 2 3
 
Figura 65 – Coordenadas generalizadas globais 
 
Já as coordenadas locais nos sistemas locais são apresentadas através das figuras 66 e 67 
para as barras 1 e 2, respectivamente. 
 
1' 3'
2' 4'
x
1 = 0°
L1 = 4 m 
Figura 66 – Coordenadas locais no sistema local da barra 1 
 
1'
2' 4'
y
x
3'
2 = 0°
L2 = 6 m 
Figura 67 – Coordenadas locais no sistema local da barra 2 
 
E por fim, as coordenadas locais no sistema global são mostradas através da figura 68. 
 
1
2 4
31 3
2 4
 
Figura 68 – Coordenadas locais no sistema global 
 
Matriz de rigidez da barra 1: 
 
A matriz de rigidez da barra de uma viga no sistema global é dada por 
 
 (151) 
 
Além disto, a matriz de rigidez da barra de uma viga no sistema de referência local é 
dada por: 
 
 
 

























L
EI4
L
EI6
L
EI2
L
EI6
L
EI6
L
EI12
L
EI6
L
EI12
L
EI2
L
EI6
L
EI4
L
EI6
L
EI6
L
EI12
L
EI6
L
EI12
'k
22
2323
22
2323
 (152) 
 
Já as matrizes e , presentes na equação 151, são dadas pelas equações 153 e 154, 
respectivamente. 
 
 
 













1000
0100
0010
0001
R (153) 
 
 













1000
0100
0010
0001
R
T
 (154) 
 
Ou seja, a matriz de transformação de uma viga será sempre igual à matriz identidade 
devido ao fato de uma viga ser solicitada sempre na horizontal. Deste modo, a matriz de 
rigidez de uma viga no sistema local será igual à matriz de rigidez no sistema global. Desta 
forma tem-se que: 
 
 
   

























L
EI4
L
EI6
L
EI2
L
EI6
L
EI6
L
EI12
L
EI6
L
EI12
L
EI2
L
EI6
L
EI4
L
EI6
L
EI6
L
EI12
L
EI6
L
EI12
'kk
22
2323
22
2323
 (155) 
 
Para a barra 1, os termos pertencentes à matriz de rigidez serão dados por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo estes termos na equação 155, encontra-se a matriz de rigidez da barra 1 no 
sistema global, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 5 6 3 1 
 
 ↓ ↓ ↓ ↓ 
 
 
1
3
6
5
10×1,333310×5,000010×6,666710×5,0000
10×5,000010×2,500010×5,000010×2,5000
10×6,666710×5,000010×1,333310×5,0000
10×5,000010×2,500010×5,000010×2,5000
k
7666
6666
6676
6666
1




















 (156) 
 
Matriz de rigidez da barra 2: 
 
Para a barra 2, os termos pertencentes à matriz de rigidez serão dados por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo estes termos na equação 155, encontra-se a matriz de rigidez da barra 2 no 
sistema global, ou seja: 
 
 3 1 4 2 
 
 ↓ ↓ ↓ ↓ 
 
 
2
4
1
3
10×8,888910×2,222210×4,444410×2,2222
10×2,222210×7,407410×2,222210×7,4074
10×4,444410×2,222210×8,888910×2,2222
10×2,222210×7,407410×2,222210×7,4074
k
6666
6565
6666
6565
2




















 (157) 
 
Determinação da matriz 
 
Deste modo, com base nas equações 156 e 157, encontra-se a matriz dada por: 
 
 
 
 1 2 
 
↓ ↓ 
 
 
 
2
1
10×8,888910×4,4444
10×4,444410×8,888913,333
K
66
66
ll







 
 (158) 
 
Ou seja, 
 
 1 2 
 
↓ ↓ 
 
 
2
1
10×8,888910×4,4444
10×4,444410×22,2219
K
66
66
ll








 (159) 
 
