Transferência de Calor em Geometrias Cilíndricas

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Tr
an
sm
is
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o 
de
 C
al
o r
Pr
of
. D
r . 
 V
ic
en
te
 L
ui
z 
Sc
al
on
 
Equação de Difusão de Calor 
(Revisão)
● Balanço de Energia na seção do Cubo:
dx
Área
 
A
qx qxdqx
⋅A⋅dx⋅c p⋅
∂T
∂ t

E˙ A
=qx
E˙ e
−qxdqx
E˙ s
q˙ A⋅dx
E˙G
sendo dqx=−
∂
∂ x k A ∂T∂ x ⋅dx
⋅A⋅dx⋅c p⋅
∂T
∂ t
= ∂
∂ x k ∂T∂ x A⋅dxq˙ A⋅dx
⋅c p⋅
∂T
∂ t
= ∂
∂ x k ∂T∂ x q˙
Tr
an
sm
is
sã
o 
de
 C
al
o r
Pr
of
. D
r . 
 V
ic
en
te
 L
ui
z 
Sc
al
on
 
Equação de Difusão de Calor 
com Variação de Área
● Balanço de Energia na seção do abaixo:
dx
qx qxdqx
⋅A⋅dx⋅c p⋅
∂T
∂ t

E˙ A
=qx
E˙ e
−qxdqx
E˙ s
q˙ A⋅dx
E˙G
sendo dqx=−
∂
∂ x k A x ∂T∂ x ⋅dx
⋅A x⋅dx⋅c p⋅
∂T
∂ t
= ∂
∂ x k⋅A x⋅∂T∂ x dxq˙ A x⋅dx
⋅c p⋅
∂T
∂ t
= 1
A x
∂
∂ x k⋅A x  ∂T∂ x q˙
Área
 
A(x)
Tr
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is
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de
 C
al
o r
Pr
of
. D
r . 
 V
ic
en
te
 L
ui
z 
Sc
al
on
 
⋅c p⋅
∂T
∂ t

E˙Ac
=1
r
∂
∂r k⋅r ∂T∂r  1r2 ∂∂ k ∂T∂  ∂∂ z k ∂T∂ z 
E˙e−E˙ s
 q˙
E˙G
 (2.20)
Condução de Calor 
Unidimensional
● Regime Estacionário
Equação geral 
● Sem geração de Energia
● Fluxo de Calor unidimen-
sional (radial)
d
d r k⋅r d Td r =0
Tr
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 C
al
o r
Pr
of
. D
r . 
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te
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Sc
al
on
 
Solução geral da Equação Unidimensional 
com Temperaturas de Parede Conhecidas
∫ dd r r d Td r dr=∫0drC 1
d T
d r
=
C1
r
∫ d Td r dr=C 1⋅∫
1
r
drC2 T r =C1⋅ln r C 2
Condução de Calor em Geometrias Cilíndricas 
resulta em perfil logarítmico de temperaturas
d
d r r d Td r =0
Considerando k constante:
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 C
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Pr
of
. D
r . 
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en
te
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Sc
al
on
 
Solução para o caso de Parede de 
Tubo com Temperaturas Conhecidas 
T 1
T 2
r=riT r i=T 1
r
 T r i=C1⋅ln r iC 2
C 2=T 1−C1⋅ln r i (I)
r=reT r e=T 2 T r e=C 1⋅ln r eC2
T 2=C1⋅ln r eT 1−C1⋅ln r i
C 2 (I)
r i
r e
T 2−T 1=C1⋅ln re−ln r i
C1=
T 2−T 1
ln re / ri T r =T 1
T 2−T 1
ln r e / r i
ln r /r i
C 2=T 1
T 2−T 1
ln re/ ri 
ln ri

ln  re / ri 
Tr
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 C
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Pr
of
. D
r . 
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te
 L
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Sc
al
on
 
Cálculo do Fluxo de Calor
Com base na Lei de Fourier :
q = −k A ∂T
∂ r
 = −k A d 
d r [T 1 T 2−T 1ln re /r i ln r /r i]
T r 
q=−2⋅⋅k⋅L
ln re /r i
⋅T 2−T 1=
2⋅⋅k⋅L
ln re /r i
⋅T 1−T 2
T
q = −k⋅ A
2⋅⋅r⋅L
⋅
T 2−T 1
ln re/ri
d 
d r ln r=−k⋅2⋅⋅r⋅L⋅
T 2−T 1
ln r e/ r i
1
r
Tr
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 C
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Pr
of
. D
r . 
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te
 L
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Sc
al
on
 
