BIOMATEMÁTICA

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avI
Sea una función z= f(x,y), las primeras derivadas parciales de f respecto de x e y
son las funciones y definidas como:xf yf
 
   
0
, ,
,x
x
f x x y f x y
f x y
x
Lim
 
  


 
   
0
, ,
,y
x
f x y y f x y
f x y
y
Lim
 
  


ꓥ
Siempre que el límite exista
avI
2 216 4z x y  
Se busca el dominio de f
  2 2, /16 4 0Domf x y x y   
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
16 4 0
16 4
4 16
4 16
4 4
4
4
x y
x y
x y
x y
y
x
  
 
 


 
Elipse en el plano Domf
Rango de f
2 216 4
0 0
16
4
z x y
x y
z
z
  
  

 
avI
Notación
 ,x x x
f z
f f x y z
x x
 
   
 
La derivada parcial de f o z respecto de x 
parcialmente
 ,y y y
f z
f f x y z
y y
 
   
 
La derivada parcial de f o z respecto de y 
parcialmente
avI
1. Hallar las derivadas parciales y de la función xf yf  
2 2 3, 3 2f x y x x y x y  
 
 2 2 3
,
3 2
f x y
x x y x y
x x
 
  
 
 
     2 2 3
,
3 2
f x y
x x y x y
x x x x
   
  
   
  2 2, 3 2 6
f x y
xy x y
x

  

 
 2 2 3
,
3 2
f x y
x x y x y
y y
 
  
 
 
     2 2 3
,
3 2
f x y
x x y x y
y y y y
   
  
   
  2 3, 0 2 2
f x y
x y x
y

  

  2 3, 2 2
f x y
x y x
y

  

PRÁCTICA
 
2
, x yf x y xe2. Dada la función , hallar las derivadas parciales
   
2, x yf x y xe
x x
 

 
 
   
2 2, x y x yf x y x e x e
x x x
  
 
  
 
 
2 2 2
,
1 x y x y
f x y
e xe x y
x x
 
 
 
 
 
2 2
2 22
,
1 2
,
1 2
x y x y
x y x y
f x y
e xe xy
x
f x y
e x ye
x

 


 

 
 
yx
yx
yx
yx
ex
y
f
xxe
y
f
yx
y
xe
y
f
xe
yy
f
2
2
2
2
3
2
2
















PRÁCTICA
3.  
2 24
,
2
x y
f x y
y x
 
 
2 24
,
2
x y
f x y
x x y x x
     
    
     
   2 1
2
, 4
2
x
f x y y x
x y x
  
 
  2 2
2
, 4
2
x
f x y y x
x y
  

 
2
2
4
,
x y
f x y
x y x

 

 
2 24
,
2
x y
f x y
y y y y x
     
    
     
 
2 1 8
,
2
x y y
f x y
y y x
  
  
   
 
2 2 8
,
2
x y y
f x y
y x

  

INTEGRALES ITERADAS
Ejemplo 1: Sea  , 2xf x y xy
 , 2f x y xydx 
 
 
   
2
2
, 2
, 2
2
,
f x y y xdx
x
f x y y c
f x y x y c y

 
 

Ejemplo 2: 
2
1
2
y
xydx
2 2
1 1
22 2
1 1
2 2
2 2
2
y y
yy
xydx y xdx
x
xydx y


 

 
2
2 2
1
2 2 1
y
xydx y y y 
2
3
1
2 4
y
xydx y y 
INTEGRALES ITERADAS
En general
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
1
1
2
2
1
1
, ,
, ,
y
y
y
y
x
x
x
x
h
h
x h
h
g
g
y g
g
f x y dx f x y
f x y dy f x y




PRÁCTICA
1.  
1 2 1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
x y dydx xdydx ydydx       
 
21 2 1 2
0 0 0 0
2
y
x y dydx xy dx
 
   
 
  
   
1 2 1
0 0 0
2 2x y dydx x dx    
 
1 2 2
0 0
2 2
2
x
x y dydx x   
   
1 2
2
0 0
1 2 1x y dydx   
3
2.
 
