PROBABILIDADE INTRODUÇÃO, VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS

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CET060 – MÉTODOS ESTATÍSTICOS 
2ª UNIDADE – PROBABILIDADE 
INTRODUÇÃO, VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E 
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2016 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CETEC – CENTRO DE CIÊNCIAS 
EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 CET060 – 1 
1. INTRODUÇÃO À TEORIA DAS PROBABILIDADES 
 
 
1.1. Breve Histórico 
 
Diz – se que a teoria das probabilidades originou-se com Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre 
de Fermat (1601-1665), devido à curiosidade de um cavalheiro Chevalier de Meré, jogador 
apaixonado, que em cartas discutiu com Pascal problemas relativos à probabilidade de ganhar em 
jogos de cartas. 
A primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades é o livro De Ludo Aleae 
(Sobre os jogos de azar) de Girolamo Cardano (1501-1576), publicado em 1663. Também Galileu 
(1564-1642) preocupou-se com as probabilidades, estudando os jogos de dados para responder a 
pergunta de um amigo. 
 A teoria das probabilidades passou a desenvolver-se de maneira mais organizada a partir do 
século XVII e importantes contribuições de ilustres matemáticos devem ser registradas. No famoso 
livro, Ars Cnjectandi de Jaime Bernoulli (1654-1705) encontramos um teorema de importância 
decisiva para a teoria das probabilidades, conhecido com a Lei dos Grandes Números, nome que lhe 
foi dado pelo matemático francês Siméon Poisson.(1781-1840). 
 Atualmente a teoria das probabilidades tem extrema importância nas mais diversas áreas 
desde a engenharia, medicina, epidemiologia, demografia, economia, administração, meteorologia, 
fotografias de satélites, marketing, predição de desastres naturais, ciências sociais entre outras. 
 
 
 
1.2. Introdução 
 
 
O estudo das probabilidades está associado à incerteza do resultado de um experimento e a 
regularidade no resultado que é observada ao longo do prazo, ou seja, à medida que o experimento é 
repetido um grande número de vezes. 
 
 
1. Tipos de modelos matemáticos 
Os modelos matemáticos podem ser: 
 
a) Determinísticos 
Ocorrem quando, sob as mesmas condições de experimentação, pode-se determinar ou 
predizer com certeza o resultado final do experimento. 
Exemplo: fórmulas matemáticas e físicas para comprovar teorias. 
 
b) Não-determinísticos (ou probabilísticos) 
Ocorrem quando não é possível predizer com certeza o resultado final do experimento. 
Exemplo: observar o tempo de vida útil de uma lâmpada. 
 
 
 
 
 CET060 – 2 
1.3 Definições e propriedades. 
 
Definições: 
 
i) Fenômenos ou experimentos aleatórios: São aqueles em que o processo de 
experimentação está sujeito a incertezas, logo, não é possível controlar todas as 
circunstâncias relevantes e, portanto não é possível prever com exatidão os resultados 
individuais. 
 
 Características de um experimento aleatório: 
 
 a.1) Poderá ser repetido um grande número de vezes sob as mesmas condições; 
 
a.2) Não podemos afirmar que um resultado particular ocorrerá, porém, podemos descrever o 
conjunto de todos os resultados possíveis do experimento - as possibilidades de resultado. 
 
a.3) Quando o experimento é repetido um grande número de vezes, surgirá uma regularidade 
nos resultados. Esta regularidade, chamada de regularidade estatística, é que torna 
possível construir um modelo matemático preciso com o qual se analisará o experimento. 
 
A Teoria da Probabilidade tenta descrever matematicamente experimentos cujos resultados não 
podem ser completamente pré-determinados, ou seja, visa definir um modelo matemático que seja 
adequado à descrição e interpretação de fenômenos aleatórios. 
 
 
ii) Espaço amostral (): Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento 
aleatório 
Exemplos de experimentos aleatórios e seus respectivos espaços amostrais: 
E1: Jogar uma moeda e observar a face superior. 
1 = { Cara, Coroa } 
E2: Jogar um dado e observar a face superior. 
2 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
E3: Determinar o tempo de vida útil de uma lâmpada. 
3 = { t  R / t  0 } 
 
Espaços amostrais podem ser finitos ou infinitos. 
 
Um espaço amostral é equiprovável quando todos os elementos têm a mesma chance de ocorrer, 
isto é, todos os seus elementos são igualmente prováveis. 
 
 
iii) Evento: Qualquer subconjunto de um espaço amostral. 
 
Exemplo 1: 
No lançamento de um dado consideremos o evento “ocorrer um número par”. 
A: ocorrer um número par, isto é A = {2, 4, 6}. 
 
Exemplo 2: 
Vai chover no litoral baiano no fim de semana?  = {chove, não chove} 
Em geral, temos interesse em eventos particulares do experimento. 
 
 CET060 – 3 
O evento A pode representar a ocorrência de chuva 
A = {chove}   
 
Os conjuntos  e  também são eventos: 
  é o evento certo 
  é o evento impossível 
 
Exercício: Descreva o espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos a seguir: 
a) Numa linha de produção conta-se o número de peças defeituosas num período de 1 hora; 
b) Lançar uma moeda três vezes, sucessivamente, e anotar a seqüência de caras e coroas; 
 
 
 Relação entre eventos 
 
Ao realizar um experimento aleatório diz-se que o evento A ocorreu se o resultado observado for 
um elemento do subconjunto A. 
 
Dados dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral: 
 AB é o evento em que A e B ocorrem simultaneamente; 
 AB é o evento em que A ocorre ou B ocorre (ou ambos ocorrem); 
 Ac 
A ou
 é o evento em que A não ocorre. 
Exemplo 3: Lançamento de dado  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
evento B: representa sair face par => B = {2, 4, 6} 
evento C : representa sair uma face ímpar => C = {1, 3, 5} 
evento D: representa sair uma face maior que 3 => D = {4, 5, 6} 
evento E: representa sair face 1 => E = {1} 
evento B  D: representa sair uma face par e maior que 3 => {2, 4, 6}  {4, 5, 6} = {4, 6} 
evento B  C: representa sair uma face par e ímpar => {2, 4, 6}  {1, 3, 5} =  
evento BD : representa sair uma face par ou maior que 3 => {2, 4, 6}  {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6} 
evento B C : representa sair uma face par ou ímpar => {2, 4, 6}  {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
evento B
c
 = C 
evento C
c
 = B 
 
 
 Leis de Morgan: 
 B – A = B  Ac 
 (A  B)c = Ac  Bc 
 (A  B)c = Ac  Bc 
 A  Ac =  
 A  Ac =  
 
Se dois eventos quaisquer têm intersecção vazia, isto é, eles não podem ocorrer simultaneamente, 
dizemos que eles são mutuamente exclusivos ou disjuntos. 
No exemplo 3 os eventos B e C são mutuamente exclusivos ou disjuntos, visto que B  C =  . 
 
 
 
 
 
 
 CET060 – 4 
iv) Definição clássica de probabilidade 
 
 
Seja A um evento associado ao espaço amostral finito , no qual todos os resultados são 
igualmente possíveis (ou equiprováveis). Vamos definir a probabilidade do evento A, P(A) como o 
quociente entre o número de elementos em A e o número de elementos em : 


#
#
)(
A
AP
, 
isto é, a razão entre os casos favoráveis ao evento e o total de casos possíveis. 
Limitações: 
– Dificuldade em enumerar #A e # em alguns casos; 
–  infinito; 
– Modelo adequado para apenas uma classe de fenômenos equiprováveis. 
 
 
Exemplo1: Qual a probabilidade de obter um número par no lançamento de um dado? 
A = número par = {2, 4, 6} 
 = {1,2,3,4,5,6} 
P(A) = 
6
3
 
 
 
Exemplo2: Considere o quadro abaixo referente à existência ou não de banheiro ou sanitário nos 
domicílios baianos. Qual a probabilidade de: 
a) selecionar um domicílio aleatoriamente na área urbana que não tenha banheiro ou sanitário? 
b) selecionar um domicílio aleatoriamente na área rural que tenha banheiro ou sanitário comum 
a mais de umdomicílio? 
c) selecionar um domicílio aleatoriamente que tenha banheiro ou sanitário de uso exclusivo do 
domicílio, independente da área. 
 
