(3) (Valor 1,5) Ache os pontos cŕıticos da função f(x, y) = 3x2+y2+12x−2y−1, classificando-os como máximo local, mı́nimo local ou ponto de sela...

Para encontrar os pontos críticos da função f(x, y) = 3x^2 + y^2 + 12x - 2y - 1, precisamos encontrar os valores de x e y onde as derivadas parciais são iguais a zero. Vamos começar encontrando as derivadas parciais em relação a x e y: ∂f/∂x = 6x + 12 ∂f/∂y = 2y - 2 Agora, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos as equações: 6x + 12 = 0 2y - 2 = 0 Resolvendo a primeira equação, temos: 6x = -12 x = -2 Substituindo o valor de x na segunda equação, temos: 2y - 2 = 0 2y = 2 y = 1 Portanto, o ponto crítico da função é (-2, 1). Agora, para classificar o ponto crítico, podemos usar o teste da matriz Hessiana. Calculamos as segundas derivadas parciais: ∂²f/∂x² = 6 ∂²f/∂y² = 2 ∂²f/∂x∂y = 0 (ou ∂²f/∂y∂x, pois as derivadas mistas são iguais) Calculamos o determinante da matriz Hessiana: H = (∂²f/∂x²)(∂²f/∂y²) - (∂²f/∂x∂y)² H = (6)(2) - (0)² H = 12 Como H > 0 e (∂²f/∂x²) > 0, temos um mínimo local no ponto crítico (-2, 1). Portanto, o ponto crítico (-2, 1) é um mínimo local da função.