ejercicios fisica cuantica - solidos

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Trabajo Práctico N 6 
Sólidos – Ejercicio N 9 
 
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Enunciado 
 
El aluminio (Al) tiene una energía de Fermi de 11.7 eV y cristaliza en forma cúbica con un 
parámetro de red de 4.05 Å. Suponiendo que los electrones de valencia están libres en el 
metal, Determinar 
a) ¿Cuál es su estructura cristalina más factible? 
b) ¿Cuál es la densidad del Al? 
c) ¿Cuál es el camino libre medio según los modelos clásico y cuántico? comparar ambos 
resultados e interpretar físicamente la diferencia. 
(Datos: peso atómico del Al: 27 g/mol; conductividad del Al a 293 °K: 37.8 106 S/m). 
 
Resolución: 
 
Datos Valor 
Energía de Fermi 𝐸 = 11.7𝑒𝑉 
Parámetro de red 𝑎 = 4.05Å 
Peso atómico del Al 𝑀 = 27 𝑔/𝑀𝑜𝑙 
Conductividad a 293°K 𝜎 = 37.8𝑥10 𝑆/𝑚 
Tabla 1. Datos del problema 
 
a) ¿Cuál es su estructura cristalina más factible? 
La energía de Fermi EF es la energía asociada al último nivel ocupado (nivel más energético) 
por el electrón a T=0°K, puede calcularse con la siguiente expresión: 
𝐸 =
ℎ
8𝑚
3
𝜋
𝑛 
La densidad de electrones n representa la cantidad de electrones por unidad de volumen, está 
dada por: 
 𝑛 = , 
Reemplazamos los datos, y obtenemos: 
𝑛 = 1.81713𝑥10
𝑒
𝑚
 
La valencia de un metal refleja la cantidad de electrones disponibles para la conducción. 
Analizando la configuración electrónica: 𝐴𝑙 → [𝑁𝑒]3𝑠 3𝑝 , se puede decir que el aluminio 
tiene 3 electrones de valencia. 
 
Adicionalmente, 𝑛 se puede obtener de las contribuciones de los átomos de aluminio en la 
celda unitaria, de la siguiente forma: 
 
𝑛 =
(𝑁° á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 /𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎)(𝑁° 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 /á𝑡𝑜𝑚𝑜) 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎
 
 
Para inferir cual es la estructura cristalina del Al debemos obtener el número de átomos por 
celda unitaria. De la expresión anterior se obtiene: 
𝑁° á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎 =
𝑛 (𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎) 
(𝑁° 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 /á𝑡𝑜𝑚𝑜)
 
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𝑁°
á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠
𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎
=
𝑛𝑎
(𝑁° 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛/á𝑡𝑜𝑚𝑜)
, 
𝑁° á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎 =
1.81713𝑥10
𝑒
𝑚
(4.05𝑥10 𝑚)
3
, 
 
𝑁° á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎 ≅ 4 
 
Concluimos que la estructura cristalina del Al será una cúbica centrada en las caras (FCC), tal 
como se representa en la Figura 2. 
 
 
Figura 1. Representación de la posición de los átomos en la celda unitaria, para una estructura cristalina tipo FCC. 
Imagen extraída de “Introducción A La Ciencia De Materiales Para Ingenieros”. Autor: James F. Shackelford 
 
b) ¿Cuál es la densidad del Al? 
La densidad del Al se puede calcular de la siguiente forma: 
𝜌 =
𝑚
𝑉
=
(𝑁° á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 /𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎)(𝑀 /𝑁 ) 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎
 
Siendo 𝑀 el peso molecular del Aluminio, y 𝑁 = 6.022𝑥10
á
, luego 
reemplazamos los valores involucrados en la densidad y se obtiene: 
 
𝜌 =
(4 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠)
0.027
𝐾𝑔
𝑀𝑜𝑙
6.022𝑥10
á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠
𝑀𝑜𝑙
(4.05𝑥10 𝑚)
= 2697.86
𝐾𝑔
𝑚
 
 
 
c) ¿Cuál es el camino libre medio según los modelos clásico y cuántico? comparar ambos 
resultados e interpretar físicamente la diferencia. 
 
La expresión de la conductividad es dada por: 
𝜎 =
𝑛𝑒 𝜏
𝑚
 
Donde 𝜆 es el camino libre medio y 𝜏 es el tiempo entre colisiones o tiempo de relajación o 
tiempo de vida medio: 
𝜏 =
𝜆
〈𝑣〉
 
 
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Reemplazando 𝜏 en la conductividad, se obtiene: 
𝜎 =
𝑛𝑒 𝜆
𝑚 〈𝑣〉
 
 
A partir de esto, podemos calcular el cambio libre medio según ambos modelos: 
 
i) Según la teoría clásica de la conductividad, la velocidad de los electrones será la velocidad 
térmica (o RMS), donde el valor a T=300°K es: 
𝑣 =
3𝐾 𝑇
𝑚
= 115398.09
𝑚
𝑠
 
 
Reemplazando 〈𝑣〉 = 𝑣 en la expresión de la conductividad obtenemos: 
𝜎 =
𝑛𝑒 𝜆
𝑚 𝑣
 
Despejando 𝜆 tenemos: 
𝜆 =
𝜎𝑚 𝑣
𝑛𝑒
= 8.52Å 
 
ii) Según la teoría cuántica, podemos asociar la energía de Fermi a la energía cinética de los 
electrones de conducción, lo que nos permite despejar su velocidad, es decir: 
𝐸 =
1
2
𝑚 𝑣 , 
luego: 
𝑣 =
2𝐸
𝑚
 
𝑣 ≈ 2𝑥10
𝑚
𝑠
 
Por lo que la ecuación para la conductividad nos queda: 
𝜎 =
𝑛𝑒 𝜆
𝑚 𝑣
 
Despejando 𝜆 obtenemos: 
𝜆 =
𝜎𝑚 𝑣
𝑛𝑒
≈ 149.78Å 
 
La estimación de 𝜆 a partir de consideraciones clásicas es del orden del parámetro de red, pero 
estas consideraciones nos dan valores de 𝜎 que no coinciden con los valores experimentales. 
Con las consideraciones cuánticas se ve que 𝜆 es mucho mayor que el parámetro de red, esto 
se debe a que el camino libre medio se interpreta como la distancia promedio entre impurezas 
e imperfecciones de la red cristalina, la cual es mucho mayor que la distancia interatómica.