ESTATÍSTICA 1

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Autor: Prof. Mauricio Martins do Fanno
Colaboradores: Prof. Fábio Gomes da Silva
 Profa. Ana Carolina Bueno Borges
Estatística
Professor conteudista: Mauricio Martins do Fanno
Nascido em São Paulo-SP, é formado em Engenharia Mecânica pela Faculdade de Engenharia Industrial (FEI) e 
pós-graduado em Formação Didática do Ensino Superior. Desempenhou funções de gerente e diretor em diversas 
empresas nacionais, nas áreas de Engenharia, Manutenção e Produção. É professor do Ensino Superior desde 1986, 
atuando em diversas faculdades e universidades, lecionando disciplinas voltadas para a formação de administradores, 
tanto na área da Matemática quanto na de Administração. Na UNIP, ministra aulas desde 1993, nas disciplinas de 
Estatística, Administração da Produção e Materiais e Pesquisa Operacional.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
F213e Fanno, Maurício Martins do.
Estatística. / Maurício Martins do Fanno. – São Paulo: Editora 
Sol, 2020.
172 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ISSN 1517-9230.
1. Processos estatísticos. 2. Medidas estatísticas. 3. Teorias das 
probabilidades. I. Título.
CDU 519.2
U507.05 – 19
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcello Vannini
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Deise Alcantara Carreiro – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Juliana Maria Mendes
 Amanda Casale
Sumário
Estatística
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................8
Unidade I
1 ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS ....................................................................................................... 13
1.1 Dados e variáveis estatísticas .......................................................................................................... 13
1.2 Classificações das variáveis .............................................................................................................. 15
1.3 Amostragem ........................................................................................................................................... 17
2 PROCESSOS ESTATÍSTICOS ........................................................................................................................... 20
2.1 Coletas de dados ................................................................................................................................... 21
3 REPRESENTAÇÃO DOS DADOS COLETADOS ......................................................................................... 23
3.1 Conceito de frequência ...................................................................................................................... 23
3.2 Distribuições ou tabelas de frequências ..................................................................................... 24
3.2.1 Dados isolados ou dados não agrupados em classes ............................................................... 24
3.2.2 Dados agrupados em classes ............................................................................................................. 27
3.3 Frequências acumuladas ................................................................................................................... 31
4 REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS ..................................................................................................................... 34
4.1 Histogramas ............................................................................................................................................ 35
4.2 Gráficos de colunas ............................................................................................................................. 36
4.3 Gráficos de barras ................................................................................................................................ 37
4.4 Diagramas de ogiva ............................................................................................................................. 39
4.5 Setorgramas............................................................................................................................................ 43
4.6 Gráficos de dispersão .......................................................................................................................... 46
Unidade II
5 MEDIDAS OU PARÂMETROS ESTATÍSTICOS .......................................................................................... 54
5.1 Medidas de posição ............................................................................................................................. 54
5.1.1 Média ........................................................................................................................................................... 54
5.1.2 Mediana ...................................................................................................................................................... 60
5.1.3 Moda ............................................................................................................................................................ 66
5.2 Medidas de dispersão ......................................................................................................................... 72
5.2.1 Medidas de dispersão absolutas ....................................................................................................... 73
5.2.2 Medidas de dispersão relativas ......................................................................................................... 83
5.3 Relações gráficas entre as medidas estatísticas ...................................................................... 86
5.3.1 Assimetria .................................................................................................................................................. 87
5.3.2 Curtose ........................................................................................................................................................ 88
6 TEORIA ELEMENTAR DAS PROBABILIDADES ........................................................................................ 92
6.1 Definições de probabilidades ........................................................................................................... 92
6.2 Cálculos das probabilidades elementares ................................................................................... 94
6.3 Árvores de decisões ............................................................................................................................. 96
6.4 Análises combinatórias ...................................................................................................................... 98
6.5 Experimentos aproximadamente aleatórios ............................................................................1036.6 Eventos soma e Eventos produto ................................................................................................105
6.7 Eventos independentes e eventos vinculados ........................................................................108
Unidade III
7 REVISÃO DE PROBABILIDADES ................................................................................................................120
8 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL E DISTRIBUIÇÃO NORMAL ....................................................................126
8.1 Distribuição binomial ........................................................................................................................126
8.1.1 Valor e variância esperados na distribuição binomial .......................................................... 136
8.2 Distribuição normal ...........................................................................................................................141
8.2.1 Conceitos básicos ..................................................................................................................................141
8.2.2 Cálculo das áreas da curva normal ............................................................................................... 144
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APRESENTAÇÃO
O futuro profissional tem como uma das suas mais importantes funções, se não for a mais 
importante, tomar decisões. O ideal é que essas decisões sejam tomadas da maneira mais racional 
possível, com a maior quantidade de informações objetivas que conseguir. Evidentemente nem 
sempre isso será possível. Administrar, normalmente, é trafegar num ambiente cambiante, que a cada 
momento apresenta características diferentes. A Estatística, no entanto, colabora de maneira decisiva 
para aumentar, a custos razoáveis, o grau de objetividade das decisões que tomamos ao longo da 
nossa vida profissional.
Em qualquer atividade humana lidamos com situações, com problemas, com questões que apresentam 
algum grau de incerteza, algum grau de imprevisibilidade. Evidentemente em profissões como Engenharia 
o grau de imprevisibilidade é muito menor do que em Administração, por exemplo, mas também ocorre. 
Lidar com essas imprevisibilidades é a função mais central da Estatística.
Imagine por um instante que necessitamos tomar uma decisão administrativa. Por exemplo, em que 
tipo de aplicação investir o capital da nossa empresa, ou qual o melhor processo de fabricação do nosso 
produto, ou, ainda, qual a melhor mídia para a campanha publicitária de lançamento de um novo produto? 
Perceba como essas decisões estão submetidas a incertezas: não podemos “adivinhar” a valorização exata 
de uma aplicação, nem a produtividade real de um processo e menos ainda a efetividade de uma campanha 
publicitária, mas, se tivermos informações históricas de ocorrências similares anteriores, nós poderemos 
decidir com um maior grau de confiança. Além disso, no caso de podermos saber até que ponto essas 
ocorrências anteriores permanecem válidas, melhores ainda serão nossas decisões.
A Estatística vai nos ajudar nessas questões, primeiro coletando, organizando e “digerindo” as 
informações históricas para, em seguida, extrapolar essas conclusões para situações futuras, para novos 
cenários, para novos ambientes, permitindo que o profissional pise em chão mais firme.
Uma situação que todos nós acompanhamos ciclicamente pode nos ajudar a entender o objetivo 
deste curso e mesmo desta disciplina. A cada dois anos, acompanhamos com interesse as eleições para 
os diversos casos públicos. Quatro ou cinco meses antes da eleição, já desejamos saber quem será o 
próximo presidente da república, por exemplo. Claro está que isso não é, objetivamente falando, possível 
antes que a eleição se consubstancie na data estabelecida, mas conseguimos nos aproximar muito dos 
resultados por meio do processo conhecido como pesquisa eleitoral.
Como é feita essa pesquisa? Primeiro é escolhido um pequeno grupo de eleitores, algumas vezes, 
menos de mil pessoas. A esses eleitores, pergunta-se em quem votariam se a eleição fosse naquele 
momento. As respostas coletas são organizadas e trabalhadas, e a partir desse trabalho os jornais e 
as revistas publicam previsões do resultado da eleição. Obviamente esse resultado não é exato nem 
imutável, mas nos dá uma boa ideia de como evolui a campanha eleitoral.
Esse processo é exatamente o que pretendemos abordar neste curso. A partir de informações coletadas 
sobre determinado assunto, podemos prever o comportamento do ambiente, no futuro ou em outro contexto. 
Claro que sempre tendo em vista que, para nós, a Estatística é mais uma ferramenta para nosso uso.
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O processo de coleta, organização e tratamento de dados históricos é conhecido por Estatística 
Descritiva e é o principal assunto deste livro-texto, que é completado pelos conceitos de Probabilidades.
Terminados esses assuntos, estaremos aptos a entender o comportamento estatístico de amostras e 
iniciarmos os estudos da indução estatística, predizendo características de populações estatísticas.
Esperamos que, com este material, você tenha a oportunidade de aprender os conceitos básicos de 
Estatística e esteja apto a continuar os estudos nessa área quando necessário for.
Observe que este texto foi produzido para apresentar os principais conceitos de Estatística da 
maneira mais aproximada possível da prática administrativa, evitando-se, portanto, aprofundamento 
desnecessário na área de cálculo; é indispensável, no entanto, uma base matemática já adquirida em 
disciplinas anteriores. Na medida do possível, procuramos rever os conceitos matemáticos necessários.
O estudo da Estatística, como o de todas as Ciências Exatas, obriga à repetição, o maior número de 
vezes possível, de exercícios de fixação. No presente material, os cálculos definidos são mostrados uma 
vez, como exemplo, e repetidos em alguns exercícios de fixação, mas o aluno deve se lembrar de que 
terá à disposição, nos materiais complementares, uma grande quantidade de exercícios e problemas, e 
de que o aprendizado somente será garantido caso estes sejam feitos em sua totalidade.
Bons estudos!
INTRODUÇÃO
O primeiro passo no nosso caminhar é entender o que é, como se divide e quais são os objetivos da 
Estatística, algo que faremos imediatamente.
Define-se estatística como o conjunto de métodos e processos destinados a permitir o entendimento 
de um universo submetido a certas condições de incerteza, ou seja, de não determinismo matemático. 
Por exemplo, o dimensionamento do diâmetro das hastes do amortecedor de um automóvel é feito 
por meio de cálculos matemáticos de elevada precisão estudados num capítulo da Física chamado 
de “Resistência de Materiais”. No entanto, a vida útil desse amortecedor depende não só de seu 
dimensionamento, mas também de uma série de condições em que impera a incerteza, que pode, 
resumidamente, ser chamada de condições de uso. Neste último caso, entramos no campo da 
Estatística. De modo mais sintético, podemos dizer que a Estatística é a ciência que se ocupa de 
descrever, analisar e interpretar dados experimentais.