Res: a) 0,15 ou 15%. b) 0,017 ou 1,17% c) 0,88 ou 88% 
 
Domicílios (em unidades) por ocorrência de banheiro ou sanitário. Bahia/2005 
Banheiro ou sanitário urbano Rural Total 
Não tinha 563.964 116.102 680.066 
Tinha comum a mais de um 32.015 29.903 61.918 
Tinha de uso exclusivo 3.091.888 2.400.473 5.492.361 
Total 3.687.867 2.546.478 6.234.615 
 Fonte: IBGE/PNAD 
 
 
Exemplo3: A origem da água dos domicílios de uma rua com 35 residências é adequada (rede 
pública) em 25 delas, e inadequada (outra origem) em 10 delas. Cinco domicílios serão sorteados 
aleatoriamente para inspeção da água. Qual a probabilidade de: 
a) quatro domicílios terem água de origem adequada; 
b) dois domicílios terem água de origem inadequada; 
 
 
 a) A= quatro domicílios terem água de origem adequada 
 
 CET060 – 5 
 
P(A) = 39,0
324632
126500
324632
1012650
5
35
1
10
4
25



















x
 
A probabilidade de selecionar um domicílio quatro domicílios com água de origem adequada é de 
aprox. 39%. 
 
 
 
 v) Definição frequentista ou empírica 
 
 
As limitações da definição clássica de probabilidade, que só se aplica a espaços amostrais 
finitos e equiprováveis, levaram a considerar outra forma de calcular probabilidade de um evento 
partindo da freqüência relativa do evento ao se repetir o experimento, n vezes, sob as mesmas 
condições. Em linguagem matemática, quando n cresce, o limite da freqüência relativa de 
ocorrência de A é igual a P(A), isto é, 
 
P(A)
n
 ocorreA que repetições de #
lim)(lim 
 n
n
n
Af
. 
 
 
Exemplo: Suponha que um experimento de lançar 20 vezes uma moeda foi realizado para observar 
o número de caras. A cada lançamento vamos considerar o número de caras que até então 
ocorreram (na) dividido pelo número de lançamentos (n), ou seja. a freqüência relativa de caras. A 
tabela abaixo apresenta os resultados referentes a este experimento: 
 
 
N na fa=na/n n na fa = na/n 
1 1 1 11 6 6/11 = 0,54 
2 1 1/2 = 0,50 12 7 7/12 = 0,58 
3 2 2/3 = 0,67 13 7 7/13 = 0,54 
4 3 3/4 = 0,75 14 8 8/14 = 0,57 
5 3 3/5 = 0,60 15 8 8/15 = 0,53 
6 3 3/6 = 0,50 16 8 8/16 = 0,50 
7 3 3/7 = 0,43 17 8 8/17 = 0,47 
8 4 4/8 = 0,50 18 8 8/18 = 0,44 
9 5 5/9 = 0,56 19 9 9/19 = 0,47 
10 5 5/10 = 5/10 20 9 9/20 = 0,45 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico a seguir apresenta o comportamento das freqüências relativas obtidas no 
experimento: 
 
 CET060 – 6 
 
 
 
 
Observa-se que medida que aumenta o número de lançamentos, a freqüência relativa se aproxima 
de 0,5. Em linguagem matemática dizemos que a freqüência relativa “converge” para 0,5. 
Dificuldade do ponto de vista matemático: o número do limite real pode não existir. 
 
 
 
v) Definição matemática ou axiomática 
 
 
Seja  um espaço amostral. Uma função P definida para todos os subconjuntos de  (chamados 
eventos) é chamada de probabilidade se: 
1) 0  P(A)  1, para todo evento A   
2) P() = 1 
3) Se A1, A2, ..., An forem, dois a dois, eventos mutuamente exclusivos, isto é, (Ai  Aj) =  para 
todo i  j, então 
  )(...)()( 21
1
n
n
i
i APAPAPAP 


 = 


n
i
iAP
1
)(
 
 
 
Teoremas: 
 
1. P() = 0 
 
2. Se Ac é o evento complementar de A, então P(Ac) = 1- P(A) 
 
3. Sejam A e B dois eventos quaisquer, então: 
P (A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) 
 
4. Se A, B e C forem três eventos quaisquer, então: 
P (A  B  C )=P(A) + P(B) + P(C) - P(A  B) - P(A  C) - P(B  C) + P(A  B  C) 
5. Se A  B, então P(A)  P(B) 
 
Lançamentos sucessivos de uma moeda
Número de repetições versus freqüência relativa de caras
Freqü
ência
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920
 
 CET060 – 7 
Exemplo: Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves. 
Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: 
a) a peça não tenha defeito grave 
Seja o evento DG: “ retirar uma peça com defeito grave do lote” 
 # =16, então 
P(
DG
) = 1 – P(DG) = 1 - 
16
2
 = 
16
14
 = 0,875 
 
b) a peça não tenha defeito 
Seja o evento B: “ retirar uma peça boa no lote” 
P(B) = 
16
10
 = 0,625 
 
c) a peça seja boa ou tenha um defeito grave 
P(B  DG) = P(B) + P(DG) – P(B  DG) = 0,625 + 0,125 – 0 = 0,75 
 
 
Exercício: Uma pesquisa para avaliar o destino dado ao lixo de 35 ruas mostrou que 20 delas 
tinham o lixo coletado diariamente, 10 tinham o lixo coletado duas vezes na semana e 5 delas 
tinham o lixo queimado ou enterrado pelos moradores. Se uma rua for selecionada aleatoriamente, 
qual a probabilidade de: 
a) ter o lixo coletado diariamente; 
b) não ter o lixo queimado ou enterrado; 
c) ter o lixo queimado ou enterrado. 
 
 
 
1.4. Probabilidade condicional 
 
 
Sejam A e B eventos de um experimento aleatório qualquer, com P(B) > 0. A probabilidade 
condicional de A dado B (denota-se por P (A B)) é definida como: 
 
P(B)
B)P(A
B) P(A 


 
 
Exemplo: Suponha que um escritório possua 100 máquinas de calcular. Algumas dessas máquinas 
são elétricas (E), enquanto outras são manuais (M); e algumas são novas (N), enquanto outras são 
muito usadas (U). Uma pessoa entra no escritório pega uma máquina, qual será a probabilidade de 
que seja elétrica dado que é nova? 
 
 
57,0
7
4
100/70
100/40
)(
)(
)|( 


NP
NEP
NEP
 
 
 Elétrica Manual Total 
Nova 40 30 70 
Usada 20 10 30 
Total 60 40 100 
 
 CET060 – 8 
Exercício: considere o quadro abaixo. Selecionando uma pessoa aleatoriamente, qual a 
probabilidade de: 
a) ter entre 20 e 59 anos; 
b) ser homem e ter entre 20 e 59 anos; 
c) ter 60 anos ou mais dado que é do sexo feminino; 
d) sabendo que é homem ter entre 10 e 14 anos. 
 
