Cálculo Diferencial e Integral Livro

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CÁLCULO DIFERENCIAL 
E INTEGRAL I 
Prof. Me. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
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Profª. Regina Lúcia Ottaiano Losasso Serva
Pró-Reitor Acadêmico
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Universidade de Marília 
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006 Aula 01:
018 Aula 02:
028 Aula 03:
037 Aula 04:
045 Aula 05:
051 Aula 06:
058 Aula 07:
066 Aula 08:
076 Aula 09:
083 Aula 10:
092 Aula 11:
102 Aula 12:
109 Aula 13:
115 Aula 14:
121 Aula 15:
127 Aula 16:
Conjuntos Numéricos 
Funções I 
Funções II 
Limites 
Teoremas sobre Limites de Funções 
Limites Laterais 
Limites Infinitos 
Limites no Infinito 
Continuidade 
Continuidade II 
Derivada e Reta Tangente 
Derivada II 
Derivada de Funções Trigonométricas 
Derivada de Função Composta e Regra da Cadeia 
Derivação Implícita 
Aplicação Básica do Cálculo
Introdução
Olá, aluno!
Para mim, a matemática é uma das coisas mais belas que o homem já conseguiu
racionalizar, e essa beleza se dá pela capacidade de descrever os mais diversos
problemas que existem ao nosso redor, além de nos proporcionar dados para tirarmos
conclusões sobre os mais variados assuntos. Conseguimos de maneira muito fácil dar
exemplo da aplicação da matemática em várias áreas do conhecimento.
Na área biológica, podemos equacionar as probabilidades de uma pessoa nascer com
uma característica ou outra, entender e quantificar substâncias produzidas em nosso
corpo por meio de um remédio, além de outros inúmeros exemplos. Na área de
humanidades, podemos quantificar as ações humanas de uma determinada nação e
suas consequências e estudar a efetividade de determinado modelo de ensino,
inclusive fazer previsões a respeito do comportamento humano a partir de dados
numéricos coletados. Poderíamos facilmente gastar mais de mil páginas com
aplicações nos tipos de problemas e nas mais diversas áreas do conhecimento
humano.
Por meio das aulas deste livro, espero poder ampliar sua capacidade de analisar
problemas. Começaremos, é claro, com teorias mais simples para que as mais
complexas comecem a fazer sentido. E em termos de ensino e aprendizado, esta é a
disciplina mais fácil que você cursará, não só porque sou um excelente professor
(contém ironia) e você é um excelente aluno (sem ironia!), mas, sim, porque Cálculo é
simples.
Parece bobo, mas pense comigo: dois mais dois é igual a quatro. Por que você
entendeu o que eu disse? Porque para você faz sentido lógico que esta operação seja
igual a quatro, porque você consegue gerar em sua cabeça inúmeros casos em que
dois mais dois é igual a quatro. Extremamente simples, assim como o que vou falar a
seguir: a derivada da primeira de uma função quando igualada a zero nos permite
encontrar os máximos e mínimos de uma função dadas algumas propriedades desta
função. Sabe por que você não compreendeu o que disse? Não é porque o que eu disse
é difícil, é simplesmente porque o que eu disse ainda não faz sentido para você. Assim
que começar a estudar esta disciplina, você entenderá a sentença acima, da mesma
forma que entende hoje que dois mais dois é igual a quatro.
4
Antes de começar, uma dica importante: um livro de Cálculo não deve ser lido de forma
rápida. Deve-se ler uma quantidade pequena de parágrafos e depois parar um pouco
para refletir sobre o que foi dito. Feito isso e entendido, continue. Vamos começar a
entender?
Bons estudos!
5
01
Conjuntos Numéricos
Antes de começarmos o texto em si vamos falar um pouco sobre as fontes. Como
você já deve imaginar eu sou muito novo para ter inventado tudo o que está aqui.
Assim como você, eu tive que aprender por meio de apostilas e, principalmente,
livros.
Referências e Pesquisa
Tudo o que está aqui foi baseado nos meus estudos com os livros que indicarei a
vocês neste item. Alguns exemplos, exercícios e didáticas foram adaptados por mim,
pois é claro que dei meu toque na maneira de ensinar.
Independentemente do livro de Cálculo que você preferir para complementar seu
estudo, estará em boas mãos, pois no fim todos chegarão às mesmas conclusões.
Aqui está a lista que usei como referência para desenvolver esta apostila, fiquem à
vontade para estudar um ou mais deles. Também existem outros livros além desta
lista, o importante é aprender!
O Cálculo com geometria analítica – vol. 1 –  Louis Leithold.
Cálculo A: funções, limite, derivação, integração – Diva Marília Flemming e Mirian
Buss Gonçalves.
Um Curso de Cálculo – vol. 1 – Hamilton Luiz Guidorizzi.
Cálculo – vol. 1 – James Stweart.
A referência bibliográfica está no final deste livro.
7
Ponto de Partida
            O primeiro passo é compreender a ideia de conjunto. Podemos entender
conjunto de forma bem simples como uma reunião de elementos que possuam
características determinadas. Qual o conjunto das cores primárias?
Resposta: amarelo, azul e o vermelho. Bem simples, não é mesmo?
Ou podemos escrever de forma mais adequada para a matemática.
Poderíamos pensar em diversos exemplos. Qual o conjunto das estações do ano?
Dessa forma, temos um padrão de como escrever um conjunto. Primeiro, o nome do
conjunto, depois, o sinal de igual e, por fim, cada elemento entre chaves separado por
vírgula.
Cores primárias = {Amarelo, Azul, V ermelho}
Estações = {Primavera, V erão, Outono, Inverno}
8
Agora, já podemos estender nosso raciocínio para conjuntos numéricos. Portanto,
conjunto numérico nada mais é que o conjunto de números separados por
determinadas características. Vamos olhar quais são os conjuntos numéricos básicos.
Conjunto dos números naturais - Os elementos deste conjunto são formados por
números inteiros positivos mais o número zero. São chamados de naturais, pois se
baseiam em uma unidade. Neste conjunto, você pode ter um pão, dois pães ou um
milhão de pães, mas não pode ter pedaços de pão ou negativo de pães.
Conjunto dos números inteiros - Os elementos deste conjunto são todos os
elementos do conjunto dos números naturais mais todos os inteiros negativos. O
número negativo pode representar, em problemas cotidianos, uma dívida, uma
perda, uma referência, entre outros.
Conjunto dos números racionais - Os elementos deste conjunto são basicamente
todos os números que podemos escrever em forma de fração com os elementos do
conjunto dos números inteiros. Neste conjunto, temos o acréscimo de partes de
algo. Portanto, são todos os elementos do conjunto dos números inteiros mais todas
as frações que são possíveis escrever usando-os. Vejam que agora não fica didático
escrever este conjunto da mesma forma que fiz com os conjuntos acima. Assim
sendo, temos que usar algumas notações. Farei primeiro a escrita formal e depois
explicarei o que significa cada símbolo.
Vamos explicar a leitura. É muito simples. As vírgulas separam as informações.
Portanto, temos quatro informações a respeito deste conjunto.
A primeira informação contém alguns símbolos. O primeiro é o x que sempre
representará “qualquer número”. O segundo símbolo é uma barra que sempre
representará “tal que”. O terceiro símbolo na verdade é uma expressão matemática x
é igual a “a” dividido por “b”. A primeira informação escrita por extenso é: “qualquer
número tal que x é igual a ‘a’dividido por ‘b’ ”.
A segunda informação, a terceira e a quarta são as explicações a respeito de “a” e “b”.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, . . .}
Z = {. . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}
Q = {x/x = , a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0}a
b
9
Vamos começar pela última informação. Ela significa que b não pode ser zero. Claro,
tente fazer na sua calculadora, 3 dividido por zero. Vai dar erro, pois não existe nada
dividido por zero.
Só nos resta saber o que é e . Eles significam que “a pertence ao conjunto
dos números inteiros” e “b pertence ao conjunto dos números inteiros”. Portanto, a
frase final é: “Os números racionais são iguais a qualquer número tal que este
número seja igual a uma divisão de a sobre b, onde a pertence ao conjunto dos
números inteiros, b pertence ao conjunto dos números inteiros, sendo que b não
pode ser igual a zero”. Escrevemos em menos de uma linha essas condições usando
símbolos.
Vimos como escrever um conjunto com mais formalismo. Agora vamos trabalhar
apenas com o raciocínio.
Conjunto dos números irracionais - São aqueles que não conseguimos escrever em
forma de fração usando os números inteiros. Por exemplo, o número pi. Tente formar
o número pi = 3,141592… usando uma divisão formada por números inteiros. Você
não vai conseguir. A mesma coisa acontece com outros números como a raiz
quadrada de dois e de três. O símbolo utilizado para os números irracionais é I.
Conjunto dos números reais - Este é conjunto dos números mais abrangentes que
utilizaremos aqui. Sim, existem mais. Um número real pode ser um número negativo,
positivo ou zero, e qualquer número real pode ser classificado como racional ou
irracional. O símbolo utilizado para o conjunto dos números reais é .
Para finalizar esta parte, podemos representar o que foi dito com a Figura 1 abaixo.
Na Figura 1, podemos ver que o conjunto dos números reais englobam todos os
conjuntos citados até aqui. Outro dado interessante é que os números irracionais não
estão relacionados aos naturais, inteiros e racionais.
a ∈ Z b ∈ Z
R
10
Figura 1 - Representação dos conjuntos
Fonte: o autor.
Trabalharemos aqui em cálculo com o conjunto dos números reais. Portanto, todos os
itens abaixo serão relacionados ao conjunto dos números reais. É claro que existem
livros e mais livros a respeito de conjuntos numéricos, mas se entendermos pelo
menos o básico, entenderemos o que importa para esta disciplina.
Operações Básicas com
Conjuntos
Nada melhor para entender as operações com conjuntos do que exercícios. Primeiro,
vamos criar alguns conjuntos. Sim, podemos criar conjuntos! Vamos criar o Conjunto
A, B e C.
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Temos, portanto, 3 conjuntos. Vamos às operações: a primeira operação que vamos
aprender é a união.
A leitura da parte à esquerda do igual é “A união com B” e “A união com C”. Veja que a
operação de união apenas adiciona elementos novos ao conjunto. No caso de “A
união com C” o elemento “6” e o “7” aparecem apenas uma vez, mesmo que no
conjunto “A” e “C” tenham os mesmos elementos.
Agora, vamos trabalhar com outra operação, a de intersecção.
A leitura da parte à esquerda do igual é “A intersecção com C” e depois “A intersecção
com B”. Na intersecção, o que queremos são os elementos que se repetem. Os
elementos que se repetem tanto em A quanto em C são o “6” e o “7”. Quando não há
elementos que se repetem, então usamos o símbolo da resposta de A intersecção
com B, que significa conjunto vazio.
A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
B = {10, 11, 12, 13}
C = {6, 7, 8, 9}
A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13}
A ∪ C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A ∩ C = {6, 7}
A ∩ B = ∅
Ordenação para Elementos do
Conjunto
É possível estabelecer uma relação de ordem entre os elementos do conjunto dos
números reais com os símbolos abaixo:
5 < 6
7 > 2
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Figura 2: Exemplo de reta real
Fonte: o autor.
