BIOMATEMÁTICA

Vista previa del material en texto

MODELOS MATEMÁTICOS
Ejemplo 1: Un acumulador de 12 volts se conecta a un circuito en serie LR, con
una inductancia de ½ Henry y una resistencia de 10 ohms. Determinar la
corriente i, si la corriente inicial es cero.
 
2
2
1d q dq
E t L R q
dt dt C
  
1
10 12
2
di
i
dt
 
Ahora:
dq
i
dt

2.10 12.2
20 24
di
i
dt
di
i
dt
 
 
  20 20P t dt dt te e e  
20 20
20 20
20
24
24
20
24
20
t t
t t
t
e i e dt
e i e c
i ce

 
 

Ahora:  0 0i 
24 6
0
20 5
c c    
206 6
5 5
ti e 
MODELOS MATEMÁTICOS
REDUCCIÓN DE ORDEN
avI
Uno de los hechos matemáticos más interesantes al estudiar ecuaciones 
diferenciales lineales de segundo orden es que podemos formar una segunda 
solución, , de:
en un intervalo Z a partir de una solución 
2y
0012
2
2  ya
dx
dy
a
dx
yd
a
1y
Buscamos una segunda solución de la ecuación (1) tal que y1 y y2 sean 
linealmente independientes en Z. Recordemos que si y1 y y2 son linealmente 
independientes, su relación es no constante en r; esto es, 
.
 xy2
2
1
y
y  xuy
y

1
2
  12 yxuy 
avI
Ejemplo 1: Si es una solución de la ecuación , en (-∞,∞) 
aplique la reducción de orden para hallar
xey 1 0
¡¡  yy
2y
0¡¡  yy
 
xuey
yxuy

 12
Como
xxx
xxxx
xx
x
ueeueu
xd
yd
ueeueueu
xd
yd
ueeu
dx
dy
uey




¡¡¡
2
2
¡¡¡¡
2
2
¡
2
Sustituyendo
 
02
02
02
¡¡¡
¡¡¡
¡¡¡



uu
uue
ueueeueu
x
xxxx
Se realiza el cambio
¡¡¡
¡
uw
uw


02
02
¡
¡¡¡


ww
uu
xdx ee 2
2

REDUCCIÓN DE ORDEN
avI
2
21
2¡
2
2
22
2
0
ce
c
u
ceu
cew
cwe
dxewe
x
x
x
x
xx









1
21
2
1
2
2
2
x
x x
x x
y uy
y ue
c
y e c e
c
y e c e




 
   
 
  
Ahora
Si hacemos c2 = 0 y c1 = -2
2
0
2
x x
x
y e e
y e



  

REDUCCIÓN DE ORDEN
1ax axe dx e
a

   
1
CosSen ax dx ax
a
 
 
 
 1 21
P x dx
e
y y x dx
y x

 
REDUCCIÓN DE ORDEN
Ejemplo: La función es una solución de 
Determine la solución general en el intervalo (0,∞) 
2
1y x
2 ¡¡ !3 4 0x y xy y  
 
3
3
2
2
2
3
2
4
2
4
dx
x
Lnx
Lnx
e
y x dx
x
e
y x dx
x
e
y x dx
x
 






¡¡
2 2
3 4
0
x
y y y
x x
  
3
2
4
2
x
y x dx
x
y x Lnx c

 

1 1 2 2
2 2
1 2
y c y c y
y c x c x Lnx
 
 
   ¡¡ ! 0y P x y Q x y  
PRÁCTICA
avI
Una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden de la forma:
se dice que es homogénea, mientras que una ecuación:
con g(x) no igual a cero, se dice que es no homogénea.
ECUACIONES HOMOGÉNEAS
         
1
1 011
...
n n
n nn n
d y d y dy
a x a x a x a x y g x
dx dx dx


    
       
1
1 011
... 0
n n
n nn n
d y d y dy
a x a x a x a x y
dx dx dx


    
Una ecuación diferencial de n-ésimo orden puede se
puede escribir como:
Donde con k = 0,1,2,3, También se escribe L(y)
=g(x), donde L representa el operador diferencial.
 xgyaDyayDayDa nn
n
n 

 01
1
1 ...
k
k
k
dx
yd
yD 
!!! 4yy 
Los factores de un operador diferencial con coeficientes 
constantes conmutan. Una ecuación diferencial tal como:
se puede expresar044 !!!  yyy   044044 22  yDDyDyyD
   022  yDD  
2
2 0D  
2 2
1 2
x x
cy c e c e
  
Si L es un operador diferencial lineal con coeficientes
constantes y f es una función suficientemente derivable tal que
L( f (x)) = 0, entonces se dice que L es un anulador de la función.
Por ejemplo el operador diferencial anula a la función y = x 
2D
En general El operador diferencial anula cada una de las 
funciones:
12 ,...,,,1 nxxx
nD
El operador diferencial anula cada una de las funciones nD 
xnxxx exexxee  12 ,...,,, 
Para ver esta solución, observe que la ecuación
auxiliar de la ecuación es . Puesto que
es una raíz de multiplicidad n, la solución general es:
  0 yD n   0 nm 
xn
n
xxx exCexCxeCeCy  11
2
321 ...


