Chamamos de sistema homogêneo de n equações e m variáveis aquele sistema qual os termos independentes são todos nulos ( iguais a zero ). Um sistema...

Para que o sistema tenha uma solução distinta da solução trivial (x = 0, y = 0 e z = 0), precisamos encontrar um valor de k que torne o sistema possível e indeterminado. O sistema é dado por: x + 2y + z = 0 2x + 4y + 2z = 0 3x + 6y + kz = 0 Podemos observar que a terceira equação é um múltiplo escalar das duas primeiras equações. Portanto, para que o sistema seja possível e indeterminado, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser igual a zero. Calculando o determinante: | 1 2 1 | | 2 4 2 | | 3 6 k | Determinante = 1(4k - 12) - 2(2k - 6) + 1(6 - 12) Determinante = 4k - 12 - 4k + 12 + 6 - 12 Determinante = 0 Agora, vamos analisar as opções fornecidas: a) k = -1: Substituindo na equação do determinante, temos 4(-1) - 12 - 4(-1) + 12 + 6 - 12 = -4 - 12 + 4 + 12 + 6 - 12 = -6. O determinante não é igual a zero, então essa opção não é válida. b) k = 2: Substituindo na equação do determinante, temos 4(2) - 12 - 4(2) + 12 + 6 - 12 = 8 - 12 + 8 + 12 + 6 - 12 = 10. O determinante não é igual a zero, então essa opção não é válida. c) k = -2: Substituindo na equação do determinante, temos 4(-2) - 12 - 4(-2) + 12 + 6 - 12 = -8 - 12 + 8 + 12 + 6 - 12 = -6. O determinante não é igual a zero, então essa opção não é válida. d) k = 3: Substituindo na equação do determinante, temos 4(3) - 12 - 4(3) + 12 + 6 - 12 = 12 - 12 + 12 + 12 + 6 - 12 = 18. O determinante não é igual a zero, então essa opção não é válida. e) k = 1: Substituindo na equação do determinante, temos 4(1) - 12 - 4(1) + 12 + 6 - 12 = 4 - 12 + 4 + 12 + 6 - 12 = 2. O determinante é igual a zero, então essa opção é válida. Portanto, a resposta correta é a letra e) k = 1.