ejercicios fisica cuantica

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F́ısica IV Fain Uncoma
TP N°6 Ejercicio 7
Enunciado: Considere un alambre de cobre de 4mm2 de sección que conduce una corriente
de 10A a temperatura ambiente. Calcule la velocidad de arrastre sabiendo que la densidad
del cobre es 8, 96 g
cm3
y que cada átomo contribuye con un electrón a la banda de conducción.
Comparar este resultado con la velocidad térmica clásica y con la velocidad de Fermi.
Resolución
Del estudio del electromagnetismo sabemos que si a un solido conductor, lo sometemos a
una diferencia de potencial entre sus extremos, tendremos un campo eléctrico aplicado sobre las
cargas del conductor que generará un movimiento colectivo de las cargas libres (electrones) en
el sólido. La densidad de corriente, es decir, el vector que da cuenta de la dirección e intensidad
de corriente por unidad de área, viene dada por ~J = −ne~vd, siendo n el número de electrones
por unidad de volumen, ~vd es la velocidad de arrastre (velocidad resultante a la que se mueven
en promedio los electrones contraria a la dirección del campo eléctrico aplicado ~E) y e la carga
del electrón.
Por lo tanto tenemos que
J = n e vd
. Como verán, estamos hablando ahora de la relación entre las normas de los vectores ~J y ~vd.
Despejando, tenemos que vd =
J
ne
Calculemos ahora el número de electrones por unidad de volumen. Para ello tenemos como
datos: la densidad del cobre, la información de que cada átomo de cobre contribuye con un solo
electrón a la banda de conducción y conocemos el peso molecular del cobre.
n =
1 electron
1 atomo
· 6, 022 × 10
23 atomos
1 mol
· 8,96 g
1 cm3
· 1 mol
63,5 g
= 8,49 × 1022 electrones
cm3
= 8,49 × 1028 electrones
m3
Por otro lado podemos calcular la norma de la densidad de corriente, ya que conocemos la
corriente que circula por el alambre y el área de éste.
J =
10A
4 × 10−4m2
= 2,5 × 104 A
m2
Y la velocidad de arrastre nos queda:
vd =
J
n · e
=
2,5 × 104 Coul
m2·s
8,49 × 1028 m−3 · 1,6 × 10−19Coul
= 1,8 × 10−6m
s
Ahora vamos a calcular la velocidad de Fermi, vF y la velocidad térmica clásica, vrms:
De la expresión de la enerǵıa de Fermi tenemos que
EF =
h2
8me
(
3N
π · V
)2/3
=
h2
8me
(
3n
π
)2/3
= 7,04 ∼= 7eV
VF =
√
2EF
m
= c
√
2EF
mc2
= 3 × 108m/s
√
2 · 7eV
5,11 × 105eV
= 1,57 × 106m/s
Por otro lado, la velocidad térmica clásica nos da
1
vrms =
(
3kBT
me
) 1
2
=
(
3 · 1,38 × 10−23J/K · 300K
9,11 × 10−31kg
) 1
2
= 1,17 × 105m/s
Cómo es claro, la velocidad de arrastre de los electrones es 9 o 8 ordenes de magnitud
menor que la velocidad de Fermi o térmica clásica respectivamente. Esto ocurre por el hecho
de que los electrones, que se mueven a velocidades cercanas a las velocidades de Fermi (los que
participaŕıa de la conducción), experimentan una fuerza en una única dirección que hace que
los electrones se aceleren. Los electrones incrementan su velocidad en la dirección contraria al
campo eléctrico hasta que son dispersados por defectos de la red cristalina o con efectos del
movimiento vibratorio conjunto de los iones de la estructura cristalina. Es aśı que los electrones
tienen en promedio una velocidad resultante en la dirección contraria al campo. Por el contrario,
sin la aplicación de un campo eléctrico, la velocidad promedio de los electrones que participaŕıan
de la conducción es cero.
Es aśı que el movimiento de los electrones, en su constante aceleración y dispersión, tienen
una velocidad colectiva de arrastre mucho menor que el módulo de la velocidad que poseen in-
dividualmente. Algo aśı como que, a pesar de que los electrones se mueven en todas direcciones,
desde un punto de vista macroscópico, se moveŕıan cómo un fluido con una rapidez vd. Esto
explica, desde un punto de vista bastante cualitativo, por qué hay tanta diferencia entre las
velocidades de arrastre de los electrones de conducción en los metales y las velocidades tanto
térmicas clásicas como la que predice la estad́ıstica cuántica.
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