Ache o maior valor que a função f(x, y) = 4−x2−2y2+2xy+2y pode assumir (para isto você deve encontrar o ponto de máximo de f).

Para encontrar o ponto de máximo da função f(x, y) = 4 - x^2 - 2y^2 + 2xy + 2y, podemos utilizar o método do gradiente. Primeiro, calculamos as derivadas parciais em relação a x e y: ∂f/∂x = -2x + 2y ∂f/∂y = -4y + 2x + 2 Em seguida, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos: -2x + 2y = 0 -4y + 2x + 2 = 0 Resolvendo esse sistema de equações, encontramos x = 1 e y = 1. Agora, precisamos verificar se esse ponto é um máximo ou mínimo. Para isso, calculamos a matriz Hessiana: H = | -2 2 | | 2 -4 | Calculando o determinante da matriz Hessiana, temos: det(H) = (-2)(-4) - (2)(2) = 8 - 4 = 4 Como o determinante é positivo e a derivada parcial de segunda ordem em relação a x (∂^2f/∂x^2 = -2) é negativa, concluímos que o ponto (1, 1) é um ponto de máximo para a função f(x, y). Agora, substituímos esses valores na função para encontrar o maior valor que ela pode assumir: f(1, 1) = 4 - 1^2 - 2(1)^2 + 2(1)(1) + 2(1) = 4 - 1 - 2 + 2 + 2 = 5 Portanto, o maior valor que a função f(x, y) pode assumir é 5.