Cargas nodais equivalentes 
 
As cargas nodais equivalentes devido às cargas no interior das barras são obtidas através 
das reações de engastamento das barras isoladas. Estas reações são mostradas através das 
figuras 69 e 70, ou seja: 
 
24 kN/m
48 kN 48 kN
32 kNm 32 kNm
 
Figura 69 – Reações nos nós da barra 1 
 
36 kN
26,6667 kN
32 kNm
9,3333 kN
16 kNm
 
Figura 70 – Reações nos nós da barra 2 
Cargas nodais propriamente ditas 
 
A carga nodal propriamente dita atuante na barra 2 é apresentada atravésda figura 71, 
sendo que a barra 1 não apresenta este tipo de carga. 
 
12 kNm
 
Figura 71 – Carga nodal propriamente dita no nó final da barra 2 
 
Cargas nodais combinadas 
 
As cargas nodais combinadas são resultado da combinação das cargas nodais propriamente 
ditas com as cargas equivalentes nodais. Assim sendo, as cargas nodais combinadas são 
apresentadas através da figura 72. 
 
48 kN 74,6667 kN 9,3333 kN
4 kNm32 kNm
 
Figura 72 – Cargas nodais combinadas 
 
Vetor das forças nodais 
 
O vetor das forças nodais generalizadas é formado com base na numeração correspondente 
aos graus de liberdade do modelo: 
 
F5
F6
F3
F1
F4
F2 
Figura 73 – Forças nodais generalizadas 
 
Deste modo, o vetor de forças nodais relacionado aos graus de liberdades livres será dado 
por: 
 
 
 














Nm000,000.4
Nm000,0
F
F
F
2
1
l
 (160) 
 
Determinação dos deslocamentos incógnitos 
 
A determinação do vetor de deslocamentos dos graus de liberdade globais livres, vetor 
 , se dá através da equação: 
 
          
flfllll
DKFDK  (161) 
 
Notar que o vetor de deslocamentos dos graus de liberdade globais fixos, o vetor , 
possui todos os termos nulos, pois os deslocamentos impostos pelas restrições de apoio são 
nulos. Assim a relação acima se torna: 
 
      
llll
FDK  (162) 
 
Substituindo-se os valores para a matriz e para o vetor na equação 162, 
determinam-se os deslocamentos referentes aos graus de liberdade livres, ou seja: 
 
 
     
















000,000.4
000,0
100,1250100,0250-
100,0250-100,0500
FKD
6-6-
-6-6
l
1
lll
 (163) 
 
 









rad100,500
rad100,100-
D
3-
-3
l
 (164) 
 
Determinação das reações de apoio 
 
Utilizando-se o sistema de coordenadas locais, tem-se que as reações de apoio no ponto 
serão dadas por: 
 
 
 
 
 
 (165) 
 
 
 
 (166) 
 
Onde é o vetor das reações de engastamento de uma barra isolada no sistema de 
referência global e é o vetor das forças generalizadas de barra, no sistema global, 
provenientes das deformações sofridas pela barra, ou seja 
 
      dkf  (167) 
 
Assim, para a barra , tem-se que: 
 
 
 
















































1.333,300-
500,000
666,670-
500,000-
100,100-
0
0
0
10×1,333310×5,000010×6,666710×5,0000
10×5,000010×2,500010×5,000010×2,5000
10×6,666710×5,000010×1,333310×5,0000
10×5,000010×2,500010×5,000010×2,5000
f
3-
7666
6666
6676
6666
1
 (168) 
 
Com base na equação 168, encontra-se: 
 
 
 (169) 
 
 (170) 
 
Deste modo, as reações de apoio no ponto serão dadas por: 
 
 
 (171) 
 
 (172) 
 
Utilizando-se o sistema de coordenadas locais, a reação de apoio no ponto será dada por: 
 
 
 
 
 
 (173) 
 
Desta maneira, resolvendo-se a equação 167 para a barra 2, encontra-se: 
 
 
 

















