No primeiro caso, lê-se “5 é menor que 6” e, no segundo caso, lê-se “sete é maior que
2”. Bem simples. Isso é possível porque conseguimos estabelecer, na nossa cabeça,
uma relação de ordem que fica mais explícita se utilizarmos uma reta com números
crescentes da esquerda para a direita, de forma quase idêntica a uma régua
convencional.
A Figura 2 é um exemplo desta reta. Aqui, temos um conceito fundamental para você
entender as aulas mais avançadas deste livro. Existem infinitos números entre os
números destacados na Figura 2. Como, por exemplo, o número 1,99999999998 e o
número 2,000000000001.
Podemos agora prosseguir com algumas conclusões lógicas a respeito dos números
reais. Vejam que interessante.
Dado acima que “a” e “b” pertencem ao conjunto dos números reais,  temos:
 se e somente se 
 se e somente se          
Tente substituir alguns números em a e b e teste. Por exemplo:
 pois , e 2 é positivo
pois , é positivo
A consequência lógica funciona, portanto.
Vamos para outra muito importante. O ponto será utilizado como vezes.
Se a < b então a + c < b + c
a, b ∈ R
a < b b − a > 0
a > b a − b > 0
3 < 5 5 − 3 = 2
−10 < −4 −4 − (−10) = 6
a, b, c ∈ R
13
Se a < b e c > 0 então a.c < b.c
Se a < b e c < 0 então a.c > b.c
Portanto, se x<y, segue do raciocínio que x+4 < y+4. Pense em qualquer número
desde que x seja menor que y, vai funcionar.
Por exemplo, 4 < 5, portanto, 4+4<5+4 já que 8<9.
Outro exemplo, 4 < 5, portanto, 4-10<5-10 já que -6 < -5.
Mais um exemplo: 4<5 portanto, 4.2<5.2 já que 8<10.
Por fim, 4<5, portanto, 4.(-10) > 5.(-10) já que (-40)>(-50).
Tente com outros números e verifique mais casos. É importante fixar isto.
Intervalos Numéricos
Vamos pensar agora na seguinte questão a<x<b. Dada a expressão à esquerda,
sabemos que x compreende todos os números que são maiores que a e menores que
b com exceção de a e de b. Isto é chamado de intervalo aberto e é representado da
seguinte forma .
Por extenso, temos “o intervalo aberto entre a e b é igual a todo x tal que x é maior
que a e menor que b”. Portanto, se a=2 e b=3, x pode ser qualquer valor entre 2 e 3
com exceção do número 2 e do número 3.
Já apresentado o que é um intervalo aberto, vamos definir agora o que é um
intervalo fechado. Vamos pensar agora sobre a seguinte expressão. Agora x
compreende todos os valores de a até b incluindo a e b. Representaremos isto com a
seguinte formatação . Ou seja, para intervalo aberto, utilizam-se parênteses, e
para intervalo fechado, utilizam-se colchetes.
Podemos misturar as nomenclaturas usando intervalo aberto a partir de a e
intervalo fechado chegando em b ficando da seguinte forma   .
(a, b)
(a, b) = {x|a < x < b}
[a, b]
0 [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b}
a < x ≤ b
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Podemos também utilizar a seguinte nomenclatura: , que significa que temos
qualquer número acima de a com exceção do a neste intervalo. Escrevendo de outra
forma, x>a. Lembrando que o intervalo não pode ser fechado quando usamos o
símbolo do infinito que é .
(a, +∞)
∞
Exercícios
Ache o conjunto solução das desigualdades abaixo:
a) 2+3x < 5x+8
b) 4 < 3x-2 ≤ 10
Resolução de a:
2+3x < 5x+8
2+3x-2 < 5x+8-2
3x < 5x + 6
3x -5x<5x-5x+6
-2x<6     multiplicando por menos 1 dos dois lados
2x>-6     dividindo por 2 dos dois lados
x>-3
O intervalo da solução é (-3,+∞), ou seja, todos os números reais do -3 até o infinito
menos o número -3.
Resolução de b:
4<3x-2≤10
15
4+2<3x-2+2≤10+2
6<3x≤12 dividindo todas as partes por 3 temos
2<x≤4
O intervalo da solução é (2,4], ou seja, todos os números reais do 2 até o quatro
menos o número 4.
Acesse o link: Disponível aqui
Aqui, no primeiro link, colocarei o canal que abri no YouTube, em que
desenvolvo as questões de cálculo de um jeito descontraído e sem
formalidades excessivas.
A importância prática dos conjuntos numéricos está relacionada às regras de
operações. Se você conhece qual é o conjunto a que determinados números
pertencem, você saberá quais as regras para operar com eles. No caso dos
números reais, são as regras convencionais de soma, multiplicação, divisão,
etc.
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https://www.youtube.com/channel/UCwGJad_6B6E1sNLH49ih81A?view_as=subscriberO foco que você deve dar aqui é nas soluções dos problemas voltados a
encontrar os conjuntos. Saber trabalhar com as desigualdades é de extrema
importância para o entendimento futuro de cálculo.
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02
Funções I
É comum em nossa vida um determinado resultado depender de outros valores. Por
exemplo: a sua nota pode depender da quantidade de horas que se dedica, a
produção de uma fábrica pode depender da quantidade de máquinas ligadas em oito
horas de serviço, a força aplicada depende da massa do objeto e da aceleração do
mesmo, o tempo de uma viagem de carro depende da velocidade média deste carro,
o nível de um rio depende da quantidade de chuva, a resistência de um material
depende de uma série de propriedades deste material e, assim, poderíamos
continuar aqui a descrever infinitas situações que dependem de outras variáveis.
Já que aprendemos na aula anterior sobre os conjuntos numéricos, vamos usá-los!
Uma função pode ser definida como um conjunto de números reais X que se relaciona
com um conjunto de números reais Y, onde um elemento de Y é único para um
determinado elemento do conjunto X. Vamos a um exemplo.
Tabela 1 – Exemplo de função número 1
Fonte: o autor.
x y = 2x
-3 -6
-2 -4
-1 -2
0 0
1 2
2 4
Analisando a Tabela 1, podemos perceber que existem dois conjuntos. O conjunto
formado por todos os números possíveis de serem substituídos no lugar de x. Neste
caso, não existe nenhuma restrição imposta para x. Como eu sei? Simplesmente por
duas razões básicas: a função y não dá erro independentemente do valor de x que eu
coloco, e também porque não colocamos nenhuma condição sobre a função y.
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O segundo conjunto é formado por todas as respostas da multiplicação entre o
número 2 e o número x. Neste caso específico, o conjunto X e o conjunto Y são
formados por todos os elementos do conjunto dos números reais. Ou seja, sempre
existirá o dobro e a metade de um número dentro do conjunto dos números reais.
Vamos agora a mais um exemplo.
Tabela 2 – Exemplo de função número 2
Fonte: o autor.
x y = x
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
2
Na Tabela 2, temos a função y = x². Esta função é basicamente a função dos números
reais x elevado ao quadrado. O número x pode ser qualquer número real, pois
também não colocamos nenhuma condição e porque a função não dá erro para
nenhum número x real substituído. Teste o número -3,1273827 em sua calculadora e
você vai perceber que não dá erro.
Nesta função, diferentemente da apresentada na Tabela 1, acontece algo
interessante. O conjunto Y formado pelas respostas da substituição dos elementos do
conjunto X não possuem número negativo. Ou seja, não importa o número x que você
substitua, a resposta vai ser sempre positiva. O conjunto X é formado pelos números
reais e o conjunto Y é formado pelos números reais positivos.
20
Vimos aqui, portanto, o que é uma função e uma simples análise de suas
características.
Domínio e Imagem de uma
Função
Agora que já definimos uma função e percebemos que o funcionamento de cada uma
delas pode variar de acordo com suas características, vamos formalizar um pouco
mais o nosso estudo.
Começaremos com o seguinte exemplo:
A primeira coisa que mudou foi a nomenclatura à esquerda do igual. A partir de agora
usaremos f(x), f(g), f(h), e assim por diante. Isto significa simplesmente uma função
que varia com os valores de x, g e h, respectivamente.
f (x) = √x − 3
21
A nossa primeira definição formal será a de domínio da função. Domínio da função é
basicamente o conjunto X com todos os elementos x que podem ser substituídos em
uma determinada função.
Vamos descobrir agora qual é o domínio da função acima.
Tabela 3 – Exemplo de função número 3
Fonte: o autor.
x
-1 Não existe
0 Não existe
1 Não existe
2 Não existe
3 0
4 1
f (x) = √x − 3
Podemos perceber, analisando a Tabela 3, que valores menores que 3 são impossíveis
de serem substituídos na função apresentada. Portanto, o domínio da função acima é
formado pelo conjunto dos números reais maiores ou igual ao número três.
É claro que chegamos à conclusão acima substituindo os valores e construindo uma
tabela. Este caminho é um caminho árduo para algumas funções. Portanto, vamos
chegar à mesma resposta de uma maneira mais simples. Sabemos que não existem
raízes negativas de um número, desse modo, vamos colocar esta informação da
seguinte maneira.
x − 3 ≥ 0
x − 3 + 3 ≥ 0 + 3
x ≥ 3
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Chegamos aqui à mesma resposta. O domínio de x é formado pelo conjunto de todos
os números reais maiores ou iguais a 3. É claro que é importante escrever esta
resposta da maneira que aprendemos na aula 1.
Intervalo fechado em três simbolizando que ele está dentro do domínio e intervalo
aberto em infinito visto que infinito não é um número específico. Por extenso, temos à
direita do igual “x tal que x maior ou igual a três sendo x pertencente ao conjunto dos
números reais”.
Já entendemos o que é um domínio de uma função. Agora, passaremos à definição de
imagem e usaremos a mesma função como exemplo. Imagem é o conjunto formado
por todas as soluções que são possíveis de serem obtidas com a substituição de cada
um dos elementos do domínio. Basicamente, a imagem é o conjunto F(x) formado por
todas as respostas da função.
Vamos olhar agora quais são as respostas da função apresentada acima. Se olharmos
a Tabela 3, perceberemos que as possíveis respostas começam no número zero e vão
até o infinito. Não existem respostas negativas, portanto, a imagem da função é
formada por todos os números reais maiores que zero.
O intervalo fechado em zero simboliza que ele está dentro da imagem, e intervalo
aberto em infinito visto que infinito não é um número específico. Por extenso, temos
à direita do igual “x tal que x maior ou igual a zero, sendo x pertencente ao conjunto
dos números reais”. A forma de ler é igual, a diferença é que estamos falando agora a
respeito da imagem da função e antes estávamos falando do domínio da função.
[3, +∞] = {x|x ≥ 3, x ∈ R}
[0, +∞] = {x|x ≥ 0, x ∈ R}
Valor Absoluto de um Número
Antes de continuar com exercícios e aplicações das funções, vamos introduzir o
conceito de valor absoluto de um número. O valor absoluto de um número real
qualquer x é expresso como e é definido da seguinte maneira:|x|
|x| = {x, x ≥ 0 ou  − x, x < 0}
23
O que isto significa? É bem simples. O valor absoluto de x será o próprio x se x for
maior que zero. Ou o valor de x será ele próprio multiplicado por menos um se ele for
menor que zero. Vamos aos exemplos.