População censitária por faixa etária, residente na área urbana. Cruz das Almas/2000. 
Faixa etária Homens (Pessoas) Mulheres (Pessoas) 
 
Total 
00 a 09 anos 3567 3386 6953 
10 a 14 anos 4428 4584 9012 
20 a 59 anos 9119 10988 20107 
60 anos e mais 1299 2233 3532 
Total 18413 21191 39604 
 
 
1.5 Regra ou teorema do produto 
 
 
A regra do produto de probabilidades é deduzida da definição de probabilidade condicional. Sejam 
A e B eventos pertencentes ao mesmo espaço amostral Ω, então: 
 
    )(|)(
)(
)(
| BPBAPBAP
BP
BAP
BAP 


 
 
Exemplo: 
Uma urna contém fichas numeradas de 1 a 4. Retira-se uma ficha da urna ao acaso e anota-se o 
número. Esta ficha não é recolocada na urna, e retira-se novamente uma ficha, ao acaso, da urna. 
Qual a probabilidade de ter saído a ficha com número 1, na primeira retirada, e de ser 5 a soma dos 
números das duas fichas retiradas? 
Pelo teorema do produto temos que, 
Evento A : sair o número 1 na primeira retirada =>P(A) = 
4
1
 
Evento B : soma = 5 
 
Evento B|A : {soma = 5 | a primeira ficha é 1} , se queremos que a soma seja 5, então é preciso que 
a segunda ficha seja o número 4  P(B|A) = 
4
1
 
 
12
1
3
1
4
1)(|)(  APABPBAP
 
8,3% de probabilidade. 
 
Exercício: No Brasil 5 estações de tratamento de esgoto usam como sistema o escoamento 
superficial e 3 usam como sistema o filtro biológico percolador. Selecionando duas estações 
aleatoriamentepara inspeção, qual a probabilidade de: 
a) ambas serem de escoamento superficial; 
b) a 1ª selecionada ser de filtro biológico; 
c) uma ser de filtro biológico. 
 
 CET060 – 9 
1.6 regra da probabilidade total 
 
 
Sejam A e B dois eventos de um experimento qualquer. Há duas maneiras de B ocorrer, 
considerando a ocorrência ou não do evento A: ou A e B ocorrem (A  B) ou Ac e B ocorrem (Ac 
 B). 
 
Deste modo, B = (A  B)  (Ac  B), onde A  B e A  Bc são conjuntos disjuntos. 
 
Pelo axioma 3, P(B) = P(A  B) + P(Ac  B). 
 
Pela regra do produto P(B) = P(A) . P(B / A) + P(A
c
) P(B / A
c
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tem-se uma partição de um espaço amostral em um número finito de eventos Ai ( i = 1,2,...,n) se: 
 
1) Se A1, A2, ..., An forem, dois a dois, eventos mutuamente exclusivos, isto é, (Ai  Aj) =  para 
todo i  j. 
2) 



n
i
iA
1
, isto é, os eventos A são exaustivos. 
 
 
Regra da probabilidade total: se a seqüência de eventos aleatórios A1 , A2 , ..., An formar uma 
partição de , então: 
        
n
i
ii
i
i A BPAP B AP BP
n 
 
 
Exemplo: Em uma urna, há 10 bolas: 4 amarelas e 6 vermelhas. Duas bolas são sorteadas 
sucessivamente, sem reposição. Qual é a probabilidade da 2ª bola ser vermelha? 
Resolução: 
 B  AC 
B  A 
A A
c 
B 
 
 CET060 – 10 
Sejam os eventos: 
V1: primeira bola retirada é vermelha; 
V2: segunda bola retirada é vermelha; 
B1: primeira bola retirada é amarela; 
B2: segunda bola retirada é amarela; 
 
Queremos calcular P(V2). Temos que: 
 
10
6
)(V P 1 
 
10
4
)( 1 AP
 
 
Se V1 ocorreu, isto é, saiu vermelha na primeira retirada, então a composição da urna fica: 
 
9
5
)V P(V 12 
 e 
9
6
)A P(V 12 
 
10
6
)P(V
9
4
9
5
10
6
)P(V
10
4
9
6
10
6
9
5
)P(V
)A| P(V )P(A )V / P(V . )P(V )P(V
2
2
2
1211212










 
 
Podemos fazer o diagrama em árvore ou árvore de probabilidades da situação descrita neste 
exercício. 
 
10
6
9
6
10
4
9
5
10
6
)( AP
 
 
 
10
6
10
4
9
5
9
4
9
6
9
3




9
5
*
10
6
9
4
*
10
6
9
6
*
10
4
9
3
*
10
4
 
 CET060 – 11 
Exercício: Admita que na fábrica de parafusos as máquinas A, B e C produzem 25, 35 e 40% do 
total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina 5, 4 e 2%, respectivamente, são 
parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso: qual a probabilidade dele ser defeituoso? 
 
 
Exercício: Num município 50% da água tratada é consumida pelas residências, 30% pelas casas 
comerciais e 20% pelas indústrias. 0,5% das residências, 20% dos estabelecimentos comerciais e 
55% das indústrias consomem mais de 15 m
3 
de água por mês. Escolhe-se ao acaso uma conta, qual 
a probabilidade do consumo de água mensal ser superior a 15 m
3
? 
 
 
1.7. Regra de Bayes (probabilidade das causas de um evento observado) 
 
 
Suponha que os eventos A1, A2,...... Ak formem uma partição de Ω e que suas probabilidades sejam 
conhecidas. Suponha também que para um evento B, se conheçam as probabilidades 
.,,2,1)|( kiABP i 
 Então para qualquer j, 
 
kj
ABPAP
ABAP
BAP
ii
k
i
jj
j ,1,
)|().(
)|).((
)|(
1



. 
Esta regra é útil quando conhecemos as probabilidades dos Ai e as probabilidades condicionais de 
B dado Ai, mas não conhecemos diretamente a probabilidade de B. 
 
Demonstração: Conhecendo a definição de probabilidade condicional 
)(
)(
)|(
BP
BAP
BAP
j
j


, 
 
usaremos a regra do produto para reescrever o numerador dessa expressão: 
),|().()()( jjjj ABPAPABPBAP 
 
 
note que: 



k
i
ii
k
i
i ABPAPABPBP
11
)|().()()(
 
 
 
Exemplo: Considerando o exemplo da peça defeituosa, tendo conhecimento que a industria X 
fornece 20% das peças, a Y fornece 30% e a Z, 50%. Sabendo-se através do controle de qualidade 
que 20% das peças fabricadas pela indústria X são defeituosas, enquanto que para as indústrias Y e 
Z, essa proporção é de 5% e 2%, respectivamente. Qual a probabilidade de que a peça defeituosa 
tenha vindo da indústria X? 
 
)()|()()|()()|(
)()|(
)(
)(
)|(
ZPZDPYPYDPXPXDP
XPXDP
DP
DXP
DXP




 
 
 
então, 
 
 
 CET060 – 12 
= 0,615 
 
 
Exercício: Num município 50% da água tratada é consumida pelas residências, 30% pelas casas 
comerciais e 20% pelas indústrias. 0,5% das residências, 20% dos estabelecimentos comerciais e 
55% das indústrias consomem mais de 15 m
3
 de água mensal. Escolhe-se ao acaso uma conta de 
consumo superior a 15m
3
 de água. Qual a probabilidade de ser consumo industrial? 
 
 
 
1.8 Independência estatística 
 
 
Dois eventos são ditos independentes quando a ocorrência de um deles não interfere na 
probabilidade de ocorrência do outro. 
 
Em linguagem matemática, dados A,B  , A e B são ditos independentes, se e somente se : 
P( AB) = P(A) e P( BA) = P(B) 
Nesse caso, temos que 
P(A  B) = P(A) . P(B) 
Generalizando: 
 
Os eventos A1, A2,..., An  , são independentes se e somente se a independência for verificada 
para todos os subconjuntos de dois ou mais eventos desta família. 
 
Se Ai, i= 1, 2, 3, ..., n , é uma família finita de eventos independentes, então 
 







n
1i
n
1i
)A(PAP ii
 
Observar que: 
 





)()|()(
)()|()(
BPBAPBAP
APABPBAP
 para eventos quaisquer 
 
 )()()( BPAPBAP 
 para eventos independentes 
 
 
Exemplo: A probabilidade de que A resolva um problema é de 2/3 e a probabilidade de que B 
resolva é de 3/4. Se ambos tentarem independentemente, qual a probabilidade do problema ser 
resolvido? 
Resolução: 
A : A resolve 
B : B resolve 
A  B: A e B resolvem 
A  B : A ou B resolvem => o problema é resolvido 
Como são eventos independentes, P(A  B) = P(A).P(B) e 
02,0.5,005,0.3,02,0.2,0
2,0.2,0
)|(

DXP
 
 CET060 – 13 
P(A  B) = P(A) +P(B) - P(A).P(B) = 2/3 + 3/4 – (2/3)(3/4) = 2/3 + 3/4 – 2/4 = 
12
11
12
38


. 
 
