Uma equação foi descrita da seguinte maneira: (k² – 4) x³ + ( k – 2 )x² + 7x - 8 = 0 , o valor de k é ?

Para encontrar o valor de k, precisamos resolver a equação dada.

Começamos dividindo toda a equação por (k² - 4), que é o fator comum do primeiro termo:

x³ + [(k - 2)/(k² - 4)]x² + [7/(k² - 4)]x - [8/(k² - 4)] = 0

Em seguida, podemos tentar fatorar a equação. Uma vez que o coeficiente de x³ é 1, podemos procurar por raízes inteiras e tentar aplicar o Teorema de Raiz Racional para encontrar fatores. As possíveis raízes são os divisores de 8, que são ±1, ±2, ±4 e ±8, e os divisores de 1, que são ±1. Testando cada uma dessas possibilidades, encontramos que x = 2 é uma raiz da equação.

Isso significa que (x - 2) é um fator da equação. Podemos usar a divisão polinomial para encontrar o outro fator:

x³ + [(k - 2)/(k² - 4)]x² + [7/(k² - 4)]x - [8/(k² - 4)] = (x - 2)(ax² + bx + c)

Multiplicando os dois fatores e comparando os coeficientes, encontramos:

a = 1

b = (k - 2)/(k² - 4) + 2

c = 7/(k² - 4) - 2(b/(k² - 4)) + 16/(k² - 4)

Para que o fator ax² + bx + c seja válido, seus coeficientes devem ser números reais. Isso implica que o denominador (k² - 4) não pode ser igual a zero. Portanto, k não pode ser igual a ±2.

Substituindo x = 2 na equação original, obtemos:

4(k² - 4) + 2(k - 2) + 7(2) - 8 = 0

Isso simplifica para:

4k² - 4k - 16 = 0

Dividindo ambos os lados por 4, obtemos:

k² - k - 4 = 0

Usando a fórmula quadrática, encontramos duas soluções possíveis:

k = (1 ± √17)/2

No entanto, devemos descartar a solução k = (1 - √17)/2 porque ela faz com que o denominador (k² - 4) seja igual a zero. Portanto, a única solução possível é:

k = (1 + √17)/2

Resposta: k = (1 + √17)/2.