Demuestra que √xy ≤ x+y/2, x, y reales positivos. Ahora sea 0 ≤ x1 ≤ y1 y define xn+1 = √xnyn y yn = xn + yn/2. Observa que por (9), xn+1 ≤ yn+1. E...
Demuestra que √xy ≤ x+y/2, x, y reales positivos. Ahora sea 0 ≤ x1 ≤ y1 y define xn+1 = √xnyn y yn = xn + yn/2. Observa que por (9), xn+1 ≤ yn+1. Entonces, yn+1 = xn + yn/2 ≤ yn + xn/2 = yn, xn+1 = √xnyn ≥ √x2n = xn. Usa esto para demostrar que lim xn y lim yn existen y son iguales.
Demonstração da desigualdade √xy ≤ x+y/2 para x e y reais positivos.
Definição de xn+1 = √xnyn e yn = xn + yn/2.
Observação de que xn+1 ≤ yn+1.
Demonstração de que yn+1 ≤ yn.
Demonstração de que xn+1 ≥ xn.
Conclusão de que as sequências xn e yn convergem e têm o mesmo limite.
Demonstração da desigualdade √xy ≤ x+y/2 para x e y reais positivos.
Definição de xn+1 = √xnyn e yn = xn + yn/2.
Observação de que xn+1 ≤ yn+1.
Demonstração de que yn+1 ≤ yn.
Demonstração de que xn+1 ≥ xn.
Conclusão de que as sequências xn e yn convergem e têm o mesmo limite.
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💡 1 Resposta
Ed 
A demonstração da desigualdade √xy ≤ x+y/2 para x e y reais positivos pode ser feita da seguinte maneira: 1. Definimos xn+1 = √xnyn e yn = xn + yn/2. 2. Observamos que xn+1 ≤ yn+1. 3. Demonstramos que yn+1 ≤ yn. 4. Demonstramos que xn+1 ≥ xn. 5. Concluímos que as sequências xn e yn convergem e têm o mesmo limite. Essa demonstração mostra que a desigualdade é válida para todos os valores de x e y reais positivos.
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