7. Calcule o gradiente das seguintes funções vetoriais em sistema de coordenadas esféricas: (a) sen(θ)/r; (c) r cos(θ). [Respostas: (a) ≠sen(θ)/r² ...

Para calcular o gradiente das funções vetoriais em coordenadas esféricas, é necessário utilizar as seguintes fórmulas: Para a função (a) sen(θ)/r: ∇(sen(θ)/r) = (∂(sen(θ)/r)/∂r) r̂ + (1/r) (∂(sen(θ)/r)/∂θ) θ̂ + (1/(r sen(θ))) (∂(sen(θ)/r)/∂φ) φ̂ Calculando as derivadas parciais: ∂(sen(θ)/r)/∂r = -sen(θ)/r² ∂(sen(θ)/r)/∂θ = (cos(θ)/r) - (sen(θ)/r²) ∂(sen(θ)/r)/∂φ = 0 Substituindo na fórmula do gradiente: ∇(sen(θ)/r) = (-sen(θ)/r²) r̂ + (1/r) ((cos(θ)/r) - (sen(θ)/r²)) θ̂ + 0 φ̂ ∇(sen(θ)/r) = -sen(θ)/r² r̂ + (cos(θ)/r² - sen(θ)/r³) θ̂ Portanto, a resposta correta para a função (a) é: -sen(θ)/r² r̂ + (cos(θ)/r² - sen(θ)/r³) θ̂. Para a função (c) r cos(θ): ∇(r cos(θ)) = (∂(r cos(θ))/∂r) r̂ + (1/r) (∂(r cos(θ))/∂θ) θ̂ + (1/(r sen(θ))) (∂(r cos(θ))/∂φ) φ̂ Calculando as derivadas parciais: ∂(r cos(θ))/∂r = cos(θ) ∂(r cos(θ))/∂θ = -r sen(θ) ∂(r cos(θ))/∂φ = 0 Substituindo na fórmula do gradiente: ∇(r cos(θ)) = cos(θ) r̂ + (1/r) (-r sen(θ)) θ̂ + 0 φ̂ ∇(r cos(θ)) = cos(θ) r̂ - sen(θ) θ̂ Portanto, a resposta correta para a função (c) é: cos(θ) r̂ - sen(θ) θ̂.