  
1
0 0
21 dydxx
x
1 1
2 2
0 0 0 0
1 1
x x
x dydx x dydx     
1 1
2 2
0 0 0
1 1
x
x dydx x ydx    
1 1
2 2
0 0 0
1 1
x
x dydx x xdx    
Cambio de variable
PRÁCTICA
Cambio de variable
21
2
2
u x
du xdx
du
xdx
 



1 1
1
2 2
0 0 0
1
2
x
du
x dydx u
 
   
 
  
1 1
1
2 2
0 0 0
1
1
2
x
x dydx u du    
 
31 2
2
0 0
3
2 21
2
0 0
1 2
1
2 3
1
1
3
x
x
u
x dydx
x
x dydx
  

  
 
 
1
2
0 0
1
1
3
x
x dydx  
1. f(x,y) = ln (x
2 + y2 )
 2 2
f
Ln x y
x x
 
  
  
 
 
2 2
2 2
x y
x
x y




 
 
 
2 2
2 2
2 2
2
x y
x
x y
x
x y






 
'
'
u
Lnu
u

Aunque la sencilla ecuación diferencial de primer orden y dx + x dy = 0, es
separable, podemos resolver la ecuación en una forma alterna al reconocer
que la expresión del lado izquierdo de la ecuación es la diferencial de la
función f (x, y) = xy, es decir d(xy) = y dx +x dy.
Introducción
DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
Si z f (x, y) es una función de dos variables con primeras derivadas
parciales continuas en una región R del plano xy, entonces su diferencial
es . En el caso especial cuando f (x, y) = c, donde c es una
constante, entonces la ecuación (1) implica que
.
f f
dz dx dy
x y
 
 
 
0
f f
dx dy
x y
 
 
 
Una expresión diferencial M(x, y) dx + N(x, y) dy es una diferencial exacta en
una región R del plano xy si ésta corresponde a la diferencial de alguna 
función f (x, y) definida en R. Una ecuación diferencial de primer orden de la 
forma si la expresión del lado izquierdo es diferencial 
exacta
Definición
TEOREMA
Sean M(x, y) y N(x, y) continuas y que tienen primeras derivadas parciales 
continuas en una región rectangular R definida por a < x < b, c < y < d. 
Entonces una condición necesaria y suficiente para que M(x, y) dx + N(x, y) dy
sea una diferencial exacta es: M N
y x
 

 
   , , 0M x y dx N x y dy 
 
 
,
,
f x y
M x y
x



MÉTODO DE SOLUCIÓN
     , ,f x y M x y dx g y 
 
 
,
,
f x y
N x y
y



     , ,f x y N x y dy g x 
       , , ,f x y M x y dx g y N x y
y y
 
   
   
     
     
, ' ,
' , ,
M x y dx g y N x y
y
g y N x y M x y dx
y

 


 



     , ,g y N x y M x y dx dy
y
 
  
 
 
MÉTODO DE SOLUCIÓN
Ejemplo 1 Resuelva  22 1 0xydx x dy  
 2 1
2
N x
x x
N x
x
 
 
 



 2
2
M xy
y y
M x
y
 

 



ꓥ
   
 
, ,
, 2
f x y M x y dx
f x y xydx




 
   
   
2
2
, 2
, 2
2
,
f x y xydx
x
f x y y g y
f x y x y g y

 
 

 
 
 
  2
,
,
,
f x y
N x y
y
f x y f
x y g y
y y



 
 
 
 
 
 
2 2
2 2
' 1
' 1
' 1
x g y x
g y x x
g y
  
  
 
 
 
' 1g y
g y y
 
 
Luego al sustituir
   
 
2
2
2
,
,
f x y x y g y
f x y x y y
x y y c
 
 
 
MÉTODO DE SOLUCIÓN
Ejemplo 2 Resuelva 2 3 3 2 0x y dx x y dy 
 3 2
2 23
N x y
x x
N x y
x
 

 



 2 3
2 23
M x y
y y
M x y
y
 

 



ꓥ
   
  3 2
, ,
,
f x y N x y dy
f x y x y dy




 
   