Definição de Resistência 
Térmica em Cascas Cilíndricas
Do apresentado anteriormente é fundamental pode-se 
definir o conceito de resistência térmica:
q= T
R term
 Rterm=
T
q
Para o caso de Cascas Cilíndricas:
Rterm=
T
q
= T
2⋅⋅k⋅L
ln re / ri 
⋅T
Rterm=
ln re /r i
2⋅⋅k⋅L
Tr
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 C
al
o r
Pr
of
. D
r . 
 V
ic
en
te
 L
ui
z 
Sc
al
on
 
Coeficiente Global é útil em 
trocadores de calor!
Coeficiente Global de 
Transmissão de Calor
h2,T ∞ ,2
RCond RConv,1RConv,2
h1,T ∞ ,1
q=U r⋅Ar⋅ T
T∞ ,2−T ∞,1
U i⋅Ai=U e⋅Ae=
1
Req
q= T
T∞ ,2−T ∞,1
Req
 ∧
T 1
T 2
r
r i
r e
IMPORTANTE: Para sistemas radiais é necessário escolher uma área de 
referência (Ai ou Ae) para definir o coeficiente global U
IMPORTANTE: Para sistemas radiais é necessário escolher uma área 
de referência (Ai ou Ae) para definir o coeficiente global U
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of
. D
r . 
 V
ic
en
te
 L
ui
z 
Sc
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on
 
Coeficiente Global é útil em 
trocadores de calor!
Coeficiente Global de 
Transmissão de Calor
h2,T ∞ ,2
RCond RConv,1RConv,2
h1,T ∞ ,1
q=U⋅A⋅ T
T ∞,2−T ∞ ,1
U⋅A= 1
Req
q= T
T∞ ,2−T ∞,1
Req
 ∧
T 1
T 2
r
r i
r e
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Pr
of
. D
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Sc
al
on
 
Observações importante sobre 
geometrias cilíndricas
● Não existe condução pura na direção radial 
em geometrias cilíndricas não vazadas.
● caso exista condução na direção axial, não 
existe variação de área e o problema é 
tratado como geometria plana. 
● soluções envolvendo condições de contorno 
de 2ª e 3ª espécies são resolvidos através de 
circuitos térmicos.
● apenas condições de 2ª espécie não 
permitem a solução do problema
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Sc
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on
 
Espessura Crítica de Isolamento
R isol Rconv
h ,T ∞
r
r e
Req=RisolRconv
Req=
ln r e /r i
2⋅⋅k⋅L
 1
h⋅2⋅⋅r e⋅L
Aconv
Analisando a dependência de 
 Req com o re:
● A resistência de convecção é inversa-
mente proporcional a área (re) 
● A resistência de condução é direta-
mente proporcional a área (re) 
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Sc
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on
 
Análise de Req por suas 
derivadas
∂ Req
∂ re
= 1
2⋅⋅k⋅L
⋅
∂ ln re−ln r i
∂ re
 1
h⋅2⋅⋅L
∂1/r e
∂ re
∂ Req
∂ re
= 1
2⋅⋅k⋅L
⋅1
r e
 1
h⋅2⋅⋅L − 1r e2 
Analisando a dependência de Req com a derivada 
em relação a re:
Buscando o ponto crítico:
∂ Req
∂ re
=0 1
2⋅⋅r c k⋅L
= 1
h⋅2⋅⋅rc
2⋅L r c=
k isol
hconv
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 L
ui
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on
 
Análise do Resultado
∂2 Req
∂ re
2 =
∂
∂ r e  1k− 1h⋅r e = 2h⋅re20Ponto de Mínimo
Assim para um determinado dispositivo:
● se Req < Req,c, um aumento de espessura re provoca 
aumento da dissipação de calor (diminuição da 
resistência térmica)
● se Req = Req,c, tem-se a máxima dissipação de calor
● se Req > Req,c,um aumento de espessura re provoca 
efeito isolante (aumento da resistência térmica)
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on
 
Comportamento da Req em 
Sistemas Cilíndricos