Ache o limite da função f(x)=x⁴ +2x³ -7x² –8x+12/(x² –4), quando x tende a 2.

Para encontrar o limite da função f(x) quando x tende a 2, podemos substituir x por 2 na expressão da função e calcular o resultado. No entanto, essa abordagem não é adequada aqui, pois a função não está definida para x = 2 (o denominador se torna zero). Portanto, precisamos usar uma técnica diferente, que envolve a simplificação da expressão algébrica da função.

Podemos fatorar o denominador da função como (x - 2)(x + 2) e simplificar a expressão da função usando essa fatoração:

f(x) = (x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12) / (x^2 - 4)

= [(x - 1)(x^3 + 3x^2 - 4x - 12)] / [(x - 2)(x + 2)]

Agora, podemos calcular o limite da função quando x tende a 2. Para fazer isso, podemos simplesmente substituir x = 2 na expressão simplificada da função, pois agora a função está definida para x = 2:

lim x → 2 f(x) = lim x → 2 [(x - 1)(x^3 + 3x^2 - 4x - 12)] / [(x - 2)(x + 2)]

= [(2 - 1)(2^3 + 3(2)^2 - 4(2) - 12)] / [(2 - 2)(2 + 2)]

= [1(8)] / [0(4)]

= Indeterminação do tipo "0/0"

Obtemos uma indeterminação do tipo "0/0", o que significa que precisamos aplicar uma técnica de simplificação adicional. Podemos fazer isso expandindo a expressão (x^3 + 3x^2 - 4x - 12) em torno de x = 2 usando a regra de Horner:

lim x → 2 f(x) = lim x → 2 [(x - 1)(x - 2)(x^2 + 5x + 6)] / [(x - 2)(x + 2)]

= lim x → 2 [(x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 2)] / [(x - 2)(x + 2)]

= lim x → 2 (x - 1)(x + 3)

= (2 - 1)(2 + 3)

= 5

Portanto, o limite da função f(x) quando x tende a 2 é 5.

2

25