3 2
3
3
,
,
3
f x y x y dy
y
f x y x g x

 

 
 
 
 
3
3
,
,
,
3
f x y
M x y
x
f x y f y
x g x
x x



  
  
   
 
 
 
3
2 2 3
2 3 2 3
3 '
3
'
' 0
y
x g x x y
g x x y x y
g x
 
 

 g x c
Luego al sustituir
   
 
 
3
3
3
3
3
3
,
3
,
3
,
3
y
f x y x g x
y
f x y x c
f x y c
y
x c
 
 


MÉTODO DE SOLUCIÓN
Ejemplo 2 Resuelva      2 2Cos 2 Cos 2 0y ye y xy dx xe x xy y dy    
  
   
2
2
2 Cos 2
2 Cos
y
y
N xe x xy y
x x
N e xy xySen xy
x
 
  
 

  

  
   
2
2
Cos
2 Cos
y
y
M e y xy
y y
M e xy yxSen xy
y
 
 
 

  

ꓥ
   
    2
, ,
, 2 Cos 2y
f x y N x y dy
f x y xe x xy y dy

  


   2, 2 Cos 2yf x y x e dy x xy dy ydy    
 
 
 
    2 2
,
,
,
y
f x y
M x y
x
f x y f
xe Sen xy y g x
x x



 
   
 
     
     
 
2 2
2 2
Cos ' Cos
' Cos Cos
' 0
y y
y y
e y xy g x e y xy
g x e y xy e y xy
g x
   
   

 
 
 
2 2
, 2 2
2 2
y Sen xye y
f x y x x g x
x
   
MÉTODO DE SOLUCIÓN
Ejemplo 3 Resuelva    2 2Cos 1 0xSenx xy dx y x dy    con  0 2y 
  21
2
N y x
x x
N xy
x
 
 
 

 

 2Cos
2
M xSenx xy
y y
M xy
y
 
 
 

 

ꓥ
   
   
   
2
2
, ,
, 1
, 1
f x y N x y dy
f x y y x dy
f x y x ydy

 
 



   
     
2
2
2
, 1
, 1
2
f x y x ydy
y
f x y x g x
 
  

 
 
 
   
2
2
,
,
,
1
2
f x y
M x y
x
f x y f y
x g x
x x



  
   
   
 
   
 
 
2
2
2
'
,
1
2
,
2
2
f x y f y
x g x
x x
f x y y
x g x
x
  
   
   

  

MÉTODO DE SOLUCIÓN
 
 
 
 
 
 
2 ' 2
'
2
2
Cos
Cos
Cos
2
2
xy g x xSenx xy
g x xSenx
g x xSenxdx
g x udu
u
g x
Sen x
g x
   







Uso de sustituciones: ecuaciones homogéneas Cuando una función f tiene
la propiedad de que para un número real α se dice que f es
homogénea de grado α.
Introducción
   , ,nf tx ty t f x y
Por ejemplo
 
     
 
   
3 3
3 3
3 3 3 3
3 3 3
,
,
,
,
f x y x y
f tx ty tx ty
f tx ty t x t y
f tx ty t x y
 
 
 
 
  3 3,f x y x y 
Entonces f es homogénea de 
grado 3
Una ecuación diferencial homogénea como , se
pueden resolver por sustitución y algunas de ellas pueden ser y = ux ó x = vy,
por tanto dy = udx +xdu ó dx = vdy + ydv, según sea el caso que se tome.
Método de solución
   , , 0M x y dx N x y dy 
Ejemplo 1    2 2 2 0x y dx x xy dy   
   
      
   
   
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
,
,
,
,
M x y x y
M tx ty tx ty
M tx ty t x t y
M tx ty t x y
 
 
 
 
   
    
   
   
2
2
2 2 2
2 2
,
,
,
,
N x y x xy
N tx ty tx txty
N tx ty t x t xy
N tx ty t x xy
 
 
 
 
y ux
dy udx xdu

 
Hacemos el cambio
     22 2 0x ux dx x xux udx xdu    
    
 
2 2 2 2 2
2 2 2 3 2 2 3
0
1 0
x u x dx x ux udx xdu
x u dx x udx x du u x dx ux du
    