Para entendermos melhor o processo estatístico, é necessário definir dois conceitos básicos: 
população e amostra. Considera-se população o conjunto formado por todos os elementos que têm 
em comum a característica que estamos estudando. Por exemplo, se estivermos pesquisando sobre o 
aprendizado de música, a população será formada por todas as pessoas que aprendem ou aprenderam 
música em algum momento.
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Deve-se notar que a população estatística normalmente é muito numerosa, às vezes infinita e, 
eventualmente, formada por elementos ainda não existentes. Assim, quando quisermos saber qual é 
a expectativa de vida de um brasileiro, estaremos diante de uma população muito extensa (todos os 
brasileiros) e formada por elementos prováveis, visto que as pessoas que estão sendo estudadas ainda 
não morreram.
Em razão dessas características da população, o processo estatístico começapelo estudo de uma 
amostra, que é uma parcela da população, mas uma parcela coerente com esta, ou seja, que segue 
todas as características dessa população. Assim, por exemplo, se determinada população tiver 62% de 
mulheres, as amostras tiradas desta deverão ter 62% de mulheres, se o sexo for fator importante no 
comportamento da característica estudada.
Uma amostra é finita e tem relativamente poucos elementos, de valores definidos. Desse modo, se 
quisermos definir a expectativa de vida de todos os brasileiros, tomaremos uma amostra finita de poucos 
brasileiros já falecidos. Assim, haveria poucos elementos a se estudar e de valor definido (a idade em que 
morreram). Deve-se ressaltar que essa amostra retirada deve reproduzir todas as condições importantes 
para a duração da vida da população, tais como sexo, posição socioeconômica, educação etc.
Tanto os elementos das populações quanto os das amostras assumem valores para a 
característica que estamos estudando; por exemplo, a população formada pelos seguidores 
religiosos pode apresentar católicos, evangélicos, espíritas etc. Esses são alguns dos valores que a 
variável religião pode assumir. Assim, a característica da população ou da amostra que estamos 
estudando pode ser expressa de acordo com uma variável, que pode assumir diferentes valores. 
Podemos distinguir as variáveis em dois grupos:
• variáveis qualitativas: apresentam atributos como valor, por exemplo, cor de cabelos, orientação 
sexual, times de futebol etc.;
• variáveis quantitativas: apresentam valores numéricos, tais como peso e idade de pessoas, número 
de defeitos na produção de uma peça etc., podendo, ainda, ser divididas em duas categorias:
– discretas: são variáveis que podem apresentar apenas valores predeterminados em um conjunto, 
ou seja, não existirão valores intermediários (exemplos: número de filhos de um casal, número de 
defeitos numa linha de produção, quantidade de ações em alta numa bolsa de valores etc.); essas 
variáveis estão ligadas às contagens;
– contínuas: apresentam, teoricamente, qualquer valor dentro de um faixa possível (exemplos: 
pesos dos estudantes de uma faculdade, diâmetros dos eixos produzidos por certa máquina, 
índices de inflação em vários períodos etc.); essas variáveis estão ligadas às medições.
Deve-se notar que essa diferenciação entre variáveis discretas e contínuas pode ser tênue, em 
razão da quantidade de elementos envolvidos e da precisão de medida. Por exemplo: se medirmos 
o diâmetro de uma peça com paquímetro, iremos obter medidas em centésimos de milímetro, quer 
dizer, a medida de 18,56 mm, na verdade, é um valor entre 18,555 e 18,564; não é possível saber, a 
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menos que troquemos o paquímetro por um micrômetro. Assim, a variável contínua diâmetro da 
peça comporta-se como discreta após a precisão de centésimos de milímetro.
 Lembrete
Paquímetro e micrômetro são instrumentos de medição de precisão. 
A diferença operacional entre os dois é a precisão. O paquímetro é menos 
preciso que o micrômetro, ou seja, faz leituras mais “arredondadas”.
A existência dos conceitos de população e de amostra nos conduz à diferenciação entre dois campos 
da Estatística: a Estatística Descritiva e a Estatística Indutiva.
A Estatística Descritiva cuida da coleta, da organização, do resumo e da apresentação dos dados de 
um conjunto (no fundo, é um tratamento das variáveis estatísticas). Evidentemente, esse conjunto tem 
de ser finito e com elementos com valores definidos e determináveis, ou seja, uma amostra.
Já a Estatística Indutiva procura inferir comportamentos e respaldar decisões coerentes acerca de 
uma população, normalmente, com base em dados obtidos pela Estatística Descritiva de uma amostra.
 Observação
Inferir significa concluir, deduzir. Em estatística, o termo é utilizado 
como resultado do processo em que se prevê o comportamento de um 
experimento a partir de observações amostrais.
Vamos supor que queiramos determinar a expectativa de vida dos brasileiros. A população, 
evidentemente, é correspondente a todos os brasileiros vivos. Isso nos conduz a dois entraves: a 
quantidade de elementos da população é muito grande, e os valores da variável idade de morte são 
prováveis não reais. A maneira de se contornar isso é por meio da amostragem: tomamos uma amostra 
(segundo regras estatísticas que veremos) que represente a população brasileira, ou seja, mesma divisão 
por sexos, classes sociais, regiões geográficas etc., e cujos elementos, já tendo falecido, permitam a 
coleta das idades de morte. Essa coleta, bem como todo o tratamento posterior da amostra, é feita 
mediante a Estatística Descritiva, e os resultados desse tratamento estatístico da amostra são estendidos 
à população inteira, por meio de ferramentas da Estatística Indutiva. Dessa forma, podemos determinar 
a expectativa de vida de todos os brasileiros, com algumas ressalvas:
• a indução vale para a população como uma totalidade homogênea; não é possível aplicá-la a um 
indivíduo específico;
• a previsão é de um valor provável, portanto sujeito a um erro estatístico, ou seja, a uma faixa de 
incerteza, determinada estatisticamente, em torno do resultado esperado; esse erro depende das 
condições da população e da amostra.
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Quando tratamos de um resultado obtido para uma população, falamos em valor provável, e não 
num valor exato. Isso nos remete ao campo da Matemática que estuda a Teoria das Probabilidades.
O estudo da Teoria das Probabilidades, com os estudos da Estatística Descritiva e da amostragem, são 
as ferramentas necessárias para a utilização da Estatística Indutiva.
Primeiramente, trataremos dos assuntos referentes à seleção e a coleta de dados, ponto de partida 
para qualquer estudo estatístico. Em seguida, verificaremos como esses dados coletados são inicialmente 
tratados por meio da tabulação, do resumo e da representação dessas informações, tanto do ponto 
de vista gráfico quanto do analítico. Depois, abordaremos os parâmetros ou as medidas estatísticas; 
primeiro, as medidas de posição e, em seguida, as medidas de dispersão. E ainda abordaremos a Teoria 
Elementar das Probabilidades. Por fim, falaremos sobre a distribuição binomial e distribuição normal.
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ESTATÍSTICA
Unidade I
1 ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS
Entende-se por Estatística o conjunto de conceitos, técnicas e ferramentas destinados a organizar, 
descrever, analisar e interpretar dados. Dados são valores apresentados por um determinado fenômeno 
ou observação, por exemplo, as alturas dos alunos de uma classe, o salário dos funcionários de 
um departamento, o volume de vendas de uma empresa ou a cor dos olhos das modelos de uma 
agência. Esses dados são coletados em estado bruto e submetidos a sucessivos tratamentos, com 
vistas a organizá-los, resumi-los e analisá-los. Neste primeiro momento iremos nos ater à coleta e à 
organização dos dados.
 Saiba mais
O site português <http://www.alea.pt> tem interessantes abordagens 
sobre a ciência estatística em linguagem fácil e precisa. Mediante jogos e 
desafios, você pode aprofundar seu conhecimento sobre o tema.
1.1 Dados e variáveis estatísticas
Entendemos como conjunto de dados o objeto de trabalho da Estatística. Esses dados são valores 
assumidos pelos elementos de um conjunto de indivíduos que apresentam em comum uma característica 
estudada. Caso você olhe à sua volta na empresa em que trabalha, verá uma grande quantidade de 
indivíduos, todos eles dotados de infinitas características, tais como cor dos olhos e dos cabelos, altura 
e peso, salário e idade, time de futebol do coração ou religião. Dessas infinitas características, estaremos 
atentos a uma delas, objeto do nosso estudo estatístico.
Digamos que estejamos, no momento, desejando entender como se comporta a remuneração dos 
funcionários dessa sua empresa. Iremos então coletar dados relativos a essa remuneração, ou seja, os 
salários. Salário, portanto, será a característica que estudaremos e que poderá assumir um determinado 
valorem uma faixa lógica.
Dizemos, assim, que, nesse referido estudo, salário é a variável estudada. Perceba que todos os 
funcionários da empresa têm uma série de outras características, mas a que nos interessa é o salário. As 
outras poderão ter importância para nós, mas não serão nossa variável de estudo. Coletar dados é obter 
os diversos valores que a variável estudada assume.
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Unidade I
Outro fator importante a ser observado é a quantidade de elementos com que temos condição 
de trabalhar e a possibilidade ou não de medirmos seu valor. Dependendo dessas duas observações, 
deveremos utilizar ferramentas diferentes de organização e análise dos dados. Observe os seguintes 
exemplos, para tornarmos mais claro o raciocínio:
• Desejamos saber se os chefes de família das casas da rua em que moramos são mais ou menos 
altos em relação ao conjunto de brasileiros de modo geral. A primeira providência a se tomar seria 
medir todos os chefes de família, para obter os valores da variável estudada (altura). Perceba que, 
a não ser que moremos numa rua muito extensa, o processo de coleta de dados não será tão 
trabalhoso assim, principalmente pelo fato de que todos saberão responder a altura que têm.
