Text Material Preview
5.6. Multiplicação e divisão de polinômios 79 Esse procedimento pode ser utilizado em qualquer divisão de D por d , desde que se tenha g r (D) ≥ g r (d). Observação 5.3 Observe que o critério de parada da divisão pelo método da chave é quando o grau do resto ficar menor do que o grau do divisor, pois nesse ponto, se garante a condição b) da Definição 5.9. Observação 5.4 Ao se efetuar a divisão, sempre se terá que g r (R) < g r (d). Portanto, o maior grau possível para o resto será sempre g r (R) = g r (d)−1. Divisão por binômios de grau 1 Lema 5.1 Seja a ∈C. O resto da divisão de um polinômio D(x) por x −a é igual a D(a). Demonstração: Ao se dividir D(x) por x − a, deve-se obter Q(x) e R(x) tais que D(x) = (x −a) ·Q(x)+R(x). Contudo, como g r (R) < g r (x −a) e g r (x −a) = 1, segue que g r (R) = 0, o que implica que R(x) é uma constante, digamos R(x) = k ∈C ∀ x. Logo: D(x) = (x −a) ·Q(x)+k =⇒ D(a) = (a −a) ·Q(x)+k =⇒ D(a) = k = R(x). Exemplo 5.28 O resto da divisão de D(x) = x3 − 2x − 6 por x − 1 é dado por D(1) = 13 −2 ·1−6 =⇒ R(x) =−7. Com o auxílio do Lema 5.1 é possível provar o Teorema 5.5. Essa demonstração será deixada como exercício para o leitor e uma dica pode ser encontrada na seção de respostas. Teorema 5.5 (D’Alembert) Seja P um polinômio em C. Então, P (x) é divisível por x −a se, e somente se, P (a) = 0, isto é, quando a for uma raiz de P. Exemplo 5.29 a) Sem efetuar a divisão, mostre que o polinômio A(x) = 2x3 −12x2 +18x é divisível por x −3. Resolução: Para o binômio x −3 tem-se que a = 3. Então, A(3) = 2 ·33 −12 ·32 + 18 ·3 = 54−108+54 =⇒ A(3) = 0. Logo, pelo Teorema 5.5 segue que A é divisível por x −3. b) Para que valor de k o polinômio P (x) = kx3 +x2 −5 é divisível por x + 1 2 ? Resolução: No binômio x+ 1 2 tem-se que a =−1 2 . Então, pelo Teorema 5.5 deve-se ter P (−1 2 )= 0. Logo: P ( −1 2 ) = 0 ⇐⇒ k ( −1 2 )3 + ( −1 2 )2 −5 = 0 ⇐⇒−1 8 k + 1 4 −5 = 0 ⇐⇒ k =−38. Um outro resultado relativo à divisão por binômios de grau 1 é sobre a divisão pelo produto de dois desses binômios, conforme descrito no Teorema 5.6. Teorema 5.6 Dado um polinômio P que seja divisível por (x −a) e por (x −b), com a 6= b, então P é divisível pelo produto (x −a)(x −b). 80 Capítulo 5. Polinômios Algoritmo de Briot-Ruffini O Algoritmo de Briot-Ruffine é uma sequência de passos, utilizada para se obter os coeficientes do quociente e do resto da divisão de um polinômio P (x) = an xn + . . .+ a1x +a0, an 6= 0, por um binômio da forma x −a. O esquema apresentado na Figura 2 ilustra a execução do algoritmo e as relações de recorrência que devem ser usadas para obter os coeficientes do quociente e também do resto da divisão. Figura 2 – Ilustração da aplicação do algoritmo de Briot-Ruffine. Como a divisão é de um polinômio de grau n por um de grau 1, segue que o quo- ciente terá grau n −1 e que o resto sempre será uma constante, já que g r (R) = 0. O algoritmo fornece as seguintes relações de recorrência que permitem obter os coefici- entes do quociente e do resto da divisão: • qn−1 = an • qn−2 = qn−1 ·a +an−1 • qn−3 = qn−2 ·a +an−2 • qn−4 = qn−3 ·a +an−3 ... • q2 = q3 ·a +a3 • q1 = q2 ·a +a2 • q0 = q1 ·a +a1 • R(x) = q0 ·a +a0 Sendo que, qn−1, qn−2, . . . , q0 são os coeficientes do quociente e R(x) é o resto da divisão de P (x) por x −a. Exemplo 5.30 Vamos obter o quociente Q(x) e o resto R(x) na divisão de P (x) = 4x3 + 6x2 +8x +10 por x −2, utilizando o algoritmo de Briot-Ruffini. Como g r (P ) = 3 e g r (x −2) = 1, segue que g r (Q) = 2. Utilizando o dispositivo da Figura 2 e as relações de recorrência para q2, q1, q0 e R(x), vem que: Portanto, tem-se que Q(x) = 4x2 +14x +36 e R(x) = 82.
