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CAPÍTULO 3. Teoria de Grupos Abstratos 115
Figura 3.9: Representação do mapeamento entre os
conjunto domínio (X) e contradomínio (Y ) da função
f (x). O subconjunto amarelo de Y representa a ima-
gem da função.
3.6.1 FUNÇÕES E MAPEAMENTOS
Um mapeamento entre grupos consiste em alguma relação entre um elemento de um dado
grupo G e um elemento de um outro grupo G′. A forma como esta relação pode ser estabelecida
é bastante ampla, e possui uma grande semelhança com o conceito de função em análise ma-
temática. Por esta razão, será feita inicialmente a definição formal deste conceito, para depois
discutir-se o mapeamento entre grupos.
Definição 3.22 (Função). Uma função é uma relação binária entre dois conjuntos, sendo um
conjunto de entrada, denominado o domínio e um conjunto de saída, denominado o contrado-
mínio. Se o conjunto domínio de uma função denominada f é identificado por X e o conjunto
contradomínio é identificado por Y , então a relação binária entre os conjuntos é representada
por
f : X 7→ Y ou X
f−→ Y,
sendo dito que f é a função de X em Y .
A operação realizada por f sobre o elemento x ∈ X é usualmente representada por f (x),
quando então x é denominado o argumento de f . Quando a função f estabelece a relação
binária entre o argumento x e o elemento y ∈ Y , y é denominado o valor de f em x, e essa relação
é usualmente representada por y = f (x).
Para que a relação binária f : X 7→ Y seja uma função, é necessário que:
1. f seja unívoca: se y = f (x) e z = f (x), então z = y.
2. f seja total: para todo x ∈ X existe um y ∈ Y tal que y = f (x).
Para cada x ∈ X relacionado com y ∈ Y | y = f (x) é estabelecido um par ordenado (x, y).
Sendo {x1, x2, . . . , xn} ⊆ X o conjunto de argumentos operados por f e {y1, y2, . . . , yn} ⊆ Y , com
y1 = f (x1), etc, o conjunto de valores de f , o conjunto de pares ordenados
C = X × Y = {(x1, y1) , (x2, y2) , . . . (xn, yn)}
é denominado o produto Cartesiano de X e Y .19 Se {y1, y2, . . . , yn} ⊂ Y , este conjunto é usual-
mente denominado a imagem da função.
A figura 3.9 ilustra o mapeamento entre conjuntos realizado pela função f : X 7→ Y . Existem
diversos tipos de funções, dependendo da regra que associa os elementos de X aos elementos
de Y e da amplitude da ação de f sobre X. Alguns desses tipos serão citados:
Função injetora ou injetiva. Quando cada y ∈ Y está associado a apenas um x ∈ X, i. e., se
para todo x1, x2 ∈ X tais que x1 6= x2, com os valores y1 = f (x1) e y2 = f (x2), então y1 6= y2.
Função sobrejetora ou sobrejetiva. Quando todos os elementos do contradomínio estão asso-
ciados a algum elemento do domínio, i. e., o conjunto imagem se torna igual ao contrado-
mínio inteiro.
Função bijetora ou bijetiva. Quando a função é ao mesmo tempo sobrejetora e injetora, i. e.,
cada elemento do domínio está associado a um único elemento do contradomínio e vice-
versa.
19Ver definição 3.27.
Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 05/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022
116 3.6. Mapeamentos entre grupos
Mapeamento. Uma função f : X 7→ Y é denominada um mapeamento se o conjunto {x1, x2, . . . , xn}
de elementos de X operados por f é o conjunto X inteiro. Um mapeamento pode ainda ser
dividido em:
Mapeamento de X em Y . Quando a imagem do mapeamento está contida no contrado-
mínio, i. e., {y1, y2, . . . , yn} ⊂ Y . Este mapeamento pode ser representado por f : X → Y .
Mapeamento de X sobre Y . Quando o conjunto de valores de f é igual ao contradomínio
inteiro. Este mapeamento pode ser representado por f : X
sobre−−−→ Y .
As definições recém apresentadas sobre funções e mapeamentos podem ser agora implementa-
das para o mapeamento entre dois grupos.
3.6.2 MAPEAMENTO ENTRE GRUPOS E HOMOMORFISMO
A definição e tipos de funções apresentados acima serão agora generalizados na definição
de mapeamento entre grupos. Dentre todos os mapeamentos possíveis, os mais importantes
são aqueles que estabelecem um homomorfismo entre dois grupos. Assim, nesta seção esses
conceitos serão apresentados e discutidos.
Definição 3.23 (Mapeamento entre grupos). Dados os grupos G = {G; ∗} e G′ = {G′; •}, o
mapeamento Φ de G em G′, representado por
Φ : G 7−→ G′,
consiste em uma relação binária entre cada elemento g ∈ G com um elemento g′ ∈ G′, o qual é
denominado o valor de Φ em g. Esta relação pode ser representada por g′ = Φ (g).
Exemplo 3.10. Dados os grupos:
• GL (n,R): grupo geral linear composto pelas matrizes n× n reais inversíveis, frente à multi-
plicação matricial.
• (R∗;×): grupo formado pelo conjunto dos números reais, exceto o 0, frente ao produto
algébrico.
Pode-se definir o mapeamento
Φ : GL (n,R) 7−→ (R∗;×)
tal que para cada matriz A ∈ GL (n,R) corresponde o elemento ∆ ∈ (R∗;×) determinado por
∆ = Φ (A) ≡ det (A) .
Diz-se então que cada matriz A é mapeada ao seu determinante ∆.
A partir da definição básica de mapeamento entre grupos, alguns tipos importantes de ma-
peamentos podem então ser definidos:
Homomorfismo. Dados os grupos G = {G; ∗} e G′ = {G′; •}, o mapeamento Φ : G 7−→ G′ será
denominado um homomorfismo do grupo G para o grupo G′ se cada elemento g ∈ G for
mapeado a um único elemento g′ = Φ (g) ∈ G′ de tal forma que
Φ (g1 ∗ g2) = Φ (g1) • Φ (g2) ,
sendo {g1, g2} ⊂ G e {g′1 = Φ (g1) , g′2 = Φ (g2)} ⊂ G′. O elemento g′ = Φ (g) ∈ G′ é denominado a
imagem ou o mapa do elemento g de G sob o homomorfismo.
Monomorfismo. Dados os grupos G = {G; ∗} e G′ = {G′; •}, o mapeamento Φ : G 7−→ G′ será
denominado um monomorfismo do grupo G para o grupo G′ se:
1. O mapeamento for homomórfico.
2. O mapeamento for injetivo, i. e., para todos g1, g2 ∈ G tais que g1 6= g2, se g′1 = Φ (g1) e
g′2 = Φ (g2), com g′1, g
′
2 ∈ G′, então g′1 6= g′2.
Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 05/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022
1 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas Ortogonais
1.1 Coordenadas curvilíneas
3 Teoria de Grupos Abstratos
3.6 Mapeamentos entre grupos
3.6.1 Funções e mapeamentos
3.6.2 Mapeamento entre grupos e homomorfismo