qual a derivada do arco tangente?

1/(x^2 +1)

A derivada da função arcotangente é dada pela fórmula:

(d/dx)(arctan(x)) = 1/(1+x^2)

Esta fórmula se aplica a todos os valores de x onde a função arcotangente é definida, que é toda a reta numérica real.

A derivada da função arcotangente pode ser derivada usando a definição da derivada e a regra da cadeia. A derivada da função arcotangente em um ponto x é o limite do quociente de diferença quando a mudança em x se aproxima de 0. Isso pode ser expresso matematicamente como:

(d/dx)(arctan(x)) = lim_(h->0) (arctan(x+h) - arctan(x))/h

Para avaliar esse limite, podemos usar a fórmula de adição para a função arctan, que afirma que:

arctan(x+h) = arctan(x) + arctan(h/(1+xh))

Substituindo isso no quociente de diferença e simplificando, obtemos:

(d/dx)(arctan(x)) = lim_(h->0) (arctan(x) + arctan(h/(1+xh)) - arctan(x))/h

(d/dx)(arctan(x)) = lim_(h->0) arctan(h/(1+xh))/h

Como o limite quando h se aproxima de 0 de arctan(h)/h é 1, podemos aplicar a regra de limite para a composição de funções à expressão acima para obter:

(d/dx)(arctan(x)) = lim_(h->0) (1/h) * arctan(h/(1+xh))

(d/dx)(arctan(x)) = lim_(h->0) 1/(h/(1+xh))

(d/dx)(arctan(x)) = lim_(h->0) (1+xh)/h

(d/dx)(arctan(x)) = lim_(h->0) 1 + xh

Como o limite quando h se aproxima de 0 de xh é 0, podemos simplificar a expressão acima para obter:

(d/dx)(arctan(x)) = 1

Finalmente, podemos usar a derivada da função tangente inversa, que é dada pela fórmula 1/(1+x^2), para obter o resultado final:

(d/dx)(arctan(x)) = 1/(1+x^2)