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5.4. Polinômios 73
Exemplo 5.17 Sejam a, b, c, d ∈ R e i a unidade imaginária. Para que o polinômio
P (x) = (a −4i )x3 −2i bx2 +5(c +6)x +d seja identicamente nulo, é necessário que seus
coeficientes sejam nulos. Logo, deve-se ter:
a −4i = 0 ⇒ a = 4i , −2i b = 0 ⇒ b = 0, 5(c +6) = 0 ⇒ c =−6 e d = 0.
Igualdade entre polinômios
Dois polinômios P e Q são denominados iguais (ou idênticos) quando assumem valores
iguais para todo complexo x, ou seja,
P =Q ⇐⇒ P (x) =Q(x), ∀ x ∈C.
Também é possível provar que a igualdade entre P e Q acontece se, e somente se, os
coeficientes desses polinômios forem ordenadamente iguais. Matematicamente isso
significa que se
P (x) = an xn + . . .+a2x2 +a1x +a0 e Q(x) = bn xn + . . .+b2x2 +b1x +b0,
então
P =Q ⇐⇒ a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2, . . . , an−1 = bn−1, an = bn .
Exemplo 5.18 Dados os polinômios f (x) = (a −1)x2 +bx + c e g (x) = 2ax2 +2bx − c,
quais são as condições para que se tenha a identidade f (x) = g (x)?
Resolução: Para que a igualdade aconteça é necessário que os coeficientes dos
polinômios f e g sejam ordenadamente iguais, isso é: a −1 = 2a
b = 2b
c = −c
=⇒
2a −a = −1
b −2b = 0
c + c = 0
=⇒
a = −1
b = 0
c = 0
.
Grau de um polinômio
Definição 5.8 Dado um polinômio P (x) com pelo menos um termo de coeficiente não
nulo, o grau de P é o maior dos expoentes da variável x nos termos com coeficientes não
nulos, indicado por g r (P ) ou ∂P. Se P tem todos os coeficientes nulos, não se define o
grau de P.
Matematicamente, temos que se an 6= 0 em
P (x) = an xn +an−1xn−1 + . . .+a2x2 +a1x +a0,
então,
g r (P ) = n.
Exemplo 5.19 Observe o grau de cada polinômio apresentado:
a) P (x) =−9x5 +3x4 +x3 −x2 +4 =⇒ g r (P ) = 5
b) R(x) = 0x2 −0x +0 =⇒ @ g r (R)
c) S(x) = 8 =⇒ ∂S = 0
d) T (x) = ax +b, b 6= 0 =⇒ g r (T ) =
{
1 se a 6= 0
0 se a = 0
74 Capítulo 5. Polinômios
Exemplo 5.20 Analise o grau do polinômio f (x) = (a +3)x3 −4x2 +1 com a ∈R.
Resolução: Observe que o coeficiente de x3 depende do valor de a e os coeficientes
dos outros termos são todos não nulos. Logo, se a +3 = 0 tem-se que o grau de f será 2
e se a +3 6= 0 o grau de f será 3.
∴ g r ( f ) =
{
2 se a =−3
3 se a 6= −3 .
5.5 Adição e subtração de polinômios
Adição
Dados dois polinômios P (x) = an xn + . . .+a1x +a0 e Q(x) = bn xn + . . .+b1x +b0, a
adição entre eles é dada por
(P +Q) (x) =
n∑
k=0
(ak +bk ) xk = (an +bn) xn + . . .+ (a1 +b1) x + (a0 +b0)
Exemplo 5.21 Observe as adições de polinômios e perceba que eles, não necessariamente,
precisam ter o mesmo grau para serem adicionados.
a) Sejam f (x) =−3x3 −7i x2 +2x + i e g (x) = 4x3 −2i x2 +3x −2i . Logo:
( f + g )(x) = (−3+4)x3 + (−7i −2i )x2 + (2+3)x + (i −2i )
=⇒ ( f + g )(x) = x3 −9i x2 +5x − i
b) Dados P (x) = 2x4 +5x3 −x + i e Q(x) =−2x2 −2x −1. Então:
(P +Q)(x) = (2+0)x4 + (5+0)x3 + (−1−2)x + (i −1)
=⇒ (P +Q)(x) = 2x4 +5x3 −3x + (i −1)
Da forma como a adição de polinômios é definida, segue que o conjunto de todos
os polinômios na variável x ∈ C, que designaremos aqui por K , possui as seguintes
propriedades:
Propriedades 5.1
A1 : (Associativa) f + (
g +h
)= (
f + g
)+h, ∀ f , g , h ∈ K .
A2 : (Comutativa) f + g = g + f , ∀ f , g ∈ K .
A3 : (Elemento neutro) ∃ q = 0 ∈ K tal que f +q = q + f = f , ∀ f ∈ K . Sendo assim, o
polinômio nulo é o elemento neutro da adição de polinômios.
A4 : (Inverso aditivo) ∀ f = an xn+. . .+a1x+a0 ∈ K , ∃ − f =−an xn−. . .−a1x−a0 ∈ K
tq f + (− f ) = 0. O polinômio − f é chamado inverso aditivo (ou oposto) de f .
As demonstrações das Propriedades 5.1 podem ser encontradas na referência [25], e
é a partir da propriedade A4 que se define a operação de subtração de polinômios.
Polinômios
Adição e subtração de polinômios