 
Exercício: Em uma caixa existem 10 peças, das quais 4 são defeituosas. São retiradas duas peças da 
caixa, uma após a outra, com reposição. Calcule a probabilidade de: 
a) ambas sejam boas 
b) a primeira seja defeituosa e a segunda seja boa. 
 
 
 
***************** lista 1 - Exercícios – PROBABILIDADE ******************** 
 
 
1. Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as 
coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa. (p= 0.25) 
 
 
2. Em relação ao tipo de piso do domicílio, em uma rua existem 10 residências com cerâmica, 4 
com madeira e 2 com cimento. Sorteando-se duas residências (sem repetição), qual a probabilidade 
de: 
a) ambas tenham piso de cimento; (p= 0.0083) 
b) exatamente uma tenha cerâmica. (p= 0.5) 
 
3. Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm as mesmas chances de 
vencer e, cada um, tem duas vezes mais chances de vencer do que C. Pede-se calcular a 
probabilidades de A ou C vencer. (p= 0.60) 
 
 
4. O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 5 homens maiores de 21 anos; 4 homens com menos 
de 21 anos de idade; 6 mulheres maiores de 21 anose 3 mulheres menores de 21 anos. Uma pessoa 
é escolhida ao acaso. Define-se os seguintes eventos: A: a pessoa é maior de 21 anos; B: a pessoa é 
menor de 21 anos ; C: a pessoa é homem e D: a pessoa é mulher. Calcule: 
a) P(B U D) (p= 0.722) 
b) P(
CA 
) (p= 0.167) 
c) P(
BA
) (p= 0) 
d) P(
AB 
) (p= 0.389) 
 
 
5. Dois processadores tipo A e B são colocados em teste por 50 mil horas. A probabilidade que um 
erro de cálculo aconteça em um processador do tipo A é de 1/30, no tipo B 1/80 e em ambos 
1/1000. Qual a probabilidade de que: 
a) pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro? (p= 0.045) 
b) nenhum processador tenha apresentado erro? (p= 0.955) 
c) apenas o processador A tenha apresentado erro? (p= 0.032) 
 
 
6. As falhas na fundação de um grande edifício podem ser de dois tipos: A (capacidade de 
suportar) e B (fundação excessiva). Sabendo-se que P(A) = 0.001, P(B) = 0.008 e P(A | B) = 
0.1, determine a probabilidade: 
a) de haver falha na fundação; (p= 0.0082) 
 
 CET060 – 14 
b) de ocorrer A e não B. (p= 0.0002) 
 
 
7. A probabilidade de um homem viver, mais dez anos é ¼ e a probabilidade de sua esposa viver 
mais dez anos é 1/3. Encontre a probabilidade de ambos estarem vivos dentro de dez anos e de 
ao menos um estar vivo dentro de dez anos. 
 
8. Das 10 alunas de uma classe, 3 tem olhos azuis. Se duas delas são escolhidas ao acaso, qual é a 
probabilidade de ambas terem os olhos azuis? (p= 0.07) 
 
9. As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando pênalti são, respectivamente, ½, 
2/5 e 5/6. Se cada um bater um único pênalti, qual a probabilidade de todos errarem? (p= 0.05) 
 
10. Sabendo-se que a probabilidade de que um animal adquira certa enfermidade, no decurso de 
cada mês é igual a 30%, qual a probabilidade de que um animal sadio venha contrair a doença 
só no terceiro mês ? (p= 0.147) 
 
11. Dois dados são lançados conjuntamente. Determine a probabilidade da soma dos números ser 
10 ou mais. (p= 0.167) 
 
 
 
 
****************** PROBABILIDADE - PARTE 2**************** 
 
 
 
2. VARIÁVEL ALEATÓRIA 
 
2.1. Conceitos Básicos 
 
Definição 1. 
Sejam E um experimento e  um espaço amostral associado ao experimento. Uma função X 
que associe a cada elemento wi   um número real, X(wi), é denominada variável aleatória. 
 
 
  R 
 
 
 . w1 x1 
 .w2 x2 
 .w3 x3 
 .w4 x4 
 
 
 
 
Uma variável aleatória X é, portanto, uma função cujo domínio é o espaço amostral e 
contra-domínio é conjunto dos números reais, ou seja, X: 
R 
 
 
 
X 
 
 CET060 – 15 
Exemplo: 
a) E: Lançamento de uma moeda. 
Assim,  = {cara, coroa}={w1, w2} 
 
 






coroadersese
caraderouse
wX
 seja,ou , w w,0
,se seja ,w w,1
2
1
 
 
 
b) E: Lançamento de duas moedas. 
Seja X o número de caras obtidas no experimento. 
Vamos denotar c: cara e k:coroa. 
Assim,  = { cc, ck, kc, kk }= { w1, w2, w3, w4 } 
 
 









coroas duasderse seja,ou ,w wse0,
cara umaderse seja,ou ,wou ww wse1,
caras duasder se seja,ou ,w wse2,
wX
4
32
1
 
 
 
c) E: Escolher um ponto ao acaso no intervalo[0,1] 
Seja X o quadrado do valor escolhido. 
 
Assim  = [0,1], e X(w)= w2  w   
 
 
Definição 2 . 
Seja X uma variável aleatória. Se X assume valores em um conjunto finito ou infinito enumerável, 
então X é denominada variável aleatória discreta. 
 
Exemplo: 
E: Sorteio de n municípios da Bahia para verificar a inexistência de saneamento básico. 
X : nº de municípios sem saneamento básico=> X(w) = {0, 1, 2, 3, ..., n} 
 
 
Definição 3. 
Seja X uma variável aleatória. Se X assume valores em um conjunto infinito não enumerável, então 
X é denominada variável aleatória contínua. 
 
Exemplo: 
 E: Sorteia-se um aluno para medir a estatura. Suponha que nesta escola o menor tem 1,50 m e o 
maior tem 1,95 m. 
X = estatura do aluno => X(w) = {w / 1,50  w  1,95} 
 
 
 
2.2. Distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta 
 
Seja X uma v.a. discreta que assume os valores x1, x2,...,xn.... A distribuição de 
probabilidades de X é o conjunto de pares de valores que associa a cada valor da variável xi a 
probabilidade P(X = xi): 
 
 CET060 – 16 
(x1, P(X = x1)), (x2, P(X = x2)), ..., (xn, P(X = xn)),... 
 
 
2.2.1. Função de Probabilidade 
 
É a função que associa a cada valor assumido pela variável aleatória, a probabilidade do evento 
correspondente: 
P(X = xi) = p(xi) = pi, i = 1,2, . . . 
ou 
X x1 x2 x3 . . . 
pi p1 p2 p3 . . . 
 
De maneira que, 
a) 
 



1i
i 1xXP
 
 
b) P(X=x) = p(x)  0 
 
Exemplo: Considere novamente o exemplo do lançamento de duas moedas. Seja X o número de 
caras 
Resultados X Probabilidade 
(Cara, Cara) 2 1/4 
(Cara, Coroa) 1 1/4 
(Coroa, Cara) 1 1/4 
(Coroa, Coroa) 0 1/4 
Obtemos então, 
P(X=0) = 1/4 
P(X=1) = 1/4 + 1/4 = 1/2 
P(X=2) = 1/4 
 
 
 
a) Média (ou valor esperado) de uma Variável Aleatória Discreta: 
 
E(X) =  xi p(xi). 
 