     
 
   
2 2 2 2 2 3 3
2 2 2 3
1
1 1
x u dx x udx u x dx ux du x du
u u u x dx u x du
    
    
 
 
 
 
2
3
1
1
1 1 1
1
u dux dx
x u
u dudx
x u



  

 
 
 
 
 
1
2
1 1
2 1
2 1
u du
Lnx c du
u u
Lnx c du Ln u
Lnx c u Ln u

  
 
   
   
 

 
 
 
2
2
2
2
2
2 1
2 1
u Ln u Lnx c
y y
Ln Lnx c
x x
x y y
Ln Lnx c
x x
x y y
Ln Lnx c
x x
x y
y xLn x cx
x
    
 
    
 
  
       
 
   
 
 
 
  
 
 
2.   0x y dx xdy  
 
 
0
0
tx ty dx txdy
t x y dx txdy
  
  
   
   
, ,
, ,
M tx ty tM x y
N tx ty tN x y


x vy
dx vdy ydv

 
Cambio o sustitución
 
  
0
0
x y dx xdy
vy y vdy ydv vydy
  
   
  
2 2 2
0
0
vy y vdy ydv vydy
v ydy yvdy vy dv y dv vydy
   
    
2 2 20v ydy yvdy vydy vy dv y dv    
 2 21v ydy v y dv  
 
2 2
2 2
2
1
1
1
vydy
dv
y v
dy v
dv dv
y v v
dy
v dv dv
y v

 

 
 
2 1dy v dv dv
y v
   
1
1
v
Lny Lnv c

  

 
1
1
Lny Lnv c
v
Ln yv c
v
   
  
1x
Ln y c
xy
y
 
   
 
 
 
y
Ln x c
x
y xLn x xc
  
  
La ecuación diferencial , en que n es cualquier número 
real, es la ecuación de Bernoulli. Obsérvese que cuando n = 0 y n = 1, 
la ecuación es lineal. Cuando n ≠ 0 y n ≠ 1, la sustitución reduce 
cualquier ecuación de la forma (2) a una ecuación lineal.
    n
dy
P x y f x y
dx
 
1 ny u 
1. 2 2
dy
x y x y
dx
 
1 2
1
y u
y u




2dy duu
dx dx
 
 
2
2 1 11duu u x u
dx x
    
21dy y xy
dx x
 
 
2
1
22
1du xu
u
dx ux u



 

1du
u x
dx x
  
1
dx
Lnxxe e

 
1
x

1 1
1
u x dx
x x
u x c
x
 
  

2u x cx  
Ahora
2
1
1
y
u
y
x cx


 
2
1dy
x y
dx y
 15
21dy y
y
dx x x

 
1 2
3
23
y u
y u
dy du
u
dx dx



 
2
3
2 313
udu
u u
dx x x

 
6
3
2 2
8
1
3 3
1
3 3
du u
u
dx x u u x
du u
u
dx x x


 
 
1 1 1
3 3
1 1
1
3 3
dx Lnx
x
dx
x
e e
e x




8
1 1
3 3
3
u
x u x dx
x

 
8
1 1
3 3
8
1 2
3 3
1
3 1
3
8
3
3
3
3
u
x u x dx
x
u
x u x dx
x u
x c
u






 


1
3
9
1
3
1 3
9
3
3
1
3
x c
u
x
cx
u



 
 
1 3
3
3
1 3
3 3
1
3
1
3
cx
u
cx
u


 
 
3
1 3
3 1
3
y u
cx
y


 
 3 1
dy
y xy
dx
 17
4dy xy y
dx
 
4dy y xy
dx
 
1 4
3
23
y u
y u
dy du
u
dx dx





 
Sustituyendo
2 3 123
du
u u xu
dx
    
3 12
2 2
1 10
3 3
3 3
du u xu
dx u u
du u xu
dx
 
 
 
 

  
1 1
3 3
dx x
e e
 

1 110
13 3
3
x xxu
e u e dx

 
  