• No entanto, caso desejemos saber se os chefes de família de todas as casas de nossa cidade são mais ou 
menos altos em relação aos brasileiros, passaremos a ter um primeiro inconveniente: a quantidade de 
elementos que deverão ser medidos. Mesmo que moremos numa cidade pequena, a quantidade de dados 
a serem coletados pode atingir facilmente a casa dos milhares. Perceba que o trabalho que teremos em 
levantar esses dados possivelmente não será compensado pela informação obtida.
• Em contrapartida, imagine a seguinte situação, em que desejamos saber se as crianças da nossa 
rua serão mais ou menos altas em relação às outras crianças brasileiras quando crescerem. Nesse 
caso, a quantidade de crianças não deve ser tão grande, mas, em compensação, não teremos 
como medi-las no dia de hoje: elas ainda estão crescendo, portanto a altura delas quando adultas 
não é um valor definido, e sim provável.
Perceba, pelos exemplos anteriores, que, dependendo da situação, teremos dificuldades (ou 
facilidades) diferentes. Em Estatística, costumam-se dividir as situações descritas em dois grandes 
campos: amostra e população.
Amostra é um conjunto que tem relativamente poucos elementos, e o valor da variável estudada 
para esses elementos é real e verificável. É o caso do primeiro item.
População é o conjunto que tem relativamente muitos elementos e/ou cujos valores da variável 
estudada não são reais e verificáveis, casos do segundo e do terceiro item.
Observe que, para configurarmos uma amostra, é necessário que a quantidade de elementos seja 
pequena e o valor seja real; caso contrário, nós estaremos configurando uma população. Situações 
envolvendo amostras terão tratamentos diferentes daquelas envolvendo populações.
 Lembrete
Usaremos em Estatística, várias vezes, as conjunções ou, significando 
alternativa, opção, e sua oposta e, significando obrigação, imposição. 
Assim, ou será usada quando tivermos opção entre duas ou mais 
situações, enquanto e será adotada quando tivermos obrigação de atender, 
simultaneamente, a duas ou mais situações.
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ESTATÍSTICA
É importante também notar que, quando falamos em quantidades grandes ou pequenas, estamos 
relativizando-as, ou seja, trabalhar com mil elementos pode ser uma grande quantidade ou uma pequena 
quantidade, dependendo dos recursos (monetários, de tempo, de espaço etc.) disponíveis.
Exemplificando: suponha que queiramos levantar as idades de todos os alunos que estão cursando 
Estatística neste semestre. Caso nós tenhamos ao nosso dispor os cadastros dos alunos no sistema de 
informação da instituição, a quantidade de alunos será relativamente pequena, pois temos recursos 
suficientes, mas se tivermos de consultar um por um dos alunos, a quantidade será relativamente 
grande, pois não teremos recursos para tanto.
De modo geral, podemos dizer que informações envolvendo amostras são obtidas por meio da 
Estatística Descritiva, e aquelas envolvendo populações, por meio da Estatística Indutiva; e que, para 
conhecermos o comportamento estatístico das populações, retiramos delas amostras para estudo.
 Observação
Tanto as populações quanto as amostras são formadas por dados que 
podem ser primários ou secundários. Dados primários são aqueles coletados 
especificamente para o estudo que estamos fazendo. Dados secundários 
são colhidos para outra finalidade, mas são utilizados no nosso estudo.
1.2 Classificações das variáveis
Vimos anteriormente que entendemos por variável a característica envolvida em nosso estudo estatístico. 
Variáveis podem ser de vários tipos diferentes, os quais determinarão os estudos estatísticos possíveis.
Algumas variáveis expressam atributos ou qualidades dos indivíduos, por exemplo, religião, sexo, 
estado civil etc. São as chamadas variáveis qualitativas. Outras apresentam como resultado possíveis 
valores numéricos, por exemplo, número de filhos, altura, salário, idade etc. São as chamadas variáveis 
quantitativas.
As variáveis qualitativas podem ser divididas em duas categorias: variáveis qualitativas nominais, 
quando não é possível fazer nenhum tipo de ordenação, e variáveis qualitativas ordinais, quando 
alguma ordenação é possível. Podemos citar como exemplos as perguntas que seguem.
Ao questionarmos “Você pratica esportes?”, há duas respostas possíveis: sim e não. Trata-se, 
portanto, de uma variável qualitativa nominal. Caso a pergunta fosse “Com que intensidade você pratica 
esportes?”, a resposta poderia ser: nenhuma, pequena, média ou grande. Estaríamos tratando de uma 
variável qualitativa ordinal.
As variáveis quantitativas, por seu lado, também podem apresentar duas categorias. As variáveis 
quantitativas discretas são aquelas em que os resultados formam um conjunto finito e previsível 
de números, enquanto as variáveis quantitativas contínuas apresentam como resultados todos os 
16
Unidade I
valores numéricos em um intervalo de números reais. A pergunta “Quantos irmãos você tem?” produz 
uma variável quantitativa discreta (0, 1, 2, 3...). Já a pergunta “Quanto você pesa?” gera uma variável 
quantitativa contínua (qualquer valor dentro de uma faixa lógica para um ser humano). Para simplificar, 
costumamos dizer que, quando contamos, estamos diante de uma variável quantitativa discreta, e, 
quando medimos, estamos diante de uma variável quantitativa contínua. Contamos o número de 
irmãos que temos e medimos nossa massa numa balança.
É importante observar que os estudos estatísticos apresentam quantidade de informação diferente 
para cada tipo de variável nesta sequência crescente: variáveis qualitativas nominais, variáveis 
qualitativas ordinais, variáveis quantitativas discretas e variáveis quantitativas contínuas. Desse modo, 
um estudo estatístico que utilize variáveis quantitativas contínuas nos trará muito mais informações 
que um estudo que utilize variáveis qualitativas nominais.
Um exemplo simples deixa mais clara essa ideia: suponha que uma instituição de ensino deseje 
avaliar seus docentes. Para tanto, irá arguir seus alunos, e essa arguição poderá ser feita de uma das 
formas a seguir:
• O desempenho do docente considerado é adequado? Respostas possíveis: sim e não. Estamos 
trabalhando, portanto, com uma variável qualitativa nominal.
• Classifique em Ruim, Regular, Bom ou Ótimo o desempenho do docente considerado. A variável 
continua qualitativa, mas tornou-se ordinal. A quantidade e a qualidade das informações 
aumentaram.
• Atribua ao desempenho do docente considerado as notas 0, 1, 2, 3, 4 ou 5, sendo 0 para totalmente 
inadequado e 5 para totalmente adequado. A questão irá trabalhar com variável qualitativa 
discreta. Mais uma vez, aumentamos o “poder” da pesquisa.
• Numa escala de zero a cinco, avalie o desempenho do docente considerado. Você pode atribuir 
ao docente uma avaliaçãode 3,4, por exemplo; ou seja, estamos trabalhando com uma variável 
quantitativa continua, e essa é a forma que nos trará mais informações.
Exemplo de AplicaçãoExemplo de Aplicação
1. Considerando que as variáveis qualitativas se dividem em nominais (N) e ordinais (O) e que as 
variáveis quantitativas se dividem em discretas (D) e contínuas (C), assinale a alternativa que relaciona 
correta e respectivamente as seguintes variáveis estatísticas: número de defeitos numa linha de produção; 
tempo de casa dos funcionários de uma empresa; cores das camisetas de uma coleção de verão; vendas 
anuais em reais dos produtos de uma empresa; satisfação dos clientes com nossos serviços; bairro em 
que moramos:
A) C; C; N; C; O; N.
B) D; C; N; C; O; N.
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ESTATÍSTICA
C) D; C; N; N; O; N.
D) D; C; N; C; N; N.
E) C; C; N; C; O; N.E) C; C; N; C; O; N.
1.3 Amostragem
Abordamos anteriormente que amostra e população são tratadas de maneira diversa na Estatística 
e também que os elementos de um conjunto de indivíduos têm inúmeras características, uma das 
quais está sendo estudada e é chamada de variável. Falta falarmos das demais características desses 
elementos e de algumas relações entre populações e amostras.
Frequentemente, quando desejamos saber algo a respeito de uma população, utilizamos uma 
amostra como campo de estudo do fenômeno e expandimos (extrapolamos) as conclusões para a 
população. A situação mais conhecida e mais didática que podemos usar são as pesquisas eleitorais. 
Meses ou dias antes de uma eleição, desejamos saber (antever, prever ou predizer) o resultado 
dessa eleição. Isso é possível, com certa margem de erro, por meio de um processo conhecido como 
amostragem. Esse processo se inicia no planejamento da amostra, que deve reproduzir em pequena 
escala todas as características da população. A ideia é a mesma do enólogo (aquele que prova vinhos): 
ele não precisa beber uma garrafa inteira (ou um tonel) para dizer se o vinho é bom ou ruim; basta 
uma pequena dose, a amostra. Ocorre que o vinho é uma substância totalmente homogênea, todas 
as partes dele são idênticas. Já se fosse uma feijoada, não teríamos a mesma homogeneidade. A 
feijoada é heterogênea.
Isso significa que não podemos usar o mesmo princípio de amostragem do vinho para a feijoada? Não. 
Podemos usar sim, mas com alguns cuidados. Na amostra de feijoada que iremos provar, é necessário 
que todas as suas partes sejam representadas, ou seja, precisamos pegar um prato em que estejam 
representados todos os componentes da feijoada (linguiças, paio, toucinho etc.). É mais fácil definir a 
qualidade do vinho do que de uma feijoada, ou seja, termos maior margem de erro no teste da feijoada 
que no do vinho. Por quê? Justamente em razão da heterogeneidade da feijoada. Anote isso; voltaremos 
a esse assunto oportunamente.
