Verifique que Imf ⊂ Dg e determine a composta g ◦ f da função: g(x) = −x² + 3x + 1 e f(x) = 2x − 3 ?

Para verificar que Imf ⊂ Dg, precisamos analisar os conjuntos de valores de x que estão no domínio de f e que também estão no domínio de g. O domínio de f é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função f está definida. Nesse caso, f(x) = 2x - 3 está definida para qualquer valor de x, então o domínio de f é o conjunto dos números reais, ou seja, Df = R. O domínio de g é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função g está definida. Nesse caso, g(x) = -x² + 3x + 1 está definida para qualquer valor de x, então o domínio de g também é o conjunto dos números reais, ou seja, Dg = R. Portanto, como Df = R e Dg = R, temos que Imf ⊂ Dg. Agora, para determinar a composta g ◦ f, basta substituir f(x) na função g(x): g ◦ f(x) = g(f(x)) = g(2x - 3) = -(2x - 3)² + 3(2x - 3) + 1 Podemos simplificar essa expressão expandindo o quadrado e realizando as operações: g ◦ f(x) = -(4x² - 12x + 9) + 6x - 9 + 1 = -4x² + 12x - 9 + 6x - 9 + 1 = -4x² + 18x - 17 Portanto, a composta g ◦ f da função g(x) = -x² + 3x + 1 e f(x) = 2x - 3 é -4x² + 18x - 17.