EJEMPLO 2 Operador anulador
Encuentre un operador diferencial que anule:    xSenexCose xx 2925  
Solución:
La inspección de las funciones muestra que a α = -1 y β = 2. Por tanto, de la ecuación
se concluye que anulará cualquier función que sea combinación lineal
de estas funciones.
522  DD
EJEMPLO 1: Operadores anuladores
Encuentre un operador diferencial que anule la función dada.
a) b) c)
2 31 5 8x x 
2 31 5 8x x  3xe 2 24 10x xe xe
ECUACIONES DIFERENCIALES NO 
HOMOGÉNEAS
Solución de una ecuación diferencial no homogénea (EDNH)
Ejemplo: Resolver ¡¡ ¡ 23 2 4y y y x  
Paso n°1: Resolver la ecuación homogénea
¡¡ ¡3 2 0y y y  
  
2 3 2 0
2 1 0
m m
m m
  
  
2
1
m
m
 
 
2
1 2
x x
cy c e c e
  
Paso n°2: como g(x) se anula con se puede 
expresar:
3D
 3 2 3 23 2 4D D D y D x  
 
 
    
3 2
3 2
3
3 2 0
3 2 0
2 1 0
D D D y
m m m
m o m m
  
  
   
1 2 3 4 50, 0, 0, 1, 2m m m m m      
2 3 2 0D D  
2
1 2
x x
cy c e c e
  
2
1 2 3py c c x c x  
2 2
1 2 3 4 5
c p
x x
y y y
y c c x c x c e c e 
 
    
ECUACIONES DIFERENCIALES NO 
HOMOGÉNEAS
Solución de una ecuación diferencial no homogénea (EDNH)
Ejemplo: Resolver ¡¡ ¡4 0y y 
Paso n°1: Resolver la ecuación homogénea
¡¡ ¡4 0y y 
 
24 0
4 1 0
m m
m m
 
 
1
2
0
1
4
m
m

 
1
0 0 0 4
1 2
1
4
1 2
xx
c
x
c
y c x e c x e
y c c e


 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES NO 
HOMOGÉNEAS
Solución de una ecuación diferencial no homogénea (EDNH)
Ejemplo: Resolver ¡¡ ¡ 23 2 4y y y x  
Paso n°1: Resolver la ecuación homogénea
¡¡ ¡3 2 0y y y  
  
2 3 2 0
2 1 0
m m
m m
  
  
2
1
m
m
 
 
2
1 2
x x
cy c e c e
  
Paso n°2: como g(x) se anula con se puede 
expresar:
3D
 3 2 3 23 2 4D D D y D x  
 
 
3 2
3 2
3 2 0
3 2 0
D D D y
D D D
  
  
1 2 3 4 50, 0, 0, 1, 2m m m m m      
ECUACIONES DIFERENCIALES CON 
COEFICIENTES CONSTANTES
Método de solución: 
¡¡ ¡ 0ay by cy  
¡
¡ ¡¡ 2
mx mx
mx mx
y e y me
y me y m e
  
  
¡¡ ¡
2
0
0mx mx mx
ay by cy
am e bme ce
  
  
 
2
2
2
0
0
0
mx mx mx
mx
am e bme ce
e am bm c
am bm c
  
  
  
Caso 1: Raíces reales distintas
1 2
1 2
m x m xy c e c e 
Caso 2: Raíces reales iguales
1 2
mx mxy c e c xe 
Caso 2: Raíces complejo conjugados
   1 2Cos
x xy c e x c e Sen x   
2
24 4 0
2
b b ac
m b ac
a
  
   
m i  
1.-
¡¡ ¡ 6 0y y y   2.-
2
2
10 25 0
d y dy
y
dx dx
   3.-
¡¡ ¡4 5 0y y y  
Solución
  
 
 
¡¡ ¡
2
1
2
6 0
6 0
3 2 0
3 0
3
2 0
2
y y y
m m
m m
m
m
m
m
  
  
  
 

 
 
3 2
1 2
x xy c e c e 
  
2 10 25 0
5 5 0
m m
m m
  
  
 
1 2
5 0
5 5
m
m m
 
  
5 5
1 2
x xy c e c xe 
2 4
2
4 16 20
2
4 4
2 2
2 1
2
2
2
b b ac
m
a
m
m
m
m i
  

 


 

 
 
4 5 0
1, 4 5
m m
a b c
  
    
   2 21 2Cos
x xy c e x c e Sen x 
ECUACIONES DIFERENCIALES CON 
COEFICIENTES CONSTANTES
4.- Resuelve la ecuación con y(0) =-1 y ¡¡ ¡4 13 0y y y  
¡¡ ¡4 13 0y y y  
2 4 13 0m m  
 
2 4
2
4 16 52
2
4 36
2 2
36 1
2
2
2 3
b b ac
m
a
m
m
m
m i
  

 


 

 
 
   2 21 2Cos 3 3
x xy c e x c e Sen x 
       2 0 2 01 2
1
1 Cos 3.0 3.
1
c e c e Sen o
c
  
 
Evaluando
       ¡ 2 2 2 21 1 2 22 Cos 3 3 3 2 3 3 Cos 3
x x x xy c e x c e Sen x c e Sen x c e x   
Evaluando
1 2
2
2
2 2 3
2 2 3
4
3
c c
c
c
 
  
    2 2
4
Cos 3 3
3
x xy e x e Senx  
ECUACIONES DIFERENCIALES CON 
COEFICIENTES CONSTANTES
 ¡ 0 2y 
ECUACIONES DIFERENCIALES CON 
COEFICIENTES CONSTANTES
ECUACIONES DIFERENCIALES CON 
COEFICIENTES CONSTANTES
ECUACIONES DIFERENCIALES CON 
COEFICIENTES CONSTANTES
ECUACIONES DIFERENCIALES CON 
COEFICIENTES CONSTANTES
ECUACIONES DIFERENCIALES CON 
COEFICIENTES CONSTANTES
ECUACIONES DIFERENCIALES CON 
COEFICIENTES INDETERMINADOS
Ejemplo 1: Resolver
COEFICIENTES INDETERMINADOS, MÉTODO DE LA SUPERPOSICIÓN
¡¡ ¡ 22 3 4 5 6 xy y y x xe    
Paso n° 1: Resolver la ecuación 
homogénea asociada
¡¡ ¡2 3 0y y y  
  
2
1 2
2 3 0
1 3 0
1 3
m m
m m
m m
  
  
   
3
1 2
x x
cy c e c e
 
Paso n° 2: Como 
y 
Por que por derivadas presume a
y 
     1 2g x g x g x 
 1g x Ax B   
2 2
2
x xg x Cxe De 
2xxe
22 xxe
2xe
 ¡¡ ¡ 2 22 3 3 2 2 3 2 3x xy y y Ax A B Cxe C D e        
Entonces
4
3
A  
23
9
B  2C  
4
3
D  
c py y y 
3 2 24 23 42
3 9 3
x x x xy e e xe e    
 
 
 
2 2
! 2 2 2
!! 2 2 2 2
2 2
2 2 4 4
x x
x x x
x x x x
g x Ax B Cxe De
g x A Ce Cxe De
g x Ce Ce Cxe De
   
   
   
ECUACIONES DIFERENCIALES CON 
COEFICIENTES INDETERMINADOS
ECUACIONES DIFERENCIALES CON 
COEFICIENTES INDETERMINADOS
!! !4 4 0y y y  
2
1
xy e
2
2
! 2 2
2
!! 2 ! 2 ! 2 2
2
2
!! 2 ! 2 2
2
2
2 2 4
4 4
x
x x
x x x x
x x x
y ue
dy
u e ue
dx
d y
u e u e u e ue
dx
d y
u e u e ue
dx

 
   
  
 !! 2 ! 2 2 ! 2 2 2
!! 2 ! 2 2 ! 2 2 2
!! 2 ! 2 2 ! 2 2
!! 2
4 4 4 2 4 0
4 4 4 8 4 0
4 8 4 8 0
0
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x
u e u e ue u e ue ue
u e u e ue u e ue ue
u e u e ue u e ue
u e
     
     
    

!
! !!
w u
w u


! 2
0
0x
dx c
we
e e c

  
 
1
!
1 2
2
2 1 2
2 2
2 1 2
0
x
x x
wc dx
wc c
w c
u c
u cdx
u c x c
y c x c e
y c xe c e





 
 
 


ECUACIONES DIFERENCIALES CON 
COEFICIENTES INDETERMINADOS
!! !4 4 0y y y  
2
1
xy e
2
2
! 2 2
2
!! 2 ! 2 ! 2 2
2
2
!! 2 ! 2 2
2
2
2 2 4
4 4
x
x x
x x x x
x x x
y ue
dy
u e ue
dx
d y
u e u e u e ue
dx
d y
u e u e ue
dx

 
   
  
 
 
 
2 1 2
1
4
2
2 2
2
2
2 2
P x dx
dx
x
x
x
e
y y dx
y
e
y e dx
e
y xe c

 




 


2
2 2
2 2
1 2
x
x x
y xe c
y c e c xe
 
 
cxey
dxey
dx
e
e
ey
x
x
x
x
x





2
2
2
2
4
4
2
2
ECUACIONES DIFERENCIALES CON 
COEFICIENTES INDETERMINADOS
!! !5 0y y 
2 1
!
2
!!
2
y uy
y u
dy
u
dx
d y
u
dx




!! !
!! !
5 0
5 0
y y
u u
 
 
!
! !!
w u
w u


Ahora sustituimos
!! !
!
5 0
5 0
u u
w w
 
 
5 5
5 5
5
5
0
dx x
x x
x
x
e e
e w e dx
e w c
w ce
 




5
! 5
5
51
2
51
2 2
5
5
x
x
x
x
x
w ce
u ce
u ce dx
c
u e c
c
y e c








  
  