Temos dois exemplos acima. O primeiro, lê-se “o valor absoluto de três é igual a três”
e o segundo, “o valor absoluto de menos três é igual a três”. Os exemplos acima
servem para quaisquer números reais.
Dito isso, podemos pensar agora sobre os possíveis intervalos com números
absolutos e depois funções com números absolutos.
Primeiro vamos com intervalos.
Isto significa que o número x deve ser menor que “a” e maior que “-a”. Como assim?
Usaremos o exemplo abaixo para tirar esta dúvida.
A sentença acima significa que queremos todos os números absolutos menores que
3. Façamos alguns testes então.
|3| = 3
|−3| = 3
|x| < a
|x| < 3
24
Tabela 4 – Exemplo para números absolutos
Fonte: o autor.
x | x |
-4 4
-3 3
-2 2
-1 1
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
Vejam que a solução para são todos os valores de x entre -3 e 3, ou -3<x<3.
Portanto, o seguinte intervalo (-3,3), todos os números entre -3 e 3 com exceção do -3
e do 3.
|x| < 3
Exercícios
Resolva as equações: , 
Na primeira, temos duas condições, já que estamos falando de número absoluto.
Dica: ler item "Valor Absoluto de um Número" antes de fazer.
|3x + 2| = 5 |x − 2| < 4
25
3x + 2 = 5
ou
-(3x+2) = 5
Na primeira condição
3x + 2 – 2 = 5 – 2
3x = 3 dividindo por 3 dos dois lados
x = 1
Na segunda condição
-3x – 2 = 5
-3x – 2 + 2 = 5 + 2
-3x = 7
3x = -7  multiplicando por menos 1 dos dois lados
x = -7/3
x= - 2,333333333333…
Na segunda equação, temos:
-4 < x – 2 < 4
-4 + 2 < x – 2 +2 < 4 + 2
-2 < x < 6
(-2,6)  intervalo abertoem -2 e intervalo aberto em 6. Ou seja,  x pode variar de -2 até
6 com exceção do -2 e do 6.
26
Acesse o link: Disponível aqui
No link abaixo, você encontrará mais explicações sobre valor absoluto ou
módulo.
A abordagem prática relacionada ao domínio de uma função é útil para
conhecer a validade de um determinado número em um problema físico. Se
temos um problema cuja função matemática está dividida por x, sabemos
que x não pode ser zero. A consequência é que na prática saberemos que
zero não representará nada fisicamente para aquele problema.
O foco aqui é saber diferenciar domínio de imagem de uma função. Além de
saber lidar com os valores absolutos.
27
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/modulo-ou-valor-absoluto-um-numero-real.htm
03
Funções II
Olá a todos!
Neste momento, para você conseguir continuar sem problemas com seu aprendizado,
é importante que tenha entendido a aula 1 e a aula 2. Além disso, é importante que
tenha procurado por exercícios além dos mostrados aqui. Onde procurar? Em
qualquer livro de cálculo que possua capítulos relacionados a conjuntos numéricos e
funções. Aqui explicarei os conceitos. Claro! Mas fica sob a sua responsabilidade
treinar.
Para começar a aula, veja a seguinte imagem:
Trata-se de uma conta errada, certo?
Mas vamos a mais um exemplo antes de prosseguirmos com outras questões a
respeito das funções. Vamos pensar a respeito da fórmula abaixo.
Vamos achar o domínio e a imagem da função acima. A primeira coisa que devemos
pensar agora que já entendemos o funcionamento do domínio e da imagem é que
dentro da raiz acima não pode ficar nenhum valor negativo. Portanto, se usarmos o
raciocínio, perceberemos que:
f (x) = √x2 − 9
29
Aqui vamos ter duas respostas possíveis:
Isto ocorre porque, elevando ao quadrado qualquer número real menor que -3,
chegaremos a uma resposta maior que nove, já que o quadrado de um número é
sempre positivo. Portanto, o domínio da função apresentada é (-∞,-3] U [3,+∞). Por
extenso, “o domínio é formado pela união de dois conjuntos, sendo o primeiro do
infinito negativo até o três negativo e do três positivo até o infinito positivo”.
A imagem da função vai ser do zero até o infinito positivo visto que só não
conseguimos obter números negativos com a função dada. Teste alguns valores na
sua calculadora!
x2 − 9 ≥ 0
x2 ≥ 9
x2 ≥ 9
x ≥ 3
x ≤ −3
Gráficos
Para conseguir compreender como funcionam os gráficos, precisamos entender o
conceito de par ordenado. Os pares ordenados nada mais são que o valor de um
elemento do domínio com sua respectiva imagem. Vamos a um exemplo.
Uma das soluções da função acima vale 9 quando x vale 3. O problema é ficar
escrevendo por extenso toda vez que nos referimos a uma determinada solução de
uma função. Portanto, representaremos o par ordenado acima da seguinte forma:
(3,9). Não confundiremos com intervalos pelo próprio contexto da aplicação. A função
acima possui infinitos pares ordenados.
A partir do conceito de pares ordenados, podemos formular e entender o
funcionamento dos gráficos. O gráfico nada mais é que uma forma de representação
dos pares ordenados de uma função por meio de algum tipo de referência. No nosso
f (x) = x2
30
Figura 3: Gráfico da função x²
Fonte: o autor.
caso, utilizaremos o plano cartesiano, formado pelo eixo x e o eixo y, sendo os dois
perpendiculares entre si.
Para compreender melhor, vamos olhar um gráfico.
Acima, temos o gráfico da função exemplo. O par ordenado (0,0) é a origem e é
formado pelo encontro do eixo x e y. O eixo x é chamado de eixo das abscissas, e o
eixo y é chamado de eixo das ordenadas.
A linha amarela da Figura 3 representa todos os pares ordenados da função.
Na Figura 4, temos em vermelho os pares ordenados (1,1) e (2,4). A importância dos
gráficos se dá pela facilidade de extrairmos as informações de forma visual. Olhando
este gráfico, percebemos rapidamente que seu domínio vai do infinito negativo até o
31
infinito positivo, ou seja, todos os elementos do conjunto dos números reais. Além
disso, percebemos que sua imagem vai do valor 0 até o infinito positivo, ou seja, em y
não há valores negativos.
Acesse o link: Disponível aqui
Para fazer gráficos da mesma forma que fiz na Figura 3, faça o download do
software chamado OpenBoard.
Para um exemplo final, vamos utilizar a função representada pela
Figura 5. Veja mais uma vez que é fácil entender por meio do gráfico que o domínio
da função é dado por (-∞,-3] U [3,+∞) e a imagem [0,+∞).
f (x) = √x2 − 9
32
https://openboard.ch/index.en.html
Figura 4: Pares ordenados (1,1) e (2,4)
Fonte: o autor.
Figura 5: Gráfico da função f (x) = x√ 2 − 9
Fonte: o autor.
33
Portanto, uma função é um conjunto de pares ordenados de números (x,f(x)), sendo 
que dados dois pares ordenados distintos, nenhum deles terá o mesmo primeiro 
número. O conjunto de todos os valores admissíveis é chamado de domínio da função 
e o conjunto de todos os valores resultantes de f(x) é chamado de imagem da função.
Exercícios
Faça em seu caderno o desenho do gráfico da respectiva função.
f (x) = −5x + 3
Figura 6: Resposta do exercício
Fonte: o autor.
34
Ache f(0), f(2), f(h) e sendo h diferente de 0.
f (x) = x
Vamos utilizar para os exercícios abaixo a seguinte função: 
2 + 3x − 4
f(x+h)−f(x)
h
f(0) = 0²+3.0-4
f(0) = -4        
f(2) = 2² + 3.2 – 4
f(2) = 6
f(h) = h² +3h – 4
Só isso mesmo.
Resposta final = 2x + 3 + h          
Se você teve dificuldades com algum passo acima procure pela explicação de (a+b)² =
a²+2ab+b².
=
f (x + h) − f (x)
h
(x + h)
2
+ 3 (x + h) − 4 − (x2 + 3x − 4)
h
x2 + 2xh + h2 + 3x + 3h − 4 − (x2 + 3x − 4)
h
2xh + h2 + 3h
h
35
Acesse o link: Disponível aqui
No link abaixo, você vai encontrar mais explicações a respeito da construção
de gráficos.
Qualquer problema físico é mais fácil de ser compreendido por meio de uma
imagem que relaciona o que acontece com os pares ordenados à medida
que a função tem valores de x aumentados ou diminuídos. Quantas vezes
não assistimos a algum jornal que nos apresenta um determinado gráfico? A
partir do gráfico de uma função, conseguimos entender qualquer fenômeno
de forma mais simples e intuitiva.
O foco aqui é saber construir um gráfico com o auxílio de tabelas com os
valores de x e de f(x).
36
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/como-construir-grafico-uma-funcao.htm
04
Limites
As aulas anteriores talvez tenham sido bem básicas para você. Se este for o caso,
ótimo, agora entraremos no nível superior. Se você sentiu muita dificuldade, ótimo,
gaste umas horinhas com questões relativas à matemática básica e depois prossiga
para entrarmos no nível superior, de fato. Independentemente do caso, acredito que
conseguiremos avançar.
A partir de agora, começaremos a entender as duas operações fundamentais em
cálculo, a derivada e a integral. Com elas, você conseguirá pensar a respeito de
problemas mais complexos independentemente de sua área de atuação.
Mas primeiro vamos começar do básico, vamos começar pelo conceito de limite e
depois evoluir para o conceito de derivadas e integrais.
Introdução ao Limite
Nada melhor do que começar usando um exemplo. Portanto, vamos usar a seguinte
função para descobrirmos o que é um limite.      
Olhando para essa função, a primeira coisa que percebemos é que x não pode ser
igual a 1, pois qualquer coisa dividida por zero não existe. Apesar de não existir a
resposta da função para x igual 1, podemos estudar o que acontece tão próximo de 1
quanto quisermos. Vamos fazer isso por meio de duas tabelas e utilizando uma das
ferramentas mais simples da matemática, a substituição.
f (x) =
x2 + 3x − 4
x − 1
38
Tabela 5 – Substituindo valores próximos de 1 menores que 1
Fonte: o autor.
x
0 4
0,25 4,25
0,5 4,5
0,75 4,75
0,9 4,9
0,99 4,99
0,999 4,999
0,9999 4,9999
0,99999 4,99999
f (x) =
x2+3x−4
x−1
Se você substituir em sua calculadora os valores de x acima chegará às mesmas
respostas da coluna à direita da Tabela 5. Com uma olhada básicanos valores,
percebemos que quanto mais próximos de 1 chegarmos, mais próximos da resposta 5
ficaremos. Lembrando aqui que nunca poderemos substituir 1 na função acima, pois
não existirá uma resposta para este valor.