No caso da pesquisa eleitoral, a situação é a mesma da feijoada. A população eleitoral (todos 
os eleitores inscritos em determinada região eleitoral) é heterogênea, logo a amostra retirada 
deverá representar essa heterogeneidade, naquilo que é importante para a definição do voto. 
Vamos exemplificar numericamente. Suponha que os dados da Tabela 1 representem algumas das 
características da população de eleitores de uma determinada cidade na qual o próximo prefeito será 
eleito em novembro.
18
Unidade I
Tabela 1 – Características de uma cidade hipotética
Características da população Valores possíveis Porcentagem encontrada
Sexo
Feminino 48,2%
Masculino 51,8%
Idade
16 a 20 anos 12,3%
20 a 30 anos 24,6%
30 a 40 anos 26,9%
40 a 50 anos 15,8%
50 a 60 anos 14,6%
Acima de 60 anos 5,8%
Classe econômica
Classe A 8%
Classe B 22%
Classe C 43%
Classe D 27%
Time de futebol preferido
Arranca-Toco FC 45%
EC Deixa que eu Chuto 32%
CA Asveissóbrio 23%
Quando fazemos uma pesquisa eleitoral, queremos saber em quem o leitor irá votar, ou seja, a 
característica que nos interessa é a intenção de voto. Portanto, a variável de uma pesquisa eleitoral é a 
intenção de voto. Mas essa não é a única característica com a qual iremos nos preocupar.
Sabemos por experiência anterior que, por exemplo, homens e mulheres têm comportamentos 
diferentes na hora de votar; em outras palavras, utilizam critérios diferentes para escolher suas 
preferências. Dessa forma, quando tomarmos uma amostra, precisaremos tomar cuidado com a 
quantidade de homens e mulheres que dela farão parte. Não podemos considerar uma amostra 
na qual só temos homens ou mulheres. Digamos que vamos fazer uma pesquisa eleitoral na 
cidade, a partir de uma amostra de mil eleitores. Essa amostra deverá ser formada por 482 
homens (48,2% de 1.000) e por 518 mulheres (51,8% de 1000). Do mesmo modo nós devemos nos 
comportar com relação às outras características que têm importância na definição dos votos. Isso 
quer dizer que devemos manter a proporcionalidade de eleitores com relação à idade e à classe 
econômica, características que sabidamente influem na definição de voto. Caso não seja feito 
assim, introduziremos uma falha no nosso processo estatístico, um viés estatístico.
E a característica “time de futebol preferido”? Precisamos nos preocupar com ela? Evidentemente 
não. A preferência por um time de futebol não interfere na opção de voto (a não ser em casos muito 
especiais, dos quais a estatística não consegue se encarregar).
Podemos, portanto, dividir as características dos elementos de uma população ou de uma amostra 
em três categorias: a(s) características(s) estudada(s), chamada(s) variável(eis) estatística(s); as 
características principais, que definem a proporcionalidade das populações e suas amostras; e as 
19
ESTATÍSTICA
características secundárias, que não interferem nos nossos estudos estatísticos. Assim, é possível 
assumir que, a partir de uma amostra corretamente estabelecida, é possível conhecer uma população, 
por maior que seja ou menos reais que sejam seus elementos. O princípio é o mesmo do enólogo. 
Conhecermos o todo por uma pequena parte.
Claro que esse conhecimento não será composto de certezas absolutas; deverá haver alguma 
incerteza; em outras palavras, certa tolerância com as nossas conclusões. Assim, se numa amostra 
colhida para uma pesquisa eleitoral for revelada a preferência de 46% pelo candidato A, poderemos 
afirmar que a população provavelmente também terá 46% de eleitores para esse candidato, mas isso 
não é uma certeza: pode haver alguma variação, para mais ou para menos.
Essa tolerância é chamada de margem de erro e depende basicamente de três fatores:
• grau de homogeneidade da população: quanto mais homogênea for uma população, menor será 
a margem de erro;
• tamanho da amostra tomada: quantidade de elementos da qual é composta; dessa forma, uma 
pesquisa com mil eleitores tem maior margem de erro do que uma feita com 5 mil eleitores;
• grau de confiabilidade com o qual queremos trabalhar: podemos optar por ter maior ou menor 
confiança nas respostas obtidas; quanto maior confiança quiser ter, maior será a margem de erro.
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
2. Com relação ao processo de amostragem, foram feitas as seguintes afirmações:
I – Para que se possa estender para a população os resultados obtidos numa amostra, é necessário 
que amostra e população sejam proporcionais, ou seja, tenham todas as características importantes 
dos elementos representadas proporcionalmente.
II – Sempre que se induz uma conclusão da amostra para a população, ela será provável, ou seja, 
dotada de uma margem de erro.
III – A margem de erro de um processo amostral depende do tamanho da população e da 
homogeneidade desta.
IV – É possível induzir o comportamento de uma amostra a partir do conhecimento que se tem 
da população.
Escolha entre as alternativas aquela que contém afirmativas incorretas:
A) I; II.
B) I; III.
20
Unidade I
C) I; IV.
D) Todas as afirmativas contêm erros.
E) Todas as afirmativas estão corretas.
2 PROCESSOS ESTATÍSTICOS
Utilizando os conceitos dos itens anteriores,podemos definir os passos do processo estatístico.
• Definir objeto de estudo, populações e amostras envolvidas. Planejar amostras de modo que 
representem corretamente, sem vieses, as populações de que foram retiradas.
• Coletar os dados amostrais, ou seja, medir a variável estatística de cada um dos elementos 
da amostra.
• Tabular e representar os dados colhidos na forma de tabelas e gráficos, que permitam visualizar 
de modo amigável as informações disponíveis.
• Cálculo dos parâmetros estatísticos. Esses parâmetros são medidas que “resumem” as informações 
coletadas de modo mais imediato.
• Indução de parâmetros amostrais em parâmetros populacionais ou vice-versa. Consiste em fazer 
a relação entre populações e amostras, conforme descrito anteriormente.
Os primeiros passos constituem o campo da Estatística Descritiva, objeto de estudo deste livro-texto. 
O último passo vale-se dos anteriores e é o campo da estatística indutiva.
Passaremos a nos preocupar com cada um dos passos descritos, visando percorrer todo o 
processo estatístico.
 Saiba mais
O livro a seguir conta como a estatística transformou radicalmente 
os métodos de pesquisa na ciência, aumentando a credibilidade da 
investigação em diversos campos do saber. Ótima leitura para os iniciantes 
em Estatística:
SALSBURG, D. Uma senhora toma chá: como a Estatística revolucionou 
a ciência no século XX. Rio de Janeiro: Zahar, 2009.
21
ESTATÍSTICA
2.1 Coletas de dados
A coleta de dados é uma operação típica de campo na qual identificamos os valores da variável 
estatística para todos os elementos de uma amostra previamente definida. Frequentemente, essa amostra 
tem seus elementos definidos por escolha aleatória, ou seja, sorteamos um elemento da população para 
fazer parte da amostra. Como exemplo, imagine que um pesquisador de campo precise entrevistar 
um eleitor com as seguintes características: mulher; classe econômica B; grau de instrução superior; 
idade entre 30 e 35 anos; moradora da zona leste. Essa tarefa que lhe foi confiada teria origem no 
planejamento da amostra feito de acordo com os conceitos vistos no item anterior.
Para cumprir sua tarefa, o pesquisador irá a um local em que mais provavelmente encontrará 
alguém nessas condições e, após algumas pré-entrevistas, determinará um elemento com exatamente 
essas características. Esse elemento fará parte da amostra planejada e, para ele, o pesquisador fará as 
perguntas necessárias, por exemplo, em quem o entrevistado pretende votar.
As respostas dos elementos escolhidos para a amostra constituirão os dados brutos ou rol do estudo, 
ou seja, uma relação das respostas às questões sem nenhum tipo de ordenação, classificação ou elaboração.
A Tabela 2 exemplifica os dados brutos de uma pesquisa fictícia feita entre 42 alunos de uma 
universidade a respeito de alguns assuntos:
Tabela 2 – Dados brutos de uma amostra de alunos de uma universidade
Ordem Nome do aluno Estado civil
Curso em 
que está 
matriculado
Qualidade 
atribuída à 
instituição
Sexo
Idade 
em 
anos
Renda 
familiar
Número 
de DPs
1 Daiane Solteira Jornalismo Ótima F 19 R$ 3.220,00 2
2 Alberto Solteiro Administração Boa M 20 R$ 4.050,00 0
3 Rui Casado Direito Regular M 25 R$ 1.950,00 4
4 Carolina Casada Engenharia Ruim F 21 R$ 1.682,00 6
5 Joaquim Divorciado Marketing Péssima M 28 R$ 7.850,00 8
6 Rubens Solteiro Engenharia Ótima M 23 R$ 4.567,00 0
7 Jéssica Solteira Administração Boa F 20 R$ 10.567,00 0
8 Luis Carlos Solteiro Engenharia Regular M 20 R$ 2.687,00 2
9 Fernando Casado Direito Ótima M 27 R$ 3.654,00 1
10 Mayra Solteira Marketing Ruim F 19 R$ 956,00 1
11 Cristina Solteira Administração Boa F 18 R$ 1.350,00 0
12 Walter Casado Direito Péssima M 30 R$ 4.560,00 2
13 Leonardo Solteiro Jornalismo Boa M 34 R$ 5.892,00 3
14 Guilherme Divorciado Engenharia Regular M 29 R$ 7.652,00 5
15 Paula Solteira Administração Ruim F 20 R$ 1.950,00 5
22
Unidade I
16 Danilo Solteiro Marketing Boa M 20 R$ 1.386,00 2
17 Camila Solteira Administração Ótima F 20 R$ 6.560,00 2
18 Pedro Solteiro Direito Regular M 18 R$ 4.325,00 2
19 Vinicius Casado Administração Péssima M 26 R$ 1.956,00 1
20 José Solteiro Engenharia Boa M 24 R$ 2.654,00 3
21 Carlos Solteiro Administração Ótima M 23 R$ 1.965,00 0
22 Vanessa Solteira Administração Ruim F 22 R$ 3.654,00 0
23 Samanta Casada Jornalismo Boa F 21 R$ 2.987,00 0
24 Mauro Casado Administração Regular M 29 R$ 3.652,00 0
25 Mariana Solteira Engenharia Ruim F 23 R$ 1.978,00 0
26 Juliana Casada Administração Boa F 24 R$ 5.478,00 1
27 Arnaldo Solteiro Marketing Regular M 26 R$ 6.352,00 4
28 Marília Solteira Administração Péssima F 24 R$ 4.231,00 2
29 Neiva Solteira Administração Boa F 27 R$ 1.289,00 3
30 Roberto Solteiro Direito Regular M 23 R$ 2.987,00 4
31 Wilson Divorciado Administração Ótima M 28 R$ 3.645,00 5
32 Manoel Casado Direito Regular M 22 R$ 9.564,00 3
33 Marina Solteira Engenharia Boa F 21 R$ 6.523,00 4
34 Gustavo Solteiro Direito Ruim M 19 R$ 4.235,00 1
35 Maicon Solteiro Administração Ótima M 18 R$ 5.634,00 0
36 Ladyjane Casada Administração Péssima F 34 R$ 1.965,00 0
37 Maria Solteira Direito Boa F 36 R$ 1.932,00 1
38 Gabriel Solteiro Administração Regular M 27 R$ 1.002,00 0
39 Karina Solteira Jornalismo Ótima F 20 R$ 2.342,00 1
40 Diego Solteiro Direito Ruim M 21 R$ 2.569,00 2
41 Marcos Solteiro Engenharia Boa M 21 R$ 3.789,00 2
42 Valquíria Casada Administração Ruim F 29 R$ 4.675,00 3
Observe que as características arroladas na Tabela 2 são variáveis de diferentes tipos, como mostrado 
no quadro a seguir:
Quadro 1 – Variáveis, tipos e significados
Variável Significado Tipo de variável
Ordem É a sequência em que coletamos os dados. Relaciona a entrevista à ordem utilizada.
