Sejam W1 = {(x, y, z) ∈ R3 /x+ 2y − z = 0} e W2 = [(1, 0, 1) , (0, 1, 1) , (1,−1, 0)] subespaços de R3. Determine: (a) (1, 0 ponto)Bases para W1 e ...

(a) Para encontrar uma base para W1, precisamos encontrar um conjunto de vetores que satisfaçam a equação x + 2y - z = 0. Podemos reescrever essa equação como z = x + 2y. Assim, podemos escolher dois vetores arbitrários, por exemplo, (1, 0, 1) e (0, 1, 2), e expressar o terceiro vetor em termos desses dois vetores, obtendo (1, 0, 1) - 2(0, 1, 2) = (1, -2, -3). Portanto, uma base para W1 é {(1, 0, 1), (0, 1, 2)}. Para encontrar uma base para W2, basta utilizar os vetores fornecidos. Portanto, uma base para W2 é {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, -1, 0)}. (b) Para encontrar uma base para W1 + W2, precisamos encontrar um conjunto de vetores que possam ser escritos como combinação linear de vetores de W1 e W2. Podemos observar que os vetores fornecidos em W2 já são linearmente independentes entre si e não podem ser escritos como combinação linear dos vetores de W1. Portanto, uma base para W1 + W2 é {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, -1, 0)}. (c) Para encontrar a dimensão de W1 ∩ W2, precisamos encontrar a interseção entre os subespaços W1 e W2. Podemos observar que o vetor (1, 0, 1) pertence a ambos os subespaços. Portanto, a interseção entre W1 e W2 é {(1, 0, 1)}. Assim, a dimensão de W1 ∩ W2 é 1.