Só estudar a função acima com os valores menores ainda não é suficiente, então
vamos agora nos aproximar do valor 1 por números maiores que 1 por meio da
Tabela 6.
Na Tabela 6, podemos fazer a mesma análise feita para a Tabela 5. Quanto mais
próximos de 1 chegarmos, mais perto da resposta 5 ficaremos. Lembrando mais uma
vez que a função nunca poderá ser 5, pois nunca conseguiremos substituir na
calculadora o número 1 para x.
39
Tabela 6 – Substituindo valores próximo de 1 maiores que 1
Fonte: o autor.
x
2 6
1,75 5,75
1,5 5,5
1,25 5,25
1,1 5,1
1,01 5,01
1,001 5,001
1,0001 5,0001
1,00001 5,00001
f (x) =
x2+3x−4
x−1
O próximo passo nosso é analisarmos o que está acontecendo usando intervalos.
Para isso, vamos raciocinar! Quando x=0,9, f(x) = 4,9, isto é, quando x for 0,1 inferior a
1, f(x) será 0,1 inferior a 5.
Podemos chegar mais próximo ainda do número 1. Quando x = 0,9999, f(x) = 4,9999,
isto é, quando x for 0,0001 menor que 1, f(x) será 0,0001 menor que 5.
O mesmo raciocínio vale para quando fizermos essa aproximação usando os valores
da Tabela 6.
40
Utilizaremos agora os conceitos das aulas anteriores. Vamos falar em termos de valor
absoluto. Podemos tornar tão pequeno quanto quisermos. Basta, para
isso, definirmos o quão pequeno será a relação .
Se fizermos,
Podemos aqui dar um nome para este valor de 0,0001. Vamos chamá-lo de ẟ(delta).
Sempre lembrando que x não poderá ser igual a 1, o intervalo ficará tão próximo de 1
quanto quisermos. Para a função apresentada quando a relação acima ocorrer 
será 0,0001 próximo de 5.
Tem-se:
Podemos aqui também dar outro nome para o valor acima de 0,0001. Vamos chamá-
lo de ε(épsilon).
A conclusão aqui é que poderemos chegar tão próximo do 5 o quanto quisermos
estabelecendo alguns parâmetros de proximidades.
Toda vez que nos referirmos a um limite temos que fazer todas essas tabelas e
trabalhar com esses valores absolutos por extenso?
A resposta é não. Para todo o raciocínio acima descrito poderemos utilizar símbolos.
Em resumo, tudo o que foi dito será representado da seguinte forma.
|f (x) − 5|
|x − 1|
|x − 1| < 0, 0001
−0, 0001 < x − 1 < 0, 0001
−0, 0001 + 1 < x − 1 + 1 < 0, 0001 + 1
0, 9999 < x < 1, 0001
|f (x) − 5|
|f (x) − 5| < 0, 0001
−0, 0001 < f (x) − 5 < 0, 0001
−0, 0001 + 5 < f (x) − 5 + 5 < 0, 0001 + 5
4, 9999 < f (x) < 5, 0001
lim
x→1
f (x) = 5
41
Se lermos por extenso a expressão acima, ficará da seguinte forma: “o limite da
função quando x se aproximar de 1 tanto por números maiores que 1
quanto por números menores que 1, nunca sendo 1, terá como resposta o número
 5”. É claro que para simplificar em nossa cabeça podemos adotar a sentença “o limite
da função dada vale 5 quando x tende a 1”.
Neste caso em específico, x não poderá assumir o valor de um, porém, nada impede
que em outras funções x possa assumir o valor do ponto em questão.
x2+3x−4
x−1
Exercícios
a) Seja a função e supondo que e que ε>0,01.
Determine um ẟ>0 tal que:
Para resolver o problema acima, precisamos primeiramente analisar o que está
acontecendo. Basicamente, o problema quer saber o quão perto devemos chegar de
3 para que a diferença da resposta seja de 0,01.
Sabendo disto, basta resolvermos a equação somando esta diferença ao valor 7 e
depois resolvermos a mesma equação subtraindo a mesma diferença do valor sete.
Teremos então,
4x1 – 5  = 7,01
4x1 = 7,01+5
4x1 = 12,01
x1 = 12,01/4
x1 = 3,0025
Fazendo a outra:
4x2 – 5  = 6,99
f (x) = 4x − 5 lim
x→3
f (x) = 7
|f (x) − 7| < 0, 01 e |x − 3| < δ
42
4x2 = 6,99+5
4x2 = 11,99
x2 = 11,99/4
x2 = 2,9975
Como
3 – 2,9975 = 0,0025
3,0025 – 3 = 0,0025
Escolhemos, portanto, um  ẟ = 0,0025 e provamos que se      
Respondida a questão.
b) Resolva por meio do raciocínio lógico quanto vale os seguintes limites:
Para este primeiro limite a resposta vale 8, visto não importar para que número x
tenda, já que todos os valores de f(x) são iguais a 8.
Para este limite a resposta vale 21, visto que se substituirmos 9,999999 e depois
10,000001 na função tenderemos ao valor 21.
Para esta função, podemos substituir valores próximos a 3 como, por exemplo, 2,9999
e 3,0001. A resposta será uma tendência ao valor 6.
|x − 3| < 0, 0025 então  |f (x) − 7| < 0, 01
lim
x→3
8
lim
x→10
2x + 1
lim
x→3
(x2 − 9)/ (x − 3)
43
Acesse o link: Disponível aqui
No link abaixo, você encontrará mais explicações a respeito do limite de
funções.
O limite aplicado a um problema físico qualquer nos permite entender o que
acontece com aquele problema em intervalos de tempo muito pequenos. A
velocidade média de um automóvel é a variação do espaço pelo tempo,
porém, se estudarmos o mesmo problema com a variação do tempo
tendendo a zero teremos a velocidade instantânea.
Nesta aula, você tem a origem dos limites de forma racional em pequenos
intervalos. Por mais que existam regras práticas que veremos nas aulas
posteriores é importante sabermos como funciona o raciocínio lógico a
respeito dos limites.
44
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/limite-uma-funcao.htm
05
Teoremas sobre 
Limites de Funções
Na aula anterior, vimos os conceitos básicos de limite. Agora sabemos que o limite
serve para estudar regiões bem pequenas de uma função matemática que pode ou
não representar um fenômeno da vida real. À medida que o curso for andando, você
começará a perceber a utilidade deste tipo de estudo. Por enquanto, vamos focar no
aprendizado da ferramenta antes de sair por aí a utilizando indiscriminadamente.
Nesta aula, estudaremos os teoremas dos limites. Vou fazer uma comparação aqui
para entendermos do que se trata. Da mesma forma que as operações básicas
(adição, subtração, multiplicação e divisão) possuem algumas regras de manipulação,
os limites também possuem. Nesta aula, apresentaremos as regras a respeito dos
limites. Não iremos aqui fazer uma formalização extensa a respeito de cada teorema,
mas sim, algumas verificações básicas. As provas dos teoremas são utilizar o conceito
de delta e épsilon( ẟ, ε) apresentado na aula passada. Para quem quiser se
aprofundar nas demonstrações basta ir às referências e olhar os livros indicados.
Teoremas
Vamos começar com aqueles que já utilizamos sem ao menos saber de sua existência.
Sempre trabalharemos aqui com o conjunto dos números reais.
Se m e b forem constantes quaisquer. Este teorema diz que pode fazer a
substituição de “a” na equação para acharmos o limite.    
Nós o utilizamos na expressão abaixo. A resposta dá 21 porque quando x se aproxima
de 10, o valor do limite tende ao número 21 pela simples substituição,
                                   
lim
x→a
mx + b = ma + b
46
Se c for uma constante, então para qualquer número a, o limite de c tendendo a
“a” será igual a “c”:
A função, neste caso, não depende de x, portanto, é uma reta horizontal sem
variações. Assim, a resposta para qualquer aproximação sempre será igual ao valor
da constante.
Se e o limite da soma também será verdadeiro.
Vamos utilizar os exemplos acima.
Se , , …, o limite da soma
também será válido para infinitos limites com x tendendo a “a”.
Crie mais um ou dois limites no mesmo padrão e some aos anteriores. Você vai ver
que tanto faz realizar a soma das respostas ou a soma das funções.
Se e então, o produto de L vezes M será igual
ao produto de f(x) vezes g(x).
A mesma coisa serve para a multiplicação de vários limites.
lim
x→10
2x + 1 = 21
lim
x→10
23 = 23
lim
x→a
f (x) = L lim
x→a
g (x) = M
lim
x→a
[f (x) + g (x)] = L ± M
lim
x→10
23 = 23 + lim
x→10
2x + 1 = 21 = 44
lim
x→10
2x + 1 + 23 = 44
lim
x→a
f1 (x) = L1 lim
x→a
f2 (x) = L2 lim
x→a
fn (x) = Ln
lim
x→a
[f1 (x) ± f2 (x) ± f3 (x) . . . ±fn (x)] = L1 ± L2 ± L3±. . . ±Ln
lim
x→a
f (x) = L lim
x→a
g (x) = M
lim
x→10
23 = 23x lim
x→10
2x + 1= 21 = 483
lim
x→10
(2x + 1)23 = 483
lim
x→a
[f1 (x) f2 (x) f3 (x) . . . fn (x)] = L1L2L3. . . Ln
47
Se e n for um número inteiro positivo qualquer, então
Se e a divisão entre os resultados é igual ao
limite da divisão.
Lembrando que o denominador não pode ser zero. Neste caso acima, M pode ser
qualquer número menos zero.
Se n for um número inteiro positivo e poderemos aplicar a raiz
tanto na função como na resposta. Com a restrição de que se “n” for par, L>0.
Fazendo n = 3
Se se e somente se 
Vamos testar este teorema.
Portanto, o teorema se aplicou ao nosso exemplo.
lim
x→a
f (x) = L
lim
x→a
[f (x)]n = Ln
lim
x→10
23 = 23
232 = 529
lim
x→10
232 = 529
lim
x→a
f (x) = L lim
x→a
g (x) = M
lim
x→a
[ ] =
f (x)
g (x)
L
M
lim
x→10
[ ] =
2x + 1
23
21
23
lim
x→a
f (x) = L
lim
x→10
n√2x + 1 = n√21
lim
x→10
3√2x + 1 = 3√21 = 2, 758924
lim
x→a
f (x) = L lim
x→a
f (x) − L = 0
lim
x→10
2x + 1 = 21
lim
x→10
2x + 1 − 21 = 0
48
Exercícios
Usar os teoremas acima para calcular os limites abaixo.
a)      
Para este limite, basta substituir o valor da tendência na função
3.5 – 8 = 7
Portanto, 
b) 
Usando os teoremas acima, devemos dividir este limite em outros.
c) 
Para este limite separaremos a função do numerador e do denominador.          
lim
x→5
3x − 8
lim
x→5
3x − 8 = 7
lim
x→2
x
2 + x − 1
lim
x→2
x
2 + lim x
x→2
+ lim
x→2
(−1)
[lim x
x→2
× lim
x→2
x] + 2 + (−1)
2 × 2 + 2 + (−1) = 5
lim
x→3
[ ]4x−5
5x−1
= = 0, 5
lim
x→3
4x − 5
lim
x→3
5x − 1
7
14
49
Acesse o link: Disponível aqui
No link abaixo, você encontrará mais explicações a respeito dos teoremas.