 Propriedades do valor esperado 
 
1)Dada uma constante a, temos: 
 
E(a+X) = a + E(X) e E(aX) = a . E(X) 
 
2)Sejam X1, X2, ..., Xn variáveis aleatórias 
 
E(X1+X2+...+Xn) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn) 
 
3) Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes. Então, 
 
E(XY) = E(X) . E(Y) 
 
 
 CET060 – 17 
b) Variância de uma Variável Aleatória Discreta: 
 
Var(X) =  (xi -E(X))
2
 p(xi), 
ou 
Var(X) = E(X
2
) - E(X)
2
. 
 
Exemplo: Para o experimento do lançamento das duas moedas encontre a função de probabilidade, 
a média e a variância. 
 
X Evento P(X) X P(X) (X-E(X)) (X-E(X))
2
 (X-E(X))
2
 P(X) 
0 w1 1/4 0 -1 1 0,25 
1 w2 e w3 2/4 2/4 0 0 0 
2 w4 1/4 1/2 1 1 0,25 
 E(X) = 1 Var(X) = 0,5 
 
 
 Propriedades da variância 
a)Dada uma constante a, temos: 
V(X+a) = V(X) 
 
b)Dada uma constante a, temos: 
V(aX) = a
2
 . V(X) 
c) Sejam X1, X2, ... , Xn , n variáveis aleatórias independentes. Então, 
V(X1 + X2 + ... + Xn) = V(X1) + V(X2) + ... + V(Xn) 
 
 
 
2.2.2. Função de Distribuição 
 
 
A função de distribuição ou função acumulada de probabilidade de uma variável aleatória discreta 
X é definida, para qualquer número real x como: 
 
F(x) = P(X  x) 
 
 
Exemplo: Uma população de 1000 crianças foi analisada num estudo para determinar a efetividade 
de uma vacina contra um tipo de alergia, as crianças recebiam uma dose de vacina e após um mês 
passavam por um novo teste. Caso ainda tivessem tido alguma reação alérgica, recebiam outra dose 
da vacina. Ao fim de 5 doses todas as crianças foram consideradas imunizadas. Os resultados estão 
na tabela a seguir. Qual a probabilidade da criança ter recebido até duas vacinas?. 
 
Doses 1 2 3 4 5 
Freqs. 245 288 256 145 66 
 
F(2) = P(X  2) = P(X = 1) + P(X = 2) = {245/1000} + {288/1000} = 0,533 
 
 
 
 CET060 – 18 
2.2.3. Variáveis Aleatórias Independentes 
 
 
Duas variáveis aleatórias discretas são independentes, se a ocorrência de qualquer valor de uma 
delas não altera a chance de ocorrência de valores da outra. Ou seja, 
 
),()|(xXPyYxXP 
 
para todos os possíveis valores (x, y) das variáveis (X, Y). Como definição alternativa e 
equivalente, podemos usar: 
 
),().()|( yYPxXPyYxXP 
 para qualquer (x, y). 
 
 
Em resumo: X e Y independentes  p(x, y) = p(x).p(y),  (x, y) 
 
Obs: se existe pelo menos um par (x0, y0) tal que: p(x0, y0)  p(x0) p(y0) 
Então X e Y não são independentes. 
 
 
 
Exercícios: 
a) Suponha que X seja uma v.a. discreta e sua função de probabilidade seja P(X=k) = ck , para k = 
1,2,3,4 e 5. Determine o valor da constante c. 
 
 
 b) Determine o valor de c para que p(x)= 











contrário caso ,0
,....3,2,1 ,
3
2
 
x
xparac 
seja uma função de probabilidade. 
 
 
 
Alguns modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas 
 
 
i) Distribuição de Bernoulli 
 
 
 Muitos experimentos são tais que os resultados possíveis apresentam ou não uma 
determinada característica. 
 
 
Exemplos: 
a) Uma rua é escolhida, ao acaso, dentre 50 para ver se tem ou não calçamento; 
b) Uma pessoa é escolhida, ao acaso, dentre 1000 e verifica-se se é ou não do sexo masculino; 
c) Uma pessoa é escolhida, ao acaso, entre os moradores de uma cidade, e questionada se é 
favorável ou não a um projeto governamental. 
 
 
 
 CET060 – 19 
Em um experimento aleatório com apenas dois resultados possíveis podemos associar o 
valor 1, se sucesso ocorre e o valor 0, se fracasso ocorre. Um experimento deste tipo é chamado de 
ensaio de Bernoulli. Suponha que um sucesso ocorra com probabilidade p. 
 
 
 Seja X uma v.a. definida para este experimento. Então, 
 
X 11 00 
PP((XX==xx)) pp 11--pp ==qq 
 
 
pppXE  )1.(0.1)(
 
pppXE  )1.(0.1)( 222
 
 
 
 
 









1,1
10,1
0,0
)(
xse
xsep
xse
xF 
 
 
 
 
ii) Distribuição Binomial 
 
 
Consideremos n repetições independentes de ensaios de Bernoulli (n  2). Este modelo 
fundamenta-se nas seguintes hipóteses: 
 
a) n ensaios independentes e idênticos são realizados; 
 
b) A probabilidade de “sucesso” é igual a “p” em cada ensaio e q é a probabilidade de fracasso, 
sendo p + q = 1 . 
 
Seja a variável aleatória X o número de sucessos nos n ensaios. Nestas condições dizemos que 
X tem distribuição binomial com parâmetros n e p, onde: 
 
n = número de repetições do experimento e 
p = probabilidade de sucesso em cada repetição 
 
Notação: 
 











contrário caso 0,
n,2,1,0,k,n
kk)P(Xp)B(n,~X
qp
knk

 
 
)1()( 2 ppppXV 
 
 CET060 – 20 
Exemplo1: 
Uma usina hidroelétrica tem 5 geradores que funcionam independentemente, cada um com 
probabilidade 0,98 de estar em operação. Qual a probabilidade de que exatamente dois estejam em 
funcionamento em determinado instante? 
 
X = número de geradores em funcionamento 
 
p = 0,98 = probabilidade de um gerador estar em funcionamento (a probabilidade de sucesso) 
 
Entre os 5 estabelecimentos, ou seja, n = 5, qual a probabilidade de 2 terem tratores: 
 
P(X = 2) = 






2
5
 (0,98)
2
 (1 - 0,98)
5 - 2
 = 10. (0,98)
2
.(0,02)
3 
 = 0,000077 
 
 
 Esperança e Variância 
 
Se X tem distribuição binomial de parâmetros n e p 
 
 















 ),(variâncianpq [E(X)] - )E(XVar(X)
(média)np p)(1p
k
n
kE(X)
22
n
0k
nk k
 
 









n
0k
nk22 p)(1p
k
n
k)E(X onde k
 
 Como a variância = V(X) = npq  DP(X) = 
npq
 
 
 
 
Exemplo 2: 
Com os dados do exemplo anterior, calcular o número esperado de geradores em funcionamento, a 
variância e o desvio-padrão: 
 
E(X) = np = 5(0,98) = 4,9 
 
Var(X) = npq = 5 (0,98) (0,02) = 0,098 
 
DP(X) =
npq
 = 
098,0
 = 0,3130 
 
 
 
Exercício: 
No Brasil a probabilidade de uma estação de tratamento de esgoto usar como sistema o escoamento 
superficial é de 0,25. Selecionando 8 estações aleatoriamente para inspeção, qual a probabilidade 
de: 
a) três usarem como sistema o escoamento superficial; 
b) no máximo duas usarem como sistema o escoamento superficial. 
 
 
 CET060 – 21 
iii) Distribuição de Poisson 
 
 
 Em muitos casos, conhece-se o número de sucessos, porém se torna difícil e, às vezes, sem 
sentido, determinar o número de fracassos ou o número total de provas. Por exemplo: automóveis 
que passam numa esquina. Pode-se num determinado intervalo de tempo anotar o número de carros 
que passaram, porém, o número de carros que deixaram de passar pela esquina não poderá ser 
determinado. 
 
