Cálculo Vetorial em Diferentes Sistemas de Coordenadas

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UNIFESP

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Andréa Doria

10/05/2023

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Direito Civil I

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Lista de exercícios IV:
1. Calcule a divergência das seguintes funções vetoriais
a) F̨ = x
2
î + y
2
ĵ [Resposta: 2x + 2y]
b) F̨ = y
2
î + x
2
ĵ [Resposta: 0]
c) F̨ = (x + y) î + (y + z) ĵ + (x + z) k̂ [Resposta: 3]
d) z cos
1
e
y2
2
î + x
Ô
z2 + 1 ĵ + e2y sen (3x) k̂ [Resposta: 0]
2. Calcule o rotacional das seguintes funções vetoriais
a) F̨ = x
2
î ≠ x ey ĵ + 2xyzk̂ [Resposta: 2xz î ≠ 2yz ĵ ≠ ey k̂]
b) F̨ = xî + y ĵ + zk̂ [Resposta: 0 î + 0 ĵ + 0 k̂]
c) F̨ = (x + yz) î + (y + xz) ĵ + (z + xy) k̂ [Resposta: 0 î + 0 ĵ + 0 k̂]
d) F̨ = (cos yz ≠ x) î+(cos xz ≠ y) ĵ+(cos xy ≠ z) k̂ [Resposta: [≠x sen (xy) + x sen (xz)] î+
[y sen (xy) ≠ y sen (yz)] ĵ + [≠z sen (xz) + z sen (yz)] k̂]
e) F̨ = y
2
zî + e
xyz
ĵ + x
2
y k̂ [Resposta:
#
x
2 ≠ x y exyz
$
î +
#
≠2 x y + y2
$
ĵ +
[≠2y z + y z exyz] k̂]
3. Identifique se as seguintes expressões são verdadeiros ou falsos. Justifique sua
resposta.
a) Grad f é um campo escalar. [Resposta: Falso, é um campo vetorial.]
b) Div F̨ é um campo vetorial.[Resposta: Falso, é um campo escalar.]
c) Rot F̨ é um campo vetorial. [Resposta: Verdadeiro.]
d) Grad(Div F̨ ) é um campo vetorial. [Resposta: Verdadeiro.]
e) Div[Rot(Grad F̨ )] é um campo vetorial. [Resposta: Falso. É zero. Rotacional
de gradiente de um escalar é zero, e divergente de rotacional é zero.]
f) Grad f◊ div F̨ é um campo vetorial. [Resposta: É uma expressão sem sentido.
O produto vetorial existe somente entre dois vetores. Aqui Grad f é um vetor,
porém div F̨ é um escalar. ]
g) O campo vetorial F̨ = 2xy cos z î ≠ y2 cos z ĵ + exy k̂ é incompressível.
[Resposta: Verdadeiro, divergente do dado campo é zero]
h) O campo vetorial F̨ = 2xy cos z î ≠ y2 cos z ĵ + exy k̂ é irrotacional. [Re-
sposta: Falso, rotacional do dado campo não é zero, é
#
x e
xy ≠ y2 sen z
$
î+
[≠yexy ≠ 2xy sen z] ĵ ≠ 2x cos z k̂. ]
4. Calcule a divergência das seguintes funções vetoriais em sistema de coordenadas
cilíndricas: (a) r cos ◊r̂ ≠ r sen ◊ ◊̂; (b) 1r r̂; (c)
1
r ◊̂. [Respostas: (a) cos ◊ ≠ rcos ◊
(b) ≠1/r2 (c) 0 ]
a
5. Calcule o gradiente das seguintes funções vetoriais em sistema de coordenadas
cilíndricas: (a)
1
r cos ◊; (b) r sen ◊. [Respostas: (a) ≠
cos ◊
r2 r̂ ≠
sen ◊
r ◊̂ (b) sen ◊ r̂ +
rcos ◊ ◊̂]
6. Calcule a divergência e rotacional das seguintes funções vetoriais em sistema de
coordenadas esféricas: (a) r
2
r̂ + r sen „ „̂; (b)
e≠r
r „̂; (c)
1
r2 r̂. [Respostas para
divergência: (a) 2r + r cos „ (b) 0 (c) ≠2/r3. Respostas para rotacional: (a)
≠sen „ ◊̂ (b)
1
e≠r
r2 +
e≠r
r
2
◊̂ (c) 0r̂ + 0◊̂ + 0„̂.]
7. Calcule o gradiente das seguintes funções vetoriais em sistema de coordenadas
esféricas: (a)
sen ◊
r ; (c) r cos ◊. [Respostas: (a) ≠
sen ◊
r2 r̂ +
cos ◊
r ◊̂ (b) cos ◊ r̂ ≠
r sen ◊ ◊̂]
8. Escreva o vetor do item 6 (a) em sistema de coordenadas cartesianas e calcule a
divergência e rotacional do mesmo no sistema cartesiana.
b