Cálculo integral

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Cálculo integral 
Qual e a definicao de integral indefinida de uma funcao
f(x)?
a)
f(x)dx=F(x)+C, onde
F
(x)=f(x)
b)
f(x)dx=f
(x)
c)
f(x)dx=lim
x0
f(x)
d)
f(x)dx=
x
f(x)
Resposta: a) A integral indefinida representa todas as funcoes cuja derivada e
f(x), sendo
C a constante de integracao, pois a derivada de uma constante e zero.
Qual e a integral de
f(x)=x
n
, com
n
=1?
a)
n+1
x
n+1
+C
b)
nx
n1
+C
c)
lnx+C
d)
x
n
+C
Resposta: a) A integral de uma potencia de
x aumenta o expoente em 1 e divide pelo novo expoente. Esta e uma das formulas basicas do
calculo integral.
A integral de
f(x)=e
x
e:
a)
e
x
+C
b)
xe
x
+C
c)
lnx+C
d)
e
x
2
+C
Resposta: a) A funcao exponencial
e
x
e unica, pois sua derivada e ela mesma, entao a integral e
e
x
+C.
Qual e a integral de
f(x)=
x
1
?
a)
lnx+C
b)
1
x
1
+C
c)
x+C
d)
x
2
1
+C
Resposta: a) A integral de
1/x e o logaritmo natural de
x, pois sua derivada retorna
1/x, sendo essencial considerar o valor absoluto.
A integral de
f(x)=cos(x) e:
a)
sin(x)+C
b)
sin(x)+C
c)
cos(x)+C
d)
cos(x)+C
Resposta: a) A derivada de
sin(x) e
cos(x), entao a integral de
cos(x) e
sin(x)+C.
Qual e a integral de
f(x)=sin(x)?
a)
cos(x)+C
b)
cos(x)+C
c)
sin(x)+C
d)
sin(x)+C
Resposta: a) A derivada de
cos(x) e
sin(x), entao a integral de
sin(x) e
cos(x)+C.
A integral de
f(x)=sec
2
(x) e:
a)
tan(x)+C
b)
cot(x)+C
c)
sec(x)+C
d)
cos(x)+C
Resposta: a) A derivada da tangente e
sec
2
(x), portanto a integral de
sec
2
(x) retorna
tan(x)+C.
A integral de
f(x)=
1x
2
1
e:
a)
arcsin(x)+C
b)
arccos(x)+C
c)
arctan(x)+C
d)
lnx+C
Resposta: a) A derivada do arco seno e
1/
1x
2
, portanto a integral inversa e
arcsin(x)+C.
Se
f(x)=
1+x
2
1
, a integral e:
a)
arctan(x)+C
b)
arcsin(x)+C
c)
ln1+x
2
+C
d)
1
x
1
+C
Resposta: a) A derivada do arco tangente e
1/(1+x
2
), entao sua integral e
arctan(x)+C.
Qual e a integral de
f(x)=e
2x
?
a)
1
2
1
e
2x
+C
b)
2e
2x
+C
c)
e
x
2
+C
d)
e
2x
+C
Resposta: a) Pela regra da substituicao, integrando
e
kx
resulta em
1/ke
kx
+C. Aqui,
k=2.
A integral de
f(x)=xe
x
e:
a)
e
x
(x1)+C
b)
e
x
(x+1)+C
c)
xe
x
+C
d)
e
x
+C
Resposta: a) Usando integracao por partes,
udv=uvvdu, com
u=x e
dv=e
x
dx, resulta em
xe
x
e
x
dx=xe
x
e
x
=e
x
(x1)+C.
A integral de
f(x)=ln(x) e:
a)
xln(x)x+C
b)
ln(x)+C
c)
xln(x)+C
d)
ln
x
ln(x)
+C
Resposta: a) Aplicando integracao por partes:
ln(x)dx=xln(x)x
x
1
dx=xln(x)x+C.
Se
f(x)=x
2
cos(x), a integral
x
2
cos(x)dx e:
a)
x
2
sin(x)+2xcos(x)2sin(x)+C
b)
x
2
sin(x)2xcos(x)+2sin(x)+C
c)
x
2
cos(x)+C
d)
2xsin(x)+C
Resposta: b) Utilizando integracao por partes duas vezes, o resultado e
x
2
cos(x)dx=x
2
sin(x)2xcos(x)+2sin(x)+C.
A integral de
f(x)=sin
2
(x) e:
a)
2
x
4
sin(2x)
+C
b)
2
x
+
2
sin(2x)
+C
c)
cos
2
(x)+C
d)
cos
2
(x)+C
Resposta: a) Usando a identidade trigonometrica
sin
2
(x)=
2
1cos(2x)
, a integral se torna
2
x
4
sin(2x)
+C.
A integral de
f(x)=cos
2
(x) e:
a)
2
x
+
4
sin(2x)
+C
b)
2
x
4
sin(2x)
+C
c)
sin
2
(x)+C
d)
sin
2
(x)+C
Resposta: a) Utilizando
cos
2
(x)=
2
1+cos(2x)
, a integral e
2
x
+
4
sin(2x)
+C.