 A distribuição de Poisson é largamente usada quando de deseja contar o número de eventos 
de certo tipo, que ocorrem em um intervalo de tempo, superfície, ou volume. 
 
 
Exemplos: 
a) número de chamadas telefônicas recebidas por um PBX durante um intervalo pequeno de 
tempo; 
b) número de falhas de um computador em um dia de operação; 
c) número de glóbulos sanguíneos visíveis ao microscópio, a área de superfície visível no campo 
do microscópio sendo dada por A unidades quadradas; 
 
Seja a variável aleatória X o número de eventos de certo tipo, que ocorrem em um 
intervalo de tempo, ou superfície, ou volume. Suponha que estes eventos ocorrem em instantes 
aleatórios de tempo ou de espaço e que as hipóteses abaixo sejam válidas: 
 
1) o número de ocorrências de um evento em um intervalo de tempo, ou superfície, ou volume é 
independente do número de ocorrências do evento em qualquer outro intervalo disjunto. 
2) a probabilidade de duas ou mais ocorrências simultâneas é praticamente zero. 
3) o número médio de ocorrências por unidade de tempo, ou superfície, ou volume, , é constante 
ao longo do tempo, ou superfície, ou volume. 
 
 Nestas condições dizemos que X tem distribuição Poisson com parâmetro  = t,  é o 
número médio de eventos por unidade de intervalo de tempo, ou superfície, ou volume. 
 
Notação: 
x!
)(e
 x)P(X ) Poisson(~X
x- 

 
 
 
Se X tem distribuição Poisson com parâmetro   





)(variânciaVar(X)
(média)E(X)

 
Se a variância é   DP(X) = 

 
 
 
 
Exemplo: Em média há duas chamadas por hora num certo telefone. Calcular a probabilidade de se 
receber no máximo 3 chamadas em duas horas e a probabilidade de nenhuma chamada em 90 
minutos. 
X= número de chamadas telefônicas em duas horas 
 
 
 CET060 – 22 
 
Então, 
 = 2 (número médio chamadas por hora) 
t = 2 horas 
 = t = 4 (número médio chamadas em duas horas) 
P(X  3) = 





3
0
x43
0x x!
4e
)xP(X
x
0,4331 
 
Y= número de chamadas telefônicas 90 minutos 
 
 
Então, 
t = 90 minutos 
 = 2/60 ( número médio de chamadas por minuto) 
 = t = 2/60 x 90 = 3 (número médio chamadas em 90 minutos ) 
 
P(Y = 0) =  
!0
3e
03 = 0,0498 
 
 
 
 Aproximação da Distribuição Binomial 
 
 
A distribuição de Poisson pode ser usada como uma aproximação da distribuição Binomial quando 
n é grande e p é pequeno (np  7). 
 
!k
)np(e
)p1(p
k
n
)kX(P
knp
knk

 






 
 
Ou seja, X  Poisson (=np) 
 
 
Exemplo: 
Consideremos 1000 ensaios independentes de Bernoulli cada um com probabilidade p = 0,0001 de 
sucesso. Qual a probabilidade de observarmos exatamente 2 sucessos? 
 
P(X=2) 
0045,0!2
)1,0(e 21,0

 
 
 
 
Exemplo: 
Determinado tipo de fotorreceptor é vendido em caixas com 5000 peças. É uma característica da 
fabricação produzir 0,03% de peças defeituosas. Qual a probabilidade de que em uma caixa haja 
mais de dois defeituosos? 
 
 
 
 
 CET060 – 23 
2.3. Distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua 
 
 
Seja X uma variável aleatória contínua. A distribuição de probabilidade é dada na forma de 
uma função, chamada de densidade de probabilidade e denotada por f(x). Uma função de densidade 
de probabilidade (f.d.p.) satisfaz as seguintes condições: 
 
 
a) f(x)  0 , 
Rx
 
 
 
b) 



 1f(x)dx
 
 
 
Exemplos de funções de densidade: 
 
0 1 2 3 4 5 6 7
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
x
f(x
)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
f(
x)
 
 
 
A função densidade, por definição, possui área sob a curva limitada pelo eixo x igual a 1 e a 
probabilidade de X tomar um valor entre a e b é obtida calculando-se a área compreendida entre 
esses dois valores. Isto é, para qualquer a < b em R 
 
 
   
b
a
dxxfb X aP
 
 
 
Observações importantes: 
 
1) Qualquer valor especificado de X tem probabilidade zero, isto é, P(X = xi) = 0, pois 
  
i
i
x
x
i f(x)dxxXP
= 0 
 
2) Assim, as probabilidades abaixo serão todas iguais se X for uma variável aleatória contínua: 
P(a  X  b) = P(a  X < b) = P(a < X  b) = P(a < X < b). 
 
 
 
 CET060 – 24 
Exemplo: 
Dada a seguinte função f(x)= 


 
contrário caso 0,
1x0 para )1( xkx
 
ache o valor de k para que f(x) seja uma função de densidade. 
 
Resolução: 
Para ser função densidade temos que 



1)( dxxf
, então 
 
1
0
1dx x)-(1 x k
 
1dx x -xdx 
1
0
1
0
2 





 k
 
6
32
1
1
0
32









xx
k
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) Dada a função de densidade f(x) = 


 
contrário caso ,0
1x0 , 2x
 
Determine i. P( X  ½) ii. P(1/3  X  2/3) iii. 
) X / (
3
2
3
1
2
1 XP
 
 
2) Seja X uma v.a. contínua com função de densidade de probabilidade dada por: 
f(x) = 











1 ,0
12/1 ),1(4
2/1 0 kx,
0 0,
x
xx
x
x
 
a) Determine k para que f(x) seja uma função de densidade; 
b) P(1/3 < X < 3/4); 
 
 
 
2.3.1. Função de distribuição acumulada 
 
Seja X uma variável aleatória, discreta ou contínua. Define-se a função de distribuição 
acumulada F da variável aleatória X (abreviadamente indicada por fd) como 
 
F(x) = P( X  x). 
 
Se X for uma variável aleatória discreta 
 
F(x) = 
  
j
j
xXP
 
onde o somatório é estendido a todos os valores xj que satisfaçam à condição xj  x. 
 
Se X for uma variável aleatória contínua com fdp f(x), 



x
-
f(s)ds F(x)
 . 
 
 CET060 – 25 
a) Calcule P( X  1/2  1/3 < X < 2/3). 
 
 
 
a) Média (ou valor esperado) de uma Variável Aleatória Contínua: 
 
O valor esperado (média) da variável aleatória contínua X com função densidade dada por f(x) é: 
 
dxxfxXE )(.)(
-
 -



 
 
 
b) Variância de uma Variável Aleatória Contínua: 
 
Para uma variável aleatória X com densidade f(x), a variância é dada por: 
 
dxxfXExXVar )(.))(()( 2
-
 -
 


, 
ou 
22 ))(()()( XEXEXVar 
 
Onde 
dxxfxXE )(.)( 2
-
 -
2




 
 
 
Exemplo: Arqueólogos estudaram certa região e estabeleceram um modelo teórico para a variável 
C, comprimento de fósseis da região (em cm). Suponha que C é uma variável aleatória contínua 
com a seguinte função densidade de probabilidade: 
 
f(x) = 






cc
cse
c
,0
200),1
10
(
40
1 
 
Determine a média e variância da variável C. 
 
 E(C) = 

20
0-
c (1/40)(c/10 + 1) dc 
= (1/400){c
3
/3}
20
0
 + (1/40){c
2
/2}
20
0
 = (20/3) + 5 = (35/3). 
 
Para a variância: 
 
E(C
2
) = 

20
0-
c
2
 (1/40)(c/10 + 1) dc 
= (1/400){c
4
/4) 
20
0
 + (1/40)(c
3
/3}
20
0
 = 100 + (200/3) = (500/3}. 
 
Logo, 
 
Var(C) = (500/3) - (35/3)
2
 = (275/9) = 30,56 cm
2
. 
 