Variável qualitativa nominal. Constitui apenas 
um atributo qualitativo.
Nome do aluno O primeiro nome de cada um dos entrevistados. Variável qualitativa nominal. Constitui apenas um atributo qualitativo.
Estado civil Estado civil do aluno. Variável qualitativa nominal. Constitui apenas um atributo qualitativo.
23
ESTATÍSTICA
Curso em que está 
matriculado Curso ao qual o aluno pertence.
Variável qualitativa nominal. Constitui apenas 
um atributo qualitativo.
Qualidade atribuída à 
instituição Qual é qualidade do curso percebida pelo aluno.
Variável qualitativa ordinal. Constitui apenas um 
atributo qualitativo que mostra intensidade.
Sexo M significa masculino; F significa feminino. Variável qualitativa nominal. Constitui apenas um atributo qualitativo.
Idade Quantos anos cada aluno tem.
Variável quantitativa contínua. Apesar de ser 
dada em anos, permitiria que fosse medida em 
valores fracionários (meses, dias, até horas).
Renda familiar Qual é a renda da família nuclear do aluno. Variável quantitativa continua. Medida em valores fracionários 
Número de DPs Quantas dependências o aluno tem para cursar. Variável quantitativa discreta. Os valores são obrigatoriamente inteiros. Não existe “meia DP”.
A Tabela 2 relaciona uma grande quantidade de dados que dificilmente poderão ser entendidos se 
não forem agrupados, organizados, resumidos e apresentados de modo minimamente atraente.
As maneiras mais comuns de trabalharmos esses dados são o assunto do nosso próximo tópico.
3 REPRESENTAÇÃO DOS DADOS COLETADOS
Os dados brutos trazem toda a informação necessária para entendermos estatisticamente um 
determinado assunto, mas, como o próprio nome indica, a ausência de algum refinamento faz que 
não seja possível chegarmos a conclusões de qualidade. Para permitir essas conclusões e mesmo o 
entendimento das informações, devemos representar esses dados de uma forma mais imediata, seja 
analiticamente, por meio de quadros e tabelas, seja graficamente, aproveitando-nos do impacto visual 
que os gráficos causam. Faremos isso com uma sequência de definições e procedimentos objetos 
deste tópico.
 Saiba mais
No Brasil, os dados necessários para relacionarmos populações e 
amostras são normalmente obtidos no Instituto Brasileiro deGeografia e 
Estatística (IBGE), cujo site é: <www.ibge.gov.br>. Experimente consultá-lo.
3.1 Conceito de frequência
Trata-se do número de vezes em que determinado valor (ou faixa de valores) se repete na amostra. 
Inicialmente, podemos citar:
• Frequência simples (fi): é o número de vezes em que determinado valor aparece, contado diretamente. 
O símbolo mencionado significa a frequência do iésimo valor, ou seja, de um determinado valor 
que será numerado em sequência. Desse modo, o primeiro valor terá a frequência f1, o segundo, 
a frequência f2 e assim por diante. Essa notação do iésimo termo será utilizada em todas as 
24
Unidade I
definições posteriores. A somatória de todas as frequências gerará a frequência total (ft), que 
corresponderá, evidentemente, ao número total de elementos da amostra (N). A fórmula 
matemática envolvendo essas definições é:
f f ouN ft
i
n
i
i
n
i= =
= =
∑ ∑
1 1
• Frequência relativa (fri): é a frequência simples dividida pela frequência total, ou seja, é o “peso” que 
cada valor tem na amostra total. Pode ser apresentada em valor decimal ou em valor percentual. 
A somatória das frequências relativas de todos os valores é igual a 1 ou 100%.
f
f
f
ou f
f
fri
i
t
ri
i
t
= = ×% 100
Com essas duas definições, podemos começar a agrupar os dados coletados em tabelas mais 
resumidas; são as chamadas tabelas ou distribuições de frequências.
3.2 Distribuições ou tabelas de frequências
Trata-se de um quadro que resume os valores da variável estudada na amostra, mediante o 
relacionamento do valor com sua frequência. Pode assumir dois formatos diferentes, conforme 
descrevemos a seguir.
3.2.1 Dados isolados ou dados não agrupados em classes
Esse formato é utilizado quando estamos trabalhando com variáveis qualitativas ou com variáveis 
quantitativas discretas. Os valores dos dados são tomados como foram colhidos, sem nenhum tipo 
de agrupamento, relacionados à sua frequência. Já que os valores são exatamente como foram 
colhidos, não há perda de precisão. O inconveniente é que pode ser gerada uma tabela de frequências 
com muitos dados, o que dificulta o tratamento estatístico. A Tabela 3 mostra alguns exemplos de 
distribuições de frequências desse tipo, produzidas a partir dos dados brutos constantes da Tabela 2. 
Essa tabela foi construída unicamente pela contagem e pelo relacionamento dos dados coletados. 
Assim, por exemplo, na tabela de frequências de estados civis os valores possíveis encontrados na 
Tabela 2 são: casados, divorciados e solteiros. Estes foram mostrados na tabela apenas em ordem 
alfabética. A frequência simples foi obtida pela simples contagem dos componentes de cada uma das 
categorias. A frequência total é a soma das frequências simples, e as frequências relativas, a divisão 
das frequências simples pela frequência total. Assim, existem 11 alunos casados num total de 42 
alunos, o que significa uma frequência relativa de:
f
f
f
ou f
f
fri
i
t
ri
i
t
= = = = × = × =11
42
0 262 100
11
42
100 26 2, , %%
Raciocínio semelhante foi feito para as demais variáveis qualitativas e quantitativas discretas, como 
se vê na tabela que segue.
25
ESTATÍSTICA
Tabela 3 – Distribuição de frequências – Dados não agrupados
Distribuição de frequências – Estados civis
Estado civil Frequência simples
Frequências relativas
Decimal Percentual
xi fi fri fri%
Casados 11 0,262 26,2%
Divorciados 3 0,071 7,1%
Solteiros 28 0,667 66,7%
Total ft 42 1,000 100,0%
Distribuição de frequências – Cursos com matriculados
Cursos com matriculados Frequência simples
Frequências relativas
Decimal Percentual
xi fi fri fri%
Administração 17 0,405 40,5%
Direito 9 0,214 21,4%
Engenharia 8 0,190 19,0%
Jornalismo 4 0,095 9,5%
Marketing 4 0,095 9,5%
Total ft 42 1,000 100,0%
Distribuição de frequências – Número de dependências
Número de dependências Frequência simples
Frequências relativas
Decimal Percentual
xi fi fri fri%
0 12 0,286 28,6%
1 7 0,167 16,7%
2 9 0,214 21,4%
3 5 0,119 11,9%
4 4 0,095 9,5%
5 3 0,071 7,1%
6 1 0,024 2,4%
8 1 0,024 2,4%
Total ft 42 1,000 100,0%
Distribuição de frequências – Sexo
Sexo Frequência simples
Frequências relativas
Decimal Percentual
xi fi fri fri%
Masculino 24 0,571 57,1%
Feminino 18 0,429 42,9%
Total ft 42 1,000 100,0%
Agrupamento dos dados brutos relacionados na Tabela 2
26
Unidade I
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
3 (ENADE 2006 – Adaptado). A tabela a seguir mostra como se distribui o tipo de ocupação dos 
jovens de 16 a 24 anos que trabalham em cinco regiões metropolitanas e no Distrito Federal.
