4AM2 Herrera Rangel Hector Francisco Método de la segunda integración y Método de la cuarta integración

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INSTITUTO POLITÉCNICO 
NACIONAL. 
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica 
Unidad Ticomán. 
 
Materia: Flexión. 
Profesor: Mejía Carmona Alejandro. 
 
Método de la segunda integración para determinar 
ecuaciones de rotación y deflexión. Método de la cuarta 
integración para determinar ecuaciones de fuerza cortante, 
momento flector, rotación y deflexión. 
 
Nombre del Alumno: Herrera Rangel Héctor Francisco. 
Boleta: 2022370143. 
Grupo: 4AM2. 
 
03 de abril de 2023
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
Procedimiento de análisis. 
El siguiente procedimiento proporciona un método para determinar la 
pendiente y la deflexión de una viga (o eje) usando el método de 
integración. 
Curva elástica. 
• Dibuje una vista exagerada de la curva elástica de la viga. Recuerde 
que en todos los soportes fijos se produce pendiente cero y 
desplazamiento cero, y que en todos los soportes de pasador y de 
rodillo ocurre desplazamiento cero. 
• Establezca los ejes de coordenadas x y v. El eje x debe ser paralelo a 
la viga sin deflexión y puede tener su origen en cualquier punto a lo largo 
de la viga, con una dirección positiva ya sea a la derecha o a la 
izquierda. El eje positivo v debe dirigirse hacia arriba. 
• Si están presentes varias cargas discontinuas, establezca las 
coordenadas x que son válidas para cada región de la viga entre las 
discontinuidades. Elija estas coordenadas de modo que simplifiquen el 
trabajo algebraico posterior. 
Función de carga o de momento. 
• Para cada región en la que hay una coordenada x, exprese la carga w 
o el momento interno M como una función de x. En particular, al aplicar 
la ecuación de equilibrio de momentos para determinar M = f (x) siempre 
suponga que M actúa en la dirección positiva. 
Pendiente y curva elástica. 
• Siempre que EI sea constante, aplique la ecuación de carga EI d4v>dx4 
= w(x), que requiere cuatro integraciones para obtener v = v(x), o la 
ecuación de momentos EI d2v>dx2 = M(x), que requiere sólo dos 
integraciones. Para cada integración, es importante incluir una 
constante de integración. 
• Las constantes se evalúan usando las condiciones de frontera (tabla 
12-1) y las condiciones de continuidad que se aplican a la pendiente y 
el desplazamiento en los puntos donde coinciden dos funciones. Una 
vez que las constantes se evalúan y se sustituyen de nuevo en las 
 
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ecuaciones de pendiente y deflexión, es posible determinar la pendiente 
y el desplazamiento en puntos específicos de la curva elástica. 
• Los valores numéricos obtenidos pueden verificarse de manera gráfica 
al compararlos con el dibujo de la curva elástica. Los valores positivos 
para la pendiente tienen sentido antihorario si el eje x positivo se 
extiende a la derecha, y sentido horario si el eje x positivo se extiende 
hacia la izquierda. En cualquiera de estos casos, el desplazamiento 
positivo es hacia arriba. 
Hibbeler, R. (2017). Deflexión de vigas y ejes. En Mecánica de Materiales (p. 584). 
México: Pearson Educación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
Soluciones por integración directa. 
Como ejemplo general del cálculo de deflexiones en vigas, considere la 
ecuación, Elviv = q(x ). Integrando sucesivamente cuatro veces esta 
expresión, se obtiene la solución formal para v. Entonces, 
 
 
En estas ecuaciones, las constantes C1, C2, C3 y C4 tienen un significado 
físico especial. Como, según la ecuación, Elv"' = V, al sustituir esta 
relación en la segunda de las ecuaciones 14-16 y simplificar, se 
reproduce la ecuación 7-6; es decir, 
(7-6) 
Sustituyendo esta relación en la ecuación 7-7 e integrando, se obtiene 
una forma diferente de la ecuación 7-7. 
(14-17) 
El lado derecho de esta ecuación es idéntico a la tercera de las 
ecuaciones 14-16. 
 
