Racicionio Logico (59)

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II – TAUTOLOGIAS E EQUIVALÊNCIAS
1. Tautologias
Uma proposição composta formada pelas proposições A,
B, C, ... é uma tautologia se ela for sempre verdadeira,
independentemente dos valores lógicos das proposições A, B, C,
que a compõem.
Exemplo 1.: A  ¬ A
A ¬ A A Ú ¬ A
V F V
F V V
Exemplo 2: Se P e Q forem proposições simples, então a
proposição composta Q Ú (Q ® P) é uma tautologia. ( )
2. Proposições Logicamente Equivalentes
Dizemos que duas proposições são logicamente
equivalentes quando são compostas pelas mesmas proposições
simples e suas tabelas-verdade são idênticas. Podemos afirmar
que as proposições têm valorações iguais.
A equivalência lógica entre duas proposições P e Q, pode
ser representada simbolicamente como:
P  Q
Exemplo 3 : (A B)  ( ¬ B  ¬ A) (Lei da contraposição)
A B A ® B ¬B ¬A ¬B®¬A (A® B)«( ¬B ®¬A)
V V
V F
F V
F F
Aplicações:
1) A proposição: “Se Advogado, então Bacharel” é equivalente
a “Se não é Bacharel, então não é advogado”.
2) A proposição “Se Lúcia é pintora, então ela é feliz” é
equivalente a “Se Lúcia não é feliz, então ela não é pintora”
Exemplo 4: (A B)  (¬A  B)
A B A ® B ¬A ¬A Ú B (A ®B) « (¬A Ú B)
V V
V F
F V
F F
Aplicações: 
1) “Se Aldo é Alto, então Bete é Baixa” é equivalente a “Aldo
não é alto, ou Bete é baixa”.
3. Proposições que não podem assumir valor lógico (V)
Uma proposição composta é uma contradição se ela for
sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das
proposições que a compõem.
Exemplo 5.: A  ~ A
A ~ A A Ù ~ A
V F F
F V F
Uma proposição e sua negação são contraditórias. 
Exemplo 6: Se P e Q forem proposições simples, então a
proposição composta (P Ú ~Q) Ù (~P Ù Q) é uma contradição. 
TAUTOLOGIAS IMPORTANTES
I - Leis da negação (as 2 primeiras são as leis de Morgan)
1) ¬(P ÙQ)  (¬P Ú ¬Q )
2) ¬(P Ú Q)  (¬P Ù ¬Q )
3) ¬(P ®Q)  (P Ù ¬Q)
II - Equivalências da Condicional A ® B
4) (A ® B)  (¬B ® ¬A) 
5) (A ® B)  (¬A Ú B)
III - Equivalências da disjunção A Ú B
6) (A Ú B)  (¬A ® B) 
7) (A Ú B)  (¬B ® A)
OBSERVAÇÕES: 
1) A recíproca de “Se A, então B” é “Se B, então A”.
2) Se Todo A é B, não significa necessariamente que “Todo B
é A”, pois é possível existir um B que não seja A. 
Considerando verdadeira a proposição A ® B (Se A, então B), a
recíproca B ® A (Se B, então A) pode ser Verdadeira ou Falsa. 
EXERCÍCIOS DE SALA
01) Julgue os itens seguintes, relativos a lógica proposicional. 
1 Considerando-se as proposições simples “Cláudio pratica
esportes” e “Cláudio tem uma alimentação balanceada”, é
correto afirmar que a proposição “Cláudio pratica esportes ou
ele não pratica esportes e não tem uma alimentação
balanceada” é uma tautologia.
2 A expressão (¬ P) Ù ((¬ Q) Ú R) ]  ¬ ( P Ú Q) Ú ((¬ P) Ù R) é
uma tautologia.
3 A proposição ¬P ® [P ® Q], em que ¬P denota a negação da
proposição P, é uma tautologia, isto é, todos os elementos de
sua tabela-verdade são V (verdadeiro).
4 Para quaisquer proposições p e q, com valores lógicos
quaisquer, a condicional p ® (q ® p) será, sempre, uma
tautologia.
02) Considerando a proposição “Se Paulo não foi ao banco, ele
está sem dinheiro”, julgue os itens seguintes. 
1 A proposição considerada equivale à proposição “Se Paulo não
está sem dinheiro, ele foi ao banco”.
2 A proposição em apreço equivale à proposição “Paulo foi ao
banco e está sem dinheiro”.
03) Em uma reunião de colegiado, após a aprovação de uma
matéria polêmica pelo placar de 6 votos a favor e 5 contra, um
dos 11 presentes fez a seguinte afirmação: “Basta um de nós
mudar de ideia e a decisão será totalmente modificada.”
Considerando a situação apresentada e a proposição
correspondente à afirmação feita, julgue os próximos itens.
1 A negação da proposição pode ser corretamente expressa por
“Basta um de nós não mudar de ideia ou a decisão não
será totalmente modificada”.
2 A proposição é equivalente, sob o ponto de vista da lógica
sentencial, à proposição “Desde que um membro mude de
ideia, a decisão será totalmente modificada”.
3 A tabela-verdade da referida proposição, construída a partir
dos valores lógicos das proposições simples que a compõem,
tem mais de 8 linhas.
03) A respeito de lógica proposicional, julgue os itens a seguir.
1 A proposição “Todos os esquizofrênicos são fumantes; logo, a
esquizofrenia eleva a probabilidade de dependência da
nicotina” é equivalente à proposição “Se a esquizofrenia não
eleva a probabilidade de dependência da nicotina, então
existe esquizofrênico que não é fumante”.
2 A proposição “O candidato X me dará um agrado antes da
eleição ou serei atingido por uma benfeitoria que ele fizer
depois de eleito” é equivalente à seguinte proposição: “Se o
candidato X não me der um agrado antes da eleição, serei
atingido por uma benfeitoria que ele fizer após ser eleito”.
05) Considerando a proposição P: “Se João se esforçar o
bastante, então João conseguirá o que desejar”, julgue os itens
a seguir.
1 A proposição “João não se esforça o bastante ou João
conseguirá o que desejar” é logicamente equivalente à
proposição P.
2 A proposição “Se João não conseguiu o que desejava, então
João não se esforçou o bastante” é logicamente equivalente à
proposição P.
Gabarito dos Exercícios de Sala: 
01 – E C C E 02 – C E 03 – E C E 04 – CC 05 – CC
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Concurso: Polícia Federal RACIOCÍNIO LÓGICO
Prof. PAULO ROBERTO