Tabela 4 – Distribuição dos jovens ocupados, de 16 a 24 anos, segundo posição 
na ocupação – Regiões metropolitanas e Distrito Federal – 2005 (em porcentagem)
Regiões 
metropolitanas 
e Distrito 
Federal
Assalariados Autônomos
Empregado 
doméstico OutrosTotal
Setor privado Setor público
Total
Trabalha 
para o 
público
Trabalha 
para 
empresasTotal
Com 
carteira 
assinada
Sem 
carteira 
assinada
Belo Horizonte 79,0 72,9 53,2 19,7 6,1 12,5 7,9 4,6 7,4 (1)
Distrito Federal 80,0 69,8 49,0 20,8 10,2 9,8 5,2 4,6 7,1 (1)
Porto Alegre 86,0 78,0 58,4 19,6 8,0 7,7 4,5 3,2 3,0 (1)
Recife 69,8 61,2 36,9 24,3 8,6 17,5 8,4 9,1 7,1 (1)
Salvador 71,6 64,5 39,8 24,7 7,1 18,6 14,3 4,3 7,2 (1)
São Paulo 80,4 76,9 49,3 27,6 3,5 11,3 4,0 7,4 5,3 (1)
Nota: (1) A amostra não comporta a desagregação para esta categoria.
Fonte: Convênio DIEESE/Seade, TEM/FAT e convênios regionais. PED – Pesquisa de Emprego e Desemprego. Elaboração: DIEESE.
Dessas regiões estudadas, entre os jovens do setor privado que são assalariados, afirma-se que:
I – A região metropolitana que apresenta maior percentual de jovens sem carteira assinada é a 
de Recife.
II – A região metropolitana que apresenta menor percentual de jovens no setor público é a de 
São Paulo.
III – Salvador é a região metropolitana em que existe a maior relação de autônomos sobre assalariados.
IV – A maior quantidade percentual de jovens assalariados ocorre na região metropolitana de 
Porto Alegre.
Escolha entre as alternativas a seguir aquela que contém afirmativas incorretas:
A) I; II.
B) I; III.
C) I; IV.
27
ESTATÍSTICA
D) Todas as afirmativas contêm erros.
E) Todas as afirmativas estão corretas.E) Todas as afirmativas estão corretas.
3.2.2 Dados agrupados em classes
Esse formato é o indicado quando trabalhamos com variáveis quantitativas contínuas. Neste caso, os 
valores são agrupados por classes, o que reduz a quantidade de informações trabalhadas, mas provoca, 
consequentemente, uma perda de precisão.
A construção dessa tabela é mais trabalhosa que a anterior e se justifica pelo fato de que apresenta 
os dados de modo mais resumido. Caso não a utilizássemos, iríamos produzir uma tabela de frequências 
muito extensa, com excesso de valores diferentes, cada um deles com baixa frequência. Para construí-la, 
necessitamos definir alguns conceitos e tomar algumas decisões.
A primeira providência é escolher o número de classes (n) em que iremos agrupar os dados. Devemos 
notar que, se utilizarmos muitas classes, aumentaremos o trabalho no tratamento dos dados; se 
utilizarmos poucas, prejudicaremos a precisão das conclusões. Existem muitas recomendações diferentes 
para a adoção do número de classes; adotaremos a relação de Sturges:
n = 1 + 3,33 log N
Onde n é o número de classes recomendado e N é o número de total de elementos da nossa amostra. 
Lembre-se de que:
N ft=
Na Tabela 1, temos uma amostra de 42 alunos; portanto, caso queiramos montar a tabela de frequências 
das rendas familiares deles (que é uma variável quantitativa contínua), deveremos usar sete classes:
n = 1 + 3,33 log 42 ⇒ n = 1 + 3,33 × 1,62 ⇒ n = 6,4
 Observação
Como não podemos usar 6,4 classes, optamos pelo valor inteiro mais 
próximo, acima ou abaixo. Nesse caso, decidimos usar sete classes porque, 
assim, teremos mais precisão do que com seis.
 Lembrete
Ao consultar obras sobre Estatística, você verá que a relação de Sturges 
é frequentementesubstituída por outra recomendação. Como não existe 
28
Unidade I
uma razão matemática objetiva para esse cálculo, qualquer recomendação 
pode ser utilizada.
Essas sete classes devem abranger todos os valores do rol que está sendo estudado, desde o menor 
até o maior; assim, devemos determinar esses valores, que são chamados, respectivamente, de limite 
mínimo da distribuição (Lmin) e limite máximo da distribuição (Lmax).
Em tese, o valor do limite inferior da distribuição coincide com o valor inicial da primeira classe 
da tabela – esses valores iniciais de cada classe são chamados de limites inferiores de classe (lii) 
–, e o limite superior da distribuição coincide com o valor final da última classe da distribuição – 
esses valores finais de cada classe são chamados de limites superiores de classe (lsi). Na prática, 
pode ser necessário algum ajuste desses últimos dois valores para podermos trabalhar com dados 
arredondados.
Entre o limite superior e o limite inferior de cada classe, existe um intervalo chamado de intervalo 
de classe (h). Este deve ser determinado a partir da amplitude total (At), que é a diferença entre o maior 
e o menor valor do rol e do número de classes, mediante as seguintes fórmulas:
h
A
n
t=
 
A L Lt max min= −
Desse modo, o limite superior de cada classe será o valor inferior dela mesma mais a amplitude de 
classe, ou seja:
ls li hi i= +
Observemos os 42 valores relacionados na Tabela 2, na coluna Renda Familiar. Iremos agrupá-los em 
SETE classes, conforme os passos a seguir.
Podemos determinar o intervalo (ou a amplitude) de classes, desde que tenhamos a amplitude 
total; para tanto, precisamos determinar os valores máximos e mínimos da distribuição, que, no nosso 
exemplo, são, respectivamente:
L Rmax = $ . ,10 567 00
L Rmin = $ ,956 00
Logo, a amplitude total será:
A L L A A Rt max min t t= − => = − => = $ . ,10567 956 9 611 00
29
ESTATÍSTICA
Consequentemente, a amplitude de cada classe será:
h
A
n
h h Rt= => = => =9611
7
1 373 00$ . ,
 Observação
Nesse exemplo, a amplitude de classe é um valor exato dentro da 
quantidade de casas decimais utilizadas; se isso não ocorresse, seria 
necessário ajustar a amplitude total de modo que a amplitude de classe 
assumisse um valor exato. Assim, o limite superior da distribuição, o limite 
inferior ou ambos deveriam ser alterados para corresponderem à nova 
amplitude total, quando da montagem da tabela de frequências.
Definidos o número de classes e a amplitude de classe, podemos montar a tabela de frequências. O 
limite inferior da primeira classe coincide com o limite inferior da distribuição, e o limite da sétima (e 
última classe) coincide com o limite superior da distribuição (ressalvando o exposto no rodapé).
Os demais limites superiores de classe são obtidos somando-se o limite inferior da classe com a 
amplitude da classe. O limite inferior de uma classe tem o mesmo valor do limite superior da classe 
inferior. Assim, o limite superior da primeira classe é dado por:
ls ls1 1956 1373 2329= + => =
Já o limite inferior da segunda classe é dado por:
li ls li2 1 2 2329= => =
Devemos definir também qual dos limites será aberto e qual será fechado, de modo que não haja 
possibilidade de algum valor ficar sem sua classe perfeitamente definida.
Entende-se por limite fechado aquele que inclui o valor nominal, e por limite aberto aquele que não 
o inclui. Uma barra vertical indica o limite fechado, e sua ausência, o limite aberto. A simbologia para 
um e para outro é a seguinte:
|------- limite fechado (à esquerda)
------- limite aberto (tanto à direita quanto à esquerda)
Na Tabela 3, a primeira classe é limitada pelos valores 956 e 2329, sendo o valor 956 um limite 
fechado, e 2329, aberto. Isso quer dizer que o valor 956 está incluído nessa classe, e o 2329, na classe 
seguinte.
30
Unidade I
Podemos fixar de modo arbitrário os limites aberto ou fechado, desde que para cada valor exista 
uma e apenas uma classe possível.
Definidas as classes, procedemos à contagem dos elementos abrangidos por cada uma delas. O 
número de elementos encontrados em cada uma é a já definida frequência simples.
Tabela 5 – Distribuições de frequências – Dados agrupados
Renda familiar
Classe Limites de classes em R$ Contagem Frequência simples
Frequências relativas
Decimal Percentual
1 956 |----- 2329 IIIII IIIII III 13 0,310 31,0%
2 2329 |----- 3702 IIIII IIIII I 11 0,262 26,2%
3 3702 |----- 5075 IIIII III 8 0,190 19,0%
4 5075 |----- 6448 IIII 4 0,095 9,5%
5 6448 |----- 7821 II 2 0,048 4,8%
6 7821 |----- 9194 I 1 0,024 2,4%
7 9194 |----- 10567 III 3 0,071 7,1%
Total ft 42 1,000 100,0%
Transformamos 42 informações em 7, o que nos poupará muito tempo e custo nos estudos 
estatísticos, além de nos permitir uma melhor visualização dos dados.
Exercício de aplicação Exercício de aplicação 
4. Uma empresa relacionou, na tabela que segue, uma amostra dos valores líquidos pagos a quarenta 
de seus funcionários:
Tabela 6 – Salários dos trabalhadores da amostra
971 656 591 794 697
1.320 682 931 531 1.866
921 656 818 1.192 776
863 728 603 858 1.306
526 855 455 917 510
500 1.337 493 1.221 762
1.273 657 1.261 461 1.012
412 639 602 645 784
Baseando-se nesses dados, fizeram-se as seguintes afirmações:
I – O limite máximo da distribuição é R$ 1.866,00.
31
ESTATÍSTICA
II – A amplitude da distribuição é R$ 1.544,00.
III – O limite mínimo da distribuição é R$ 412,00.
IV – Considerando que esses valores sejam distribuídos em cinco classes, a amplitude de classe seria 
de R$ 380,80.
Analisando essas afirmativas, podemos dizer que:
A) Todas as afirmativas estão incorretas.
B) Existe uma afirmativa correta.
C) Existem duas afirmativas corretas.
D) Existem três afirmativas corretas.
E) Todas as afirmativas estão corretas.E) Todas as afirmativas estão corretas.