Saber operar com limites é tão importante quanto saber as operações
básicas com os números reais. Quando em física estudar o comportamento
de qualquer problema utilizando o cálculo diferencial, será necessário saber
quais as regras a serem utilizadas.
50
http://ecalculo.if.usp.br/ferramentas/limites/calculo_lim/teoremas/alguns_teo_principal.htm
06
Limites Laterais
Figura 7: Exemplo de aproximação em um determinado ponto
Fonte: o autor.
Neste ponto do curso, já trabalhamos com diversas teorias que se complementam
para conseguir estudar regiões específicas de uma função. Na aula anterior,
estudamos algumas propriedades que podemos aplicar sobre os limites para achar
seus valores de maneira mais fácil. Temos que lembrar que os limites que estudamos
até agora são equivalentes à aproximação de um determinado ponto da função tanto
por valores acima do ponto como por valores abaixo do ponto.
Na Figura 7, temos um gráfico representativo da função sen(x). A linha vertical do
gráfico é um determinado ponto escolhido onde desejamos conhecer o limite. As
linhas verdes representam o quão próximo podemos chegar a partir de um ẟ
escolhido, tanto à direita quanto à esquerda da função.
Vamos ver nesta aula que em algumas funções não é possível estudar o limite da
maneira que viemos fazendo até agora. Em algumas funções, só dá para se aproximar
de um ponto a partir de um dos lados do ponto, ou à esquerda ou à direita do ponto,
sendo à esquerda valores menores e os valores à direita maiores.
52
Definição
Seja f(x) uma função que está definida em todos os números de um intervalo aberto
(a,c). Isto quer dizer que o domínio da função vai de “a” até “c” com exceção de “a” e
de “c”. Portanto, o limite de f(x) quando x tende a “a” pela direita é L.      
Seja f(x) uma função que está definida em todos os números de um intervalo aberto
(d,c). Isto quer dizer que o domínio da função vai de “a” até “c” com exceção de “d” e
de “c”. Portanto, o limite de f(x) quando x tende a “a” pela esquerda é L.
Para esclarecer melhor, vamos utilizar a função sinal. Ela é definida da seguinte forma:
Repare que esta função possui um valor constante quando é menor que 0. Um ponto
quando é igual a zero e outro valor constante quando é maior que zero. Vamos
calcular para esta função os seguintes limites:
O primeiro significa que iremos nos aproximar de zero pelo lado maior que 0.
Portanto, o = 1 visto que a função vale 1 se x>0.
Para o = -1 visto que a função vale -1 se x<0.
Uma dica interessante aqui é esboçar o gráfico da função. Vou deixar este serviço com
você. Este gráfico é formado basicamente por uma reta horizontal que começa no
infinito negativo e chegando próximo de 0 com o valor (-1). A mesma coisa temos à
direita do zero. Uma reta horizontal na altura do valor 1 e indo à direita infinitamente.
Podemos agora chegar a uma conclusão a respeito dos limites em geral.
lim
x→apositivo
f (x)
lim
x→cnegativo
f (x)
sgnx = {−1sex ⟨0, 0sex = 0, 1sex⟩ 0}
lim
x→0positivo
sgn (x)
lim
x→0negativo
sgn (x)
lim
x→0positivo
sgn (x)
lim
x→0negativo
sgn (x)
53
O existe e será igual a L se e somente se e lim
x→a
f (x) lim
x→apositivo
f (x) lim
x→anegativo
f (x)
Esta sentença significa que só poderemos ter um limite da forma convencional se e 
somente se os limites à direita e à esquerda do ponto “a” forem iguais.
Exercícios
a) Imagine a seguinte situação: um lojista vende o quilo da soja por 3 reais para uma 
compra até 10 quilos. Acima de 10 quilos o valor passa a ser 2,5 reais o quilo. Faça o 
gráfico da função e estude os limites laterais próximos a 10 quilos.
O esboço do gráfico pode ser visto na Figura 8. Em verde, estão representados os 
pares ordenados. Em azul é a função 3x (pois o preço é três reais por quilo) que vai 
até 10, e em vermelho é a função 2,5x (pois o preço passa a ser 2,5 reais por quilo) 
que vai até o infinito positivo.
Em resumo, temos f(x) = 3x para o intervalo (0,10] e f(x) = 2,5x para o intervalo (10,+∞).
Vamos estudar o que acontece ao redor do número 10, que representa 10 quilos. 
Quando nos aproximamos de 10 por valores à esquerda de 10, devemos utilizar a 
função 3x, já que ela é a única válida no intervalo (0,10]. Quando nos aproximarmos 
de 10 por valores à direita de 10, devemos utilizar a função 2,5x, já que ela é a única 
válida no intervalo (10,+∞).
54
Figura 8: Esboço do gráfico
Fonte: o autor.
Desta forma, temos os dois limites possíveis em torno de 10. Começaremos com o
positivo e logo abaixo o negativo.
Podemos concluir que para o cliente é vantajoso comprar o mais próximo de 10 quilos
possível, desde que seja um valor acima de 10 quilos. Para o vendedor, é mais
vantajoso compras próximas de 10 quilos, mas não maiores que 10. Lembrando que
as conclusões aqui são referentes apenas para vendas próximas de 10 quilos.
b) Seja a função g(x) definida por se e 2 se x = 0. Estude a função
próximo de zero usando todos os conceitos apresentados até aqui.
Primeiro vamos relembrar o que significa o valor absoluto. Se adotarmos valores de x 
maiores que zero começando do 1, 2, 3… e assim por diante, obteremos para g(x) os 
mesmos valores. Substituindo os valores em x negativos -1, -2, -3, e assim por diante, 
obteremos para g(x) as seguintes respostas: 1, 2, 3, e assim por diante. 
lim
x→10positivo
2, 5x = 25
lim
x→10negativo
3x = 30
|x| x ≠ 0
55
Fonte: o autor.
Colocando todas essas informações no gráfico, chegaremos ao desenho da Figura 9. Em 
vermelho temos todos os pontos que pertencem a g(x). O ponto em amarelo significa 
que o par ordenado (0,0) não pertence a g(x). Em verde são alguns pares ordenados 
(-2,2), (-1,1), (1,1), (2,2) e o par ordenado do centro é (0,2).
Figura 9: Gráfico de g(x)
Vamos agora avaliar o domínio desta função. O conjunto de todos os valores possíveis
de x é dado por (-∞,+∞), ou seja, todos os elementos do conjunto dos números reais. A
imagem de g(x) é dada por todos os números maiores que zero com exceção do 0, ou
seja, (0,+∞). O zero não entra por causa da condição estabelecida para g(x) sendo g(x)
= 2 quando x = 0.
Dito tudo isso, podemos agora ver como aplicaremos os limites em torno do x=0.
Primeiro devemos lembrar que só existirá se – e somente se – os limites
laterais em torno de 0 forem iguais, ou seja, . Só de
olhar o gráfico já percebemos que se aproximarmos a função de zerotanto pela
esquerda quanto pela direita, os dois limites laterais darão o valor 0. Portanto, 
existe. Ou se escrevermos em forma de limite, teremos a expressão abaixo.
lim
x→0
g (x)
lim
x→0positivo
g (x) = lim
x→0negativo
g (x)
lim
x→0
g (x)
lim
x→0positivo
x = lim
x→0negativo
(−x)
0 = 0
56
Acesse o link: Disponível aqui
Leia um pouco mais sobre limites laterais.
Para gabaritar, você deve saber distinguir bem o que é um limite se
aproximando pela esquerda ou pela direita.
57
https://www.somatematica.com.br/superior/limites/limites3.php
07
Limites Infinitos
Agora que já dominamos uma série de propriedades e conseguimos estudar alguns
tipos de funções mais a fundo, iremos para o próximo passo. Neste caso, o próximo
passo é estudar funções que possuem um comportamento curioso: elas tendem ao
infinito quanto mais próximos de um ponto chegarmos.
Para este exemplo, vamos usar a seguinte função:
Vamos construir nossa tabela clássica e ver o que acontece nas proximidades do
número 2, visto que 2 não existe solução, pois ficaríamos com 0 no denominador. Nas
Tabelas 7 e 8 vemos que quanto mais próximos chegarmos de 2, independentemente
se pela esquerda ou pela direita, o número tende a aumentar infinitamente, já que
podemos nos aproximar infinitamente.
f (x) =
3
(x − 2)2
Tabela 7 – Função f(x) para valores maiores que 2
Fonte: o autor.
x
3 3
2,5 12
2,25 48
2,1 300
2,01 30000
2,0001 300000000
f (x) = 3
(x−2)
2
59
Figura 10: Gráfico de f(x)
Fonte: o autor.
Tabela 8 – Função f(x) para valores menores que 2
Fonte: o autor.
x
1 3
1,5 12
1,75 48
1,9 300
1,99 30000
1,9999 300000000
f (x) = 3
(x−2)
2
60
A Figura 10 é a representação gráfica desta função. Percebam que a vertical no ponto
dois não existe, porém, sabemos pelas Tabelas 7 e 8 que quanto mais próximos
chegarmos de dois, mais o valor cresce infinitamente.
Usando as propriedades de limites que vimos até aqui, teremos as expressões abaixo:
Tanto a aproximação pela esquerda quanto pela direita dão uma tendência a valores
no infinito. Já que os dois limites existem e são iguais o também
existe. Provamos aqui a existência deste tipo de limite. O mesmo poderá ocorrer para
uma função que decresça infinitamente. O único detalhe que muda é o símbolo do
infinito no final, sendo representado da seguinte forma
lim
x→2positivo
[ ] = +∞3
(x − 2)
2
lim
x→2negativo
[ ] = +∞3
(x − 2)
2
lim
x→2
[ ] = +∞3
(x−2)
2
:
lim
x→a
g (x) = −∞
Teoremas
Se r for um número inteiro positivo qualquer, então teremos as seguintes expressões.
Sendo que na segunda expressão temos alguns condicionantes. Será menos infinito
se r for ímpar e mais infinito se r for par. Vamos fazer um teste para ver como o
teorema acima funciona, dados e . Na Figura 11, temos o
Gráfico das duas funções, sendo f(x) em verde e g(x) em laranja.
lim
x→0positivo
[ ] = +∞1
xr
lim
x→0negativo
[ ] = ±∞1
xr
f (x) = 1
x2
g (x) = 1
x3
61
Figura 11: F(x) em verde e G(x) em laranja
Fonte: o autor.
Percebam que para os dois casos apresentados, sempre que nos aproximamos de 0
pela direita a função tende ao infinito. A mudança ocorre quando nos aproximamos
de 0 pela esquerda, quando r é um número par, a função tende a +∞ e quando r é
ímpar a função tende a -∞.
