sel310-A8 Linha parte 5 Sel310 612

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Linha de Transmissão 
Parte 5
Impedância
Coeficiente de Reflexão
SEL 310/612 Ondas Eletromagnéticas
Amílcar Careli César
Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP
Atenção!
� Este material didático é 
planejado para servir de apoio 
às aulas de SEL-310 E SEL-612: 
Ondas Eletromagnéticas, 
oferecida aos alunos 
regularmente matriculados no 
curso de engenharia elétrica e curso de engenharia elétrica e 
engenharia de computação.
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docente para qualquer tipo de 
uso distinto daquele para o 
qual foi planejado.
3/16/2012 2SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
Coeficiente de Reflexão
( )
( )
( )
- -
2
0 0- -
kz kz
kz
kz kz
V z V e e
z e
V e eV z
++
  Γ = = = Γ = Γ   
( ) ( )0 00 exp r
V
z j
V
φ
−
+
Γ = = ≡ Γ = Γ
Coeficiente de reflexão na carga 
SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( ) ( )0 0 r
V +
( ) ( )20 r
kz j
z e
φ+
Γ = Γ
I
k jk=
( ) ( )0 exp 2 I rz j k z φ Γ = Γ +  
R=G=0
3/16/2012 3
Impedância ao Longo de Linha sem Perdas-1
( ) ( )
( ) ( ) 0
( )
( )
( )
I I
I I
jk z jk z
jk z jk z
V z V zV z V e V e
Z z Z
I z I z I z V e V e
+ − − ++ −
−+ − + −
+ +
= = =
− −
( )
0( )
/I I I I
jk z jk z jk z jk ze e e e
Z z Z Z
V V
− + − +− ++ +
= =
Γ
3/16/2012 4SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( )
( )
0
0 0
0
( )
/ I II I
jk z jk zjk z jk z
e e
Z z Z Z
e ee V V e
−− − +
+
= =
−Γ
Γ
−
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
cos sen cos sen
cos sen cos sen
I I I I
I I I I
k z j k z k z k z
Z z Z
k z j k z k z j k z
− + Γ +
=
− −Γ +
Impedância ao Longo de Linha sem Perdas-2
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
cos sen cos sen
cos sen cos sen
I I I I
I I I I
k z j k z k z k z
Z z Z
k z j k z k z j k z
− + Γ +
=
− −Γ +
Dividindo por ( )cos k z
3/16/2012 5SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0
0 0
0 0
1 tg 1 tg 1 tg 1
1 tg 1 tg 1 tg 1
I I I
I I I
j k z j k z j k z
Z z Z Z
k z j k z j k z
− + Γ + + Γ − −Γ
= =
− −Γ + −Γ − + Γ
Dividindo por ( )cos Ik z
Impedância ao Longo de Linha sem Perdas-3
( )
( )
0
0
1
1
−Γ
+Γ
Dividindo por
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0
0 0
0 0
1 tg 1 tg 1 tg 1
1 tg 1 tg 1 tg 1
I I I
I I I
j k z j k z j k z
Z z Z Z
k z j k z j k z
− + Γ + + Γ − −Γ
= =
− −Γ + −Γ − + Γ
3/16/2012 6SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( )0
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
0
0 0
1 / 1 tg
1 1 / 1 tg
I
I
j k z
Z z Z
j k z
 + Γ −Γ −  =
 − + Γ −Γ  
Coeficiente de Reflexão na Carga
0z =em
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
0
0 0
1 / 1 tg
1 1 / 1 tg
I
I
j k z
Z z Z
j k z
 + Γ −Γ −  =
 − + Γ −Γ  
3/16/2012 7SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( ) ( ) ( )0 0 00 1 / 1 LZ z Z Z= = + Γ −Γ =
0
0
0
L
L
Z Z
Z Z
−
Γ =
+
Impedância ao Longo de Linha sem Perdas-4
( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0
0 0
1 / 1 tg
1 1 / 1 tg
I
I
j k z
Z z Z
j k z
 + Γ −Γ −  =
 − + Γ −Γ  
( ) ( )0 0 0/L LZ Z Z ZΓ = − +Mas,
( ) ( )1 / 1 /Z Z+ Γ −Γ =e
3/16/2012 8SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( ) ( )0 0 01 / 1 /LZ Z+ Γ −Γ =e
( )
( )
( )
0
0
0
tg
tg
L I
L I
Z jZ k z
Z z Z
Z jZ k z
−
=
−
0z ≤
Impedância em Linha com Perdas-1
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
kz kz
kz kz
V z V z e e
Z z Z
e eI z I z
+ − −
−+ −
+ + Γ
= =
−Γ+
( ) ( ) ( )
como exp( ) exp( ) / 2 e cosh exp( ) exp(
exp cos
) / 2
então h senh, 
senhx x x x x x
kz kz kz
   = − − =
± = ±
+ −      
3/16/2012 9SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( ) ( ) ( )exp cosentão h senh, kz kz kz± = ±
( )
( )
( )
0
0
0
tgh
tg
, 0
com 
h
R I
L
L
Z Z kz
Z z Z
Z
k
Z k
k
z
k j
z
=
≤
+
−
=
−
Impedância em Linha com Perdas-2
0
50
100
150
200
250
300
350
 
 
R
e
{
Z
}
,
 
I
m
{
Z
}
,
 
o
h
m
s
0,
1
12 1
1
1
/
500 MHz
0,001 m
10 S m
10 pF m
0,1 H m
p
Z R j L
Y G j C
k ZY
Z Z Y
f
R
G
C
L
ω
ω
µ
−
− −
−
−
= +
= +
=
=
=
= Ω⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
3/16/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP 10
-500 -450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0
-200
-150
-100
-50
0
R
e
{
Z
}
,
 
I
m
{
Z
}
,
 
o
h
m
s
Distância (m)
 Re{Z}
 Im{Z}
6 3 1
0,
0,1 H m
5 10 3,14 10 m
100 0,16 
Z 50 75 
p
L
L
k
Z j
j
µ
− − −
= ⋅
= × + ×
= − Ω
= + Ω
( )
( )
( )
0
0
0
tgh
tg
, 0
com 
h
R I
L
L
Z Z kz
Z z Z
Z
k
Z k
k
z
k j
z
=
≤
+
−
=
−
Funções hiperbólicas: Algumas relações
( )
( )
( )
tgh tgh
tgh
1 tgh tgh
tgh tg
tg tgh
x y
x y
x y
jx j x
jx j x
±
± =
±
=
=
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( )