3.3 Frequências acumuladas
Voltando aos dados da Tabela 2, poderiam surgir questões como:
• Quantos alunos têm idade superior a 23 anos?
• Quantos alunos têm renda familiar acima de R$ 5.000,00?
• Quantos alunos acham que a faculdade é acima de regular?
Essas questões são respondidas com as chamadas frequências acumuladas, que podem ser crescentes 
e decrescentes.
Assim, podemos conceituar e calcular as frequências acumuladas acima de (ou decrescentes) e as 
frequências acumuladas abaixo de (ou crescentes), respectivamente.
As frequências acumuladas acima de (ou decrescentes) correspondem à quantidade total de 
elementos que existem na amostra acima de dado valor. No caso de dados agrupados, a frequência 
acumulada acima de determinada classe é a somatória das frequências posteriores, incluindo a da 
própria classe. Desse modo, a frequência acumulada acima da primeira classe é a frequência total, 
a da segunda classe é a frequência total menos a frequência da primeira classe e assim por diante. 
A frequência acumulada acima da última classe é a frequência simples da própria classe.
32
Unidade I
Raciocínio oposto se faz para a frequência acumulada abaixo de (ou frequência crescente). 
Nesse caso, a frequência acumulada abaixo de uma classe (ou valor) é a somatória da quantidade de 
elementos de menor valor, incluído a frequência da própria classe. Assim, a frequência acumulada 
abaixo da primeira classe é a frequência dela mesma, a da segunda é a soma das frequências da 
primeira e da segunda classe e assim por diante. A frequência acumulada abaixo da última classe é a 
frequência total.
A Tabela 6 apresenta os cálculos feitos para a variável Quantidade de Dependências, e a Tabela 7, 
para a variável Idades, sempre a partir dos dados da Tabela 2.
Tabela 7 – Distribuição de frequências – Dados isolados – Número de dependências
Número de 
dependências
Frequência Frequências relativas Frequências acumuladas
simples Decimal Percentual
Acima de
ou
decrescente
Abaixo de
ou
crescente
xi fi fri fri% fac fac 
0 12 0,286 28,6% 12 42
1 7 0,167 16,7% 19 30
2 9 0,214 21,4% 28 23
3 5 0,119 11,9% 33 14
4 4 0,095 9,5% 37 95 3 0,071 7,1% 40 5
6 1 0,024 2,4% 41 2
8 1 0,024 2,4% 42 1
Total f
t 42 1,000 100,0%
Tabela 8 – Distribuição de frequências – Dados agrupados – Idades
Classe
número
Limites de classes Frequência Frequências relativas Frequências acumuladas
em anos simples Decimal Percentual
Acima de
ou
decrescente
Abaixo de
ou
crescente
li ls fi fri fri% fac fac 
1 18 |----- 21 13 0,310 31,0% 13 42
2 21 |----- 24 11 0,262 26,2% 24 29
3 24 |----- 27 6 0,143 14,3% 30 18
4 27 |----- 30 8 0,190 19,0% 38 12
5 30 |----- 33 1 0,024 2,4% 39 4
6 33 |----- 36 3 0,071 7,1% 42 3
Total ft 42 1,000 100,0%
33
ESTATÍSTICA
 Observação
Podemos definir as frequências relativas acumuladas seguindo os mesmos princípios descritos 
anteriormente, mas tomando como ponto de partida a frequência relativa, e não a frequência simples. 
O conceito de ambas é idêntico.
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
5. A tabela a seguir relaciona a idade (em anos) de alunos de uma classe de calouros de uma universidade:
Tabela 9
Idades (anos) Número de alunos
17 4
18 8
19 38
20 47
21 45
22 38
23 18
24 8
A partir desses dados foram montadas as quatro tabelas que seguem:
Tabela 10
Idades (anos) Tabela I Idades (anos) Tabela II Idades (anos) Tabela III Idades (anos) Tabela IV
17 1,9% 17 4 17 206 17 4
18 3,9% 18 12 18 198 18 12
19 18,4% 19 50 19 160 19 50
20 21,8% 20 97 20 113 20 98
21 22,8% 21 142 21 68 21 142
22 18,4% 22 180 22 30 22 180
23 8,7% 23 197 23 12 23 197
24 3,9% 24 206 24 4 24 206
Sobre essas quatro tabelas, é incorreto afirmar:
A) A tabela I representa as frequências relativas, mas está incorretamente calculada.
34
Unidade I
B) A tabela II representa as frequências acumuladas abaixo de e está corretamente calculada.
C) A tabela III representa as frequências acumuladas acima de e está corretamente calculada.
D) A tabela IV representa as frequências acumuladas abaixo de e está corretamente calculada.
E) Duas das quatro tabelas têm erros de cálculo.
6. Uma empresa com muitos produtos em linha resumiu, no quadro a seguir, a quantidade de 
produtos alinhados pelo total de vendas anuais:
Tabela 11
Classes
Vendas anuais em reais Quantidade de produtos que apresentaram o valor de vendas
Limites Frequência simples
A 8500 |----- 13800 15
B 13800 |----- 19100 25
C 19100 |----- 24400 43
D 24400 |----- 29700 36
E 29700 |----- 35000 23
F 35000 |----- 40300 16
G 40300 |----- 45600 10
Baseando-se nessas informações, é incorreto afirmar:
A) A frequência simples da classe D é igual a 36, e a frequência relativa da classe G é 6,0%.
B) A frequência total é 168, e a frequência acumulada abaixo da classe C é 83.
C) A frequência acumulada acima da classe E é 49, e a frequência relativa da classe A é 8,9%.
D) A frequência acumulada acima da classe E é 142, e a frequência acumulada abaixo da classe B é 153.
E) A soma das frequências das classes A; B e C é igual a 49,4%.E) A soma das frequências das classes A; B e C é igual a 49,4%.
4 REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS
Os dados agrupados em tabelas de frequências mantêm basicamente a mesmas informações do 
rol, com a diferença de que são mais resumidos, mais fáceis de entender e mais impactantes. Ainda 
mais impactantes são os dados organizados e apresentados na forma de gráficos. A visualização da 
informação é normalmente um meio de comunicação mais eficaz dos que as tabelas e os quadros 
35
ESTATÍSTICA
analíticos, apesar de que haverá sempre uma perda parcial das informações, que será largamente 
compensada pela concisão e pela facilidade de interpretação dos gráficos.
Existe uma infinidade de gráficos diferentes, cada um adequando-se a determinadas finalidades. 
Os recursos eletrônicos, em especial planilhas como o Excel®, tornaram mais simples a elaboração e 
mais atrativo o uso de informações gráficas. Essa enorme variedade pode, no entanto, ser agrupada em 
alguns tipos principais, dos quais os outros são variações estéticas e artísticas. A seguir, mostraremos os 
tipos de gráficos mais comuns e usados.
 Lembrete
O Excel® facilita muito a construção de gráficos a partir dos dados que 
você estiver trabalhando. O acesso é feito por meio dos comandos Inserir 
e Gráfico. Facilmente você aprenderá a utilizar as ferramentas disponíveis, 
por serem bastante amigáveis.
4.1 Histogramas
São dos mais simples e utilizados gráficos na Estatística. Representam, normalmente, a frequência 
simples por meio de linhas verticais ou colunas cuja altura é proporcional à frequência do valor na qual 
está centrada.
Para dados quantitativos não agrupados, utilizam-se linhas verticais posicionadas no valor 
correspondente e desenhadas sobre um plano cartesiano.
A Tabela 11 e a Figura 1 mostram o histograma do número de dependências entre os alunos da Tabela 2.
Tabela 12 – Distribuição de frequências – Número de dependências
Número de dependências Frequência simples
0 12
1 7
2 9
3 5
4 4
5 3
6 1
8 1
Total 42
36
Unidade I
14
12
10
8
6
4
2
0 0 1 2 3 4 5 6 8
Número de dependências por aluno
Fr
eq
uê
nc
ia
 si
m
pl
es
Figura 1 – Dependências
Para dados agrupados em classes, as linhas verticais transformam-se em colunas cuja base tem 
largura proporcional ao intervalo de classe. A Tabela 12 e a Figura 2 referem-se à renda familiar dos 
alunos da amostra relacionada na Tabela 2.
Tabela 13 – Distribuição de frequências – Dados agrupados – Renda familiar
Classe número Limites de classes em R$ Frequência simples
li ls
1 956 |----- 2329 13
2 2329 |----- 3702 11
3 3702 |----- 5075 8
4 5075 |----- 6448 4
5 6448 |----- 7821 2
6 7821 |----- 9194 1
7 9194 |----- 10567 3
Total ft 42
14
12
10
8
6
4
2
0
Renda Mensal
Fr
eq
uê
nc
ia
 s
im
pl
es
956 2329 3702 6448 7821 9194 105675075
Figura 2 – Renda familiar
4.2 Gráficos de colunas
Muito semelhantes aos histogramas, mas normalmente utilizados para representar variáveis 
qualitativas, nominais ou ordinais. A frequência continua a ser colocada no eixo vertical, mas no eixo 
horizontal são colocados os atributos. Além disso, como regra, as colunas são desenhadas separadas 
37
ESTATÍSTICA
umas da outras. A Tabela 13 e a Figura 3 são exemplos de gráficos de colunas, representando os cursos 
em que os alunos da Tabela 2 estão matriculados.
Tabela 14 – Distribuição de frequências – Cursos com matriculados
Cursos com matriculados Frequência simples
xi fi
Administração 17
Direito 9
Engenharia 8
Jornalismo 4
Marketing 4
Total ft 42
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Fr
eq
uê
nc
ia
 s
im
pl
es
Cursos
Administração Direito Engenharia Jornalismo Marketing
Figura 3 – Cursos com matriculados
4.3 Gráficos de barras
Esses gráficos são uma variação dos gráficos de colunas e dos histogramas. Neles, as frequências 
são representadas no eixo horizontal, e os atributos ou valores das variáveis são representados no eixo 
vertical. As Figuras 4 e 5 e as Tabelas 14 e 15 representam, respectivamente, as variáveis sexo e idade dos 
alunos relacionados na Tabela 2.
Tabela 15 – Distribuição de frequências – Sexo
Sexo Frequência simples
xi fi
Masculino 24
Feminino 18
Total ft 42
38
Unidade I
Se
xo
s
Quantidade de aluno
Feminino
Masculino
0 5 10 15 20 25
Figura 4 – Sexos
Tabela 16 – Distribuição de frequências – Dados agrupados – Idade
Classe 
número Limites de classes em anos
Frequência 
simples
li ls fi
1 18 |----- 21 13
2 21 |----- 24 11
3 24 |----- 27 6
4 27 |----- 30 8
5 30 |----- 33 1
6 33 |----- 36 3
33|----36
30|----33
27|----30
24|----27
21|----24
18|----21
Id
ad
es
Número de alunos
0 2 4 6 8 10 12
Figura 5 – Idades
39
ESTATÍSTICA
Exercício de aplicaçãoExercício de aplicação
7. O gráfico a seguir representa a produção (em toneladas) atingida ao longo dos meses por uma 
empresa em suas três linhas de produtos:
Produto B
Produto C
Produto A
25
220 580 9401300 1660 2020 2380
Toneladas produzidas no mês
Q
ua
nt
id
ad
e 
de
 m
es
es 20
15
10
5
0
Figura 6 – Produção mensal da empresa
Baseado nesse gráfico, não se pode afirmar que:
A) Em cerca de vinte meses, a produção do produto B é de 1.660 toneladas.
B) A produção de 2.020 toneladas foi atingida no mesmo número de meses pelos produtos B e C.
C) A produção de 940 toneladas foi atingida em dez meses ao longo desse período.
D) A produção mais frequente do produto B é de 1.660 toneladas.
E) A produção mais rara para o produto C é de 2.380 toneladas.E) A produção mais rara para o produto C é de 2.380 toneladas.
4.4 Diagramas de ogiva
São gráficos frequentemente destinados a representar as frequências acumuladas, apesar de nada 
impedir que representem frequências simples ou frequências relativas. Quando representam frequências 
acumuladas, recebem o nome de ogivas de Galton.
A ogiva é formada pela sucessão de segmentos de retas que unem os pontos coordenados 
formados por valor, frequência, como no caso representado na Tabela 16 e na Figura 6, que informam o 
comportamento acumulado da variável Quantidade de Dependências dos nossos já conhecidos alunos 
da Tabela 2.
40
Unidade I
Tabela 17 – Distribuição de frequências – 
Dados agrupados – Número de dependências
Número de 
dependências
Frequências acumuladas 
abaixo de ou crescente
Valor Frequência
0 12
1 19
2 28
3 33
4 37
5 40
6 41
7 41
8 42
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Qu
an
tid
ad
e 
de
 a
lu
no
s
Quantidade de dependências
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Figura 7 – Quantidade de dependências
No gráfico anterior, por ser uma variável quantitativa discreta, cada ponto é facilmente determinado 
pela sua coordenada y (quantidade de alunos) e pela coordenada x (quantidade de dependências), mas 
se nós formos trabalhar com variáveis quantitativas contínuas, teremos dificuldades em identificar a 
variável x porque ela não é mais um valor, mas uma faixa de valores.
Para resolver esse impasse, introduziremos um novo conceito que nos será importante sempre que 
estivermos trabalhando com variáveis contínuas: o ponto médio de classe.
O ponto médio de classe é o valor intermediário em relação aos limites superior e inferior de classe, ou seja:
pm
ls li
i
i i= +
2
Onde o índice i corresponde ao número da classe.
Na Tabela 17, estão calculados os pontos médios para as classes de rendas familiares dos nossos conhecidos 
alunos, e a Figura 8 representa as frequências acumuladas acima de (ou decrescentes) da referida distribuição.
41
ESTATÍSTICA
Tabela 18 – Distribuição de frequências – Dados agrupados – Renda familiar
Classe 
número Limites de classes em R$
Pontos médios 
de classe
Frequências 
acumuladas abaixo 
de ou crescentes
li ls pmi fac 
1 956 |----- 2329 1642,5 13
2 2329 |----- 3702 3015,5 24
3 3702 |----- 5075 4388,5 32
4 5075 |----- 6448 5761,5 36
5 6448 |----- 7821 7134,5 38
6 7821 |----- 9194 8507,5 39
7 9194 10567 9880,5 42
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0Fr
eq
. a
cu
m
ul
ad
a 
de
 a
lu
no
s
Renda em R$
0 2000 4000 6000 8000 10000
Figura 8 – Renda familiar
Evidentemente, do mesmo modo que temos ogivas de Galton crescentes, temos as decrescentes. A 
título de ilustração, a seguir, nas Tabelas 18 e 19 e nos consequentes e respectivos gráficos (Figuras 9 e 
10), são apresentadas as ogivas decrescentes para os casos dos dois exemplos anteriores.
Tabela 19 – Distribuição de frequências – 
Dados agrupados – Número de dependências
Número de 
dependências
Frequências acumuladas 
acima de ou decrescente
Valor Frequência
0 42
1 30
2 23
3 14
4 9
5 5
6 2
7 1
8 1
42
Unidade I
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Qu
an
tid
ad
e 
de
 a
lu
no
s
Quantidade de dependências
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Figura 9 – Quantidade de dependências
Tabela 20 – Distribuição de frequências – Dados agrupados – Renda familiar
Classe 
Número Limites de classes em R$
Pontos médios 
de classe
Frequências 
acumuladas acima 
de ou decrescentes
li ls pmi fac 
1 956 |----- 2329 1642,5 42
2 2329 |----- 3702 3015,5 29
3 3702 |----- 5075 4388,5 18
4 5075 |----- 6448 5761,5 10
5 6448 |----- 7821 7134,5 6
6 7821 |----- 9194 8507,5 4
7 9194 10567 9880,5 3
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0Fr
eq
. a
cu
m
ul
ad
a 
de
 a
lu
no
s
Renda em R$
0 2000 4000 6000 8000 10000
Figura 10 – Renda familiar
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
8. O gráfico a seguir representa as vendas acumuladas em unidades por duas diferentes empresas, 
ao longo do ano:
43
ESTATÍSTICA
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
Un
id
ad
es
 v
en
di
da
s 
at
é 
o 
m
ês
Vendas anuais em unidades
Empresa ABC
Empresa XYZ
jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez
Figura 11 – Vendas anuais em unidades
Utilizando-o, podemos afirmar que:
A) As vendas da empresa ABC foram maiores do que as da empresa XYZ no segundo semestre do 
ano.
B) As vendas da empresa XYZ foram maiores do que as da empresa ABC no segundo semestre 
do ano.
C) No mês de abril as vendas da empresa ABC foram menores do que as da empresa XYZ.
D) No mês de outubro as vendas da empresa ABC foram maiores do que as da empresa XYZ.
E) Considerando o ano inteiro, as vendas das duas empresas foram muito próximas.
4.5 Setorgramas
São também chamados de gráficos de setores, ou, mais vulgarmente, de gráficos de pizza. São a 
representação típica das frequências relativas, pois, como estas, mostram a participação da parte no 
todo. O todo, no caso, é representado pelo círculo (a “pizza”), e cada valor ou classe de valores, por um 
setor circular (a “fatia da pizza”) de ângulo proporcional à participação desse valor ou dessa classe de 
valores. O cálculo do setor circular é feito por regra de três, ou seja, 100% estão para 360º assim como 
x% está(ão) para yº.
As Figuras 12 e 13 são os setorgramas das distribuições de cursos e de idades, 
respectivamente, dos nossos tradicionais alunos representados na Tabela 2. As Tabelas 20 e 
21 apresentam os valores dos ângulos calculados, para efeito de demonstração; atualmente, 
esse cálculo não é mais necessário, porque usaremos sempre recursos computacionais para 
gerar os gráficos.
44
Unidade I
Tabela 21 – Distribuição de frequências – Cursos
Cursos Frequência simples
Frequências relativas
Ângulo do setor circular aº
Decimal Percentual
Administração 17 0,405 40,5% 146
Direito 9 0,214 21,4% 77
Engenharia 8 0,190 19,0% 69
Jornalismo 4 0,095 9,5% 34
Marketing 4 0,095 9,5% 34
Total 42 1,000 100,0% 360
Administração
Direito
Engenharia
Jornalismo
Marketing
10%
10%
19%
21%
40%
Figura 12 – Cursos
Tabela 22 – Distribuição de frequências – Dados agrupados – Idades
Classe
número
Limites de classes
em anos
Frequência
simples
Frequências relativas Ângulo do 
setor
circularDecimal Percentual
li ls aº
1 18 |----- 21 13 0,310 31,0% 111
2 21 |----- 24 11 0,262 26,2% 94
3 24 |----- 27 6 0,143 14,3% 51
4 27 |----- 30 8 0,190 19,0% 69
5 30 |----- 33 1 0,024 2,4% 9
6 33 |----- 36 3 0,071 7,1% 26
Total 42 1,000 100,0% 360
45
ESTATÍSTICA
18 |---- 21
21 |---- 24
24 |---- 27
27 |---- 30
30 |---- 33
33 |---- 36
3%
19%
14%
26%
31%
7%
Figura 13 – Idades
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
9. A empresa KWY comercializa seis produtos diferentes que contribuem para o faturamento da 
empresa de acordo com o gráfico a seguir:
Produto A
Produto B
Produto C
Produto D
Produto E
Produto F
13%
25%
20%
15%
18%
9%
Figura 14 – Vendas anuais por produto
Utilizando essas informações, não podemos afirmar que:
A) O produto D é aquele que mais contribui para o faturamento da empresa.
B) Mais de 50% do faturamento da empresa vem dos