4.000,010
888,880-
1.333,310
888,880
100,500
0
100,100-
0
10×8,888910×2,222210×4,444410×2,2222
10×2,222210×7,407410×2,222210×7,4074
10×4,444410×2,222210×8,888910×2,2222
10×2,222210×7,407410×2,222210×7,4074
f
3-
3-
6666
6565
6666
6565
2
 (174) 
 
Com base na equação 174, tem-se que: 
 
 
 (175) 
 
Deste modo, a reação de apoio no ponto será dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando-se os resultados encontrados anteriormente para as barras 1 e 2, encontra-se a 
reação de apoio no ponto , ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 (176) 
 
Ou seja, 
 
 
 
 (177) 
 
Esforços nas extremidades das barras 
 
Os esforços internos nas extremidades de uma barra de viga devidos aos deslocamentos são 
obtidos calculando-se, inicialmente, o vetor das forças generalizadas de barra: 
 
 (178) 
 
E, a esses esforços, são somados os esforços de engastamento perfeito nas barras 
carregadas. 
 
Para a barra 1: 
 
 
 















1.333,300-
500,000
666,670-
500,000-
f
1
 (179) 
 
Logo, tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E para a barra 2: 
 
 















4.000,010
888,880-
1.333,310
888,880
f
2
 (180) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. SOLUÇÃO DE UMA GRELHA (EXEMPLO RESOLVIDO) 
 
A grelha da figura 74 será resolvida pelo método da rigidez direta. 
 
A B
C
D
E
4,0 m 2,0 m
1,5 m
2,0 m
24 kN/m
24 kN/m
1 kN
2
1
3
4
 
Figura 74 – Grelha a ser resolvida pelo método da rigidez direta 
 
O módulo de elasticidade, coeficiente de Poisson, módulo de elasticidade transversal e as 
dimensões da seção transversal das barras são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base nas dimensões da seção transversal das barras, calcula-se o momento de inércia 
de área e o momento de inércia à torção , dados por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, o produto será dado por: 
 
 
 
Para diminuir os graus de liberdade do modelo, reduz-se o balanço transferindo-se o 
efeito do carregamento em para o nó . Portanto, com base nesta consideração, adota-se 
a seguinte numeração para as coordenadas generalizadas globais desta grelha, ou seja: 
 
2
1
3
2 3
1
4
4
5
6 7
8
9
1
2
3
10
11
12
 
Figura 75 – Coordenadas generalizadas globais 
 
Deste modo, as coordenadas locais nos sistemas locais são apresentadas através das figuras 
76, 77 e 78 para as barras 1, 2 e 3, respectivamente. 
 
2'
3'
1'
5'
6'
4'
1 = 333,435°
L1 = 4,472 m
 
Figura 76 – Coordenadas locais no sistema local da barra 1 
 
5'
4'
6'
2'
1'
3'
2 = 90°
L2 = 2 m
 
Figura 77 – Coordenadas locais no sistema local da barra 2 
1'
2'
3' 6'
5'
4'
3 = 0°
L3 = 2 m 
Figura 78 – Coordenadas locais no sistema local da barra 3 
 
E por fim, as coordenadas locais no sistema global são mostradas através das figuras 79, 80 
e 81 para as barras 1, 2 e 3, respectivamente. 
 
1
2
3
6
5
4
 
Figura 79 – Coordenadas locais no sistema global da barra 1 
 
6
5
4
3
2
1
 
Figura 80 – Coordenadas locais no sistema global da barra 2 
 
1
2
3 6
5
4
 
Figura 81 – Coordenadas locais no sistema global da barra 3 
 
Matriz de rigidez da barra 1: 
 
A matriz de rigidez da barra de uma grelha no sistema global é dada por 
 
 (181) 
 
Além disto, a matriz de rigidez no sistema de referência local é dada por: 
 
 
 





































3232
22
3232
22
'
L
EI12
L
EI6
0
L
EI12
L
EI6
0
L
EI6
L
EI4
0
L
EI6
L
EI2
0
00
L
GJ
00
L
GJ
L
EI12
L
EI6
0
L
EI12
L
EI6
0
L
EI6
L
EI2
0
L
EI6
L
EI4
0
00
L
GJ
00
L
GJ
k (182) 
 
Já as matrizes e , presentes na equação 181, são dadas pelas equações 183 e 184, 
respectivamente. 
 