 
 
 
 CET060 – 26 
Alguns modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas 
 
 
i) Distribuição Normal 
 
 
A distribuição normal é caracterizada por uma função, cujo gráfico descreve uma curva em forma 
de sino. Esta distribuição depende de dois parâmetros que são: 
 (média) – especifica a posição central da distribuição de probabilidades. 
 (desvio padrão) – especifica a variabilidade da distribuição de probabilidades. 
 
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal de probabilidade se sua função de 
densidade é dada por: 
 
2
2
1
2
1
)(





 

 


x
exf
, para - < x < . 
 
 
Algumas propriedades da densidade da normal: 
 
i) 
)(xf
 é simétrica em relação à ; 
ii) 
)(xf
 0 quando x   ; 
iii) o valor máximo de 
)(xf
 se dá para x = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No cálculo de probabilidades para variáveis contínuas a integral abaixo deve ser resolvida: 
 
.
2
1
)(
2
2
1
dxebxaP
x
b
a





 





 
 
Distribuição Normal
N(2 )
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

 
 
 
 CET060 – 27 
Devido ao grau de dificuldade da resolução dessa integral, as probabilidades para o modelo normal 
são calculadas com o auxílio de tabelas sendo necessário uma transformação da variável para uma 
padronizada. 
 
A variável Z será normal padrão se: 
 
 



X
Z
 
 
 
Propriedades da curva normal padrão 
 
1. A função é simétrica em relação à origem 
Z = 0 
 
2. A função é máxima no ponto Z = 0 e nesse caso sua ordenada vale 
= 
2
1
  0,39 
 
3. A função tende a zero quando: 
Z tende para   
 
4. A função tem dois pontos de inflexão e suas abscissas valem: 
Z =  1 
 
 
Exemplo1: Suponha que o desempenho dos alunos das três últimas fases de um curso tenha 
distribuição normal de média 2,5 e desvio padrão de 0,6. Calcule a probabilidade de um aluno 
acusar desempenho entre 2 e 3,5. 
 
7492,0)0475,02033,0(1)67,183,0(
6,0
5,25,3
6,0
5,22
)5,32( 




 


 ZPZPXP
 
 
Exemplo2: A característica da qualidade de interesse, associada a um processo que está sob controle 
estatístico, é normalmente distribuída com média 100 e desvio-padrão 5. As especificações 
estabelecidas para esta característica da qualidade são 90 ± 10. 
a) Qual a proporção de não-conformidade referente a esta característica? P = 0,1601 
b) Qual a proporção de não-conformidade referente a esta característica de o processo passasse 
a operar centrado no valor 95, chamado valor nominal da especificação? P = 0,0456 
 
 
 
ii) Distribuição Gama 
 
 
Seja X uma variável aleatória contínua, que admite somente valores não-negativos. Diremos que X 
tem uma distribuição de probabilidade gama, se sua função de densidade de probabilidade é dadapor: 
 
 
 CET060 – 28 









contráriocaso
xex
rxf
x
r
,0
;0,)(
)()(
1



 r > 0 ,  > 0 
 
onde 



0
1)( dxexr xp
, definida para r > 0 é a função gama. 
 
E(X) = 

r
 e V(X) = 
2
r
. 
 
 
iii) Distribuição Exponencial 
 
 
A distribuição exponencial é um caso particular da distribuição gama quando r = 1. É uma 
distribuição bastante utilizada na teoria da confiabilidade para modelar os tempos de espera entre 
ocorrências de eventos em um processo de Poisson. Em geral, este modelo probabilístico é também 
utilizado para modelar tempo de espera em uma fila, tempo de sobrevivência de um grupo de 
pacientes após o início de um tratamento e tempo de vida de material eletrônico. 
 
 
 Uma variável aleatória contínua X, que admite valores não-negativos, terá uma distribuição 
exponencial com parâmetro  > 0, se sua função de densidade de probabilidade for dada por: 
 




 


contráriocaso
xe
xf
x
,0
;0,
)(


 
 
E(X) = 

1
 e V(X) = 
2
1

. 
 
 
Exemplo1: O intervalo de tempo em minutos entre emissões consecutivas de uma fonte radioativa é 
uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro  = 0,2. Calcule a probabilidade 
de haver uma emissão em um intervalo inferior a 2 minutos. 
 
.33,01|2,0)2( 4,020
2,0
2
0
2,0   eedxeXP
xx
 
 
 
 
Exemplo2: Uma lâmpada tem duração(T) de acordo com a densidade exponencial com 
1000
1

. 
Determine: 
a) a probabilidade de que uma lâmpada qualquer queime antes de 1000 horas? P = 0,6321 
b) a probabilidade de que uma lâmpada qualquer queime depois de sua duração média? P = 
0,3679 
c) a variância da distribuição. V(T) = 1000
2 
 
 CET060 – 29 
 








contráriocaso
te
xf
t
,0
;0,
1000
1
)(
1000
1
 
 
 
 
iv) Distribuição Weibull 
 
 
Seja X uma variável aleatória contínua, que tome somente valores não-negativos. Diremos que X 
tem uma distribuição de probabilidade Weibull com parâmetros α > 0 e ß > 0, se sua função de 
densidade de probabilidade é dada por: 
 



 


contráriocaso
xex
xf
x
,0
;0,)(
)(
1  
 
Propriedades: 
 







 0,1
0,0
)(
xsee
xse
xF
x
 
 
E(X) = 








1
1
1

 
 e V(X) =

























22
1
1
1
2

 
 
 
Se ß =1 tem-se 
xexf  )(
. Portanto, a distribuição exponencial é um caso particular da distribuição 
Weibull. 
 
 
 
3. Introdução à Teoria da Confiabilidade 
 
 
Considere que um determinado componente eletrônico será submetido a condições de esforço e 
observado desde o instante inicial (t = 0) até que pare de funcionar. A duração até falhar ou duração 
da vida pode ser considerada como uma variável aleatória contínua. T com alguma função de 
densidade de probabilidade f(t). 
 
Definição1: A confiabilidade de um componente na época t, denotada por R(t), é definida como 
)()( tTPtR 
, onde T é a duração da vida do componente. R é denominada função de 
confiabilidade. 
 
Esta definição afirma que a confiabilidade num instante t de um componente é igual a probabilidade 
de que o componente não falhe durante o intervalo [0, t]. 
 
 
 CET060 – 30 
Definição 2: “A confiabilidade de um sistema pode ser definida como a probabilidade de se 
conseguir um desempenho adequado por um período específico de tempo, sob determinadas 
condições. Em termos de desempenho de uma estação de tratamento, a confiabilidade pode ser 
entendida como a porcentagem de tempo em que se conseguem as concentrações esperadas no 
efluente para cumprir com os padrões de lançamento. Assim, uma ETE será completamente 
confiável se não houver falha no desempenho, ou seja, se não houver violação dos limites 
preconizados pelas legislações ambientais. A falha do processo de tratamento ocorrerá sempre que o 
padrão de lançamento for excedido.” [3] 
 
Em termos da função densidade de T, temos: 
dssftR
t
)()( 


 
 
E em termos da função de distribuição acumulada temos: 
)(1)(1)( tFtTPtR 
 
 
 
 
3.1. Lei de falha exponencial 
 
 
A propriedade de falha de memória é característica da distribuição exponencial. A hipótese 
subjacente para a utilização deste modelo de falhas é, portanto, de que não haja desgaste do 
componente ou peça. Isto significa que mesmo depois que a peça estiver em uso sua probabilidade 
de falhar não se altera com o passar do tempo. 
 
 
Uma conseqüência desta suposição é que a função de densidade associada à duração até falhar T, 
será dada por: 




 


contráriocaso
te
tf
t
,0
;0,
)(


 
 
 
Exemplo1: Seja um componente eletrônico que segue a lei de falhas exponencial. Dados os 
parâmetros α = 0,01 e R(t) = 0,90, então o valor de t, número de horas é: 
)(1)(1)( tFtTPtR 
 
0,90 = e
-0,01t 
 → t = 10,54 h 
 
Se cada um de 100 desses componentes estiver operando durante 10,54 h, aproximadamente 90 não 
falharão durante aquele período. 
 
