Considere a cônica representada pela equação 4????2 + ????2 + 4???????? + ???? − 2???? = 0, no sistema XOY. (a) Obtenha, através de uma rotação do sistema XOY,...

A equação da cônica dada é 4x^2 + y^2 + 4xy + y - 2x = 0. Vamos resolver as partes da pergunta: (a) Para obter a equação da cônica na forma canônica em um sistema de coordenadas rotacionado, podemos utilizar uma rotação de coordenadas. A fórmula para a rotação de um ponto (x, y) em um ângulo θ é dada por: x' = x * cos(θ) - y * sin(θ) y' = x * sin(θ) + y * cos(θ) Podemos escolher um ângulo θ que elimine o termo xy na equação original. Neste caso, podemos escolher θ = arctan(1/4), pois a tangente desse ângulo é igual ao coeficiente do termo xy na equação original. Aplicando a rotação de coordenadas, obtemos a nova equação da cônica na forma canônica: 4(x')^2 + (y')^2 - 2(x') = 0 (b) Para determinar os principais elementos da cônica nas coordenadas x', y', podemos analisar a nova equação canônica. Neste caso, temos: a' = 4 (coeficiente de (x')^2) b' = 1 (coeficiente de (y')^2) c' = -2 (coeficiente de x') (c) Para fazer um esboço da cônica, podemos utilizar as informações obtidas nos itens anteriores. No sistema de coordenadas x', y', a cônica terá uma forma mais simples, facilitando o esboço. Utilizando os valores de a', b' e c', podemos determinar se a cônica é uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola, e também determinar a posição e orientação da mesma. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.