 
 























100000
0cs000
0sc000
000100
0000cs0000sc
R (183) 
 
 























100000
0cs000
0sc000
000100
0000cs
0000sc
R
T
 (184) 
 
Substituindo os valores de , , , e na equação 182, encontra-se a matriz de rigidez da 
barra 1 no sistema local, ou seja: 
 
 
 



























7777
7777
77
7777
7777
77
'
1
100,1789100,40000100,1789100,40000
100,4000101,19260100,4000100,59630
00100,078700100,0787
100,1789100,40000100,1789100,40000
100,4000100,59630100,4000101,19260
00100,078700100,0787
k (185) 
 
Além disto, para a barra 1, tem-se que: 
 
 
 
 
 
Substituindo os valores para e nas equações 183 e 184, encontram-se as 
matrizes e dadas por: 
 
 
 























100000
00,89440,4472000
0,447200,8944000
000100
00000,89440,4472
00000,44720,8944
R (186) 
 
 























100000
00,89440,4472000
00,44720,8944000
000100
00000,89440,4472
00000,44720,8944
R
T
 (187) 
 
Substituindo as equações 185, 186 e 187 na equação 181, encontra-se a matriz de rigidez da 
barra 1 no sistema global, ou seja: 
 
 
 
 
 4 5 6 1 2 3 
 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 
 
 
3
2
1
6
5
4
101,7890103,5779101,7890101,7890-103,5779101,7890
103,5779109,983104.4555103,5779104,6129102,7002
101,7890104.4555103,0151101,7890-102,7002100,5627
101,7890-103,5779101,7890-101,7890103,5779-101,7890-
103,5779104,6129102,7002103,5779109,983104.4555
101,7890102,7002100,5627101,7890-104.4555103,0151
k
666666
666666
666666
666666
666666
666666
1
































 (188) 
 
Matriz de rigidez da barra 2: 
 
Substituindo os valores de , , , e na equação 182, encontra-se a matriz de rigidez da 
barra 2 no sistema local, ou seja: 
 
 
 



























7777
7777
77
7777
7777
77
'
2
102,0000102,00000102,0000-102,00000
102,0000102,66670102,0000-101,33330
00100,176100100,1761
102,0000-102,0000-0102,0000102,0000-0
102,0000101,33330102,0000-102,66670
00100,176100100,1761
k (189) 
 
Para a barra 2, tem-se que: 
 
 
 
 
 
Substituindo os valores para e nas equações 183 e 184, encontram-se as 
matrizes e dadas por: 
 
 
 























100000
001000
010000
000100
000001
000010
R (190) 
 
 























100000
001000
010000
000100
000001
000010
R
T
 (191) 
 
Substituindo as equações 189, 190 e 191 na equação 181, encontra-se a matriz de rigidez da 
barra 2 no sistema global, ou seja: 
 
 1 2 3 7 8 9 
 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 
 
 
9
8
7
3
2
1
102,00000102,0000102,00000102,0000
0100,176100100,17610
102,00000102,6667102,00000101,3333
102,00000102,0000102,00000102,0000
0100,176100100,17610
102,00000101,3333102,00000102,6667
k
7777
77
7777
7777
77
7777
2
































 (192) 
 
Matriz de rigidez da barra 3: 
 
Substituindo os valores de , , , e na equação 182, encontra-se a matriz de rigidez da 
barra 3 no sistema local, ou seja: 
 
 
 



