 
Exemplo2: Considere um circuito eletrônico constituído de 4 transistores de silício, 10 diodos de 
silício, 20 resistores sintéticos e 10 capacitores cerâmicos, operando em série contínua e os 
componentes são independentes. Suponha que sob certas condições de trabalho, isto é, tensão, 
corrente e temperatura prescritas, cada uma dessas peças siga a lei de falhas exponencial com os 
seguintes parâmetros: 
 
 
 CET060 – 31 
Diodo de silício: 0,000002 
Transistores de silício: 0,000010 
Resistores sintéticos: 0,000001 
Capacitores cerâmicos: 0,000002 
Qual a confiabilidade do sistema para t = 10 h? R(t) = 0,999 
 
 
3.2. Lei de falha Weibull 
 
 
Sempre que o sistema for composto de vários componentes e a falha seja devida a mais grave 
imperfeição ou irregularidade dentre um grande número de imperfeições do sistema, a distribuição 
de Weibull representa um modelo adequado para uma lei de falhas. 
 
 
Seja T o tempo até a falha de um componente, com função densidade dada por: 
 00;0,)()( 1     etettf t 
 
 
A função de confiabilidade R é dada por 
tetR )(
, que é uma função decrescente de t. 
 
 
Exemplo: Dois dispositivos eletrônicos com lei de falhas Weibull, com parâmetros respectivamente 
3,
1200
1
;2,
1000
1
2
3
21
2
1 











 
, são ligados em paralelo formando um único 
sistema com funcionamento independente. Determine: 
a) a confiabilidade de cada um dos dispositivos após 1000 h. 
b) a confiabilidade do sistema. 
 
a) 3679,0)( 1
)1000(
1000
1
1
2
2
 







eetR 
 
5606,0)(
33
3
6
5)1000(1000
1
2 














eetR 
 
 
b)
7223,0.)(
3
6
5
16
5
1
3

























 eeeetR
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CET060 – 32 
BIBLIOGRAFIA: 
 
[1] UFBA. Material de aula da disciplina MAT236. 
 [2] MEYER, Paul L. Probabilidades. Aplicações à Estatística. 
 [3] BUSSAB, Wilton O. e MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. 
[4] OLIVEIRA, S.C. E SPERLING,M.V. Análise da confiabilidade de estação de tratamento de 
esgotos (artigo técnico). 
[5] LINDGREN, B.W. e McELRATH. Introdução à Estatística. 
[6] JURAN, J.M. e GRYNA, F.M. Controle da Qualidade. 
 
 
 
************* Lista 2 de Exercícios - PROBABILIDADE ************* 
 
 
1) Suponha que X seja uma v.a. discreta e sua função de probabilidade seja P(X=k) = ck , para k = 
1,2,3,4 e 5. Determine o valor da constante c. 
 
 
2) Considere um lote de peças que contém 20% de defeituosas. Extraímos ao acaso três peças com 
reposição para análise. Seja X a variável aleatória que representa o número de peças defeituosas. 
Estabeleça a função de probabilidade de X e represente graficamente. 
 
c) Determine o valor de c para que p(x)= 











contrário caso ,0
,....3,2,1 ,
3
2
 
x
xparac 
seja uma função de probabilidade. 
 
 
3) Dada a função de densidade f(x) = 


 
contrário caso ,0
1x0 , 2x
 
Determine i. P( X  ½) ii. P(1/3  X  2/3) iii. 
) X / (
3
2
3
1
2
1 XP
 
 
 
 
4) Seja X uma v.a. contínua com função de densidade de probabilidade dada por: 
f(x) = 











1 ,0
12/1 ),1(4
2/1 0 kx,
0 0,
x
xx
x
x
 
a) Determine k para que f(x) seja uma função de densidade; 
b) P(1/3 < X < 3/4); 
 
 
5) Suponha que uma caixa contenha 5 bolas ( 1 preta e 4 brancas ). Retira-se aleatoriamente uma 
bola de cada vez (com reposição) até que saia 4 vezes a bola preta. Seja X o número de retiradas 
necessárias até que isto ocorra. 
a) Determine os possíveis valores de X e sua função de probabilidade. 
 
 
 CET060 – 33 
6) O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça, é uma v.a. com a 
seguinte distribuição de probabilidade: 
 
T 2 3 4 5 6 7 
P 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 
Calcule o tempo médio de processamento. 
 
7) O número de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma 
distribuição de Poisson, com  = 2. As atuais instalações podem atender, no máximo, a 3 petroleiros 
por dia. Se mais de 3 aportarem num dia, o excesso é enviado a outro porto. 
a) Em um dia, qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto? 
b) Qual o número médio de petroleiros que chegam por dia? 
 
 
8) Numa via de mão única que termina numa ponte quer se estudar o tráfego. Encontra-se que esse 
volume é de 120 veículos/hora, em média. Assume-se que a chegada de veículos constitui um 
processo de Poisson. Ache a probabilidade de que: num período de um minuto, mais de três 
veículos cheguem à ponte. Resp : 0,0018 
 
 
9) Testes para medir a duração de aparelhos eletrodomésticos mostram que o modelo adequado é o 
normal com  = 26.000 horas e  = 4.000 horas. Pede-se a probabilidade de que um aparelho 
escolhido ao acaso dure: 
a) mais que 25.000 horas; 
b) menos que 30.000 horas; 
c) sabe-se que se um defeito aparecer dentro do tempo de garantia a fábrica deve consertá-lo, tendo 
assim um prejuízo. Qual deve ser a garantia para que a porcentagem de aparelhos consertados 
dentro da garantia seja inferior a 10%? 
 
 
10) O tempo que uma pessoa leva para ser servida numa lanchonete é uma variável aleatória tendo 
distribuição exponencial com média 4 minutos. Qual é a probabilidade que uma pessoa seja servida 
em menos do que 3 minutos em ao menos 4 dos próximos 6 dias? 
 
11) Uma enchedora automática de garrafas de refrigerante esta regulada para que o volume médio 
de liquido em cada garrafa seja de 1.000 cm
3
 e o desvio padrão de 10 cm
3
. Pode-se admitir que a 
distribuição da variável seja normal. 
a) Qual a probabilidade de garrafas em que o volume de liquido é menor que 990 cm3? Resp.: 
0,1587 
b) Qual a probabilidade de garrafas em que o volume de liquido não se desvia da média em mais 
que dois desvios padrão? Resp.: 0,9772 
 
12) Suponha que o diâmetro médio dos parafusos produzidos por uma fabrica é de 0,25 polegadas 
e o desvio padrão 0,02 polegadas. Um parafuso é considerado defeituoso se seu diâmetro é maior 
que 0,28 polegadas ou menor que 0,20 polegadas. Suponha distribuição normal. 
a) encontre a probabilidade de parafusos defeituosos; Resp.: 0,073 
b) qual deve ser a medida mínima para que tenhamos no máximo 12% de parafusos defeituosos. 
Resp.: 0,2178 
 
 CET060 – 34 
 
P(0  Z  zc) 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA 
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA 
DISCIPLINA: EST0034 - PROBABILIDADE III 
 
TABELA - Distribuição Normal Padrão Z~N(0,1) 
 
 
 zc 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 
 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 
 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 
 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 
 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 
 
 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 
 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 
 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 
 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 
 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 
 
 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 
 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 
 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 
 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 
 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 
 
 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 
 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 *0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 
 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 
 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 
 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 
 
 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 
 2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 
 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 
 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 
 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 
 
 2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 *0,4951 0,4952 
 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 
 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 
 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 
 2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 
 
 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 
 
 3,10 ou + 0,4999 
 
 
* Use esses valores comuns resultantes de interpolação: 
Escore z Área 
1,645 0,4500 
2,575 0,4950