A integral de
f(x)=
x
2
+4
1
e:
a)
1
2
1
arctan(
2
x
)+C
b)
arctan(2x)+C
c)
1
4
1
arctan(x)+C
d)
lnx
2
+4+C
Resposta: a) Utilizando a formula
x
2
+a
2
dx
=
a
1
arctan(x/a)+C, aqui
a=2.
A integral de
f(x)=
4x
2
1
e:
a)
arcsin(
2
x
)+C
b)
arccos(
2
x
)+C
c)
ln4x
2
+C
d)
4x
2
+C
Resposta: a) A formula
a
2
x
2
dx
=arcsin(x/a)+C aplicada com
a=2 da
arcsin(x/2)+C.
A integral de
f(x)=
x
x
2
1
dx
e:
a)
\arcsec(x)+C
b)
arccos(x)+C
c)
arcsin(x)+C
d)
lnx+
x
2
1
+C
Resposta: a) A integral
x
x
2
1
dx
=\arcsec(x)+C, derivada conhecida de funcoes trigonometricas inversas.
Qual e a integral de
f(x)=
(x+1)
2
dx
?
a)
x+1
1
+C
b)
x+1
1
+C
c)
lnx+1+C
d)
(x+1)+C
Resposta: a) Integrando
(x+1)
2
dx, aplica-se a formula
x
n
dx=
n+1
x
n+1
, resultando em
1/(x+1)+C.
A integral definida de
f(x)=x entre 0 e 2 e:
a) 2
b) 1
c) 4
d) 0
Resposta: a) (\int_0^2 x dx = [x^2/2]_
Reforçando o aprendizado
Cálculo integral Qual e a definicao de integral indefinida de uma funcao f(x)? a) f(x)dx=F(x)+C, onde
F (x)=f(x) b) f(x)dx=f (x) c) f(x)dx=lim x0 f(x) d) f(x)dx= x f(x) Resposta: a) A integral indefinida
representa todas as funcoes cuja derivada e f(x), sendo C a constante de integracao, pois a derivada
de uma constante e zero. Qual e a integral de f(x)=x n , com n =1? a) n+1 x n+1 +C b) nx n1 +C c)
lnx+C d) x n +C Resposta: a) A integral de uma potencia de x aumenta o expoente em 1 e divide
pelo novo expoente. Esta e uma das formulas basicas do calculo integral. A integral de f(x)=e x e: a)
e x +C b) xe x +C c) lnx+C d) e x 2 +C Resposta: a) A funcao exponencial e x e unica, pois sua
derivada e ela mesma, entao a integral e e x +C. Qual e a integral de f(x)= x 1 ? a) lnx+C b) 1 x 1 +C
c) x+C d) x 2 1 +C Resposta: a) A integral de 1/x e o logaritmo natural de x, pois sua derivada retorna
1/x, sendo essencial considerar o valor absoluto. A integral de f(x)=cos(x) e: a) sin(x)+C b) sin(x)+C
c) cos(x)+C d) cos(x)+C Resposta: a) A derivada de sin(x) e cos(x), entao a integral de cos(x) e
sin(x)+C. Qual e a integral de f(x)=sin(x)? a) cos(x)+C b) cos(x)+C c) sin(x)+C d) sin(x)+C Resposta:
a) A derivada de cos(x) e sin(x), entao a integral de sin(x) e cos(x)+C. A integral de f(x)=sec 2 (x) e:
a) tan(x)+C b) cot(x)+C c) sec(x)+C d) cos(x)+C Resposta: a) A derivada da tangente e sec 2 (x),
portanto a integral de sec 2 (x) retorna tan(x)+C. A integral de f(x)= 1x 2 1 e: a) arcsin(x)+C b)
arccos(x)+C c) arctan(x)+C d) lnx+C Resposta: a) A derivada do arco seno e 1/ 1x 2 , portanto a
integral inversa e arcsin(x)+C. Se f(x)= 1+x 2 1 , a integral e: a) arctan(x)+C b) arcsin(x)+C c) ln1+x 2
+C d) 1 x 1 +C Resposta: a) A derivada do arco tangente e 1/(1+x 2 ), entao sua integral e
arctan(x)+C. Qual e a integral de f(x)=e 2x ? a) 1 2 1 e 2x +C b) 2e 2x +C c) e x 2 +C d) e 2x +C
Resposta: a) Pela regra da substituicao, integrando e kx resulta em 1/ke kx +C. Aqui, k=2. A integral
de f(x)=xe x e: a) e x (x1)+C b) e x (x+1)+C c) xe x +C d) e x +C Resposta: a) Usando integracao por
partes, udv=uvvdu, com u=x e dv=e x dx, resulta em xe x e x dx=xe x e x =e x (x1)+C. A integral de
f(x)=ln(x) e: a) xln(x)x+C b) ln(x)+C c) xln(x)+C d) ln x ln(x) +C Resposta: a) Aplicando integracao por
partes: ln(x)dx=xln(x)x x 1 dx=xln(x)x+C. Se f(x)=x 2 cos(x), a integral x 2 cos(x)dx e: a) x 2
sin(x)+2xcos(x)2sin(x)+C b) x 2 sin(x)2xcos(x)+2sin(x)+C c) x