 
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Esos resultados muestran que las constantes C1 y C2 son una parte de 
las ecuaciones de equilibrio y son las condiciones estáticas de frontera. 
En este punto no entran en el problema ni propiedades cinemáticas ni 
del material. Sin embargo, a continuación, dividiendo M entre El para 
sustituirlo en la ecuación 14-10, se introducen esas propiedades, 
limitando las soluciones al comportamiento elástico de vigas 
prismáticas. Así entonces, reescribiendo la ecuación 14-10, por 
claridad, en varias formas diferentes, 
(14-10) (14-18) 
Luego, usando la ecuación 14-17 e integrando dos veces, se 
reproducen las últimas dos relaciones de las ecuaciones 14-16. Esas 
dos ecuaciones y las nuevas constantes de integración C3 y C4 
asociadas, definen la pendiente y la deflexión de la curva elástica (es 
decir, ellas describen las relaciones cinemáticas de una viga cargada 
lateralmente). Esas constantes son las condiciones de frontera 
cinemáticas. 
Si en vez de la ecuación 14-14(c) se comienza con la ecuación 14-14(a), 
Elv" = M(x), después de dos integraciones la solución es 
(14-14c) (14-19) 
En ambas ecuaciones, las constantes C1, C2, C3 y C4 deben 
determinarse a partir de las condiciones en las fronteras. En la ecuación 
14-19, las constantes C1 y C2 son incorporadas en la expresión para M. 
Las constantes C1, C2, C3/El y C4/El, respectivamente, son usualmente 
los valores iniciales de V, M, θ y v en el origen. 
El primer término a la derecha de la última parte de la ecuación 14-16 y 
el correspondiente en la ecuación 14-19 son las soluciones particulares 
de las ecuaciones diferenciales respectivas. La solución de la ecuación 
14-16 es especialmente interesante ya que depende sólo de las 
condiciones de carga de la viga. Este término permanece constante 
independientemente de las condiciones de frontera prescritas, mientras 
 
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que las constantes son determinadas a partir de las condiciones de 
frontera. 
Si las funciones de carga, fuerza cortante y momento son continuas y la 
rigidez flexionante EI es constante, la evaluación de las integrales 
particulares es muy directa. Cuando se tienen discontinuidades, las 
soluciones pueden encontrarse para cada segmento de viga en que las 
funciones sean continuas; la solución completa se obtiene entonces 
obligando a que se cumplan las condiciones de continuidad en las 
fronteras comunes de los segmentos de la viga. Alternativamente, 
procedimientos gráficos o numéricos de integraciones sucesivas 
pueden usarse muy efectivamente en la resolución de problemas 
prácticos. 
Cualquiera de las ecuaciones 14-14 o 14-16 puede usarse para 
encontrar deflexiones en vigas. La selección depende enteramente de 
los datos iniciales y de la cantidad de trabajo necesario para resolver un 
problema. Si se comienza con la carga aplicada, las cuatro 
integraciones deben llevarse a cabo. Por otra parte, si se escribe la 
función momento flexionante, el número de integraciones requeridas se 
reduce a dos. 
Resumen del procedimiento Los mismos tres conceptos básicos de la 
mecánica de sólidos repetidamente aplicados anteriormente se usan 
para desarrollar la teoría de la deflexión elástica de vigas. Éstos pueden 
resumirse como sigue: 
1. Las condiciones de equilibrio (estáticas) se usan en un elemento de 
viga para establecer las relaciones entre la carga aplicada y la fuerza 
cortante, ecuación 7-3, así como entre la fuerza cortante y el momento 
flexionante, ecuación 7-4. 
2. La geometría de deformación (cinemática) se usa suponiendo que las 
secciones planas de un elemento de viga permanecen planas después 
de la deformación. Tales secciones planas se intersecan y definen 
deformaciones unitarias de la viga así como el radio de curvatura de un 
elemento. Aunque enel sentido antes mencionado la expresión para la 
curvatura, ecuación 14-4, es exacta, la teoría se limita a deflexiones 
pequeñas, ya que sen e es aproximado por 0, ecuación 14-9. No se 
 
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toma en cuenta en la formulación ningún alabeo debido al cortante en 
las secciones. 
3. Las propiedades de los materiales (relaciones constitutivas) en la 
forma de la ley de Hooke, ecuación 2-8, se aplican supuestamente sólo 
a esfuerzos y deformaciones unitarias normales longitudinales. El efecto 
de Poisson se ignora. 
Popov, E. (2000). Deflexiones en vigas por integración directa. En Mecánica de sólidos 
(pp. 591-593). México: Pearson educación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
Bibliografía. 
1.- Hibbeler, R. (2017). Deflexión de vigas y ejes. En Mecánica de 
Materiales (p. 584). México: Pearson Educación. 
2.- Popov, E. (2000). Deflexiones en vigas por integración directa. En 
Mecánica de sólidos (pp. 591-593). México: Pearson educación.