PARCIAL FINAL MODELAMIENTO

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NOMBRE: Sebastian Alejandro Guerrero Leyton 
UNIVERSIDAD CESMAG 
MODELAMIENTO MATEMATICO 
 
 
 
 
SOLUCION 
 
1. 
ẋ = μx + y 
ẏ = −x + y 
 
 
ANALISIS CUALITATIVO 
 
1) Puntos Críticos 
 
El único punto crítico de este sistema es 𝑃1 = (0,0) 
 
2) Jacobiana 
 
J(x, y) = (
μ 1
−1 1
) 
 
3) Clasificación 
 
J(0,0) = (
μ 1
−1 1
) 
 
 Valores propios 
 
𝑝(𝜆) = |
𝜇 − 𝜆 1
−1 1 − 𝜆
| = 𝜆2 + (−1 − 𝜇)𝜆 + 𝜇 + 1, en donde se resuelve 
por formula general. 
 
a = 1, b = −1 − μ, c = μ + 1 
 
𝜆 =
−(−1 − 𝜇) ± √(−1 − 𝜇)2 − 4(1)(𝜇 + 1)
2(1)
 
 
𝜆 =
1 + 𝜇 ± √1 + 2𝜇 + 𝜇2 − 4𝜇 − 4)
2
 
 
λ =
1 + μ ± √μ2 − 2μ − 3)
2
 
 
• Si μ = 0 ⇒ λ = 1 ± √−3) 
 
Tenemos 
 
𝜆 = 1 ± √−3) ⇒ 𝜆1 = 1 + √−3𝑖 ⇒ 𝜆2 = 1 − √−3𝑖 
 
• Como los valores propios son complejos de parte real negativa, 
en el punto critico 𝑃1 = (0,0), es una espiral estable. 
 
 
 
 
 
SOLUCION 
2. 
ẍ + ẋ(1 − x2) = x2 
 
Transformamos la ED en un sistema de ecuaciones. 
Sea 𝑦 = �̇� ⇒ �̇� = �̈� = 𝑥2 − 𝑦 + 𝑥2𝑦 
 
{
ẋ = y
ẏ = x2 − y + x2y
 
 
ANALISIS CUALITATIVO 
 
1. Puntos críticos 
 
El único punto crítico de este sistema es 𝑃1 = (0,0) 
 
2. Jacobiana 
 
 
J(x, y) = (
0 1
2x + 2xy −1 + x2
)