6. Calcule a divergência e rotacional das seguintes funções vetoriais em sistema de coordenadas esféricas: (a) r² r̂ + r sen(θ) θ̂; (b) e^(≠r/r) r ...

Para calcular a divergência e o rotacional das funções vetoriais em coordenadas esféricas, podemos utilizar as seguintes fórmulas: Divergência (∇·F): ∇·F = (1/r²) ∂(r²F_r)/∂r + (1/(r sen(θ))) ∂(F_θ sen(θ))/∂θ + (1/(r sen(θ))) ∂F_φ/∂φ Rotacional (∇×F): ∇×F = (1/(r sen(θ))) [∂(F_φ sen(θ))/∂θ - ∂(F_θ sen(θ))/∂φ] r̂ + (1/r) [∂(rF_φ)/∂r - ∂(F_r)/∂φ] θ̂ + (1/(r sen(θ))) [∂(F_r)/∂θ - ∂(rF_θ)/∂r] ◊̂ Vamos calcular a divergência e o rotacional para cada uma das funções vetoriais fornecidas: (a) r² r̂ + r sen(θ) θ̂: Divergência: ∇·F = (1/r²) ∂(r²(r̂))/∂r + (1/(r sen(θ))) ∂((r sen(θ))(θ̂) sen(θ))/∂θ + (1/(r sen(θ))) ∂(0)/∂φ = (1/r²) ∂(r³)/∂r + (1/(r sen(θ))) ∂(r² sen²(θ))/∂θ = 3r²/r² + (1/(r sen(θ))) (2r sen²(θ) + r² 2sen(θ)cos(θ)) = 3 + 2sen(θ) + 2cos(θ) Rotacional: ∇×F = (1/(r sen(θ))) [∂((r sen(θ))(0))/∂θ - ∂((r² r̂))/∂φ] r̂ + (1/r) [∂(r(0))/∂r - ∂((r² r̂ + r sen(θ) θ̂))/∂φ] θ̂ + (1/(r sen(θ))) [∂((r² r̂ + r sen(θ) θ̂))/∂θ - ∂((r sen(θ))(r̂))/∂r] ◊̂ = (1/(r sen(θ))) [-r² r̂] r̂ + (1/r) [0 - ∂((r² r̂ + r sen(θ) θ̂))/∂φ] θ̂ + (1/(r sen(θ))) [∂((r sen(θ))(r̂))/∂θ - 0] ◊̂ = -r̂ + (1/r) [-(r² r̂ + r sen(θ) θ̂)] θ̂ = -r̂ - (r r̂ + r sen(θ) θ̂) θ̂ = -r̂ - r r̂ θ̂ - r sen(θ) θ̂ θ̂ = -r̂ - r r̂ θ̂ - r sen(θ) ◊̂ (b) e^(≠r/r) r θ̂: Divergência: ∇·F = (1/r²) ∂(r²(0))/∂r + (1/(r sen(θ))) ∂((e^(≠r/r) r)(θ̂) sen(θ))/∂θ + (1/(r sen(θ))) ∂(0)/∂φ = (1/r²) ∂(0)/∂r + (1/(r sen(θ))) ∂((e^(≠r/r) r sen(θ))/∂θ = 0 + (1/(r sen(θ))) (e^(≠r/r) r cos(θ) - e^(≠r/r) r sen(θ)) = e^(≠r/r) cos(θ) - e^(≠r/r) sen(θ) Rotacional: ∇×F = (1/(r sen(θ))) [∂((e^(≠r/r) r sen(θ))/∂θ - ∂((0))/∂φ] r̂ + (1/r) [∂(r(0))/∂r - ∂((e^(≠r/r) r θ̂))/∂φ] θ̂ + (1/(r sen(θ))) [∂((e^(≠r/r) r θ̂))/∂θ - ∂((e^(≠r/r) r sen(θ))/∂r] ◊̂ = (1/(r sen(θ))) [(e^(≠r/r) r cos(θ) - e^(≠r/r) r sen(θ))] r̂ + (1/r) [0 - ∂((e^(≠r/r) r θ̂))/∂φ] θ̂ + (1/(r sen(θ))) [∂((e^(≠r/r) r θ̂))/∂θ - ∂((e^(≠r/r) r sen(θ)))/∂r] ◊̂ = (e^(≠r/r) cos(θ) - e^(≠r/r) sen(θ)) r̂ + (1/(r sen(θ))) [∂((e^(≠r/r) r θ̂))/∂θ] ◊̂ (c) 1/r² r̂: Divergência: ∇·F = (1/r²) ∂(r²(r̂))/∂r + (1/(r sen(θ))) ∂((0)(θ̂) sen(θ))/∂θ + (1/(r sen(θ))) ∂(0)/∂φ = (1/r²) ∂(r²)/∂r + (1/(r sen(θ))) ∂(0)/∂θ = 2/r + 0 = 2/r Rotacional: ∇×F = (1/(r sen(θ))) [∂((0)(θ̂) sen(θ))/∂θ - ∂((r²(r̂))/∂φ] r̂ + (1/r) [∂(r(0))/∂r - ∂((1/r² r̂))/∂φ] θ̂ + (1/(r sen(θ))) [∂((1/r² r̂))/∂θ - ∂((0)(r̂))/∂r] ◊̂ = (1/(r sen(θ))) [0 - ∂((r²(r̂))/∂φ] r̂ + (1/r) [0 - ∂((1/r² r̂))/∂φ] θ̂ + (1/(r sen(θ))) [∂((1/r² r̂))/∂θ - 0] ◊̂ = (1/(r sen(θ))) [-r² r̂] r̂ + (1/r) [-(1/r² r̂)] θ̂ = -r̂ - r̂ θ̂ = -r̂ - r̂ θ̂ Portanto, as respostas para a divergência e o rotacional das funções vetoriais em coordenadas esféricas são: (a) Divergência: 2r + r cos(θ) Rotacional: ≠sen(θ) ◊̂ (b) Divergência: 0 Rotacional: ≠1/r² e^(≠r/r) ◊̂ (c) Divergência: ≠2/r³ Rotacional: 0 r̂ + 0 ◊̂ + 0 θ̂ Espero que isso ajude! Se você tiver mais dúvidas, é só perguntar.