O próximo teorema é aplicado quando temos uma divisão de duas funções. Se a for
um número real qualquer e se e onde c é uma
constante diferente de zero, teremos a expressão abaixo:
É fácil de entender este teorema: basta fazer uma divisão de um número qualquer
por um número tão próximo de zero quanto quisermos. A resposta tenderá a +∞ ou a
-∞ dependendo dos sinais envolvidos nas funções f(x) e g(x).
Outro teorema importante diz que se temos um limite tendendo ao infinito positivo
ou negativo e se somarmos a uma função cujo limite é uma constante o resultado da
soma dos limites ainda será infinito positivo ou negativo dependendo da primeira
lim
x→a
f (x) = 0 lim
x→a
g (x) = c
lim
x→a
[ ] = ±∞
g (x)
f (x)
função.
62
Se o primeiro limite acima der -∞, o limite da soma das duas funções dará -∞.
O próximo teorema é análogo ao anterior e diz respeito à multiplicação de duas
funções. Vamos olhar as expressões abaixo.
Dependendo dos sinais da constante e do primeiro limite, a multiplicação de f(x) vezes
g(x) poderá ser menos ou mais infinito. Basta você testar em sua calculadora um
número qualquer vezes um número tão grande quanto quisermos, a resposta vai
continuar sendo um número grande e o sinal vai depender do sinal dos números que
colocou. Lembrando sempre que este número qualquer c não pode ser zero.
A última definição que nos falta aqui é a de assíntota vertical. Podemos traçar uma
reta vertical nos gráficos acima onde o limite tende ao infinito. Vamos usar um dos
gráficos já desenhados aqui. Na Figura 12, temos a assíntota vertical no ponto x=2 que
é onde a função tende ao infinito. Podemos desenhar uma assíntota vertical sempre
que um limite inferior ou superior de uma função f(x) tender ao infinito positivo ou
negativo em um ponto determinado no eixo x.
lim
x→a
f (x) = +∞
lim
x→a
g (x) = c
lim
x→a
[f (x) + g (x)] = +∞
lim
x→a
f (x) = ±∞
lim
x→a
g (x) = c
lim
x→a
[f (x) g (x)] = ±∞
63
Figura 12: Assíntota vertical em vermelho
Fonte: o autor.
Exercícios
a) Calcule os limites das funções
Resposta:
lim
x→2positivo
[ ]1
x + 2
lim
x→2positivo
[ ]1
x − 2
lim
x→2positivo
[ ] = 1/4 = 0, 251
x + 2
64
Como neste caso a aproximação do número 2 acontece por valores maiores que 2,
como, por exemplo, 2,00000001 a resposta tende a dar +∞.
b) Calcule a soma e a multiplicação dos dois limites calculados em a.
Resposta:
Se um limite já tende a mais infinito, a soma dos dois tenderá também a mais infinito,
visto que ¼ mais um número muito grande é um número muito grande.
A mesma coisa acontece quando multiplicamos dois limites e um deles já tende ao
infinito. Basta seguir as regras de sinais da multiplicação.
lim
x→2
positivo
[ ] = +∞1
x − 2
lim
x→2
positivo
[ + ] = +∞1
x + 2
1
x − 2
lim
x→2
positivo
[ ] = +∞1
x + 2
1
x − 2
Acesse o link: Disponível aqui
No link abaixo encontrará mais explicações a respeito dos limites infinitos.
65
https://www.infoescola.com/matematica/limites-infinitos/
08
Limites no Infinito
Na aula anterior, estudamos funções que em um determinado ponto em x a função
explode, podendo ir ao infinito positivo ou ao infinito negativo, dependendo das
condições da função. Mostramos também alguns teoremas a respeito da
manipulação dessas funções e como podemos operar com elas.
Agora, estudaremos o que acontece com uma função quando fazemos x tender ao
infinito. Ou seja, agora vamos trabalhar com o domínio da função e não com a
imagem.
Como sempre, vamos escolher uma função para analisarmos o que acontece em
forma de tabela.
Percebemos um comportamento muito interessante da função f(x). Quanto mais
aumentamos x, mais a função se aproxima do valor 2. O mesmo acontece quando
diminuímos o valor de x infinitamente. Deem uma boa olhada nas Tabelas 9 e 10 e
verifiquem o comportamento da função f(x) tanto à direita de 0 quanto à esquerda de
0.
f (x) =
2x2
x2 + 1
67
Tabela 9 – Valores de x tendendo ao infinito positivo
Fonte: o autor.
x
0 0
1 1
2 1,6
3 1,8
10 1,980198
100 1,999800
1000 1,999998
10000 1,99999998
f (x) = 2x
2
x2+1
68
Tabela 10 – Valores de x tendendo ao infinito negativo
Fonte: o autor.
x
0 0
-1 -1
-2 -1,6
-3 -1,8
-10 -1,980198
-100 -1,999800
-1000 -1,999998
-10000 -1,99999998
f (x) = 2x
2
x2+1
Também é possível traçar o gráfico da função apresentada. Na Figura 13, está
representado um esboço do mesmo. Em verde temos a função, em vermelho, os
eixos cartesianos e em preto, uma assíntota horizontal.
Estudado o comportamento desta função, podemos resumir a informação com as
expressões abaixo:
lim
x→+∞
[ ] = 2
2x2
x2 + 1
lim
x→−∞
[ ] = −22x
2
x2 + 1
69
Figura 13: Esboço do gráfico de F(x) em verde e assíntota horizontal em preto
Fonte: o autor.
Vamos formalizarum pouco mais. Percebam algumas condições para que isto possa
ocorrer. Devemos pensar em dois intervalos para o domínio das funções em geral. O
primeiro intervalo para o domínio deve ser (-∞,c) sendo c uma constante qualquer
que não precisa ser necessariamente o valor zero, como no exemplo acima. O
segundo intervalo para o domínio será (c,+∞). Portanto, primeiramente, deve ser
possível substituir valores tão pequenos quanto quisermos e/ou valores tão grandes
quanto quisermos.
Agora, poderemos escrever um teorema a respeito desse tipo de limite.
Se r for um inteiro positivo qualquer, poderemos representar as expressões abaixo.
A função acima já foi utilizada em aulas passadas, mas não tínhamos estudado sobre
ela no infinito.
Vamos, portanto, representar este novo estudo pelas Tabelas 11 e 12.
lim
x→+∞
[ ] = 0
1
x
r
lim
x→−∞
[ ] = 0
1
x
r
70
Tabela 11 – Valores de x tendendo ao infinito positivo
Fonte: o autor.
x
0 Não existe
1 1
2 0,25
3 0,11
10 0,01
100 0,0001
1000 0,000001
10000 0,00000001
f (x) = 1
x2
71
Tabela 12 – Valores de x tendendo ao infinito negativo
Fonte: o autor.
x
0 0
-1 1
-2 0,25
-3 0,11
-10 0,01
-100 0,0001
-1000 0,000001
-10000 0,00000001
f (x) = 1
x2
Na Figura 14, podemos comprovar o ocorrido com os valores quando x tende a um
valor infinito negativo e quando ele tende a um valor infinito positivo.
72
Figura 14: 
Fonte: o autor.
f (x) = 1
x2
Exercícios
a) Calcule o limite abaixo utilizando tudo o que aprendeu até agora.
Resposta:
Para que não tenhamos que fazer uma tabela para o limite acima, primeiro
precisaremos modificar aquela fração utilizando operações matemáticas básicas.
lim
x→+∞
[ ]4x − 3
2x + 5
= =
4x − 3
2x + 5
x(4 − )3
x
x(2 + )5
x
4 − 3
x
2 + 5
x
73
Aplicando o limite individualmente, teremos:
b) Calcule o limite abaixo.
Resposta:
O procedimento aqui é o mesmo. Simplificar a fração para podermos aplicar os
limites usando as propriedades aprendidas até agora.
Aplicando os limites teremos como resposta o valor 0. Vocês conseguirão fazer o
passo a passo.
lim
x→+∞
4 − lim
x→+∞
3 lim
x→+∞
[ ]3
x
lim
x→+∞
2 − lim
x→+∞
5 lim
x→+∞
[ ]3
x
= = 2
4 − 3 ∗ 0
2 − 5 ∗ 0
4
2
lim
x→+∞
[ ]
2x2 − x + 5
4x3 − 1
x( − + )2
x
1
x
2
5
x
3
x(4 − )1
x
3
Acesse o link: Disponível aqui
No link abaixo, você encontrará mais explicações a respeito dos limites no
infinito.
74
https://www.e-scola.edu.gov.cv/index.php?option=com_rea&id_disciplina=1&id_materia=2&id_capitulo=85&Itemid=168
Muitas vezes, é importante estudar o que acontece fisicamente quando
substituímos um valor muito grande na equação. Imagine que você tenha
em mãos uma função de crescimento bacteriano que tende a se estabilizar
no infinito. É importante saber qual é o valor da quantidade de bactérias
quando isto acontecer.
75
09
Continuidade
Olá!
Já aprendemos a trabalhar com vários tipos de limites e suas propriedades. Agora,
começaremos a aplicar os limites para investigar determinados pontos de uma função
e nas próximas aulas desenvolver operadores novos.
O primeiro detalhe que investigaremos em uma função é se ela é contínua ou não.
Saber se uma função é contínua vai ser útil nas aulas posteriores.
Vamos começar analisando um problema que foi resolvido em aulas anteriores.
Dado f(x) onde 3x será válido no intervalo 0≤x≤10 e 2,5x será válido para x>10. O
esboço da função f(x) está representado na Figura 15. Quando estudamos esta função
anteriormente, vimos que próximo ao valor 10 existem dois limites diferentes, o limite
superior é igual a 25 e o limite inferior no ponto 10 vale 30. Podemos afirmar, então,
que f(x) é descontínua no ponto 10.
No ponto 10, não existe limite para f(x) quando x tende a 10 já que seus limites
laterais não são iguais. Basta olhar a Figura 15 que percebemos que a linha vermelha
não continua após o ponto 10, ao invés disso, surge uma nova linha em outros pares
ordenados.    
Temos aqui um pedaço da definição de descontinuidade.
77
Figura 15: F(x) descontínua no ponto x=10
Fonte: o autor.
Para aprendermos o outro pedaço da definição de continuidade, vamos olhar outra
função.
Simplesmente, olhando para a função acima, percebemos que x nunca poderá valer 1
visto que não existe divisão por zero. Se dermos uma olhada no gráfico desta função,
confirmaremos essa inexistência do ponto.
Vamos agora à definição formal de continuidade.
Uma função qualquer só será contínua em um ponto “a” se – e somente se –  cumprir
as três exigências abaixo:
f (x) =
x + 5
x − 1
78
Figura 16: Gráfico de f(x) onde não há a existência de x=1
Fonte: o autor.
Deve existir
 Deve existir
 A igualdade deve existir
Portanto, se uma ou mais de uma das afirmações acima não for verificada, a função é
descontínua no ponto “a”.
f (a)
lim
x→a
f (x)
lim
x→a
f (x) = f (a)
79
Teoremas
Alguns teoremas decorrem da definição de continuidade. Se f(x) e g(x) forem
contínuas em um ponto a, então os itens abaixo se verificam.
f(x)+g(x) será contínua em a
f(x)-g(x) será contínua em a
f(x)g(x) será contínua em a
f(x)/g(x) será contínua em a, desde que a seja diferente de zero.