1 11
3 3
10
1 1
93 3
3
3
x x
x x
u x
e e dx
u
x
e u e dx

 

 
 
 


1 1 1
93 3 3
1
3 3
3 3
x x xx
e u e e dx
     
        
  

3
1
3
x
u
du dx
 
 
1
3
1
33
x
x
dv e dx
v e



 
ꓥ
1 1 1
93 3 3
x x x
e u xe e dx
  
  
1 1 1
93 3 3
1 1
3 3
9
1 1
3 3
3
3
x x x
x x
x x
e u xe e c
xe e c
u
e e
  
 
 
  

 
1
9 33
x
u x ce  
3
3
1
y u
y
u


 
1
3
3 3
1
3
3 3
3
3
x
x
u x ce
u x ce
  
  
1
3
3
1
3
x
y
x ce

 
Uso de sustituciones: reducción a separación de variables Una 
ecuación diferencial de la forma:
siempre se puede reducir a una ecuación con variables separables, con la 
sustitución u = Ax +By + C, B ≠ 0.
 
dy
f Ax By c
dx
  
1. Ejemplo
 
2
5 4
dy
x y
dx
   
5
5
u x y
du dy
dx dx
  
  
5
dy du
dx dx
 
25 4
du
u
dx
  
Sustituyendo
2 4 5
du
u
dx
  
2
2
9
9
du
u
dx
du
dx
u
 


2 9
du
dx
u

 
1
2
u a
Ln x c
a u a

 

1 3
6 3
u
Ln x c
u

 

6 6
3
6 6
3
3
3
x c
u
Ln x c
u
u
e
u


 




 6 63 3x cu e u  
 
 
6 6
6
3 3
3 3
x c
x
u e e u
u ce u
  
  
6 6
6 6
3 3
3 3
x x
x x
u ce u ce
u ce u ce
  
  
 6 6
6
6
1 3 3
3 3
1
x x
x
x
u ce ce
ce
u
ce
  



 6
6
3 1
5
1
x
x
ce
x y
ce

  

 6
6
3 1
5
1
x
x
ce
y x
ce

 

   0uxdx x xux udx xdu    
3
y ux
dy udx xdu

 
  0ydx x xy dy   
1 1
2 22 2 0uxdx xudx xu udx x du x u du     
 
31
2 2 2 2
31
22 21
x du x u du xu dx
u x du xu dx
  
  
 
1
2
3 2
2
1 u
x
du dx
xu



1
2
3 3
2 2
1 1u
du du dx
xu u

   
3
2
1 1
u du du dx
u x
 
   
 
 
 
1
2
2
2
2
2
2 0
2 0
2
4
4
u Lnu Lnx c
x y
Ln Lnx Lnc
y x
x yxc
Ln
y x
Ln ycx
y
Ln ycx
y
yLn yc
x

    
 
     
 
 
   
 



 
  
 

MODELADO CON ECUACIONES
DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Diseminación de una enfermedad 
Cuando se analiza la diseminación de una enfermedad contagiosa -la gripe, por
ejemplo-, es razonable suponer que la tasa o razón con que se difunde no sólo es
proporcional a la cantidad de personas, x(r), que la han contraído en el momento t, sino
también a la cantidad de sujetos, y(t), que no han sido expuestos todavía al contagio. Si
la tasa es dxldt, entonces: dx kxy
dt

dx
kxy
dt

 
dx
kx n x
dt
 
 
dx
kdt
x n x


 
dx
kdt
x n x

 
 
dx
kt c
x n x
 

 
1 A B
x n x x n x
 
 
 
 
A n x Bx
x n x
 


1
1An A
n
  
Si x = 0
Si x = n
  1A n x Bx  
1
1 1
Bx
B B
x n

  
MODELADO CON ECUACIONES
DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
 
1 1 1 1 1dx
dx Lnx Ln n x
n x n n x n n
   
 
 
1
1
Lnx Ln n x
n
x
Ln
n n x
    


1
nkt nc
x
Ln kt c
n n x
x
Ln nkt nc
n x
x
e
n x

 

 



 nkt nc
nkt nkt
x e n x
x nce xce
 
 
 1
1
nkt nkt
nkt nkt
nkt
nkt
x xce nce
x ce nce
nce
x
ce
 
 


Dividiendo al numerador y el denominador 
por
 
1nkt
n
x t
ce


nktce
MODELADO
CON ECUACIONES
DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
1. En una población de 10000 habitantes se detecta una enfermedad que
afecta inicialmente a 50 personas. Al cabo de tres días, se observa que son
250 las personas afectadas. Averiguar el número de enfermos que habría
pasados 12 días.
 