7777
7777
77
7777
7777
77
'
3
102,0000102,00000102,0000-102,00000
102,0000102,66670102,0000-101,33330
00100,176100100,1761
102,0000-102,0000-0102,0000102,0000-0
102,0000101,33330102,0000-102,66670
00100,176100100,1761
k (193) 
 
Para a barra 3, tem-se que: 
 
 
 
 
Neste caso, os eixos locais da barra 3 coincidem com os eixos globais e, desta forma, a 
matriz de rigidez no sistema local será a mesma que a matriz de rigidez no sistema global, 
ou seja: 
 
 1 2 3 10 11 12 
 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 
 
 
12
11
10
3
2
1
102,0000102,00000102,0000-102,00000
102,0000102,66670102,0000-101,33330
00100,176100100,1761
102,0000-102,0000-0102,0000102,0000-0
102,0000101,33330102,0000-102,66670
00100,176100100,1761
k
7777
7777
77
7777
7777
77
3
































 (194) 
 
Deste modo, com base nas equações 188, 192 e 194, encontram-se os termos componentes 
da matriz , ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo estes termos na matriz , encontra-se: 
 
 1 2 3 
 
 ↓ ↓ ↓ 
 
 
3
2
1
10×4,178910×1,64221-10×2,1789
10×1,64221-10×3,841110×0,44555
10×2,178910×0,4455510×3,14431
K
777
777
777
ll













 (195) 
 
 
 
Cargas nodais equivalentes 
 
As cargas nodais equivalentes, devido às cargas no interior das barras, são obtidas através 
das reações de engastamento das barras isoladas. Estas reações são mostradas através das 
figuras 82 e 83 para as barras 1 e 3, respectivamente, ou seja: 
 
24 kN/m
39.997,568 Nm
53.664,000 N53.664,000 N
39.997,568 Nm
Figura 82 – Reações nos nós da barra 1 
 
8.000 Nm
24.000 N 24.000 N
8.000 Nm
24 kN/m
 
Figura 83 – Reações nos nós da barra 3 
 
Com base na figura 82, encontra-se o vetor das reações de engastamento no sistema local 
da barra 1, ou seja: 
 
 
 






















000,664.53
568,997.39
0
000,664.53
568,997.39
0
f̂ ' (196) 
 
A partir da equação 196, encontra-se o vetor das reações de engastamento no sistema 
global, ou seja 
 
 
     




































































53.664,000
35.774,000
17.887,000
53.664,000
35.774,000
17.887,000
000,664.53
568,997.39
0
000,664.53
568,997.39
0
100000
00,89440,4472000
00,44720,8944000
000100
00000,89440,4472
00000,44720,8944
f̂Rf̂ '
T (197) 
 
Deste modo, a partir da equação 197, encontra-se o vetor das cargas equivalentes nodais 
dado por 
 
 
   
3
2
1
6
5
4
53.664,000
35.774,000
17.887,000
53.664,000
35.774,000
17.887,000
53.664,000
35.774,000
17.887,000
53.664,000
35.774,000
17.887,000
f̂f
e





















































 (198) 
 
Com base na figura 83, encontra-se o vetor das reações de engastamento no sistema local 
da barra 3, ou seja: 
 
 
 






















000,000.24
000,000.8
0
000,000.24
000,000.8
0
f̂ ' (199) 
 
A partir da equação 199, encontra-se o vetor das reações de engastamento no sistema 
global, ou seja 
 
 
     

































































000,000.24
000,000.8
0
000,000.24
000,000.8
0
000,000.24
000,000.8
0
000,000.24
000,000.8
0
100000
010000
001000
000100
000010
000001
f̂Rf̂ '
T
 (200) 
 
Deste modo, a partir da equação 200, encontra-se o vetor das cargas equivalentes nodais 
dado por 
 
 
   
12
11
10
3
2
1
000,000.24
000,000.8
0
000,000.24
000,000.8
0
000,000.24
000,000.8
0
000,000.24
000,000.8
0
f̂f
e















