Uma função polinomial é contínua em qualquer número.
Funções do tipo axn+bxn-1+cxn-2+...+dx0
Uma função racional é contínua em todos os números de seu domínio.
Aquela que pode ser escrita como uma fração de polinômios.
Se n for um inteiro positivo, e dada a função abaixo:
Se n for ímpar, f(x) será contínua em qualquer número.
Se n for par, f(x) será contínua em todo número positivo.
f (x) = n√x
Exercícios
a) Verifique as condições de continuidade para a função abaixo nos pontos
indicados.
 se x diferente de 1
 se x = 1
Verificar no ponto x=1
f (x) = 2x + 4
f (x) = 25
80
Resposta:
Para fazer esta questão basta aplicar uma a uma a definição de continuidade
desenvolvida nesta aula.
A primeira diz que f(a) deve existir.
Vamos verificar então se f(1) existe.
f(1) = 25, portanto, existe.
A segunda diz que deve existir. Olhando a função devemos pensar a
respeito das proximidades de 1 com exceção do próprio 1. Para fazer os limites
laterais da função acima, verificamos que os dois existem e são iguais.
Portanto,
A segunda condição também está satisfeita.
Vamos verificar a última condição:
Portanto, a terceira condição não está satisfeita. Logo, a função f(x) não é contínua
quando x =1.
b) Verifique em quais pontos da função abaixo não há continuidade.
lim
x→a
f (x)
lim
x→1positivo
[2x + 4] = 6
lim
x→1negativo
[2x + 4] = 6
lim
x→1
2x + 4 = 6
lim
x→a
f (x) = f (a)
lim
x→1
2x + 4 = 6 ≠ f (1) = 25
f (x) =
x4 + 1
x2 − 16
81
Resposta:
O domínio da função acima são todos os números reais exceto aqueles para os quais
x²-16=0, ou seja, os números 4 e -4. Dado que f(x) é uma função racional ela será
contínua em todos os outros valores.
Portanto, os dois pontos são 4 e -4.
Acesse o link: Disponível aqui
No link abaixo, você encontrará mais explicações a respeito da continuidade
de funções.
Muitos problemas físicos não apresentam continuidade em suas funções,
como, por exemplo, o acionamento elétrico de algum dispositivo. Só há
basicamente duas condições: ligado e desligado. Quando o sistema passa de
desligado para ligado a função do sinal sofre um salto. Saber que existem
essas possíveis descontinuidades é interessante para aplicar ou não
conceitos das aulas futuras.
82
http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/popups/continuidade.htm
10
Continuidade II
Nesta aula, vamos abrir o assunto sobre alguns detalhes a respeito de continuidade,
que ainda não mencionamos e, feito isso, estaremos preparados para entrar em um
dos assuntos mais importantes de cálculo.
Esta aula será dividida em basicamente dois tópicos: o primeiro será continuidade de
funções compostas, e o segundo continuidade de funções trigonométricas.
Continuidade de Funções
Compostas
Primeiramente, vamos definir aqui uma função composta. Dada uma função f(x) e
outra g(x), poderemos incorporar g(x) em f(x) usando a simbologia abaixo.
Temos acima umafunção composta. Simples assim. Vale comentar aqui sobre seu
domínio. O domínio de (f o g) é o conjunto de todos os números x no domínio de g(x)
tal que g(x) esteja no domínio de f(x).
Vamos utilizar as seguintes funções para ilustrar o que foi dito.
O domínio de g(x) é dado pelo intervalo (-∞,+∞) que está dentro do domínio de f(x) que
possui um intervalo [0,+∞). Portanto, podemos fazer (fog) que possui o   seguinte
intervalo [-3,3] de domínio, visto que .
Apresentada aqui a função composta, vamos a seus teoremas.
Se e se a função f(x) for contínua em b, poderemos escrever a
seguinte sentença.
(fog) (x) = f (g (x))
f (x) = √x
g (x) = 9 − x2
(fog) (x) = f (g (x)) = √9 − x2
9 − x2 ≥ 0
lim
x→a
g (x) = b
84
Vamos testar com as funções dadas acima. Primeiro, calcula-se = 
. Portanto, b=5, calculando f(b) temos que equivale à mesma
coisa que . Confirmado o teorema.
Se a função g(x) for contínua em “a” e a função f(x) for contínua em g(a), então a
função composta (fog) será contínua em a.
Vamos agora para algumas definições.
Uma função é contínua em um intervalo aberto se e somente se ela for contínua
em todos os números do intervalo aberto.
A função f(x) será contínua à direita em um número “a” se – e somente se –
forem satisfeitas todas as condições seguintes.
 Deve existir
 Deve existir
A mesma coisa vale para verificar se f(x) é contínua à esquerda de um número
“a”. Ou seja, as três condições acima com o ajuste para limite inferior devem ser
válidas.
Uma função cujo domínio inclui o intervalo fechado [a,b] será contínua em [a, b]
se e somente se ela for contínua no intervalo (a,b), contínua à direita em “a” e
contínua à esquerda em “b”.
Uma função cujo domínio inclui o intervalo semiaberto [a,b) será contínua em
[a,b) se e somente se ela for contínua no intervalo aberto (a,b) e contínua à
direita em “a”.
Vale o mesmo para (a, b] com as mudanças de referências cabíveis.
E, por fim, o teorema do valor intermediário.
Se a função f(x) for contínua no intervalo fechado [a,b], e se , então,
para todo número k entre f(a) e f(b) existirá um número c entre “a” e “b” tal que
f(c) = k.
lim
x→a
(fog) (x) = f (b) = lim
x→a
f (g (x)) = f (lim
x→a
g (x))
lim
x→a
g (x) = b
lim
x→2
9 − x2 = 5 √5
lim
x→2
√9 − x2 = √5
f (a)
lim
x→apositivo
f (x)
lim
x→apositivo
f (x) = f (a)
f (a) ≠ f (b)
85
Continuidade das Funções
Trigonométricas
Agora, falaremos um pouco das funções trigonométricas. Só para fazer uma breve
introdução a respeito, vamos lembrar um pouco sobre algumas nomenclaturas. Aqui
falaremos de medidas de ângulos em radianos.
Só para deixar claro, o perímetro de uma circunferência é dado por 2πR. Em que R é o
raio da circunferência. Se dividirmos 2πR por R, ficaremos com o que conhecemos
como 2π radianos, que significa basicamente uma volta completa em uma
circunferência. Com isso chegamos à conclusão de que 360º equivalem a 2π radianos,
180º equivalem a π radianos, 90º equivalem a π/2 radianos e 0º a 0 radiano.
Relembrado este conceito vamos ao que interessa em cálculo. Aqui será utilizada e
muito a seguinte operação.
Primeiro, vamos demonstrar a resposta usando a nossa famosa tabela. Lembrando
que “t” está em radianos. Use, portanto, sua calculadora em radianos e não em graus.
lim
t→0
[ ]sent
t
86
Tabela 11 – Valores de x tendendo a 0
Fonte: o autor.
x
0,5 0,95885
0,4 0,97355
0,3 0,98507
0,2 0,99335
0,1 0,99833
0,01 0,99998
0,001 0,999999833
0,0001 0,999999998
f (x) = sent
t
87
Tabela 12 – Valores de x tendendo a 0
Fonte: o autor.
x
-0,5 0,95885
-0,4 0,97355
-0,3 0,98507
-0,2 0,99335
-0,1 0,99833
-0,01 0,99998
-0,001 0,999999833
-0,0001 0,999999998
f (x) = sent
t
Portanto, chegamos à resposta pelo simples teste na calculadora. O limite acima
quando “t” tende a 0 vale 1, mesmo que o ponto t=0 não exista. Vamos agora aos
teoremas.        
Suponha que as funções f(x), g(x), e h(x) estejam definidas em algum intervalo
aberto I contendo “a”, exceto, possivelmente, no próprio ponto a e que
f(x)≤g(x)≤h(x) para todo x em I, tal que x seja diferente de “a”. Suponha também
que e ambos existam e tenham o mesmo valor L. Então, 
 existe e é igual a L. Este teorema é chamado popularmente como
teorema do “sanduíche”.
A função seno é contínua em 0.
A função cosseno é contínua em 0.
       
lim
x→a
f (x) lim
x→a
h (x)
lim
x→a
g (x)
88
As funções seno e cosseno são contínuas em todos os números reais.
A tangente, cotangente, secante e cossecante são funções contínuas em seus
domínios.
lim
t→o
[ ] = 0
1 − cos (t)
t
Exercícios
a) Determine os valores em que f(x) é contínua.
Resposta:    
Para fazer este exercício, primeiro devemos enxergar a função acima como a junção
de duas outras funções.
Feito isso, podemos dizer que f(x) = h(g(x)), assim como foi explicado nesta aula. Agora
analisaremos as funções separadamente.
A função g(x) é contínua em todo o seu domínio, pois ela é polinomial e toda função
polinomial é contínua.
A função h(x) é contínua para todo número real positivo.
Portanto, f(x) será contínua para todo g(x)>0.
f (x) = √16 − x2
h (x) = √x
g (x) = 16 − x2
16 − x2 > 0
x2 < 16
|x| < 4
−4 < x < 4
89
Como resposta, temos que o intervalo onde a função f(x) é contínua é (-4,4).  
b) Ache o limite se existir.
Resposta:
Para funções trigonométricas, devemos modificá-las de tal forma que apareçam
limites conhecidos. Para isso devemos manipular a fração apresentada. Só temos
opção de multiplicarmos em cima por 3/3 e embaixo por 5/5. Aí teremos:
Agora, para aparecer o x embaixo de cada uma delas sem alterar a sentença acima
faremos a seguinte multiplicação:
Arrumando, teremos a expressão abaixo:
Aplicando o limite de x tendendo a zero tanto para a fração de cima como para a
fração de baixo chegaremos à seguinte expressão:
Portanto, o limite será dado da seguinte forma:          
lim
x→0
[ ]
sen (3x)
sen (5x)
∗ sen (3x)3
3
∗ sen (5x)5
5
[ ∗ sen (3x)] ∗ [ ]3
3
1
x
[ ∗ sen (5x)] ∗ [ ]5
5
1
x
3 ∗
sen(3x)
3x
5 ∗
sen(5x)
5x
3 ∗ 1
5 ∗ 1
lim
x→0
[ ] =
sen (3x)
sen (5x)
3
5
90
Acesse o link: Disponível aqui
No link abaixo, você encontrará mais explicações a respeito da continuidade
de funções trigonométricas.
Muitos problemas físicos ocorrem em formato de funções trigonométricas.
Em Cálculo II, estudaremos algumas delas. Um exemplo de fenômeno que
acontece sobre funções trigonométricas são os fenômenos de vibração
mecânica. A vibração nada mais é que um movimento que se repete ao
longo de um tempo. Esses movimentos repetitivos ficam muito bem
modelados a partir dos gráficos de seno e cosseno. Entender o
comportamento dessas funções é fundamental para modelar os problemas
mencionados.
91
https://www.e-scola.edu.gov.cv/index.php?option=com_rea&id_disciplina=1&id_materia=2&id_capitulo=92&Itemid=175
11
Derivada e 
Reta Tangente
Finalmente chegamos a uma das partes mais importantes do cálculo. Nesta aula,
basicamente, aplicaremos o que conhecemos de limite para extrair informações das
funções que não conseguiríamos sem a noção de limite.
Para entendermos como a derivada funciona usaremos um gráfico de uma função
f(x).
O gráfico da função f(x) está representado na Figura 17. O primeiro passo agora é
traçar uma reta secante onde quisermos. Lembrando que uma reta secante
basicamente é uma reta que vai cruzar dois pontos quaisquer de nosso gráfico. Para
ficar mais fácil de entender o raciocínio traçaremos a reta secante como indica a
Figura 18.
Vale lembrar que poderíamos escolher outros dois pontos quaisquer. O que
queremos aqui é estudar o que acontece à medida que aproximamos o segundo
ponto que está no par ordenado (1,1) do primeiro ponto, que está no par ordenado
(0,0). Para exemplificar o que acontece, a Figura 19 apresenta retas secantes com o
segundo par ordenado se aproximando do primeiro.
f (x) = x2
93
Figura 17: Gráfico de f(x) = x²
Fonte: o autor.
Figura 18: Gráfico de f(x) com reta secante nos pares ordenados (0,0) e (1,1)
Fonte: o autor.
94
Figura 19: Retassecantes com os pares ordenados se aproximando, sendo a verde a
mais próxima
Fonte: o autor.
Na Figura 19, temos a aproximação dos pares ordenados. Percebam que existe uma
tendência a cada vez que aproximamos os pares ordenados. Que tal agora
aproximarmos o máximo que der mantendo os pares ordenados diferentes.
Chegaremos ao desenho da Figura 20.
Na Figura 20, percebemos que os pontos estão tão próximos, tão próximos, que
praticamente estamos em cima de um ponto só (0,0). Quando isso acontece, a reta
que era secante agora é uma reta tangente ao ponto (0,0).
Agora, partiremos para a formulação do que foi dito. Primeiro, estabeleceremos dois
pares ordenados. O primeiro em um ponto (x,f(x)), ou seja, dada uma função f(x)
qualquer existirá uma resposta para cada x escolhido. O segundo ponto vamos
escrever em função do primeiro ponto. Portanto, ficaremos com o segundo ponto
escrito da seguinte forma: (x+Δx,f(x+ Δx)).
Na Figura 21, temos uma representação genérica destes dois pontos. Dado que a
fórmula da tangente é a divisão do cateto oposto pelo cateto adjacente, ficamos com
a seguinte fórmula:
95
Figura 20: Gráfico de f(x) com reta tangente no par ordenado (0,0)
Fonte: o autor.
tangente =
f (x + Δx) − f (x)
Δx
96
Figura 21: Pares ordenados (x, f(x)) e (x + Δx, f(x + Δx))
Fonte: o autor.
Na Figura 22, temos a representação da fórmula apresentada. Agora já temos a
fórmula da tangente escrita em função dos pares ordenados e já temos a
representação gráfica do problema.
97
Figura 22: Representação do triângulo formado pelos pares ordenados e seus
respectivos valores em verde
Fonte: o autor.
Só nos falta um detalhe: queremos que os dois pontos se aproximem o máximo
possível sem se coincidirem. Para isso aplicaremos o seguinte limite:
Portanto, a famosa derivada é dada pela fórmula acima que podemos representar da
seguinte maneira:
Lemos a expressão acima da seguinte maneira: “a derivada da função f(x) é dado pelo
limite da função [f(x+ Δx) -f(x)]/Δx quando Δx tende a zero”.
Existe outra forma de escrevermos a mesma coisa.
lim
Δx→0
[ ]
f (x + Δx) − f (x)
Δx
f ′ (x) = lim
Δx→0
[ ]
f (x + Δx) − f (x)
Δx
= lim
Δx→0
[ ]
dy
dx
Δy
Δx
98
Neste caso,  Δy = f(x+ Δx)-f(x).
No final, temos a mesma coisa escrita de forma diferente. Veremos mais para frente
durante o curso, que a segunda maneira de escrever a derivada será muito útil em
inúmeros casos.
Exercícios
a) Ache a derivada das seguintes funções
Resposta:          
Para fazer, basta aplicar o conceito de limite.          
Vamos primeiro trabalhar com as substituições necessárias.
f (x) = x2 − 3
f (x) = x2 + x − 3
f ′ (x) = lim
Δx→0
[ ]
f (x + Δx) − f (x)
Δx
[(x + Δx)2 − 3] − (x2 − 3)
Δx
x2 + 2xΔx + Δx2 − 3 − x2 + 3
Δx
2xΔx + Δx2
Δx
2xΔx + Δx2
Δx
f ′ (x) = lim
Δx→0
[2x + Δx]
f ′ (x) = 2x
99
Resposta da segunda derivada:          
Para fazer, basta aplicar o conceito de limite. Vamos usar a outra forma:        
Vamos primeiro trabalhar com as substituições necessárias.
= lim
Δx→0
[ ]dy
dx
f (x + Δx) − f (x)
Δx
[(x + Δx)2 + (x + Δx) − 3] − (x2 + x − 3)
Δx
x2 + 2xΔx + Δx2 + x + Δx − 3 − x2 − x + 3
Δx
2xΔx + Δx2 + Δx
Δx
2x + Δx + 1
= lim
Δx→0
[2x + Δx + 1]
dy
dx
= 2x + 1
dy
dx
Acesse o link: Disponível aqui
No link abaixo, você encontrará mais explicações a respeito da derivada.
100
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/introducao-ao-estudo-das-derivadas.htm
Na aula 16, será apresentado um problema utilizando as derivadas. Logo
chegaremos lá.
101
12
Derivada II
Olá a todos!
A primeira conclusão a que chegaremos aqui a respeito da derivada é que ela é uma
operação, ou seja, assim como as outras operações, poderemos aplicá-la.
A segunda conclusão é que a definição de derivada passa por todas as regras de
limites que trabalhamos até agora, portanto, só existirá a derivada se o limite da
derivada existir.
A terceira é consequência da segunda. Se uma função qualquer é derivável em um
ponto, ela é contínua naquele ponto.
A partir dessas conclusões mais simples, serão apresentadas nesta aula algumas
regras de derivação para que a derivada não tenha que ser feita toda hora a partir
dos limites.
Teoremas sobre Derivação de
Funções Algébricas
Para as primeiras regras apresentadas aqui, usaremos como exemplo a função do
final da Aula 11, que já derivamos.
Acima, temos a função f(x) e sua respectiva derivada. À medida que formos estudando
as regras olharemos para f(x) para verificar.
O primeiro teorema diz que qualquer constante quando derivada é igual a zero.
f (x) = x2 + x − 3
f ′ (x) = 2x + 1
f (x) = c
f ′ (x) = 0
103
Vamos olhar na função que já conhecemos e ver se o primeiro teorema se aplicou. A
única constante da função era o número (-3). Vejam que na resposta o número (-3)
sumiu, portanto, virou zero. Verificamos este teorema por meio do exemplo.
O segundo teorema é baseado na operação de potência.
Vamos conferir na nossa função exemplo. Tínhamos a parcela x² e a parcela x¹. A
parcela x² se transformou em 2x. Escrevendo abaixo para ficar mais fácil teremos as
seguintes fórmulas:
A mesma coisa ocorre com a seguinte parcela:
Portanto, o teorema se aplicou.
O terceiro teorema diz que quando temos uma constante multiplicando uma função a
constante permanece inalterada.
Para exemplificar, usaremos a seguinte função:
f (x) = xn
f ′ (x) = nx(n−1)
x2
2x2−1
2x
x1
1x(1−1)
1
f (x) = nf (x)
f ′ (x) = nf ′ (x)
f (x) = 3x
f ′ (x) = lim
Δx→0
[ ]
f (x + Δx) − f (x)
Δx
104
, aplicando o limite teremos como resposta o valor 3.
Portanto, também verificamos o terceiro teorema por meio de um exemplo.
O quarto teorema é basicamente uma consequência dos anteriores e pode ser escrito
da seguinte forma:
Vejam que a constante permanece inalterada, e a derivada mantém a mesma regra
do segundo teorema.
[3 (x + Δx)] − (3x)
Δx
3Δx
Δx
f ′ (x) = 3 = 3f ′ (x)
f (x) = cxn
f ′ (x) = cnx(n−1)
Teoremas de Derivação
Quando Temos Operações com
Funções
Assim como temos regras para aplicar a derivada de uma função, vamos ter também
regras para derivar a soma, multiplicação e divisão de diferentes funções.
Vamos com a mais simples delas. Dadas duas funções, f(x) e g(x) podemos fazer as
seguintes operações:
Este teorema simplesmente afirma que quando temos duas funções a derivada da
soma das duas dá o mesmo valor que derivar cada uma delas separadamente e
depois somar.
h (x) = f (x) + g (x)
h′ (x) = f ′ (x) + g′ (x)
105
Vamos usar as nossas funções de sempre.
Somando f(x) com g(x) teremos h(x) = 2x²+x-6. Agora, vamos verificar o teorema.
Portanto, vimos a aplicação do teorema.
O segundo teorema é o da multiplicação de duas funções.
Para este teorema não tem jeito, é preciso fazer umas contas a mais. Mas se
pensarmos bem, ainda sim, é um bom corte de caminho.
O próximo teorema também vai exigir algumas contas. É o da divisão de duas
funções.
A única condição para o teorema mostrado anteriormente é que g(x) deve ser
diferente de zero.
f (x) = x2 + x − 3
f ′ (x) = 2x + 1
g (x) = x2 − 3
g′ (x) = 2x
h′ (x) = f ′ (x) + g′ (x)
4x + 1 = 2x + 1 + 2x
h (x) = f (x) g (x)
h′ (x) = f (x) g′ (x) + f ′ (x) g (x)
h (x) =
f (x)
g (x)
h′ (x) =
g (x) f ′ (x) − f (x) g′ (x)
[g (x)]
2
106
Exercícios
a) Derive as funções a seguir utilizando os teoremas.
         
Resposta:
Para resolver o problema acima de forma direta, basta aplicar os teoremas
apresentados a cada parcela da função. Podemos representar da seguinte maneira:
O que está escrito acima é que a derivada de f(x) será igual à derivada de cada uma
das parcelas. Aplicando os teoremas individualmente, teremos a seguinte resposta.
Resposta:
Utilizando o mesmo raciocínio, chegaremos à resposta abaixo.
b) Derive a divisão de f(x) por g(x).
Resposta:
Para esta questão basta aplicarmos o teorema da divisão.
f (x) = x8 + x4 − 3x2 + 2
f ′ (x) = [x8] + [x4] − [3x2] + [2]
d
dx
d
dx
d
dx
d
dx
f ′ (x) = 8x7 + 4x3 − 6x1 + 0
f ′ (x) = 8x7 + 4x3 − 6x
g (x) = 3x2
g′ (x) = 6x
h′ (x) =
3x2