3. Identifique se as seguintes expressões são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta. a) Grad f é um campo escalar. [Resposta: Falso, é um ...

Vamos analisar cada uma das expressões: a) Grad f é um campo escalar. [Resposta: Falso, é um campo vetorial.] Justificativa: O gradiente de uma função f é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Portanto, o gradiente é um campo vetorial. b) Div F̨ é um campo vetorial. [Resposta: Falso, é um campo escalar.] Justificativa: A divergência de um campo vetorial F é uma medida de quanto o campo se espalha ou converge em um determinado ponto. A divergência é um escalar. c) Rot F̨ é um campo vetorial. [Resposta: Verdadeiro.] Justificativa: O rotacional de um campo vetorial F é um vetor que representa a tendência de rotação do campo em um determinado ponto. Portanto, o rotacional é um campo vetorial. d) Grad(Div F̨ ) é um campo vetorial. [Resposta: Verdadeiro.] Justificativa: O gradiente de uma grandeza escalar (como a divergência de um campo vetorial) é um campo vetorial. e) Div[Rot(Grad F̨ )] é um campo vetorial. [Resposta: Falso. É zero. Rotacional de gradiente de um escalar é zero, e divergente de rotacional é zero.] Justificativa: O rotacional do gradiente de um campo vetorial é sempre zero, e a divergência do rotacional de um campo vetorial também é sempre zero. f) Grad f◊ div F̨ é um campo vetorial. [Resposta: É uma expressão sem sentido. O produto vetorial existe somente entre dois vetores. Aqui Grad f é um vetor, porém div F̨ é um escalar.] Justificativa: O produto vetorial é definido apenas entre dois vetores, e não entre um vetor e um escalar. Portanto, a expressão não faz sentido. g) O campo vetorial F̨ = 2xy cos(z) î ≠ y² cos(z) ĵ + exy k̂ é incompressível. [Resposta: Verdadeiro, divergente do dado campo é zero] Justificativa: Para um campo vetorial ser incompressível, sua divergência deve ser igual a zero. No caso do campo F̨ dado, a divergência é zero. h) O campo vetorial F̨ = 2xy cos(z) î ≠ y² cos(z) ĵ + exy k̂ é irrotacional. [Resposta: Falso, rotacional do dado campo não é zero, é [(≠x sen(xy) + x sen(xz))] î + [(y sen(xy) ≠ y sen(yz))] ĵ + [(≠z sen(xz) + z sen(yz))] k̂.] Justificativa: Para um campo vetorial ser irrotacional, seu rotacional deve ser igual a zero. No caso do campo F̨ dado, o rotacional não é zero, portanto, o campo não é irrotacional.