4
0
4
10
0
1
10
50
1
x
ce
c




Datos:
 
 
 
410000 10
0 50
3 250
12 ?
n
x
x
x
 



  4
4
50 1 10
10
1
50
200 1
199
c
c
c
c
 
 
 

  4
4
10 3
10
3
199 1k
x
e


 
410 3 4250 199 1 10ke  
4
4
10 3 10199 1
250
ke  
410 3 439 393.10
199 199
ke k Ln
 
     
 
MODELADO CON ECUACIONES
DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
4
4
39
199
3.10
0,5432
10
Ln
k
k
 
 
 


 
 
4
4
4
0,5432
10 12
10
10
12
199 1
12 7730
x
e
x




MODELADO CON ECUACIONES
DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
2. En una granja de 40.000 aves hay un pollo contagiado con la gripe aviar. Si
suponemos que la rapidez de contagio es directamente proporcional tanto al número
de aves contagiadas como al número de no contagiadas, siendo la constante de
proporcionalidad , determinar en cuánto tiempo un 75% de los pollos de la
granja quedarán infectados.
54 10k x 
MODELADO CON ECUACIONES
DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Circuitos en serie 
Examinemos el circuito en serie simple que contiene un inductor, un resistor y un
capacitor. En un circuito con el interruptor cerrado, la corriente se representa con i(r) y
la carga en el capacitor, cuando el tiempo es t, la corriente I se denota con q(t). Las
letras L, C y R son constantes denominadas inductancia, capacitancia y resistencia,
respectivamente. Según la segunda ley de Kirchhoff, el voltaje E(t) a través de un
circuito cerrado debe ser igual a las caídas de voltaje en el mismo.
Como la corriente i(t) se relaciona con la carga q(t) en el capacitar mediante i = dqldt, 
sumamos las caídas de voltaje:
 
2
2
1d q dq
E t L R q
dt dt C
  
MODELADO CON ECUACIONES
DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Mezclado 
Al mezclar dos soluciones salinas de distintas concentraciones se da pie a una
ecuación diferencial de primer orden, que define la cantidad de sal que contiene la
mezcla. Supongamos que un tanque mezclador grande contiene 300 galones de agua,
en donde se ha disuelto sal. Otra solución de salmuera se bombea al tanque a una tasa
de 3 galones por minuto. El contenido se agita perfectamente, y es desalojado a la
misma tasa (Fig. 1.10). Si la concentración de la solución que entra es 2 libras/galón,
hay que formar un modelo de la cantidad de sal en el tanque en cualquier momento.
Tasa TasadA
entrada salidadt
   
    
   
1 2
dA
R R
dt
 
Ahora bien, la razón, RI, con que entra la sal al tanque, en lb/min, es
RI = (3 gal/min) . (2 lb/gal) = 6 lb/min,
Mientras que la razón, R2, con que sale la sal es R2 = (3 gal/min) .(A/300 lb/gal)= 
A/100 lb/min
6
100
dA A
dt
 
MODELADO CON ECUACIONES
DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
1. Suponga que un tanque grande de mezclado contiene inicialmente 300 galones
de agua en los que se disolvieron 50 libras de sal. Entra agua pura a una razón de
3 gal/min y cuando la solución está bien revuelta, sale a la misma razón. Determine
una ecuación diferencial que exprese la cantidad A(t) de sal que hay en el tanque
al tiempo t. ¿Cuánto vale A(0)?
MODELADO CON ECUACIONES
DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN